函数的奇偶性-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）原卷版

专题2.5函数的奇偶性•重难点题型精讲

。物少火。碧

1.函数的奇偶性

(1)定义：

……一般地•设函数/(])的定义域为/,如果Vxw/,都有-xe

偶酒数

，,且/(-«)=/(X),那么函数/(X)叫做偶函数.

定43一般地•设函数/(X)的定义域为/,如果Vxw/,都京-XW

奇函数

义/,旦/(-X)=-/(X).那么函数/(X)叫做布函数

II.<)II

成.也既不是奇函数乂不是偶函数的函数,称为非奇非伊函数.

偶函数

定义域

定义域必须是关于原点对称的区间.

特征

设函数/(*)的定义域为/.则石/($)是偶函数。Vxw/.-x/.且

等价

/(r)=0;/(了)是奇函数oVxe/,-Xw/,且/(-x)+

形式

/⑴=0.特别地•若仆”0,还可以判断5(于=±1是否成立.

(2)奇偶函数的图象特征(几何意义)

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;

反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以)，轴为对称轴的轴对称图形；反

之，若一个函数的图象关于〉，轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间

上有相反的单调性；偶函数在关广原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;

奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变展也互为相反数.

短储千一五三

【题型1函数奇偶性的判断】

判断函数奇偶性的方法：

⑴代数判断法：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，4・x）=・/U）的是奇函

数五"）小>）的是偶函数；

⑵几何判断法：关于原点对称的函数是奇函数，关于y轴对称的函数是偶函数：

⑶运算法则：①两个偶函数相加所得的和为偶函数；②两个奇函数相加所得的和为奇函数；③一个偶函数

与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；④两个偶函数相乘所得的积为偶函数；⑤两个奇函数

相乘所得的积为偶函数；⑥一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

【例1】（2022•仁寿县校级模拟）下列函数为奇函数的是（）

A.f(x)=xexB./,(%)=

C.f(x)=x2sin.rD.f(x)=ln\.x\

【变式1-1］（2022春•毕节市期末）设函数f（x）=则下列函数中为偶函数的是（）

A.f(A+1)B./(x)+1C./(x-1)D./(x)-I

【变式1-2］（2022春•镇海区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（）

1

A.y=/B.)'=W+冈C.y=tan|x|D.y=|sinx|

【变式1-3］（2022春•兴庆区校级期末）已知函数/（%）=2'-&尸，则/（%）（）

A.是偶函数，且在K是单调递增

B.是奇函数，且在R是单调递增

C.是偶函数，且在R是单调递减

D.是奇函数，且在R是单调递减

【题型2利用函数奇偶性求解析式】

求解析式的方法：

先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出力幻的解析式，或充分利用奇偶性构造关于

x的方程，从而得到;U）的解析式.

【例2】（2022春•安康期中）已知/G）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/（x）=x+2,则当xVO

时，f(x)=()

x-2B.-x+2C.x-2D.x+2

【变式2」】(2021秋•新化县期末)若函数/(x)是定义域为R的奇函数，且当x20时，/(/=x(l+x),

则当xVO时，/(x)=()

A.-x(1+x)B.-x(1-x)C.x(1+x)D.x(1-x)

【变式2-2](2021秋•沙坪坝区校级期末)已知函数)，=f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，/(x)=

x2(l-V%),则当xVO时，f(x)的表达式是()

A.x2(l—\[x)B.—x2(l—Vx)C.x2(l+Vx)D.—x2(l+Vx)

【变式2-3](2022•大通县二模)若/(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+l)是偶函数，当()V.iWl时，

/(x)="“，则当2VxW3时，/(x)的解析式为()

A./(.r)=-elxB.f(x)=C./(x)=-e1-3D.f(x)=-e3x

【题型3利用函数奇偶性求函数值】

利用函数的奇偶性将待求区间上的自变量转化到已知区间上，结合已知区间上的函数解析式求函数值即可.

【例3】(2022•雅安模拟)已知函数/(八)是奇函数，当人分0时，/Q)=21I,贝4/(-2)=()

3

A.1B.-74C.3D.-3

【变式3-1](2022春•双流区校级期末)已知函数/(x)=o?+〃siru+W—2022(a,b,c为实数)，且了

(2022)=1,则/(-2022)=()

A.-1B.1C.-4045D.4045

【变式3-2](2022春•斗门区校级期中)已知定义在R上的奇函数/Or)满足/(.什7)=/(、)，当.隹(0,

1]时，f(x)=2"+/有，则/(2022)=()

11

A.-2B.2C.-4D.-

22

【变式3・3】(2022•马鞍山模拟)已知/(x)是R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2022x-若f(l)

+2022/(0)=2024,则/'(-2)=()

A.2020B.-2020C.4045D.-4045

【题型4利用函数奇偶性求参数】

利用奇偶性求参数的2种类型：

(1)定义域含参数：奇偶函数凡r)的定义域为h]t根据定义域关于原点对称，利用。+5=0求参数.

(2)解析式含参数：根据。一幻=一人的或人一’)=人外列式，比较系数，利用待定系数法求解.

【例4】(2022•洛阳模拟)若函数/(x)=/(〃・2、-2")是偶函数，则〃=()

A.-1B.0C.1D.±1

【变式4-1】（2022•如皋市模拟）若函数/（无）二彩为奇函数，则实数〃的值为（）

A.1B.2C.-1D.±1

丫2+2Yvv0

O'-为奇函数，则力=（）

（-X24-bx,x>0

A.-2B.0C.1D.2

【变式4-3]（2022春•辽宁月考）已知/（x）是奇函数，且当xV（）时，/（X）=-若f52）=8,

则实数。的值是（）

11

A.-4B.-C.-3D.3

33

【题型5利用函数奇偶性识别函数图象】

对于所给函数解析式，判断函数的奇偶性，结合特殊值法、函数单调性等，利用排除法进行判断，即可得

出正确的函数图象.

【例5】（2022•浙河区校级模拟）函数），=约4的大致图象是（）

【变式5-1]（2021秋•荔湾区校级月考）下列图形是函数），=#|的图象的是（）

平

A.B.

y

1X

C.

【变式5-2]（2021秋•邢台期末）已知函数/G）的部分图象如图所示，则/（x）的解析式可能为（）

C.f(x)=|x|sinxD.f(x)=F+COSJ

【变式5-3](2021秋•开州区校级月考)函数/CO=[eXlnX，X>Q,在[-2,0)U(0,2]上的

,e-xZn(—%),x<0

大致图象是（）

【题型6函数奇偶性与单调性的综合应用】

【方法点拨】

函数奇偶性与单调性的综合应用主要有两种：

（D比较大小：对于自变量不在同一单调区间上的比较大小问题，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一

单调区间上，然后利用函数单调性比较大小.

（2）解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把己知不等式转化为兀⑺勺U2）或人加小心）的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的V'转化为简

单不等式求解.

【例6】（2022•衡阳三模）定义在R上的奇函数/（x）满足/G+1）为偶函数，且当工曰0,1］时，/（x）

=4V-cosor,则下列结论正确的是（）

A.)>f(2022)>/（2）

40394043

B./(2022)>f>f：-------)

J2

40434039

C./（2）>/（2）>/(2022)

40394043

D./(-y-)>/(2022)>/（2）

【变式6-1](2022•山东模拟)电/(X