一元二次方程根与系数的关系

第3讲：一元二次方程根与系数的关系

【考点梳理】

＞考点一：一元二次方程的根的判断式

＞考点二：判断式求参数问题

＞考点三：一元二次方程的根与系数的关系

＞考点四：由跟的分布求参数问题

＞考点五：根和系数与判别式的综合应用

【知识梳理】

知识点一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程a/+"+c=0(awO),用配方法将其变形为：(1+2)2」干

2a4a~

(1)当从-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：I"",竺.

2a

(2)当后-44c=0时，方程有两个相等的实数根：x=-—；

l22a

(3)当从一4讹＜0时，方程没有实数根.

由于可以用从-4比的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把从-4〃c叫做一元二

次方程or?+hx+c=0。0)的根的判别式：A=/?2-4ac.

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程以2+以+°,=03。0)的两个根为：

-b+\/b2-4ac-b-y/b2-4ac

x.=-----------

2a

h

所以：x+x=

A2a

-b+\]b2-4ac-b-yjb1-4ac(-b)2-(\Jb2-4ac)24ac

2a(244/

定理：如果一元二次方程ax'+bx+c=0(a*0)的两个根为内,公,那么：

b=c

X]+X=---一.

2a"a

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为

韦达定理.上述定理成立的前提是ANO.

【题型归纳】

题型一：一元二次方程的根的判断式

1.（25-26高一上•全国）已知巧，工2是关于x的方程V—〃a—3=0的两个根，下面结论一定正确的是（）

A.A-+x2>0B.X]/X2

C.•x2>0DXj<0,A-,<0

【答案】B

【分析】利用一元二次方程根的判别式以及韦达定理计算，逐项判断即可.

【详解】A=（-m）2-4x1x（-3）=/n2+12>0,

.•・方程x2-必-3=0有两个不相等的实数根，即为工々，故B正确；

根据韦达定理，%+七=加，引飞=-3<0，故C、D错误，A不一定正确.

故选：B.

2.（25-26高一上•四川宜宾•开学考试）关于1的一元二次方程Y+履一2=。的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【分析】根据判别式的符号可得正确的选项.

【详解】A=^2+8>0,故方程V+&一2=0有两个不等的实数根，

故选：A.

3.（25-26高一上•湖南邵阳•开学考试）一元二次方程/一6%+10=。的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C,有两个不相等的实数根D.只有一个实数根

【答案】B

【分析】根据判别式即可判断.

【详解】A=（-6）2-4xlxl0=36-40=-4<0,

;此方程无实数根，

故选：B.

题型二：判断式求参数问题

4.（25-26高一上•全国•课前预习）关于x的方程（根-2）』一行二+；=O有实数根，则，"的取值范

围是（）

A.机■且，〃h2B.加

C.〃？«2D.〃？W3且〃？工2

2

【答案】C

【分析】分类讨论，〃-2=0和"?-2,0两种情况，利用根的判别式解决一元二次方程根的问题.

【详解】当〃?-2=0，即机=2时，关于x的方程（m-2）/一君二嬴+；=0可化为_#=（）,有一个实

数根，满足题意；

当帆-2Ho时，关于x的方程（m-2）/一后最丫+；=。有实数根，

A=3-m-4（w-2）-0,解得出4；,故〃10；且加工2.

综上，川的取值范围是用《|.

故选：C.

5.（2025高一•全国・专题练习）如果关于工的方程加-2（,〃+2卜+/”+5=0没有实数根，那么，关于x的

方程（〃-5卜2-2（〃?+2N+,〃=0的实数根的个数为（）

A.2B.1C.0D.1或2

【答案】D

【分析】由方程，/-2（〃/+2）人十，〃十5=0没有实数根，得到小>4,然后分类讨论结合判别式分析方程

(〃7-5*-2(〃7+2卜+〃7=0的实数根的个数即可.

【详解】关于无的方程，加-2(〃7+2b+相+5=0没有实数根，

当，〃=。时，方程为Tx+5=0有解，不符合题意，

m*0

所以A1/02.八八，整理得~4〃?+16<0,解得小>4，

A=4(〃?+2)-4/n((?n+5)<0

贝lj方程(〃7-5卜2-2(〃z+2)x+〃z=0,

当帆=5时，-14.r+5=0,此时方程有一个实数根；

当〃7H5且，〃>4时，△=4(〃?+2)~—4(〃7-5)〃?=36，〃+16>0

故此时方程有两个不相等的实数根，

综上：方程(〃L5)f_2W+2)x+〃=0的实数根的个数为1或2.

故选：D

6.(25-26高一上•湖南怀化•开学考试)已知关于1的一元二次方程f+(2〃-l).r-2〃.l=0中，/"为实

数，则该方程解的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C,没有实数根D.不能确定

【答案】B

【分析】判断△的符号，进而判断根的个数.

【详解】因为△=(26-I,一4(一2〃?-1)=4/+痴+5=4〃?+g)+4>0,

所以关于尤的一元二次方程有两个不相等的实数根.

故选：B

题型三：一元二次方程的根与系数的关系

7.(25-26高一下•辽宁•开学考试)若关于x的一元二次方程3/-6-5=。的两个实数根分别为巧和起,

则g+一的值是()

人］人2

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解.

【详解】依题意,%+%=2,%七=-—,所以:+=

j人I42人1人2，

故选：B

8.（25-26高一上♦山东潍坊•阶段练习）已知是方程.d+2x-5=O的两根，求M+M+2a的值（）

A.加B.。C.0D.P

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合韦达定理计算得解.

【详解】由外夕是方程W+2x-5=0的两根，得。+4=-2,

所以a~+ap+2a=a（a+6）+2a=0.

故选：C

9.（2025高一•全国・专题练习）已知方程2/7一4=0的两根为内心,则;+；=（）

X\人2

A.-2B.7C;D.-7

244

【答案】D

【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解.

1

则11A1

-+

-一

-4

内-A

-2

故选：D

题型四：由跟的分布求参数问题

10.（25-26高一上・安徽亳州•阶段练习）已知关于工的方程./+（〃7+1）X+，〃-1=0有两个负根，则实数〃?

的取值范围是（）

A.m>\B.m>\C.m<1D.inW1

【答案】B

A=（///+1）--4（/w-l）＞0

【分析】由题意可得卜（加+1）＜0,求解即可.

，"-1＞0

【详解】因为关于X的方程产+（m+1）彳+，〃-1=。有两个负根，

A=(w+l)'-4(//z-1)>0A=nr-4〃?+5>0

所以卜W+1)<。

,即<〃?>一1

加一i>om>1

解得心I,所以实数〃2的取值范围是（1，+8）.

故选：B.

11.（25-26高一上•福建•开学考试）已知两个不等实数用，〃满足3疗一,〃-2=0,3〃2rL2=0，则：

的值为（）

A13C.2或专

A-B.2

O

【答案】A

【分析】根据题意得入〃为方程3fr-2=0的两个根，得到加+〃V,〃〃』!，将｝:转化为

+,然后代入计算即可.

inn

【详解】•••两个不等实数〃？，〃满足3加-机-2=0,3/r-«-2=0,

I2

•••机、”为方程3/-_¥-2=0的两个根，.•.，〃+〃=Q，痴=一§,

,,(/2倡-2x2)

「土13

mnnr+n~_(m+n)-2mn_13J

..—+—=

nntmnmu26

3

m八13

的值为-不.

故选：A.

12.（23-24高一上.浙江宁波•开学考试）关于x的方程f+x+2〃=0有两个根，其中一个大于1,另一

个小于1时，贝心的取值范围为（

A.a<-\B.

O

D.a<-1或aWJ

C.a<-\或

O8

【答案】A

【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.

【详解】根据方程f+x+2〃=0有两个根，其中一个大于1,另一个小于1,

可知第(A=+l-28«">0,解八…得"J

故选：A

题型五：根和系数与判别式的综合应用

13.(25-26高一上•全国•课前预习)关于x的方程丁--2人3=0有两个不相等的实数根.

⑴求实数我的取值范围；

⑵设方程的两个实数根分别为小9,存不存在这样的实数k,使得凶-|引=否?若存在，求出这样的

A值；若不存在，说明理由.

【答案】⑴

4

⑵2=4

【分析】(1)利用判别式大于0求解即得.

(2)利用根与系数的关系，结合根的符号及已知等式求解即得.

【详解】(1)由方程产-2«+3=0有两个不相等的实数根，

得A=[-(24-1)]2-4(&2-24-3)=以一11>0,所以攵>?.

(2)存在，

由(1)知，％吟,%]+巧=22-1>0,中2=/-2左+3=(1-1)2+2>0,贝1]内>0,/>0,

由㈤-回=K,得%-/=6,两边平方得父-22为+尤=5,即区+%2)2-4中2=5,

因此(22一1)2—4(攵2一22+3)=5,即44一11=5,

所以〃=4.

14.(2025高一上•河北保定・专题练习)已知关于x的一元二次方程f-(m+2)x+m-\=0.

⑴求证：无论，〃取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两个实数根为不/，且X：+E-KS=9,求用的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)-2或1

【分析】(1)根据△来判断一元二次方程的根的个数；

⑵利用韦达定理解决问题.

【详解】(1)a=\,b=-(ni+2),c=m-\t

2

：.A=-44c=[一(〃?+2)『-4xlx(7//-l)=m4-4/H+4-4/?/+4=m~+8.

m2>0,

/.A>0,

•••无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)方程/-(6+23+〃1=0的两个实数根为，

/.%+々=tn+2,x]x2=/72-1.

2

x：+6一片〜=9,BP(x,+x2)-3X1X2=9,

/.(W+2)2-3(W-1)=9.

整理，得m2+m-2=0.

解得见=-2,吗=1.

的值为-2或1.

15.(25-26高一上•上海松江・期末)已知关于x的一元二次方程2犬+4〃a-3=0的两个根为不々，其中

机>0,且1%-91=715.

(1)求实数机的值；

⑵求⑪+小I和X+£的值.

【答案】(1)1；

(2)3,-17.

【分析】(1)利用韦达定理及给定条件，建立方程求出加.

(2)由(1)求出玉+9小声，再借助因式分解计算即得.

%1+x,=-2m

【详解】(1)依题意，,3由阿一/1=加，得(3+马)2-452=1。,

中2=一二

则4*+6=10,而"?>0,所以〃?=1.

Xy+X2=-2

（2）由（1）知,3

"2

所以巧巧+x"=%'（芭+工2）=3;

n3

+x3

X；2=（内+42）（工：一司工2+X；）=（N+-V2）—3玉/（N+9）=（12）3-3X（-^）X（-2）=-17.

【专题突破】

一、单选题

1.（2025高一•全国・专题练习）若关于X的方程/+（2〃?+1卜+>=0有两个不相等的实数根，则实数加

的取值范围是（）

AAm<-1BCm>—1

44

C./〃<，且加工0D.in>--S_in^O

44

【答案】B

【分析】由判别式大于。求解即可.

【详解】由题意可得:A=（2m+l|2-W=4/w+l>0,

解得心W,

故选：B

2.（2025高一•全国・专题练习）已知关于x的一元二次方程发-2x7=（）有两个不相等的实数根，则实

数上的取值范围为（）

A.且&HOB.k>-\

C.%>-1且％工0D.k>-\

【答案】C

【分析】由判别式大于0即可求解.

女工0

【详解】由题意可得：

△=4+4々＞0'

解得：且人工0,

故选：C

3.（2025高一上•河北保定・专题练习）若关于工的一元二次方程f+/zr+c=O的两个实数根分别为

5=-2占=4,则抛物线y=/+/*+c的对称轴为直线（）

A.x=\B.x=-l

C.x=2D.x=-2

【答案】A

【分析】根据根与系数的关系求参数，再得出对称轴即可.

【详解】•「，+辰+c=O的两个实数根分别为8=-2七=4,

二抛物线y=/+法+c与X轴的两个交点坐标为（-2,0）,（4,0）,.•.弛物线的对称轴为直线—二产=1.

故选：A.

4（2025高一上•河北保定・专题练习方程f-（，"+6）x+病=（）有两个相等的实数根且满足%+电=—,

则HI的值是（）

A.一2或3B.3C.-2D.-3或2

【答案】C

【分析】根据根与系数的关系及判别式计算求解.

【详解】方程f-（，〃+6"+/=0有两个相等的实数根，

贝lj△=俨+6）~-4M=—3〃广+12〃?+36=-3（〃?-6）（加+2）=0,

解得“=6或帆=-2①，

由韦达定理,4-x,=m+6,xtx2=m~,

又因％+/=中2,则得病_〃一6=0,

解得m=3或〃7=-2②，

综合①②，可得〃?的值为-2.

故选：C.

5.（2025高一上•河北保定・专题练习）已知〃?>0,关于x的一元二次方程（x+D（x-2）-〃?=。的解为

5,王（由〈王），则下列结论正确的是（）

A,X]<-1<2<X2B.-1<Xj<2<x2

C.-1<X）<x2<2D.X1<-l<x2<2

【答案】A

【分析】求出方程的根，再利用不等式的性质比较大小.

2

【详解】方程（x+D（%-2）-m=0化为：x-x-2-m=0,A=l+4（2+m）=9+4m>9,

m.11-J9+4”？1+J9+4小

贝IJ百"-------<-\,x2=--------->2,

所以王<一1<2<七.

故选：A

6（25-26高一上・贵州遵义・阶段练习港々也是一元二次方程/-办+。=0的两个实数根且片+¥=3,

则a的值为（）

A.-1B.3C.一1或3D.1或-3

【答案】A

【分析】利用根与系数关系来求得正确答案.

【详解】依题意，演，七是一元二次方程f-奴+。=。的两个实数根，

所以△=/_4。>0,〃<0或〃>4,

x,+x2=«,x1x2-a,

所以M+¥=（%+/）-2%!%2=a~-2a=3,

解得a=3（舍去）或〃=-l.

故选：A

7.（25-26高一上•广东湛江•阶段练习）一元二次方程（14）9-261=0有两个不相等的实数根，则Z的

取值范围（）

A.k>。B.k<2,且丘1

C.k<2D.k>2且攵工1

【答案】B

【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0和二次项系数不等于0,求解即得

结果.

【详解】•.“=1一攵，〃=-2,c=-l,一元二次方程有两个不相等的实数根，

.•.A=/,2-4ac=（-2）2-4（l-Z;）（-l）>0,解得k<2.

（1-2）是二次项系数，不能为0,

:.k^\Q_k<2.

故选：B.

8.（25-26高一上•广西钦州•开学考试）若实数,且"，〃是方程V—以+5=0的两个根，则代数式

”+言的值为（）

a-\b-\

A.-20B.2（3.2或-20D.2或20

【答案】A

【分析】利用韦达定理可得4+〃=&岫=5,代入变形后的”!+黑，即可求值.

a-1。一1

【详解】因为。，。是方程d-8x+5=0的两个根，

故a+Z?=8,他=5,

b-\a-\(^-l)2+(a-I)22(a+〃)-2a/?+2

则

a-\b-\ab-(a+b)+\ab-(a+b)+\

64-16-10+2

=-20.

5-8+1

故选：A.

9.（25-26高一上•湖北黄石•开学考试）若关于x的一元二次方程3/—6x-4=0的两个实数根为巧和£,

则的值是（）

人］42

3322

A•5B.-5C.1D.--

【答案】B

【分析】本题由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积，然后对所求式子因式分解，整体代换即

可得出结果.

【详解】一元二次方程3/—6x-4=0的两个实数根为演和W,

-64

・•・由根与系数的关系可得西+W=-T=2,,

JJ

11_x（+x2_2_3

$x,x^Xj42.

~3

故选：B.

10.（25-26高一上•浙江•开学考试）已知关于x的方程〃G〃+2）X+2=0有两个不相等的正整数根，

则w的值为（）

A.2B.1C.牛1D.2或1

【答案】B

9

【分析】根据题意因式分解解方程可得工=1或，结合方程有两个不相等的正整数根列式求解即

tn

可.

【详解】因为方程如?-（"z+ZA+Zr。是一元二次方程，

2

则加工0,且（〃a-2）（工-1）=0,解得x=l或工=二，

m

又因为方程后-（〃z+2）x+2=0有两个不相等的正整数根，

则二是正整数，且1,所以切=1.

tnm

故选：B.

11（25-26高一上•浙江•开学考试）已知。，夕是方程丁-7%+8=0的两根，且"万厕（+3夕的值为（

A.1（403-85B.-(403-85V17)

C.95D.V17

【答案】A

22

【分析】设〃=5+3/2,*=+3a2,利用韦达定理计算〃+q,p_q计算即可

LX

【详解】解：设p=，+3.3a2,

2(a+B]/7八2(B-a\八一八、

•••〃+好++-64,p-q=—而，+3(〃-a)(£+a),

夕是方程.a-7x+8=0的两根,a>p,

:・a+0=7,a/3=&a_/3=Q(a+湾-4邓=布,

代入后得P+4=¥+3X49—6X8=¥,

o4

p_q=岑5+3《何7=一呼，

...p=1（403-85VT7）.

故选：A.

二、多选题

12.（25-26高一上•云南保山•阶段练习）已知一元二次方程♦+&+‘•=（）,下列说法正确的有（）

A.awO

B.若x=l是方程的根，则a+〃+c=0

C.若从＞4〃。，则方程有两个不等的实数根

D.若方程有两个不等的实数根分别为内，电，则有m।巧=’,不占=h

aa

【答案】ABC

【分析】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式的关系，韦达定理.

【详解】选项A:根据一元二次方程的定义得,A正确；

选项B:根据一元二次方程的根的定义得〃+〃+c=0,B正确；

选项C：根据一元二次方程根的情况与判别式的关系得A=〃_4ac〉（），一元二次方程有两个不等的实

数根,C正确；

bc

选项D：根据韦达定理得%+%=-巳，V=-,D错误.

a2a

故选：ABC.

13.（25-26高一上•四川内江•开学考试）已知"R,关于1的方程收-2办-3=0有两个不相等的正实

数根与勺，则X；+后可取的值为（）

57

A.2B.yC.-D.4

【答案】BC

【分析】分情况讨论当4=0,。工0时，结合韦达定理与判别式可得。＜-3,再根据韦达定理求解即可.

【详解】当。=0时，显然不合题意；

当。工0时，关于X的方程以2_20¥-3=0有两个不等的正实根X，占，

A>04/+12。>0

则X+W>0,即2>0，解得。<-3,

NX1>0

-->0

所以才+¥=(%+%2)2-2中2=4+3,

（I＜—3，二一二（一2,。），

贝ljA；+X=44—€(2,4).

故选：BC.

14.（23-24高一上•安徽安庆・开学考试）关于1的方程加---2c=0有两个不相等的正实数根.则（）

A.ab>0B.bc>0C.b2+8ac>0D.ac>0

【答案】AC

【分析】根据一元二次方程的根的情况列不等式，由此确定正确答案.

【详解】由于关于'的方程如2一反—2c=0有两个不相等的正实数根，

。工0

A=Z?2+8AC>0"0

h2+8ac>0

所以X)+x2=—>0,所以ab>0，则…，

-2cac<0

.I/,=--->0

a

所以AC选项正确，BD选项错误.

故选：AC

15.（23-24高一上•辽宁沈阳♦阶段练习）已知，中士是关于x的一元二次方程月-26-2k2=0仪＞0）的

两根，则下列说法正确的是（）

A.\+x--2kB.xx=-2k'C.|5-司=2瓜D.-=-2

2t2.I、

【答案】BC

【分析】根据给定条件，利用韦达定理判断AB;借助韦达定理计算判断CD即可.

【详解】由不々是关于x的一元二次方程d-2丘-2左2=0仕＞0）的两根，得百+占=2火,中2=-2/，人错

误，B正确；

2

|x,-x2|=7（-v1+x3）-4X）X3=,4父+8A，=28k,C正确；

Jjj=x；+¥=（芭+W）2»&=m_2=_4即有心产+4.Jl=（）

X

x2Xj中2中2-2k?’2M

解得：-2_6或.=-2+6,D错误.

故选：BC

16.（23・24高一上.广东佛山.开学考试）抛物线产"2+加+。（。*,0是常数，=0）经过（LD,（九0）,

（〃，。）三点，且〃23.下面正确的结论有（）

A.b<0;

B.4ac-b2<4。；

C.当〃=3时，若点（2"）在该抛物线上，则/>1;

D.若关于x的一元二次方程依2+〃X+C=X有两个相等的实数根，贝|JO<〃区;.

【答案】BCD

【分析】根据抛物线经过的点的坐标以及〃之3可判断抛物线开口向下，代入点。」）可得。>0,即可知

A错误；依题意可知抛物线对称轴在直线x=L5的右侧，利用顶点坐标可得4"-"〈船，即B正确；

根据抛物线性质可知（2,。距离对称轴比点（1,1）较近，所以可得,>1,即C正确；根据判别式以及

a+b+c=l可知"c,再由〃之3即可解得0<小<；,可知D正确.

【详解】对于A,图象经过（11），c<0,即抛物线与N轴的负半轴有交点，

如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在（L0）的左侧；

又因为交点（〃，0）且〃之3,所以抛物线与x轴的一个交点一定在（3,0）或（3,0）的右侧，

所以抛物线的开口一定向下，即。<。；

把（1,1）代入），=以2+/»+。可得a+0+c=i,h=\-a-c;

又因为。<0,c<0,所以可得〃>0,即A错误；

对于B,由。<0,b>0,c<0,所以£>。，即方程or?+Zu+c=。的两根的积大于零，艮］〃?〃>0；

a

即可得机>0,所以岁>L5,即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，

4ac-b2

即抛物线的顶点在（1,1）的右侧，所以〉1,由痴〈0可得4加-〃<4々，即B正确；

4a

对于C,由〃>0,当〃=3时,卓力5,所以抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，

所以点（1/）到对称轴的距离大于（2,。到对称轴的距离，

又。<0,抛物线的开口向下，所以距离抛物线对称轴越近的函数值越大，

所以/>1,即C正确；

对于D,将方程加+加+。=不变形成加+（〃-l）x+c=0,

由方程有两个相等的实数根，可得S-1）2-4。。=0,

又（1』）在抛物线>+〃x+c上，可得a+b+c=l,即〃-1二一4一6?;

所以（a+c1-44c=0,gP（«-c）2=O,可得〃=C；

又因为。〃,0）,（〃,0）在抛物线上，即小，〃为方程♦+必+。=0的两个根，

1

所以Wc,即，?=,

ani

又因为,即,23,所以可得0<族；，即D正确.

/〃3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟练掌握二次函数图象和性质，根据已知条件判断得出抛

物线开口方向向下即。<0,再对其他选项进行判断.

17.（23-24高一上•山东济南•开学考试）抛物线广加+区+《〃工0）的部分图象如图所示，与1轴交于

（0,-1）,对称轴为x=l,则（）

A.abc>0

B.若（-2,%心丹），（3M都在该抛物线上，则为<%<N

C.对于任意的实数加，都有讯加+b）1+b

D.方程辰2+加+d=A（k>0,k为常数）所有根的和为4

【答案】AC

【分析】根据函数图象可得〃的符号及。，再根据对称轴可求出力，即可判断A;根据二次函数的性质

即可判断B;将人用〃表示，作差化简即可判断C;方程辰*云+卡攵的解是函数产依+bx+c|与直线

y=A的交点的横坐标，结合函数y=|"2+加+d的图象即可判断D.

【详解】因为二次函数的部分图象与)'轴交于点(0,-1)，对称轴为X=1,开口向上，

所以4>0,c=-l,-/=l,所以〃=-2"0,

所以而c=2/>0,故A正确；

当“<1时，)'随工的增大而减小，

因为二次函数的图象关于工=1对称，

所以x=3时与工=-1时所对应的函数值相等，

又因2<,所以：故B错误；

因为b=-2a,a>0,

m(am+b)-(a+b)=m(arn2a)=a(/??2-2m+1)=«(w?-1>0,

所以切，故C正确；

方程向+加+c卜后的解是函数广向+加+d与直线y=Z的交点的横坐标，

作出函数)，=|/+云+c|的图象，如图所示：

由图可知，两函数交点的个数可能为2个或3个或4个,

因为抛物线)=4/+区+《4=0)的图象关于x=l对称，

当交点为2个时，方程所有根之和为2,

当交点为3个时，方程所有根之和为3,

当交点为4个时，方程所有根之和为4，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：熟练的掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键.

三、填空题

18.（25-26高一上•四川自贡•开学考试）已知一元二次方程f-3x+l=0的两根为司心，则工：-5%-2步的

值为.

【答案】-7

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出工；-3内=-1,3+七=3,再整体代入到

x；-5x「2々中，即可求解.

【详解】一元二次方程/-3x+l=0的两根为与勺，

:.x^-3xt=-1,x}+x2=3,

x；-5x,-2X2=x：-3x）-2.V]-2x2=x：-3xf-2（与4-）=-1-2x3=-7,

故答案为：一7.

19.（25-26高一上•全国•课前预习）若股1|+而^=0,且一元二次方程叱+办+5=0有实数根，则左

的取值范围是.

【答案】心4且人工0

【分析】由题设易得〃=1，。=4，进而结合一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】由|力一1|+&^=0,

贝1|=0,，^4=0,即〃=1,〃=4,

即一元二次方程自2+4x+l=0有实数根，

所以]=16.4心。，解得“"且

故答案为：心4且攵工0.

20.（25-26高一上♦江西•开学考试）若一元二次方程——2xT=o的两根分别为,则

2A；-4^+（x）+l）（x,+l）=.

【答案】4

【分析】利用韦达定理可得结果.

【详解】由一元二次方程——2x-1=0的两根分别为％,占，可得片-2Al-1=0,

由韦达定理知:X]+彳2=2,x}x2=-1,

2

2x：—4玉+（耳+1）（x2+1）=2（x）-2x））+x}x2+%+.q+1=2+2—1+1=4.

故答案为：4.

21.（25-26高一上•河南郑州•阶段练习）已知一元二次方程/一5工-2=0的两个实数根为。，彼，则

£。+a"=.

【答案】-1。

【分析】利用韦达定理列式计算即得.

【详解】依题意，。+/=5,3=一2,所以〃夕+42=切（。+£）=—10.

故答案为：TO

22.（25-26高一上・河南南阳期末）已知方程/一34+1=0的两根为人"2，则:+§=.

X2X\

【答案】7

【分析】利用韦达定理求解即可.

【详解】方程炉-31+1=0的两根为石明,

由韦达定理得菁+*2=3,xtx2=1（

<+%2_（斗+占）2-2多々_9-2

所以W=7.

故答案为：7.

23.（25-26高一下•上海期中）已知关于x的方程/+加+4=0的两个根分别是。、P，若|。那=4,

则实数用的值为.

【答案】±40或0

【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可.

【详解】由题意得。+尸=-切，的=4,

当△=”-16之0时,。、△均为实数，则|。-£|=4,即J（a+°f—4a£=4,

01，（一加『一4x4=4,解得加=±4&,符合题意；

当△=〃/—16<0时，。、夕均为虚数，贝”。一£|=4,即J4妙一（a+夕丫=4,

即,4x4-（T〃y=4,解得〃7=。，符合题意；

则实数用的值为±4&或0.

故答案为：±472或0.

24.（25-26高一上•广东深圳•开学考试）已知实数〃?、x满足：（/明-2）（，％-2）=4.

①若内=9,则超=；

②若〃，、巧、占为正整数，则符合条件的有序实数对（不W）有个•

【答案】187

【分析】把吁;，$二9代入求值即可；再由题意知：（/nr,-2）,（吵-2）均为整数，〃巧21,〃叫21,

呐-22-1,〃%-22-1,贝I]4=lx4=2x2=4xl,再分三种情况讨论即可.

【详解】①当/〃=（,X=9时，《、9一2卜6勺-2）=4,解得：X2=18；

②当〃，演，々为正整数时，

（〃西一2）,（"20-2）均为整数,wu）>lsm2>\fnvcy-2>-\?nix2-2>-\?而4=]x4=2x2=4x],

叫-2=1叫一2=2[“lx1-2=4

□yOV\

fnx2-2=4[/nr2-2=2[mx?-2=1'

/叫=3/叫=4mxy=6

么或1d或)?

nix^4=6inx-*,•=41tnx14=3

nvc.=3

当・々时，机=1时，斗=3x=6；m=3时，Xj=1x=2

niXy=622

故(再㈤为(3,6),(1,2),共2个;

rnx.=4,,

当,好=4时，〃I时，百=4，％=4;吁2时，、=2，々=2,〃=4时，再印，x2f

故（再㈤为（4,4）,（2,2）,（1,1）,共3个;

|nvc.=6,

当'2时，加=1时，％=6,&=3;加=3时，％=2,七=1,

nvCy=3

故（x，々）为（6,3）,（2,1）,共2个；

综上所述：共有2+3+2=7个.

故答案为：18;7.

四、解答题

25.（25-26高一上•全国•课前预习）已知关于工的一元二次方程/+（2〃?+3卜+>=0有两根。，P

（1）求tn的取值范围；

⑵若。+万+3=。.求m的值.

【答案】

（2）3.

【分析】（1）利用根的判别式求解即可；

（2）根据根与系数的关系及题设求解即可.

3

【详解】（1）由题意知，△=（2m+3）2-4'”?八0,解得：,

3

即团的取值范围为〃此-不

4

（2）由根与系数的关系得：。+尸=-（2〃，+3）,aP=m2,

。+£+明=0/.-（2m+3）4-/w2=0,

3

解得：叫=T，叫=3，由（1）知加之一：，

所以吗=T应舍去，则加的值为3.

26.（25-26高一上•上海浦东新•期末）已知k是常数，设。、是二次方程f-2依+&+20=0的两个实根.

⑴求a+〃-2的的值；

（2）当川+方取到最小值时,求*的值.

【答案】（II。

⑵~4

【分析】（。因为方程有两个实根，所以,求出上的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和

两根之积，代入即可求值.

⑵利用韦达定理，把相+歹表示或关于&的二次函数，即求出二次函数取最小值时攵的值.

【详解】（1）因为f—2奴+2+20=0有两个根，

所以。（必^伏+20）20,

k2-k-20>0,

即化-5）（4+4）之0,解得—5或—T,

由韦达定理，得。+6=2攵,〃=八20,

0+/-2^=2"2（攵+20）=-40

（2）1+/2=（a+〃）2-2M=（22）'-2（攵+20）=4攵2一2人一40

设抛物线方程y=4公一2A-40，定义域为伙U25或2KY},

开口向上，抛物线的对称轴（:，

当时，函数严格减函数，即在「？，川上是严格减函数，

4时，函数为严格增函数，即在［5,+8）上是严格增函数，

当&=~4时，y取最小值32即修+22取最小值.

27.（25-26高一上・广东广州•阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与

订正》中提出一元二次方程尔+云+c=0（"0方-4比之0）的两根3,占有如下的关系（韦达定理）：

bc

耳+W，中叱”

材料2：如果实数〃?，〃满足济-〃2-1=0,712f7=0,且〃y〃，则可利用根的定理构造一元二次方程

X2-A-1=0,然后将〃5看作是此方程的两个不相等实数根.

请根据上述材料解决下面问题：

（1）①已知一元二次方程2/-3x-5=O的两根分别为内，勺，则K+/=,入「超=.

②已知实数。，力满足：〃+4。-3=0,b-+4b-3=0（a^b）,贝|］：+\=

（2）已知实数"入几/满足：m2-4m=l1+r,n2-4n=\\+t,B.0<m<n,求（"?+D（〃+D的取值范围;

⑶设实数4。分别满足3/+19a+12=0,⑵、19〃+3=0,且油工1,求3而+射+3的值

D

【答案】⑴①L5,-2.5;②?

⑵5〈(帆+1)(〃+1)<9；

(3)1

【分析】(1)结合韦达定理可直接填空.

(2)先根据一元二次方程有两个不等实根，可求/的取值范围，再结合韦达定理，可求(〃?+1)(〃+1)的

取值范围.

(3)先把“，1转化成方程次2+]9、+12=0的两解，再结合韦达定理可求值.

0

【详解】(1)①一元二次方程-3x-5=0的两根分别为玉，W,

/.X)+x,=1.5,玉•々=-2.5；

②实数满足：/+4〃一3=0,b2+4b-3=0(a^b),

是方程f+4x-3=0的解，

：.a+b=-4,ab=-3,

11a+b4

/.--1--=------=—.

abab3

(2)实数"?，〃，/满足：m2-4m=ll+/,n2-4w=ll+r,

•.皿〃是方程d-41j=0的解.

/.m+n=4,nm=-\\-t.

(m+1)(〃+1)=mn+m+n+1=—z—6.

,/0</n</z,

/.A=16-4xlx(-l1-r)>0,-11-/>0,

.,.—15</<—11,

/.5<-/-6<9,

.,.5<(m+l)(w+l)<9.

(3)因为12〃2+19H3=O,.-.3(1)2+19xl+12=0.

/.cib1,

\是方程3/+19x+12=0的两解.

b

/.3ab=-\9b-3,a=4b,

3ab+5a+3-\9b-3+20b+3,

，----------=----------------=1.

bb

28.(25-26高一上・吉林•阶段练习)已知关于x的方程3〃>+3px+4g=()(其中〃z,〃,“均为实数)有两

个不等实根苦，看(演<9).

⑴若〃=夕=1,求，