2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（人教A版选必第二册+选必第三册高效培优强化卷）（全解全析）

高二数学下学期期末模拟卷（人教A版）

强化卷•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选必第二册+选必第三册。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。1.已知随机变量》的分布列为尸（'=〃）=77长（&=1，2,3）,则。=（）

A.—B.1C.-D.—

333

【答案】A

【详解】由题意，根据分布列的性质有+E=解得〃=

1x22x33x43

2.掷两枚骰子，设事件力=｛两骰子出现点数之和为奇数｝,4=｛两骰子出现点数之和为偶数｝,则（）

A.事件力和事件4是互斥但不对立事件B.A\JB=0

C.事件力和事件“是对立事件D.以上均不对

【答案】C

【详解】由q斥事件和对立事件的定义知，事件力和事件8互斥且对立，所以A错误，c正确，

乂NU8=Q（必然事件），所以B错误.

3.某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读中国名著和外国名著各一本，现有6本中国名著和

5本外国名著可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（）

A.11种B.15种C.22种D.30种

【答案】D

【详解】有6本中国名著和5本外国名著,

中国名著和外国名著各选一本，

1/13

不同的选法共有6x5=30种.

4.在〃次伯努利试验中，设每次成功的概率为P(O<P<1),则失败的概率为1-P,将试验进行到恰好出现

，,次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以〃、P为参数的帕斯卡分布，记为

X-NB(r,p).已知X-N8(3,p),若尸(X=6"P(X=5),则P的最大值为()

3B.|C.|D.|

【答案】C

【详解】因为X~N8(3,p),根据题意得P(X=6)=pC；-p2(]_p)3=]0p3(]_p)3,

”=5)=泻p2(l-p)2=6p3(l_p『，

因为尸(X=6)2P(X=5),所以10p3(l-p)&6P3(l-p)2,

’29

因为。<〃<】，化简可得5(1-p)N3,解得个故0<pJ,

JJ

2

所以〃的最大值为

5.设数列｛&｝是以2为首项，1为公差的等差数列，｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则

传+%+〃「••+4=()

A.264B.520C.521D.263

【答案】D

【详解】由数列｛%｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

可得%=2+〃-1=〃+1,

由｛"｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

可得a=21，则叫=1+2”「

所以+〈%+旬+…+%=8+(1+2+4+…+2)=8+-——=8+255=263.

6./(X)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足V(x)-对任意正数4,b,若"b,则必

有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)

C.af(a)<bf(b)D.bf(b)<af(a)

2/13

【答案】A

【详解】令尸")=&，则尸

Xx~

Xx>0,xf(x)-f(x)<Ot所以尸(x)<0,函数/(x)在(0,+00)上单调递减,

由0<”人，得?(a)>Q价，即网>牛，所以4S)</(〃).

ab

7.口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个(编号1-6)、白球3个(编号7-9)、黑球1个(编号

10).采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量X为抽取到的红球个数，丫为抽取到的白球个数.已

知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率P(X=1|K=2)()

A.1B.|C.：D.1

8778

【答案】B

【详解】依题意，x=i,y=2的事件有c；c；c：个基本事件，丫=2的事件有c；c；个基本事件，

所以尸(x="y=2)=需f泻4

故选:B

8.己知函数/Wulnx-：；/，g(x)=/-.若对任意xw(0』)，不等式g'(x)+3,0恒成立，则实数〃的取

2⑴厂

值范围为()

A.(-<»,0]B.[0,-KO)C.(Y,1)D.0,+8)

【答案】B

【详解】由题意可得g(幻=/(，)=-111》-3，

\xJ2x

所以8'(公=一'+二，

XX'

所以g'a)+4zo在xe(0,l)上恒成立,

尸

11k

即一，十;十,A0在xe(0,l)上恒成立，

XXx一

即aX-L在xe(o,i)上恒成立，

x

又因为J，=xj=-L在xe(0,l)上单调递增，

所以y=x-,在'£(0/)上单调递增，

X

所以尸-1=0,

X

3/13

所以人0,

即A的取值范围为［0,+8）.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.样本甲中有〃?件样品，其方差为样本乙中有〃件样品，其方差为名，则由甲，乙组成的总体样

本的方差为+5；

m+nm+n

B.一组数据（1,3）,（2,8）,（3,10）,（4,14）,（5,15）的经验回归方程为"3x+Z则当x=5时,残差为

-1

C.一组数据不，8,…，X”的均值为亍，标准差为S,则数据工\只，…，X：的均值为

D.按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29,31,37,40.41.50；乙组数据为24,30,33,44,

48,52,60,68,70,80则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75

【答案】BC

【详解】对于A,记样本甲，乙的平均数分别为只歹，由甲乙组成的总体样本的平均数为近，

!!!{$：+叵一@2卜2.但+(歹・@2]

则甲乙组成的总体样本的方差为故A不正确;

tn+nu」

,口―1+2+3+4+5,_3+8+10+14+15

对于B,由题意,得x=------------=3,y=----------------------=110A,

55

贝1」；二歹一3了=10—3x3=1,所以p=3x+l.

令1=5,则>16,所以残差为15-16=-1,故B正确.

222

对于C,菁_叶-2x,J+x)=-^xr--^2x.x+-^x

=」£片—2j_L£xj+f，£i=_L£x；—丁，

«.-=1〃>=."/=in/=1

所以数据X：，X)…，片的均值为『+/,故C正确.

对于D,因为6x30%=1.8/0x40%=4,所以甲组数据的第30百分位数为31,

乙组数据的第40百分位数是竺44^+竺48二46,31+46=77,故D错误.

10.已知数列｛4｝的首项q=3,且满足q川=悬，下列说法正确的是（）

4/13

171

A.«5=-B.数列一-1为等比数列

16[an

7075

C.数列｛%｝是递增数列D.若则”的最小值为II

2026

【答案】BC

【详解】由凡+i=°%可得，」一二；+：,则」—1=!---1.

%+1-2%2%21%]

I-----1=------1=]1

所以一-1是以q1为首项，｝为公比的等比数列，故B正确.

1(\丫T

所以l=lx上+1

所以数列｛勺｝的通项公式为%=-

2+1

所以/=卓_=3，故A错误.

525-,+117

因为%=T—=1一——，当“增大时，2n+1增大,士减小，一土增大,

2"T+12力+1

所以｛«”｝是递增数列，故C正确.

若%>鬻，则/也，即20262">2025・(2”7+1)，整理得2小>2025,

20262”7+12026'7

因为2H'=1024,2"=2048,neN\

所以解得〃N12,所以〃的最小值为12,故D错误.

11.已知函数/（力的定义域为R.若函数f（2x-3）的图像关于点（2,1）对称,/（3+x）+/（3-x）=10,令

g(H=/(x)-2x,则()

A./(3)=5B./(x+4)=/(.x)

C./(x)的图像关于点(1/)对称D.g(x)=g(x+4)

【答案】ACD

【详解】解：由/(3+x)+/(3-x)=10,令x=0,则/(3)+/(3)=10,

所以/(3)=5,A正确；

由函数”2x-3)的图像关「点(2,1)对称,令f=2x—3,当丫=2时，/=!,

5/13

所以/⑺的图像关于(1』)对称，即/(X)的图像关于点(1,1)对称，c正确；

由f(3+x)+/(3-x)=10,用x+l替换x得/(4+x)+/(2-x)=10①，

又“x)的图像关于点(1,1)对称，则/(l+x)+/(l-x)=2,

用x-1替换x得/(x)+/(2-x)=2②，

①-②得f(4+x)—〃x)=8,所以②4+x)=/(x)+8,B错误;

由g(x)=/(x)-2x,则g(x+4)=/'(x+4)-2(x+4),

由上可知〃4+x)=/(x)+8,

所以g(x+4)=/'(x)+8-2(x+4)=/(x)-2x=g(x),D正确.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2/+3丫展开式中/的系数为.

【答案】1080

【详解】由已知，(2/+3)'展开式中的通项为人=仁(2/厂.丁=2».3"37,

令10—2〃=4,得厂=3,所以/的系数为2S"X33XC：=4X27X10=I080.

13.在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误

地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分

别为0.1和09若接收信号为1的概率为0.76,则发送信号为1的概率为.

4

【答案】0.8/y

【详解】根据题意，设事件4为“发送信号0"，事件4为“发送信号1"，事件舔为“接收信号为0”，事件耳

为“接收信号为I”，

则尸(即4)=08,尸⑷4)=02,P(Bol4)=O.l,P(印4)=0.9.

设发送信号为1的概率为X,

则接收信号为1的概率尸=尸(4)尸(同4)+尸(4)尸⑷4)

6/13

=(1-X)X0.2+XX0.9=0.76,

解得x=0.8,即发送信号为1的概率为0.8.

故答案为：0.8

14.已知函数/(力=£片，若对于任意的实数》,不等式/(〃Q)+/(r)<l恒成立，则实数〃，的取值范

围为.

【答案】g+8)

【详解】因为/(')=/匕，所以〃-)=/二"，

所以〃》)+/(-')=5+£=1，即/(x)=l-/(r)

因为函数^=。'+1在R上单调递博，

所以函数/(》)=*在R上单调递减，

所以/(〃e)+/(—x)<lo/(〃7C)<l—/(—x)=/(x),

Y

所以me'〉x对于任意的实数x恒成立，即〃对于任意的实数x恒成立，

e

所以心仔L

令g(x)=《，g'(x)=m,

ve

当ZW(-OO,1)时，gf(x)>0,g(可单调递增，当xw(l,+8)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以g(x)wg⑴=L即g(x)=1"的最大值为,

eee

所以〃?>1,即实数用的取值范围为+8]

(1A

故答案为：一,+8

(e；

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内(含)不收费，1小时-2小时(含)按5元收

费.超出2小时的部分按每小时6元收费(不足1小时的按1小时计算).现有甲、乙两人临时停车，两人

停车都不超过4小时.

|4

(1)若甲停车不超过1小时的概率为《，超过2小时的概率为,，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概

率;

7/13

(2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为求甲、

乙两人停车费之和为22元的概率.

849

【答案】(1).(2)市

【详解】(1)设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为儿

则叫)=1一泻q；

1114

(2)由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为1-？-《-§=行.

设甲乙两人停车费之和为22元的事件为〃，

甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为4,4,4,4，

乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为州,必星,8：,

则层+44+4生.

因为每人停车的时长是相互独立的，所以。(例)=人44)+0(44)+P(44),

“、八14cli49

)=—x—x2+—x—=---.

'/51533225

16.(15分)为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调

查，统计数据如下表(单位：人):

成绩显著提升成绩未显著提升合计

坚持自主刷题9030120

未坚持自主刷题206080

合计11090200

根据上述数据，解答下列问题:

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？

(2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩

达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题

的概率.

附：h________________________其中〃=4+/>+c+d.

(a+/))(e+d)(a+c)(/)+d)

8/13

a0.10.050.010.0056.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有关记

【详解】（1）假设“0:高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联:

200(90x60-20x30)?

经计算因为犬=«48.485>10.828=XJ001

120x80x110x90

故依据小概率值。=0.001的独立性检验，我们推断假设自）不成立,

即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001：

（2）定义事件：设8=”该学生坚持自主刷题”，

则方="该学生未坚持自主刷题“，力="该学生数学成绩优秀”,

则"8)=/=°，嗝嗡=04，P[A\B)=0.6,尸(川历=03,

所以尸(4)=P(B)P(A\8)+P(B)P(A|B)=0.6x0.6+0.3x0.4=0.48，

P(g)P(J|^)0.6x0.63

所以尸（AM）=P(A)-0.48-4

故该学生坚持自主刷题的概率为，

4

17.（15分）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超

预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点.某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x（亿元）

与经济收益（亿元）的数据，统计如下：

研发投入M亿元12345

经济收益力亿元2.546.5910.5

（1）依据表中统计数据、计算样本相关系数，,（结果保留3位小数），并判断研发投入x与经济收益T之间足

否有较强的线性相关性；（若0.3＜卜卜0.75,则线性相关程度一般，若上|＞。万，则线性相关程度较强）

（2）求出关于x的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益.

参考数据：£H一5T=10,£4—57=44.5,屈«21.1.

/=!;=!

9/13

n__

£(X..-X)(Z-7)

附：相关系数r="修_21“------线性回归方程的斜率♦=J——7^，截距3=亍-京.

隹X-/谣.匕2£卜7)

【答案】(1)/^0.995,具有较强的线性相关程度(2)j=2h+0.2,预测研发投入10亿元时产品的经济收益

为21.2亿元

r'¥hji/八—1+2+3+4+5/-2.5+4+6.5+9+10.5.

［详向昆］(］)X=-------------=3,y=----------------------6.5,

5

^1x.-y)=-2x(-4)+(-l)x(-2.5)+0+lx2.5+2x4=21,

J-I

又因为Z片一5X2=10,£^2-5/=44.5,

J=l

Zd)(M-力

2121

”1_LJ__________________Q____

所以一X0.9953>0.75,

工一%^0xV44521.1

L(y>-y)

所以具有较强的线性相关程度.

5

Z-(乂-刃

(2)因为〃==--------------=—=2.1

10

E-V,2-5X2

则；=6.5-21x3=0.2,所以关于x的线性回归方程为i=2.Lx+0.2,

将1=10代入线性回归方程，得j=2.1X1。+也2=21.2,

所以预测研发投入10亿元时产品的经济收益为21.2亿元.

18.(17分)己知函数/(x)=lnx-aH〃cR).

⑴求函数/")的单调区间；

⑵若函数/⑴在［芹］上有且仅有2个零点，求。的取值范制

⑶对任意xe(0,+8),/'(x)ves-x恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)当时，函数/(X)的单调递增区间为(0,+8)；当a>()时，函数/(x)的单调递增区间为

'单调递减区间为卜)奈目⑶">3

【详解】(1)因为/(x)=lnx-aHaeR),x>0,

10/13

则r(x)=L—a=X,当。40时，r(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增;

.XX

当〃>0时，由/'(力=0,得工二工，

Q

若0<x<?则/。)>0；若X/，则/'(x)<0.

(\,单调递减区间为卜。

所以/W的单调递增区间为0-

综上所述，当时，函数/(x)的单调递增区间为(0,+8)：

,单调递减区间为(：,+8、.

(2)当xe［ld］时，由/(》)=()可得”=皿，

X

令g(x)=¥，其中X«l，e2］,QIJ直线y="与函数g(x)在［l,e［上的图象有两个交点.

/(丫)=匕少，当Ivxve时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增.

X

当e<x<c2时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

所以函数g(x)的极大值为g(e)=L

且g(l)=0,g(e?)=2,g(x)在［11］的图象如图所示.

e

孙

［I..于一干

e/；__________

O1ee2x

21

由图可知，当r«a<一时，

e-e

直线y=。与函数g(X)在口,］上的图象有两个交点，

因此，实数〃的取值范围是1力2).

e)

(3)由-x,得1nx-atve"—x恒成立，移项lnx+x<e"'+ar，

得elnx+Inx<eat+ax恒成立.

构造函数力(x)=e'+x,所以〃(Inx)<力(")恒成立.

又•；h(x)=e'+x在定义域内单调递增,

11/13

.•.有lnx＜ar在(O,+e)内恒成立，

.•・〃＞叱恒成立，即。＞［叱］.

XIXZmax

由⑵可知8(%)=也最大值为g(e)=L所以

xee

19.(17分)已知数列｛%｝满足：a｛=I,an+｝=