2026高考数学复习 高考大题规范解答-数列

管皑跳

高考大题规范解答

教列

例I1.(15分)(2025•全国一卷，16)已知数列｛斯｝中，0=3,誓=帚+

］

〃(〃+1),

•(1)证明：数歹是等差数列；

•(2)给定正整数机，设函数/(X)=41X+Q2X2H----------〃田〃,，求

/'(―2).

•［解析］由递推关系证数列是等差数列+错位相减法（逻

辑思维能力、运算求解能力）

（1）证明：用1=鬻y+而%］两边同时乘得（〃+

+1,（3分）

又1XQ］=3,所以｛〃％｝是首项为3,公差为1的等差数列.（5分）

•得分保障：得分点：第⑴问关键在于得到等差数列的定

义式；第(2)问得出数列通项公式得1分，求出导函数得2分，

代入一2得1分，利用错位相减法计算并化简正确得5分，写出

最终答案得1分.

•失分点：第(2)问中，未能正确求导；使用错位相减法时

过程中出现了计算错位；最终答案忘记除以3.

•2.(15分X2025,天津卷，19){%}是等差数列，也J是等比

数列，%=d=2,a2=b2+\,。3="-

•(1)求{即},出〃}的通项公式.

•(2)▽〃金N*有丁〃=仍1%坊+,2。262H---\~pnanbn\pv22，…，

p〃£/},/={01}.

•(i)求证：V£7〃，均有仁乐+也+i；

•(ii)求T〃中所有元素之和.

•［考情速递］以数列为载体，创设科学情境.本题考查等

差、等比数列，并以新定义的形式引入集合图，体现了集合

语言的科学表述和抽象数学符号的美感，重点考查学生数学

抽象和逻辑推理素养，题目饱含数学思维，渗透了数学思

想.

•解［析］(1)第1步：设｛许｝的公差和｛勾｝的公比，得到通项

公式

•设等差数列｛斯｝的公差为"，等比数列｛”1｝的公比为

q(q*。)，

•则｛〃〃｝的通项公式为%=2+(〃-l)d,

一也受济面公、知，=2_x分)

•第2步：利用条件建立方程，求得q,d

•由02=62+1得2+d=2g+1,即d=2g—1,①

•由。3=必得2+2d=2#.②）

•将①代入②，化简得疗-2q=0,又qWO,得q=2,贝！|d=

24—1=3.（4分）

•第3步：写出｛3｝,彷〃｝的通项公式

•故氏=3/7—1,4=2〃.（6分）

(2)(i)证明：第1步：分析集合7〃及Z的最大值

由题知集合〃中的元素为t=%iab，其中p,£{0』},

/=!

当所有的P/=l时，/取最大值，

即。恤=£。力,=f[(3/-l)x21.(7分)

/=!7=1

第2步：计算Zmax与也?+i

记5=。咏=£(3Z-1)X2Z,

/=I

则S=Z(3Z-1)X2/=2X21+5X22+-+(3H-1)X2\

i=1

2S=£(3z-l)X2/+,=2X22+5X23+-+(3H-4)X2,7+(3A7-

l)X2"+i

nn

-s=t(3Z-I)X2^-£(3Z-1)X2/+1

/=i/=i

=4+3X(22+23+-+2w)-(3n-l)X2,,+1

,4X(1—2〃r)M+1

=4+3XT—z~~--(3A?-1)X2,/+1

1

=(8-6w)X2w-8.

则Zmax=S=(6〃-8)X2〃+8=(3〃-4)X2〃+i+8.(9分)

易知q〃+仍〃+]=[3(〃+l)—1]X2〃+|=(3〃+2)X2〃+|.(1O分)

第3步：比较，max与也z+]

当〃时，。〃+i6〃+]—，max=6X2〃+i—826X2]+】一8=16>0,

所以▽/£〃，均有长斯+也+式11分）

（五）第1步：分析。也出现的次数

n

由题知集合〃中的元素为t=£pQb=piaib[+p2a2b2T---Hp〃a〃6〃，

/=i

其中P,£{01},

每个为历项在所有元素的和式中出现的次数为2〃T（13分）

■第2步：计算中所有元素之和

•所以7；中所有元素之和为2〃-i・S=2〃-1[(3〃-4)*2〃+1+8]

=(3〃-4)X4"+2〃+2.(15分)

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1.（2025山东省部分学校开学联合教学质量检测，15）已知数列｛〃〃｝

的首项为。1=/,且湖足。〃+1+4。〃+］。〃一。〃=0.

⑴证明：数歹出为等差数列；

（2）设数歹U：的前n项和为S〃,求数列｛（一1）〃S〃｝的前n项和.

［解析］(1)证明：因为。〃+1+4。〃+1。〃—③=。，

所以an-q〃+1=4a〃o〃+1,

若。〃+1。〃=0,则a〃=a〃+i=O,与矛盾，

所以q〃+］4〃W0,

所以一L—5=4,因为所以!=2,

。〃+1。〃20

所以数列是首项为2,公差为4的等差数列.

⑵由(1)知，=2+(〃-1)4=4〃-2,

明ellI，乙乂,(2+4〃—2)〃

数列》的刖〃项和为S〃=----5-----=2〃9，

a〃J乙

所以(一1)〃S〃=2(—1)〃兄

设数列｛(—1)〃SJ的前〃项和为Tn，

22222

当n为偶数时，7W=2[—1+2—3+***—(A?—1)~\~n],

因为n2—(n—1尸=2〃-1,

所以。]=2[3+7+…+(2〃-1)]=2-5।)=/+".

当〃为奇数时，n-\为偶数.

=〃一1+2(—1)〃/=(〃一l)n—2n2=-H2—",

/+〃，〃为偶数，

所以T=\

n一/一〃，〃为奇数.

•2.(2025・天津部分区期中联考)已知｛%｝为等差数列，也｝

为等比数列，为=1,仇=2,%=2〃2，64=4(63—62).

•(1)求｛即｝和出〃｝的通项公式；

(2)求数列［,］的前〃项和.

［解析］(1)设等差数列｛即｝的公差为乙等比数列｛a｝的公比为外

由为=1,〃4=242，可得d=1,所以%二〃

由d=2,64=4(63—b。,又9W0,

可得级―49+4=0,解得夕=2,

从而彷〃｝的通项公式为九=2〃.

(2)设数列於｝的前〃项和为〃.因为爵=6，

所以T〃=lX；】+2X|2+3X13d-----FnX

/=1*/+2*力5・.+(〃—1山+〃X产

两式相减得，

%=件+伴+伴+...+件—〃

4/〃⑷十⑷十⑷十十⑷HXW

•3.(2025•江苏镇江期中模拟)记S〃是公差不为0的等差数列

｛%｝的前〃项和，已知43+304=65，a［a5=S^数列满足勾

=3“LI+2〃T(〃三2),且仇=%—1.

•(1)求｛许｝的通项公式；

(2)证明数列［冬+1［是等比数列，并求数列｛bn｝的通项公式;

(3)求证：对于任意正整数〃，----

［解析］(1)设等差数列｛。〃｝的公差为d(dWO),由S+3〃4=S5,。］恁

=S«i，

_5X4

6Zi+267+3(4ZI+3(7)=5(7I+2d,

则

,,4X3

d\(a\十4田=4幻十一2一d，

解得。］=2,d=2,所以l)d=2〃.

(2)证明：由b〃=3b1-2〃T(〃22),得¥=2，^T+]，则手+1=

6"-1+1],61—671—1—2—1:-1,2-*-1-2,所以｛2"+”以2为首项，2为

公比的等比数列，故鼾1—]凯-眇,则—.

(3)证明：当时，「2—~4n2^4(n-I)??-4[w—1裙+裙++4

-4+小2+23+…1〃)-4+6-32-4〃<2・

4.(2025•辽宁沈阳联考，18)已知正项数列｛斯｝满足肌=1,色=2,

且对于任意〃£N*,满足。〃%+2—£+1=-L

,(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设儿=看，证明：数列初〃｝的前〃项和璃；

〃(11111

(3)设S〃=£--―「一，证明：S〃V板.

k=0Wk+1^3k+2)13

［解析］(1)因为(=1,。2=2,恁%+2一届+1=—1，

所以当〃=1时，—诏=—1，计算得的=3,

由〃+2-屈+1=-1,可得。〃+1。〃+3-*+2=-1，

两式相减可得。〃々〃+2+曷+2=。〃+1。〃+3+显+1，

整理可得。〃+斯+2=。〃+】+。〃+3

Q〃+I。〃+2

匕"i\/0〃+。〃+2a〃+i+。〃+3。1+。31+3

所以-------=--------为定值，定值为平=2,

。〃+1为+2

所以。〃+。〃+2=2。〃+［,

所以｛。〃｝为等差数列，且公差为。2—。1=1，又。1=1,所以。〃=".

(2)证明：由(1)得处=〃，所以勾=}