苏科版八年级数学下册 二次根式的概念 每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

11.1二次根式的概念第1课时教学设计

教学分析!

教学内容以解析

1.教学内容

本课选自苏科版第H^一章《二次根式》11.1第1课时，核心内容是①二次根式的定义代5K））；

②二次根式存在的充要条件——被开方数非负；③二次根式的基本性质（0）2=4,（e0）；④会杈据“被开

方数K）、分母视”判定含根式代数式的取值范围。

2.内容解析

本节承接平方根概念，首先通过“正方形对角线、圆半径、位移公式”等现实情境，让学生发现含

根号式的共同点——根号内量皆不小于0,由此自然引出“二次根式”定义：随后借助列举判断活动帮

助学生形成“形式上含厂、内容上非负“双重标准，实现概念外延的准确把握。接着通过典型例题“求

式子有意义的X范围”巩固“被开方数知”这一本质属性，并渗透分式、零指数等已有知识的整合应用。

最后用基本性质"4）2=4归结”根式平方还本”规律，既为后续根式化简运算奠基，又凸显根式双重非负

的逻辑闭环。整体设计贯穿“情境一抽象一应用一反思”四环，突出概念生成价值与符号意义。

教学目标与解析

1.教学目标

•了解二次根式的概念，发展抽象能力。

•理解二次根式中被开方数非负性，会求使形如厂的式子在实数范围内有意义时字母的取值范围

2.目标解析

・能口述或书写“形如夜（生0）介0的式子叫作二次根式”：

•能指出6,4巧是二次根式，而我，口不是。

­会建立“不等式被开方数K）''求字母范围；

•至少能正确解决、/75、A/PV”等典型问题，并解释理由。

3.重点难点

♦教学重点：二次根式的判定标准与基本性质（后）2=/

•教学难点：将“被开方数非负”转化为不等式求解r并与分式、指数等条件综合考虑。

学情分析

学生已学习平方根、实数及不等式，能理解“一个数的平方等于给定非负数''之含义，但对“形式条

件与存在条件”的区分不够敏感；对含字母的不等式求解较熟练，能处理一次、简单二次不等式。对

“根式平方还本''的符号约束尚无意识，易误写(«)2=±/因此教学应通过多元示例强化“非负”关健词,

利用对比、反例与数形结合帮助学生克服"符号忽视''和"范围遗漏''两大难点，顺利过渡到后续根式运

算的深入学习。

教学过程设计

新课3入

创设情景，引入新课

问题情境：

知识回顾

如果x2=a(a20)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.

。的平方根是0.负数没有平方根.

求一个数的平方根的运算叫作开平方.

【设计意图】用熟悉的生活情境唤起已有“开平方”经验，暴露•'根号表达式的共性”，激活旧知、指向

新知，明确本课学习方向。

新知探究

探究点：二次根式的概念

1.尝试交流

用带有根号的式子表示卜.列问题中的数量.

(I)边长为1的正方形对角线的长；

(2)面积为S的圆的半径；

(3)直角边长分别为a、b的直角三角形斜边的长；

(4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)满足关系式h=1gt2,试用h表示t(g

的值取10m/s2).

解：⑴斤甲=夜

(2)VS=7tr2,r=R

(3)c=y/a2+b2

(4)Vh=^gt2=1x!0t2=5t2,/.t=Jj

教师提问：V2,Jl，6这些式子有什么共同特征？

学生思考：这些式子的共同特征是：

2.知识归纳

一般地，我们把形如G(a>0)的式子叫作二次根式，a可以是一个数，也可以是一个代数式.

当a是一个非负数时，々表示a的算术平方根.

二次根式是开平方运算的一种表达式.

3.讨论交流

教师提问：二次根式有意义的条件是什么？

学生思考：被开方数是非负数，即二次根式々中心0.；

教师提问：当*0时，，«可能为负数吗？为什么？

学生思考：当aX)时，«不可能为负数，因为非负数的算术平方根一定为非负数.

教师总结：二次根式有意义的条件：a><).

二次根式双重非负性：a>0,如0.

4.典例分析

例1求使下列各式有意义的x的取值范围.

1.2Vx2+5

解：⑴要使百3有意义，必须x-320,即疙3：

(2)不论x取何实数，总有x2N),X2+5>5,二次根式，EE在实数范围内总有意义.

变式1要使注有意义，x应是怎样的实数？

x-2

解：由题目条件，得：3-x>0①x-2视②，

解①得：x<3,解②得：xW2,

・•・不等式组的解集为：XW3且咫2.

・•・当烂3且x#2时，式子耳在实数范围内有意义.

x-2

【方法总结】求使代数式有意义的字母的取值范围时，列不等式(组)的主要依据如下：

(1)二次根式的被开方数大于等于0；

⑵分式的分母不为0;

(3)零指数耗与负整数指数塞的底数不等于0.

变式2已知>a-b-2+，a+b-2=0,求a,b的值.

解：*/标位=0,

V«-/>-2>0，y/a+b-2>0,

a—b—2=0,a+b—2=0,

解得a=2,b=O.

故a,b的值分别是2和0.

5.讨论探究

教师提问：友的意义是什么？(或『等于几？

学生思考：&是2的算术平方根.根据算术平方根的意义，(近『等于2.

类似地，(a。=_4_,(V5)2=_5_,(V7)2=_7_...

教师提问：观察上述等式的两边，你得到什么启示？

学生思考：根据算术平方根的意义，可知：(a『=a(aK)).

即一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.

教师总结：二次根式的基本性质：(a『=a(aK)).

6.典例分析

例2(1)(>/3)2；(2)(J)；(3)(375)2.

解：(1)(75)2=3；

⑵(S=i；

(3)(30=32X(近『=9x2=18.

【设计意图】让学生在“类比一运算一验证”中掌握性质，巩固对“平力”与“开平力”互逆关系的认识。

巩固练习

1.下列各式中，哪些是二次根式？

(1)72；(2)73；⑶痴(mWO)；

(4)』(m,n异号，n。)；(5)JN+1,；

(6)V2;(7)J|a-l|；⑻G(aWO).

解：⑴(3)⑸⑺是二次根式.

【方法总结】判断二次根式的方法：

(1)形式上：含有二次根号“1％注意三次根号“厂”等都不可以；

⑵内容上：被开方数必须是非负数，注意被开方数可以是数、字母或含有字母的式子.

2.求使下列各式有意义的x的取值范围.

(1)AZM；(2)V2X+5；(3)/T5X；^)4X^2.

解：⑴要使有意义，必须x—4次，即x为；

(2)要使在R5有意义，必须2x+5X),即这一*

⑶要使江不有意义，必须1-5XN0,即xg；

(4)因为所以/+2三2,所以x为任意实数.

3.计算：

⑴信)2；(2)(2V5)2；(3)(-275)2；(4)(y)".

R2a

解：(1)崎)=*

(2)(2V5)2=22x(V5)2=4x5=20；

(3)(-2>/3)2=(-2)2X(V3)2=4X3=12：

能力提升

1.若式子焉在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

A.x>-lB.乂之一1且乂川C.x>—l且x知D.x和

解：C

2.若y=K5+H+3,则xY的值为

解：8

3.若|a-V5|+VTT+(c-M)2=0,则.

解：2

【知识总结】三类常见的非负数：

①《；②同；③的.

若几个非负数的和等于0,

则这几个非负数均为0.

4.当a取什么值时，代数式V^TT+1的取值最小？并求出这个最小值.

解：•・•V2^H>0,

・,•当a=-g时，病TT有最小值0.

则0^T+I的最小值是I.

【设计意图】巩固练习紧扣”形式上含厂、内容上被开方数非负''这一判断标准，以及二次根式的基

本性质（々尸=。；〃山0）,通过“判断一求域一运算”三层梯度练习，帮助学生稳固核心概念，夯实基础技

能。。

课堂小结

-定义：形如标（〃2"）的式子叫作二次根式

11.1二次根式的概念-一有意义的条件二开方数是非负数

二次根式双更非负性：

-二次根式的基本性质：（vZ）2=〃（〃20）

板H设计

主板书副板书

11.1二次根式的概念第1课怔例题

探究点二次根式的概念

课堂小结学生练习板演

作业布置

1.必做题：习题11.1第1、2题。

2.探究性作业：习题11.1第3题。

--------------------教学反思

11.1二次根式的概念第2课时教学设计

教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节课选自苏科版八年级下册数学第十一章《二次根式》11』二次根式的概念——第2课时《二

次根式的性质》，核心知识点为二次根式的基本性质m=口心（0口1＜）；公式（代尸=4«仑0）与后=口。口

的区别与联系；利用性质化简、求值与含参条件讨论。

2.内容解析

本课时立足于平方与平方艰互逆关系的再认识。首先，通过〃=2;后=5；r=l；（-2）2=4等直观填空,

暴露学生“开方必得正数”的经验，引出“若被开方数本身带符号，结果需用绝对值''这一冲突。接着教

师归纳后=入口，并用“当e0取当。<0取阐释绝对值含义，完成概念形成。随后选孜典例，

示范”去根一写绝对值一再去绝对值“三步化简法，突出符号讨论。在例4中引入“要使等式成立，。应

满足什么条件“，让学生体悟性质在含参问题中的判定功能。通过“（々）2与后谁恒相等？”的分组辩

论，学生能准确区分：前者先求非负平方根再平方，始终等于。（前提介0）：后者先平方再开方，结

果恒非负为6/DO练习层次由“对错判断一直接计算一找错一参数讨论一区间求值”递进，既巩固计算

技能，又发展符号意识与条件意识。最终学生能够在复杂式子化简、值域求解中自如调用由=口。口，

达成“提升运算能力”的目标。

教学目标与解析

1.教学目标

•理解二次根式的性质，会运用二次根式的性质化简二次根式，提升运算能力。

•能够区分并正确应用（«）2=a（介0）与m进行二次根式的化简与计算。

2.目标解析

•能口述性质；能判断给定a的取值时用的值。

・完成课本习题及变式练习中的化简，正确率290%,且能说出“先根后平方”与“先平方后根”的次序差

别。

•在含参等式、值域题中独立列出“当……时”的讨论并给出结果：课堂测试题（能力提升1、2）得分

>80%o

3.重点难点

•教学重点：性质G=口。口的理解及其标准化简步骤。

•教学难点：区分（G尸与小的本质区别；在含参数问题中结合不等式条件正确去绝对值。

学情分析

学生已掌握平方、平方根及绝对值的基础概念，也会进行简单根式四则。但1.对“开方结果恒非

负”与“被开方数本身带符号''之间的矛盾意识不足，易把J由直接写成-3：2.绝对值符号的去留与条

件讨论经验匮乏，导致化简过程中漏讨论。的取值；逻辑语言表达能力较弱，难以用"当……时’’完整

呈现运算过程。因此教学需通过错例、对比、分步演示强化符号意识：借助数轴、绝对值意义帮助学

生建立“先讨论、再去绝对值”的思维习惯，并通过层级练习巩固迁移能力。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题情境：

填空：

V?=2,V?=5,/10I=10；

J(-2)2=_2_,J(-5)2=_5_,J(-1O)2=_!()_,

VoI=_o..

教师提问：你有什么发现？

学生思考，教师总结：

o当心0时,

o当〃<0时，

o当”=0时，Va^=0o

【设计意图】通过“数值替换一现象观察T概念抽象”的阶梯式活动，让学生先经历“猜想一验证“，再

由绝对值的定义加固理解，突破“，混为何是二。口”的认知难点。

新知探究

探究点：二次根式的性质

1.新知探索

教师提问：根据绝对值的意义：

当心0时、|a|=；当a<0时，|a|=.

学生思考：当心0时，|a|=_a_：当aVO时，|a|=_-a_.

教师总结：

d*J〃3°)

1―a(a<0)

即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

2.典例分析

例3计算：

2

(1)(VT5);(2)Jm-l)~；(3)后(a川).

解：(1)(VT5)2=|-2.5|=2.5；

⑵J(n-l)2=|7t-l|=7i-1；

(3)当QO时，V^?=J(3a)2=3a.

【方法总结】运用公式"=a化简的一般步骤：

①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；

②去掉绝对值符号，根据绝对值的性质进行化简.

例4要使下列各式成立，a应取什么值？

(1)V^=(a)2；(2)V?=­a.

解：(1)要使必=(夜)2成立，则aN)；

(2)要使a成立，则把0.

教师提问：(代猿与旧一定相等吗？

变式如果J(l—2a)2=2a—1,那么a的取值范围是

解：

3.归纳总结

(«)2与小有哪些区别和联系？

表达式(Va)2=a(a^O)x/a^=\a|

表示的意义不同表示。(020)的算术平方根的平方表示。的平方的算术平方根

取值范围不同0为非负数，即“三0。取一切实数

先求非负实数〃的算术平方根，先求实数”的平方，

区运算顺序不同

别然后再进行平方运算再求砂的算术平方根

Va2=|a|=

运算结果不同(Va)2=tf(«^O)(a(aZ0)\

l-a(a<0))

(“尸(020)与必的结果均为非负数，

联系

当020时，\@=(近)]

【设计意图】通过多值代入、条件讨论与表格对照，让学生清晰区分两公式在“意义、范围、顺序、结

果''上的差异，避免今后在化简和解题中的混淆。

.巩固练^

1.下列各式是否成立？

⑴府W；⑵

(3)J(3-4)2=3-4；(4)V32+42=3+4.

解：(1)成立，其余不成立

2.计算:

(1)后；(2)J(-6)2；(3)J(­I)2：(4)后.

解：⑴行=|5|=5；

⑵J(-67=|-6|=6；

⑶J(T=L鸿;

(4)V?=J(a2)2=|a2|=a2.

3.指出下列运算过程中的错误.

由(1)』—)2.

两边开平方，得J(；2'=J(2一冰

所以;2=2—%即；=—今

解:](2_/=咦|=_(2一沁.

能力提升

1.x,y为实数，且yVJ2—x+Jx—2+3,

化简：|3—y|—Jy2—8y+16=___.

解：:式子yv[2—x+Jx—2+3要有意义,

2—x>0,x—2>0,x=2,y<3»

|3—yI—Jy2—8y+16

=3-