相交线与平行线（数学竞赛题汇编）七年级全国（解析版）

专题09相交线与平行线

全国各地竞赛真题试题汇编■

1.（2023八年级下•甘泰平凉♦竟赛）如图，将纸片△ABC沿着。芯折叠压平，且N7+N2=72°,则NA=

A.36°B,24°C,72°D,18°

【答案】A

【分析】本题考查了折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

先结合折叠性质得N3-N4+N7,N6-N5+N2,再结合邻补用互补得N3-18b—匕4,々6—730°-

Z5,贝ij18（f-Z.1=2A4t780°-N2=2N5,然后整理得36CP-（N7+N2）=2（24+N5）,再把N1+

N2=720代入计算，得N4+N5=744。,最后由三角形内角和性质列式计算，即可作答.

,•,折叠

:,£3=£4+41,£6=£5+£2、

：Z.3+Z.4=180/6+45=180

：,乙3=18CP-A4,Z-6=180°-Z5,

/.}8(f-Z.4=£4+Z,l,18(f-N5=N5/N2,

/.18(f-£1=2A4f18(T-乙2=2£5,

则18CP—£1+18CP-42=224+2N5,

即36CT-(N7+N0=2(44+45),

27+N2=72°,

/.36(T-72°=2(N4+N5),

解得N4+N5=744°,

•.•在△ADE中，N.A十乙4十乙5二、

1/21

「./A=18CP-744°=36°,

故选：A.

2.（2023七年级下•广东深圳•竞赛）如图，有四条直线两两相交，则x的值是（）

【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得N2=36疗-w0-

X。，Z7=36（r-Z°-y°,再结合N7+N2=7&7°,计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是

解此题的关键.

」.N2=36*w°-x°,

1+z"+*=36（r,

=36CP—Z0—,

；£1+乙2=18（T,

：.360°-w°-x°+36（T-Z°-=18CT,

x+y+2+vv=540,

故选：C.

3.（2024九年级下•江西赣州•竞赛）如图.从A点发出的光线AB,A。经平面镜1反射后得到反射光线

BC,DE,直线m,n为法线，设NA=a。,NABC=。。,NAOE=y。，那么a,由y之间的数量关系式

是.

2/21

【答案】2a+B=y

【分析】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律（入射角等于反射角），熟练掌握查三角形内角和定

理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系.

根据光的反射定律，求出-0。）二以7°0°,ZADB=l（7^-y°）=

再根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：由题意可得：NCB。=乂7&7°-£。）=9"-Tp°,NAOB=乂7故7°-y。）=9/一；丫。,

:Z.ADB+Z.ABD+Z.A=180

即/ADB+AABC+NCBD+NA=18CP

.'.90°+俨+婚-；B。-ba0=18（T

:.2a+p=y

故答案为：2a+B="

4.（2020八年级•山东•竞赛）如图，一长方形直尺放在一直角三角板上，则图中Na与N0的关系

【答案】ZB=婚+Na

【分析】本题考查直尺和三角板中角度间的关系，涉及平行线性质、外角性质等知识，数形结合，准确表

示山相关角度的关系是解次问题的关键.

先由长方形对边平行得到N7=Na,再由三角形外角性质得到N。=/7+勿7°,最后等量代换即可得到答

案.

【详解】解：如图所示：

3/21

a

则由平行线的性质可得/7=Za.

•・•是图中小宜角三角形的一个外角，

即，6=Za+9CT,

•••N0=骄+Na,

故答案为：/B=9炉+Na.

5.（2023七年级下•广东揭阳•竞赛）如图，已知AEIIDF,则NA+NB+NC+NO=.

AE

0/

ck___________

DF

【答案】54^/540度

【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质.可过点B,

C分别作BMIIAE.CNIIDF,进而利用同旁内角互补得出结论.

【详解】解：如图,过点B,C分别作BM||AE,CN||DF,

■：AE\\DF,

:.BM\\AE\\CN\\DF,

cy..............w

DF

则NA+ZABM=180°,NMBC+/BCN=1804NCD+ND=18CT,

:.£A+Z.ABC+/BCD+，D

=NA+ZABM+NMBC+ZBCN+NNCD+N。

=18（Tx3

=540

故答案为：54（T.

6.（2023七年级•广东深圳•竞赛）图中有对同位角（其中a11b）.

4/21

h

d

【答案】32

【分析】本题考查了同位角的识别，理解同位角的定义是解题的关键.

在每条直线.上有两个交点就有四对同位角，数一下每条直线上交点个数，得到同位角的对数，再加在一起

得到结果.

【详解】解：两条直线被第三条直线所截，在截线上有两个交点，有四对同位角，

・••图中直线。上有两个交点，就有4对同位角，

直线b上有两个交点，就有4对同位角，

直线c上有3个交点，就有3x4=72对同位角，

直线d上有3个交点，就有3x4=72对同位角，

二图中共有4+4+12+72=32对同位角.

故答案为：32.

7.（2023七年级下•浙江衢州•竞赛）已知同一平面内有7条直线，共有76个不同的交点，画出它们可能

的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）.

【答案】见解析

【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用.没有明确平面上7条不重合宜线的位置关系，需要运用分

类讨论思想.从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出.

（详解】解:①3条平行线+4条相交且不平行于前一组的直线

②2条平行线+2条平行线+3条相交且不平行于前两组的直线

③2条平行线+2条平行线+3条相交且不平行于前两组的直线

5/21

8.（2023七年级下•河南洛阳•竞赛）如图,在aABC中，CO是NACB的角平分线交AB于点D,DE||BC,

交AC于点瓦ZA=60°,4BDC=81,求ACDE各内角的度数.

【答案】ZDEC=140P,ZCDE=20°,ZACD=2CT

【分析】本题主要考杳了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识

点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键.

由角平分线的定义可得NACD=NBC。=jzACB,由三角形外角的性质可得NBOC=乙人+

ZACD,易得NACD=2〃；再根据平行线的性质可得NCDE=NBC。=2〃，再根据三角形内角和

可得NDEC=74疗即可解答.

【详解】解：:CD是NACB的角平分线,

:.AACD=/BCD=-ZACB,

2

又「NBOC是ACOA的外角，

:.ZBDC=ZA+Z.ACD,

：.AACD=NBDC-ZA=8^-60°=20°,

\DEWBC,

；.NCDE=/BCD=20°,

•.工CDE十乙DCE十乙DEC=180°

/.DEC=18（f-/ECD-Z.EDC=18（T-2CP-20P=14（T,

"DEC=140ZCDE=2CP,ZACD=2CP.

9.（2023八年级上•安徽合肥•竞赛）（1）如图所示，若ABIIC。，则N7+N2+N3+N4+N5+N6

的度数是多少？

6.21

AB

(2)已知三角形的三边长分别为a.b,c,化简：/a+b-cl-2la-b-cl+la+b+cl.

【答案】(1)90b(2)4a-2c

【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形三边关系，能灵活运用平行线的性质进行推理以及根据三角

形三边的关系来判定绝对值内式子的正负是解此题的关键.

(1)过E作EQIIC。，过尸作FWIICO,过G作GRIIC0,过，作根据平行线的判定得

出EQ||FW||GR||HY||AB||CD,根据平行线的性质得出即可；

(2)三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的

式子的正负，从而化简计算即可.

【详解】解：(1)如图，

过E作EQIICD,过/作FWIIC。，过G作GRIICD,过口作

,'CD||AB,

:.EQ||FW||GR||HY||AB||CD,

；.Z7+NMEQ=780°,ZQEF-kZEFW=180°,NWFG+NFGR=18b,NRGH+

ZGHY=18(f,ZYHN+Z.6=780°,

：.幺1+乙2+乙3+土4+t5+乙6=5xJ8CT=900°；

(2)「△ABC的三边长分别是许氏%

「•必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，

则a+b-c>0,a-b-c<0,a+b+c>0,

|(i+b—c|——b—c|+|a+bc|

=a+b-c+2a-2b-2c+a+b+c

=4a-2c.

7/21

10.（2023九年级下•湖南湘西•竞赛）如图，一条船上午8时从海岛人出发，以10海里/时的速度向正北

方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A8处望灯塔。,测得/_^4。=3〃,/可8。=6。＞.

⑴求海岛8到灯塔C的距离；

⑵若这条船到达海岛8处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？

【答案】（1）海岛B到灯塔。的距离为20海里

⑵还要经过1小时，小船与灯塔。的距离最短

【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含3疗角的直角三角形的性质、垂线段最短，

熟练掌握以.上知识点是解题的关键.

（1）根据三角形的外角的性质，得NACB=NNBC-NNAC=6疗一%T=367°,那么NACB=

ABAC,即可求解；

（2）如图，过点。作CP1AB干点P,根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，据此

求出PB的长度和需要的时间即可.

【详解】（1）解：由题意得：AB=70x2=20（海里），

「NNBC=604NAC=3炉、

:.AACB=/NBC-ZNAC=60^-30°=30

S.Z.ACB=ZBAC,

:.BC=AB=20（海里）.

答：海岛B到灯塔C的距离为20海里；

（2）解：如图，过点C作CP1AB于点P,

根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，ZBPC=90°,

8/21

又.•NNBC=60°,

•,.NPCB=780°—NBPC-ZCBP=30

在Rt^CBP中，NBCP=30°,

：.PBJBC=10（海里），

JO-r10=1（小时）.

答：还要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短.

11.（2023八年级上•湖北恩施•竞赛）直线ABIICD,E是AB匕一定点，P是直线CD上一动点，点Q在

直线AB,之间，且NQPO=7疗，Z.QEB=a.NCPQ的平分线交直线AB于点M.

⑴如图1,若a=65°,则NEQP的度数是____°.

⑵如图2,若PMIIEQ,求NQEB的度数；

【答案】⑴135

（2）55°

【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，平行公理的推论，补角的定义，熟练运用平行线

的性质，角的平分线的性质是解题的关键.

（1）过点。作QFIIAB,则QFIICD,利用平行线的性质求解即可；

（2）利用补角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，求解即可；

【详解】（1）解：如图1,过点。作QFIIAB,

/.Z.QEB=NFQE=a=65°,

\ABWCD,

.-.QFWCD,

/.ZQPD=NFQP=7CT,

ZEQP=NFQE+NFQP=650+7（f=735°,

图1

9/21

故答案为：135；

(2)证明：•••ZQPD=700,

:.NCPQ=7800-NQPD=780°-70°=710°,

vPM平分NCPQ,

ZCPM=-ZCPQ=-xJJCP=55°.

22

.'ABWCD

:.ZCPM=APMB=55°.

,/PMWEQ,

£QEB=ZPMB=55°.

图2

12.（2023七年级下•浙江宁波・竞赛）（1）已知直线ABIICO，点P为平行线AB,CO之间的一点.如

图7,若NABP=5〃，ZCDP=70°,BE平分NABP,DE平分NCOP,求NBEO的度数.

（2）（探究）如图2,当点P在直线AB的上方时，若NABP=a,NCDP=B，NABP和NCDP的

角平分线交于点求NE/的度数；若NABE］与NCDE：的角平分线交于点E?NABE?与NCDE2的

角平分线交于点E,….以此类推，求NE〃的度数.

（3）（变式）如图3,NABP的用平分线的反向延长线和NCDP的补角的角平分线交于点E,试猜想NP

与/E的数量关系，并说明理由.

【答案】（7）6为

⑵（9（6-。）；

⑶NE=90°--^ZP.

【分析】（0过点6^EF||AB,根据平行线的判定可知ABIICDIIEF,利用平行线的性质可征/ABE=

25,4CDE=35°,再根据角之间的位置关系可得NBED=6Z7°；

10/21

(?过点£7作马巴||人8,可得48||。。怔/7,利用平行线的性质可得：ZBE}D=j(p-a)t同理可

得：NBE2D=(g2(°-a),根据规律可得：NEn=(3"(0-a)；

(3过点E作EGIIAB,可得：ABWCDWEG,根据平行线的性质可得：ZBED=90°^-^ZABP-

NPDC),由(2)可得：ZP=ZPDC-ZABP,所以可得NBE。=9〃一^/口.

【详解】(0解：如下图所示，过点E作EFIIA8,

•••AB\\CD,

.••ABWCDWEF,

ZABE=ZBEF,ZEDC=ZDEF,

•••BE平分NABP,OF平分NCOP,

ZABE=jzABPtZ.CDE=jzCDP,

•••ZABP=50°,ACDP=7(f\

ZABE=-ZABP=25°,ACDE=-ZCDP=35°,

22

：.ZBEF=25°,ZDEF=350,

/BED=Z.BEF+Z.DEF=250+35°=6g

(2)解：如下图所示，过点E昨E#711AB

VABWCD,

:，ABWCDWEjF/,

ZABE,=ZFtErB,NCDE]=ZF[EQ,

ZBEjD=ZFjEjD—Z.FfE,B,

:./.BEjD=Z.CDEj—Z.ABEj,

.:。87和8£17分别是/八8。和/。£^的角平分线，

•••XCDEj=jzCDP,XABEj=jzABP,

ZBEjD'(/COP-NABP)=幺0-吟

同理：ZBE2D=^ZCDEJ-ZABE,)=jx^ZCDP-ZABP)=(夕[p—a),

以此类推，可得：ZE”=(3n(f-a)；

11/21

(3解：ABED=9CT

理由如下：

如下图所示，过点E作EGIIAB,

•••AB\\CD,

:.ABWCDWEG,

ZGEB=NMBE=NABQ,ZGED=ZEDF,

/BED=Z.BEG+Z.DEG=ZABQ+ZEDF,

•••BQ平分NABP,DE平分NPDF,

ZBEG=NABQ=jzABP,ZEDF=jzPDF==(18(T-NPDC),

/BED=jzABPE(©-NPDC)=9(T行(NABP-NPDC),

由(Z可知NP=NPDC-ZABP,

/BED=9*=NP.

2

今全国联赛真题试题汇编「

1.（2024七年级•全国•竞赛）已知三条直线相交于同一点，如图所示，根据图示信息，下列结论全对的一

A.£1=£3=收，£2=6",£4=3(TB.Z.1=9CPtZ.2=30°,Z3=9(ffZ.4=60°

C.Z.1=Z.3=9CT,Z.2=Z.4=60°D,£1=£3=9042=£4=3(f

【答案】A

12/21

【分析1本题考查了对顶角相等以及平角的定义，由题意求出NJ=780^-3^-60°=以7°,即可求解.

【详解】解：由图可知：41=18CP-3*6CP=90

由对顶角相等可得：/I=43=90/2=60/4=3ff\故A正确，B、C、D错误；

故选:A

2.（2024七年级•全国•竞赛）如图，将矩形ABC。沿对角线BO折叠，使得点C落在点E处，若AO恰好

平分NBOE,则NEBO的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、矩形的性

质及直角三角形的性质是解题的关键.先根据矩形的性质可得NC=攵7°,AD\\BC,从而利用直角三角

形的两个锐角互余可得NEBD+NEOB=9Z7°,再利用平行线的性质可得NAOB=N0BC,然后利用

折叠的性质可得NE=NC=欠々NEBD=NDBC,,从而利用角的和差关系，进行计算即可解答.

【详解】解：•.・四边形ABC。是矩形，

ZC=90。，AD||BC,

ZADB=ZDBC,

由折叠得：ZE=ZC=90°,ZEBD=ZDBC,

Z.EBD+AEDB=90°,/ADB=NEBD,

.AD恰好平分NBDE,

:.ZEDA=ZADB,

:.£ADB=/EBD=AADE,

•••ZADB+NEBD+ZADE=好，

:.ZEBD=30°,

故选：C.

3.（2024七年级•全国•竞赛）如图，NBAC=82°,ZCDE=68°,A尸平分NBAC,若AF1DE,

则/ACQ的度数为（）

13/21

A.18°B,79°C,2（TD.27°

【答案】B

【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性

质，合理作出平行线是解题的关键.

如图所示，作。G||AF交AC于G,作CH||AF,根据平行线的性质可求出NACH的度数，根据垂直的

性质可求出NCDG的度数，最后根据NACO=ZACH-NDCH即可求解.

【详解】解：如图所示，作DGIIAF交AC于G,作CH||AF,

•.AF平分NBAC,

..Z.CAF=820+2=4『,

:.ZAGD=ZACH=ZCAF=4?0,

\DE1AF,ZCDE=68°、

Z.DCH=Z.CDG=9（T-68°=22°,

:.Z.ACD=ZACH-ZDCH=41°-22°=7Po.

4.（2023七年级•全国•竞赛）如图,直线"、/2同时与第三条直线1相交,其中N7与N3在｝与僧之间,

且同时位于两侧，我们称N7与N3为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为N2与N4）.如图2,

5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（）组内错角.

【答案】C

14/21

【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键.

任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内

错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答.

根据内错角的定义可知N2与/7、N3与N5、N3与N9、N4与N70、N7与N77、N8与N70是内错角

共六组；

设5条直线分别为火氏c、乩e,任取三条，

则共有(ab,c){afb,d)(a,bfe)(a,c,d)(a,c,e)(ad,e)(b,c,d)(b,c,e)(b,d,e)(czd,e)共10种情况,

则共有6x10=60(组)

•・•内错角需三条直线才得以成立，

不存在重复情况，

例如将移走，则/5/£/刁/8/9/7。/7〃/72均不存在，即已知N2与N7、N3与N5、N3与N9、

N4与N7。N7与N77、N8与N70六组内错角不存在.

故选：C

5.(2024七年级•全国•竞赛)若N/与N2是对顶角，N3与N2互补，且N3的余角为3疗，那么N/

的度数为___________

【答案】72^77120度

【分析】本题考查余角，补角，对顶角的计算.根据互为余角是指两个角的和为9〃，互为补角是指两个角

的和为780°,对顶角相等即可.

【详解】解：N3的余角为3g

Z3=90°-3CP=6(f,

♦：N3与N2互补，

•%N2=780°-6b=120°,

•••N7与N2是对顶角，

.•・N7=N2=12CP.

故答案为：i2(r.

6.(2024七年级•全国•竞赛)一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后(第一次拐弯后，行驶了一段

路程再第二次拐弯)，行驶方向仍与原来的行驶方向平行.已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶,

15/21

且第一次是向右拐弯80°、那么第二次向右拐弯的最小度数是.

【答案】70。7700度

【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出图示即可求解.

【详解】解：如图所示：

第二次向右拐弯的最小度数是：78疗一N7=10(Tt

故答案为：io(r.

7.(2024九年级•全国•竞赛)如图，一副三角板按图示方式叠放在一起，现固定△ABC,将△CDE绕

公共顶点C按顺时针方向旋转一定的角度<0<7&T),则aCDE的某一边与△ABC的某一边相平

行的情况共有种.

【答案】5

【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质；根据题意，画出图形即可判断，正确画出图形是解题的

关键.

【详解】解：如下列图形所示，粗线表示的是相平行的线段，与C。、CE平行的各有一种，与。E平行的

有三种，共有5种，

故答案为:5.

16/21

8.（2024七年级•全国•竞赛）如图，平行线［八22分别交射线MN于点A、B,交射线ME于点C、D,

点P在射线MN上，且不与点A、B或M重合.若/1+42+£3=10炉,则N2=.

【答案】50750度

【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，过P作PGll/人与ME相交于点G,由"1112得到

IJ\\!2\\PG,进而得到NCPG=N7,NDPG=N3,即/2=N7+N3,再由N7+N2+23=即

可求解，掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关健.

【详解】过P作PGll/人与ME相交于点G,

17/21

.\lj\\l2\\PG,

:.ZCPG=Z7,NDPG=/3,

"CPG+NDPG=N7+N3,

：Z.CPG+NDPG=N2,

.•.N2=N7+N3,

,:£l+£2+£3=100°,

.../2=N7*/3=与=50°,

故答案为：50

9.(2024七年级•全国•竞赛)如图，在一片高新技术经济开发X的旁边修了一条公路AB,已知公路的第

一个拐角NC=12(T,第二个拐角ND=15(T,第三个拐角记为NE,如果公路段EB与公路段AC恰好平

行，那么NE的度数为.

【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长CD,BE交于点F,根据平行线的性

质，得出NF=ZC=12CP,再根据NCDE=J50°,可得NEDF=30°,根据NBED=NF+4EDF

进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键.

根据题意，ACWBE,

/.ZF=NC=J20°,

\ZCDE=75(T,

NEDF=3(Tt

18/21

ABED=Z.F+ZEDF=12a+3a=75（T,

故答案为：15a.

10.（2024七年级•全国•竞赛）如图，在^ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC于点DBE1AC

于点E,EF1BD于点F,EGIIBC交BO于点G,已知NDEF.NFEG=3:77,则NA=___________度.

【分析】设NC=2x,则NFGE=NCBO=x,NDEF=NDBE=NCBD-NCBE=x-（90°-

2x）=3x-9CP,NFEG=9炉一NFGE=9炉一X,（3x-9〃）.（9疗-x）=3;〃解得x=35°,

NA=18CP-4x=40

【详解】解：设NC=2x,

：AB=AC,

S.Z.ABC=2x

,.・BD平分NABC,EGWBC,

Z.FGE=NCBD=x,

.BEJLAC,EF±BD,

/.2DEF=ZD