浙教版八年级数学上册《等腰三角形的判定定理》同步练习题（带答案解析）

浙教版八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》同步练习题（带答案

解析）

一、选择题

1.如图，等边三角形ABCAB=6,D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM,将线段CM绕

点C逆时针方向旋转60。得到CN,连接ND,则ND+CN的最小值为（）

A.3B.2A/3C.3A/3D.6

2.如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE14C于点E,Q为BC延长线上一

点，当力P=CQ时，PQ交AC于点D,则DE的长为（）

A.1B.iC.1D.不能确定

3.如图，等边△48。和等边△8CE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F,下列结论中正确的

个数是（）

①△48E三AOBC；②BF平分4AFC；@AF=DF+BF；@^AFD=60°

A.1B.2C.3D.4

4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,下列结论错误的是（）

B

D

O

ACE

A.AD=BEB.ZDOE=60°C.DE=DPD.PQ/7AE

5.如图等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点D,点P是BA延长线上一点，点O

是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：®ZAPO+ZDCO=30°；©△OPC是等边三角形；③AC

=AO+AP；@SAABC=S四边形AOCP，其中正确的个数是（）

6.如图ZMON=30。，在0M上截取。4=V3.过点必作&B11OM,交ON于点斗，以点当为圆心，

当。为半径画弧，交。用于点儿；过点上作，0M,交。、于点%,以点约为圆心，B?。为半径画

弧，交0M于点心；按此规律，所得线段42022B2022的长等于（）

7.如图，点P,Q,R分别在等边△ABC的三边上，且AP=BQ=CR,过点P,Q,R分别作BC,

CA,AB边的垂线，得到△DEF.若要求4DEF的面积，则只需知道（）

A.AB的长B.DP的长C.BP的长D.AP的长

8.如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点BP=AQ=4QD=3

在BD上有一动点E则PE+QE的最小值为（)

A.7B.8C.10D.12

二填空题

9.如图的5个三角形中均有48=AC则经过三角形的一个顶点的一条直线不熊修将这个三角形

分成两个小等腰三角形的是（填序号）.

10.如图^BOC=60°点A是BO延长线上的一点OA=10cm动点P从点A出发沿AB以2cm/s

的速度移动动点Q从点O出发沿OC以lcm/s的速度移动如果点PQ同时出发用t（s）表示

移动的时间当1=时APOQ是等腰三角形.

11.如图在中zC=90°zF=30°BC=6D为48的中点P为BC上一动点连接

APDP则力P+0P的最小值是.

12.如图△ABC为等边三角形点D与点C关于直线AB对称EF分别是边BC和AC上的点

BE=CFAE与BF交于点G.DG交AB于点H.下列四个结论中：①△ABE丝4BCF②AG+BG

=DG③HG+GE=GF④aAHF为等边三角形.所有正确结论的序号是.

DA

13.在△ABC中ZA=600点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点分别连结BP和PQ把

△ABC分割成三个三角形若分割成的这三个三角形都是等腰三角形则NABC的度数可以

是.

14.如图在△/1BC中41cB=30。AB=4高CH=6.作点H关于ACBC的对称

点DE连接OE交4c于点P交BC于点Q连接HOHPHQHE.下列结论：

@^DCE=60°@PQ=3③五边形A8EC0的面积是24④△PQH的周长为6.其中正确结

论是.（填写序号）

三综合题

15.已知：在等边△4BC中点E是边所在直线上的一个动点（E与AB两点均不重合）点、D在CB

的延长线上且EO=EC.

（1）如图①当E是边的中点时求证：AE=BD

（2）如图②当E是线段边上任意一点时（1）中的结论是否一定成立？请说明理由

（3）若点E是线段48的延长线上任一点ED=ECAE=2AC=1求CD的长.

16.阅读下列材料解答问题：

定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与^BCM（如图I）如果△ABM与^BCM均为等腰

三角形那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.

图1图2图3

(1)如图1己知△ABC中AB=AC,ABAC=36°BM为△ABC的完美分割线且CM<4M

则乙C=°乙4MB=°

（2）如图2已知△ABC中4B=AC,^BAC=108°,AC=CN求证：AN为^ABC的完美

分割线

（3）如图3已知△ABC是一等腰三角形纸片AB=ACAN是它的一条完美分割线且8N>

NC将△ACN沿直线AN折叠后点C落在点G处力6交BN于点M.求证：BM=CrV.

17.概念学习

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角那么称这两个三角形互为“等角

三角形

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交顶点与交点之间的线段把这个三

角形分割成两个小三角形如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形另一个与原来三角形是

”等角三角形”我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线

（1）理解概念

如图1在中Z.ACB=90°CDLAB请写出图中两对“等角三角形”

（2）概念应用

如图2在△A8C中CO为角平分线乙4=40。48=60。.

求证：CO为△ABC的等角分割线.

（3）在△4BC中乙4=42，CD是A/IBC的等角分割线直接写出4cB的度数.

18.综合与实践:

已知等腰三角形纸片ABC中AB=ACNBAC=36。.现要将其剪成三张小纸片使每张小纸

片都是等腰三角形（不能有剩余）.下面是小文借助尺规解决这一问题的过程请阅读后完成相应任

作法：如图1所示

①分别作ABAC的垂直平分线交于点P

②连接PAPBPC.

结论：沿线段PAPBPC剪开即可得到三个等腰三角形

理由：•・•点P在线段AB的垂直平分线上

・,.....（依据）.

同理PA=PC.

，PA=PB=PC.

/.△PAB△PBCAPAC都是等腰三角形

任务：

（1）上述过程中横线上的结论为括号中的依据

为.

（2）受小文的启发同学们想到另一种思路：如图2以B为圆心BC长为半径画弧交AC于

点D交AB于点E.在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线也可解

决问题！请在图2中画出一种裁剪方案直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数.

（3）如图3等腰三角形纸片ABC中AB=ACZBAC=1080请从AB两题中任选一题作

答我选择_______________________________________________________________________________

题.

A.请在图3中设计出一种裁剪方案将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图保

留作图痕迹不写作法说明裁剪线）.

B.请在图3中设计出一种裁剪方案将该三角形纸片分成四个等腰三角形且四个三角形互不全

等（要求：尺规作图保留作图痕迹不写作法说明裁剪线）.

19.如图已知点D是等边三角形4BC中BC边所在直线上的点连接4D过点D作4ADF=60。DF

与乙4cB的邻补角的平分线交于点F.

图①图②

（1）如图①当点D在线段BC上时过点D作DE||AC且交4B于点E.求证：BD=BE

（2）如图①在（1）的条件下求证：BC=CD+CF

（3）如图②当点D在线段8c的延长线上时（2）中线段BCCDCF之间的数量关系式还成

立吗？若成立请加以证明若不成立请写出线段BCCDCF之间新的数量关系式并说明理

由.

20.在边长为8的等边三角形ABC中点Q是BC上一点点P是AB上一动点点P以1个单位

每秒的速度从点A向点B移动设运动时间为1秒.

图1图2图3

（1）如图1若BQ=6当t取何值时PQ//AC?

（2）若点P从点A向点B运动同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动当t为

何值时△入「（？为等边三角形（在图2中画出示意图）.

（3）如图3将边长为AB=8的等边三角形ABC变换为ABAC为腰BC为底的等腰三角

形且4B=4C=8BC=6点P运动到AB中点处静止后点MN分别为BCAC上动点

点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动当

△BPM△CNM全等时直接写出a的值.

参考答案解析

1.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：如图当点M与A重合时点N与点B重合当点M与D重合时点N与点

P重合

・••点N在线段BP上运动

•・•△PDC是等边三角形点D是等边三角形ABC边BC的中点

・•・BD=DC=PD=PCZBCP=60°

.,.ZCBP=30°ZBPC=90°

作点D关于直线BP的对称点E连接CE与BP的交点就是DN+CN最小的位置且最小值为EC

连接BEED

・•・ZCBP=ZEBP=30°△BDE是等边三角形ZCBE=60°

ABD=DC=DE

AZBEC=90°ZBCE=30°

BC=6

.\BE=3CE=3V3

「•DN+CN最小伯.为3遍.

故答案为：C.

【分析】当点M与A重合时点N与点B重合当点M与D重合时点N与点P重合则点N在

线段BP上运动根据等边三角形的性质可得BD=DC=PD=PCZBCP=60°则NCBP=30。

ZBPC=90°作点D关于直线BP的对称点E连接CE与BP的交点就是DN+CN最小的位置且

最小值为EC连接BEEDMBD=DC=DE然后求出BECE的值据此求解.

2.【答案】B

【知识点】平行线的性质等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答】解：如图过点P作PF〃BC交AC于点F

•・•△ABC是等边三角形ZB=ZACB=60°

VPF/7BC

・•・ZPFD=ZQCDZAPF=ZB=60°ZAFP=ZACB=60°

AZAFP=ZAPF=60°

.,・△APF是等边三角形

，AP二AF=PF

VPE1AC

AAE=EF

VAP=PFAP=CQ

APF=CQ

在APFD与4QCD中

VZPFD=ZQCDZPDF=ZQDCPF=CQ

/.△PFD^AQCD(AAS)

AFD=CD

AEF+FD=AE+CD

.,.DE=AE+CD=1AC=1

故答案为：B.

【分析】过点P作PF〃BC交AC于点F由等功三角形的性质得NB二NACB=60。由平行线的性

质得NPFD=NQCDZAPF=ZB=60°ZAFP=ZACB=60°推出AAPF是等边三角形得

AP=AF=PF根据等边三角形的三线合一得AE=EF从而用AAS判断出△PFD0Z\QCD得FD=CD

从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.

3.【答案】D

【知识点】三角形全等及其性质三角形全等的判定等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：•'.△ABD和ABCE是等边三角形

：.BE=BCAB=DBZ-ABD=Z.EBC=60°

'：CABD+"BE=乙ABE乙DBE+UBE=+乙CDB

J.LABE=乙DBC

在与△OBC中

AB=DB

乙ABE=乙DBC

BE=BC

A△ABE三△OBC(SAS)

：.LEAB=乙CDB

*：LAPC=LADP+LDAF=^ADB+乙BDF+LDAF

C.LAFC=/.EAB4-ADAF+乙ADB=120°

：,LAFD=60°故①④符合题意

/E△力BK与尸1卜

过B作8GA.AFBH1CD

：.LAGB=乙DHB=90°

在aABG与ADBH中

Z.AGB=乙DHB

乙GAB=乙HDB

AB=DB

/.△ABG三408H(44S)

:・BG=BH

*：BG±AFBH±CD

・・・BF平分乙4"C故②符合题意

9：LABD=乙EBC=60°

J.LDBE=180°-乙ABD-Z-CBE=180°-60°-60°=60°

在ZL4BK与4OB川

(^KAB=乙JDB

AB=DB

{Z.ABD=乙DBJ

三ND8/G4SA)

*：AK=DJBK=BJ

AK+BK=DJ+BJ

在线段凡4上截取FM=FB

;由②的证明可知乙4尸8=CFB=60°

尸是等边三角形

：,MB=MF=FB

又不£MBF=乙ABD=60°

C.LABM=乙DBF

又FB=DB,MB=FB

“ABM*DBF

,AM=DF,

：.AF=AM+MF=DF+BF

・•.③符合题意

故答案为：D

【分析】利用等边三角形的性质全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。

4.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-SAS三角形全等的判定-ASA

【解析】【解答】解：•••△ABC和4CDE是等边三角形

AAC=BCCD=CEZACB=ZDCE=60°

ZBCD=60°ZACD=ZBCE=120°

在AACD和^BCE中

(AC=BC

l^ACD=乙BCE

(CD=CE

・•・△ACD^ABCE(SAS)

AAD=BEZCAD=ZCBE故选项A不合题意

ZDOE=ZDAC+ZBEC

AZDOE=ZCBE+ZBEC=ZACB=60°故选项B不合题意

在AACP和^BCQ中

/-CAD=乙CBE

AC=BC

Z-ACB=乙BCD=60°

/.△ACP^ABCQ(ASA)

APC=CQ

又・・・/BCD=60。

•••△CPQ是等边三角形

AZCPQ=60°

AZCPQ=ZACB

.,.PQ〃AE故选项D不合题意.

故答案为：C.

【分析】根据等边三角形的性质得AC=BCCD=CEZACB=ZDCE=60°进而根据平角的定义

可得NBCD=60。ZACD=ZBCE=120°用SAS判断出△ACD^ABCE根据全等三角形的性质

得AD=BEZCAD=ZCBE进而得NDOE=ZDAC+ZBEC=ZCBE+ZBEC=ZACB=60°用

ASA判断出△ACP^ABCQ根据全等三角形的性质得PC=CQ易得△CPQ是等边三角形根据等

边三角形的性质得NCPQ=NACB=60。进而根据内错角相等两直线平行得PQ〃AE从而即可一一

判断得出答案.

5.【答案】D

【知识点】三角形的面枳三角形内角和定理等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质三角形全

等的判定6AS

【解析】【解答】解：如图I连接OB

VAB=ACADXBC

ABD=CDZBAD=lzBAC=ixl20°=60°

AOB=OCZABC=90°-ZBAD=30°

VOP=OC

AOB=OC=OP

，ZAPO=ZABOZDCO=ZDBO

ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°

故①正确

ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°

.\ZAPC+ZDCP=150°

VZAPO+ZDCO=30°

/.ZOPC+ZOCP=120°

.,.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°

VOP=OC

A△OPC是等边三角形

故②正确

如图2在AC上截取AE=PA

VZPAE=180°-ZBAC=60°

・•・AAPE是等边三角形

ZPEA=ZAPE=60°PE=PA

/.ZAPO+ZOPE-60n

ZOPE+ZCPE=ZCPO=60°

AZAPO=ZCPE

VOP=CP

在小OPA和^CPE中

PA=PE

乙APO=乙CPE

OP=CP

/.△OPA^ACPE(SAS)

，AO=CE

，AC=AE+CE=AO+AP

故③正确

如图3过点C作CH_LAB于H

■:ZPAC=ZDAC=60°AD1BC

ACH=CD

/.SAABC=1AB<H

SAUCE=SAACT+SAAUL=iAP-CII+ioA-CD=lAP*ClI+ioA-CII=lcib(AP+OA)=|cibAC

乙乙乙乙乙乙

SAABC=S内边形AOCP

故④正确.

故答案为：D.

【分析】连接OB由等腰三角形的性质可得BD=CDZBAD=1ZBAC=6O°则OB=OC

ZABC=300由已知条件可知OP=OC则OB=OC=OP然后根据等腰三角形的性质可判断①

由内角和定理可得NAPC+NDCP=150。结合①的结论可得NOPC+NOCP=120。利用内角和定

理可得NPOC=600然后根据等边三角形的判定定理可判断②在AC上截取AE=PA易得△APE

是等边三角形ZPEA=ZAPE=60°PE=PA利用SAS证明△OPAgACPE得至I」AO=CE进

而判断③过点C作CH_LAB于H则CH=CDSAABC=GAB・CH由SMAOCP=SAACP+SAAOC表

示出S四边形AOCP据此判断④.

6.【答案】A

【知识点】等边三角形的判定

【辞析】【解答】解：VAIB)!OMZMON=30°OAI=V3

ABIO=>/3-H：OS30O=2

VOBi=BiA2

.•.ZBIA2O=30°

y

.,.ZA2BiB2=60

VA2B2±OM

.,.ZB2A2BI=60°

・•・△BIA2B2是等边三角形

AA2B2=2

*'•△B2A3B3是等边三角形

A3BJ=2X2=4=22

同理可得△B2021A2022B2022是等边三角形

***A2O22B2O22=22021

故答案为：A.

【分析】根据题意可知△B1A2B2△B2A3B3是等边三角形以止大推可得△B2021A2022B2022是等边三角形即

可求解。

7.【答案】D

【知识点】三角形的面积等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS

【解析】【解答】解：如图延长RD交AB于点J延长QF交AC于点N

：AABC是等边三角形

AZA=ZB=Z060。AB=BOAC

VRJ1ABPE1BCQN±AC

，ZAJR=ZQNC=90°ZJPD=30°

AZEDF=ZJDP=60°

同理得NDFE=NDEF=60。

・•・△DEF是等边三角形

，△DEF的面积二与DF2

•・・AP=BQ=CR

ACQ=AR

QNC^ARJA(AAS)

AAJ=CN

设AP=BQ=CR=aAB=BC=AC=b

AR=b-a

・・・AJ=CNf/?=竽

・・・尔二例6-。)

2

・・・PJ=AJ-AP坦萨二NR

JD二在二NF

36

，RF=2NF二颂La)

3

/.DF=.IR-.ID-RF=V3a

:DEF的面积二gDF2=®NI2=■AP?

444

・•・要求△DEF的面积则只需知道AP的长.

故答案为：D.

【分析】延长RD交AB于点J延长QF交AC于点N根据等边三角形的性质和判定得出△DEF是

等边三角形得出△DEF的面积二4DF2再证出△QNC^ARJA得出AJ=CN设AP=BQ=CR=a

AB=BC=AC=b然后表示出AJJRPJJDRFDF得出△DEF的面积二gDF2=m巨a2=%AP2

444

即可得出答案.

8.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用-最短距离问题

【蟀析】【解答】解：如图

vAABC是等功三角形

BA=BC

ID为AC中点

；・BD1AC

V.4Q=4QD=3

•••AD=DC=AQ+QD=7

作点Q关于BD的对称点Q，连接PQ，交BD于E连接QE此时PE+QE的值最小最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ'

vAQ=4AD=DC=7

QD=OQ'=3

CQ'=BP=4

:.AP=AQ'=10

•••LA=60°

AAAPQ'是等边三角形

:.PQ'=PA=10

APE+QE的最小值为10.

故答案为：C.

【分析】作点Q关于BD的对称点Q，连接PQ，交BD于E连接QE此时PE+QE的值最小最

小值PE+QE=PE+EQXPQ，进而判断^APQ，是等边三角形即可解决问题.

9.【答案】②⑤

【知识点】等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】①过点8作"8的角平分线

=AC4力=36。

:,乙B=ZC=72°

：.LABD=ACBD=36°乙BDC=72°

••・AABD^LBCO是等腰三角形

・•・①符合题意

D

B

②不能分成两个小等腰三角形

③过点4作NA的角平分线

：.LBAD=^CAD=45°

'：LA=90°AB=AC

：.cB=zC=45°

・•・A力80和4是等腰三角形

・•・③符合题意

④把点力分成36。和72。的角

C-LBAD=36°LCAD=72°

••24=108。AB=AC

，乙B=Z,C=36°

/.LBAD=Z-B

••・△ABD^]^4C。是等腰三角形

・•・④符合题意

⑤不能分成两个小等腰三角形.

・•・②⑤不能分成两个小等腰三角形

故答案为：②⑤.

【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。

10.【答案】竽s或10s

【知识点】等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：当P。=Q。时4P0Q是等腰三角形

如图1所示：

图1

•••PO=AO-AP=10-2t

.••当P。=Q。时

10-2t=t

解得”竽

当P。=QO时NPOQ是等腰三角形

如图2所示：

•••PO=AP-AO=2t-10OQ=t

•••当PO=Q。时2t-10=t

解得£=10

故答案为；9或10s.

【分析】分两种情况：①当PO=Q。时/POQ是等腰三角形②当PO=Q。时4P0Q是等腰三角

形据此分别解答即可.

1L【答案】6

【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用•最短距离问题

【解析】【解答】解：作A关于BC的对称点/连接力下AP

•••LC=90°乙B=30°

N力=60°

•••PA=AfP

为等边三角形

・•・AP+DP=4P+PD为公

AP+0P的最小值为1到A8的距离=BC=6

故答案为：6.

【分析】作A关于的对称点/连接力匕AP易证^AAB为等边三角形可得4P+OP的最小

值为4,到A8的距离即为BC的长.

12.【答案】①②④

【知识点】三角形全等的判定角平分线的性质等边三角形的判定与性质轴对称的性质

【解析】【解答】解：:△ABC为等边三角形

，AB=BCZABE=ZBCF=60°

XVBE=CF

.*.△ABE^ABCF(SAS)故①正确

延长GE至H'使GH'=GB

A

D

力，

由①得△ABE^ACBF

AZBAE=ZFBC

，ZBGE=ZABG+ZBAE=ZABG+ZFBC=ZABC=60°

又•：GH'=GB

是等边三角形

:・BG=GH'=BH',乙GBH'=60°

•・•点D与点C关于直线AB对称

AAD=ACBD=BC

AAD=BD=AB

・•・△ABD也是等边三角形

・・・AB=BDZABD=60°

'：cABW=Z-GBH'+乙ABG,乙DBG=乙ABD+乙ABG

=乙DBG

XDB=ABBG=BH'

A△DBG三△A8H'(S4S)

：.DG=AHr

•••AH'=4G+GH'

ADG=AG+BG故②正确

连接HFV△DBG=LABH'

AZBDG=ZBAE

ZADB-ZBDG=ZBAC-ZBAE

即NADH=NGAF

又「AD二ACZACE=ZDAH

/.△ADH^ACAE(ASA)

AAH=CE

又CE=BC-BE=AC-FC=AF

AAH=AF

VZHAF=60°

・•・△AHF是等边三角形④正确

当EF分别为BCAC的中点时则H为AB的中点

又・・•△ABC是等边三角形

・•・此时G是^ABC三条角平分线的交点

:・HG=GE=GF故③错误

故答案为：①②④.

【分析】根据等边三角形的性质可得AB二BCZABE=ZBCF=60°由己知条件可知BE=CF然后

根据全等三角形的判定定理可判断①延长GE至W使GH，=GB由①得△ABEWZXCBF则

ZBAE=ZFBC根据角的和差关系可得NBGE=NABG+NBAE=60。易得△BGH是等边三角形

则BG=GH=BH，ZGBH'=600由轴对称的性质可得AD=ACBD=BC推出△ABD是等边三角形

得到AB=BDZABD=60°证明△DBGg/\ABH，则DG=AH，据此判断②连接HF根据全等

三角形的性质可得NBDG=NBAE由角的和差关系可得NADH=NGAF证明△ADH且Z\CAE得

到AH=CE推出AH=AF结合等边三角形的判定定理可判断④当EF分别为BCAC的中点时

则H为AB的中点由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点据此判断③.

13.【答案】80。或100°

【知识点】三角形的外角性质等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：・・•NA=60。BP和PQ把仆ABC分割成三个三角形都是等腰三角形

・•・△ABP是等边三角形

AZAPB=ZABP=60°

.\ZBPC=120°

令NCBP=x°

①如图:

图1

当QB=QPCP=CQ时NCBP二NBPQ二x。

.,.ZCQP=ZCPQ=2x°

VZBPQ+ZCPQ=ZBPC

.*.2x+x=l20°

解得x=40°

，ZABC=ZABP+ZCBP=600+40°=100°

②如图：

当QB-QPQP-QC时ZCBP-ZBPQ-x0

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=2x°

JZQPC=90°-x°

VZBPQ+ZCPQ=90°-x+x=90°=ZBPC

又NBPC=120°

・•・不符合题意舍去

③如图：

图3

当QB=QPPC=PQ时ZCBP^=ZBPQ=x0

.\ZCQP=ZC=2x°

.\ZCPQ=180°-4x

VZBPQ+ZCPQ=ZBPC

.*.x+180o-4x=120°

解得x=20°

ZABC=ZABP+ZCBP=60o+20°=80°

当BP二BQPQ=PC时ZBPQ=90°-AX

ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+1x

XZCQP=ZC=90°+lx

.\ZCPQ=180o-2(90°+1x)=-x不符合题意舍去

⑤如图:

当BP=BQQP=QC时ZBPQ=90°-ix

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+lx

ZBPQ+ZCPQ=ZBPC

.•.90o-ix+45o-ix=120°

24

解得x=20°

・•・ZABC=ZABP+ZCBP=600+20°=80°

⑥如图:

图6

当BQ=BPCP=CQ时ZBPQ=90°-ix

/.ZCQP=ZBPQ+ZCBP=90°+1x

J

,/ZBPC=ZBPQ+ZCPQ=90°-lx+90°+ix=180。

CPB三点共线不符合题意舍去

⑦如图：

当PB=PQCP=CQ时ZBPQ=180°-2x

/.NCQP=ZBPQ+NCBP=1800-x

.•.ZQPC=180°-x

,,,ZBPQ+NCPQ=180°-2x+l80°-x=ZBPC

又NBPC=120。

.,.180o-2x+1800-x=120°

解得x=80°

ZA+ZABC=60O+6004-80O=200°>180°

，不成立舍去

⑧如图：

图8

当PB=PQPC=PQ时NBPQ=180°-2x

・•・ZCQP=ZBPQ+ZCBP=180°-x

AZQPC=2x-180°

•IZBPQ+ZCPQ=180°-2x+2x-l800=0°=ZBPC

又NBPC=120。

・•・不符合题意舍去

⑨如图:

图9

当PB=PQQOQP时ZBPQ=180°-2x

AZCQP=ZBPQ+ZCBP=180°-x

・•・ZQPC=1x

,IZBPQ+ZCPQ=180°-2x+ix=I20°

解得x=40°

・•・ZABC=ZABP+ZCBP=60°+40°=100°

综上可知ZABC的度数可以是80。或100。

故答案为：80。或100。.

【分析】由题意可得△ABP是等边三角形得至iJ/APB=NABP=600MZBPC=1200令NCBP=x°

①当QB=QPCP=CQ时ZCBP=ZBPQ=x°根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得

ZCQP=ZCPQ=2x°根据NBPQ+NCPQ=NBPC可得x然后根据NABC=NABP+NCBP进行计算

②当QB二QPQP=QC时ZCBP=ZBPQ=x°同理可得NCQP=2x。ZQPC=90°-x°然后根据

NBPQ+NCPQ二NBPC进行计算③当QB=QPPC二PQ时ZCBP=ZBPQ=x0易得

ZCQP=ZC=2x°ZCPQ=180°-4x根据NBPQ+NCPQ=NBPC求出x然后根据

NABC=NABP+NCBP进行计算④当BP=BQPQ=PC时ZBPQ=90°-1xZCQP=90°+1x然后

表示出/CPQ据此解答⑤当BP=BQQP=QC时ZBPQ=900-hZCQP=90°+lx

ZQPC=45°-ix根据NBPQ+NCPQ=NBPC可得x然后根据/ABC=NABP+NCBP进行计算⑥

当BQ=BPCP二CQ时ZBPQ=90°-lxZCQP=9004x推出CPB三点共线不符合题意⑦

当PB=PQCP二CQ时ZBPQ=1800-2xZCQP=180°-xZQPC=180°-x根据

NBPQ+NCPQ=NBPC可得x据此解答⑧当PB二PQPC二PQ时ZBPQ=180°-2x

ZCQP=180°-xZQPC=2x-180°根据NBPQ+NCPQ二NBPC可得NBPG120。不合题意⑨当

PB=PQQC=QP时ZBPQ=B0°-2xZCQP=180°-xZQPC=lx根据NBPQ+NCPQ=1200可得x

然后根据NABC=NABP+NCBP进行计算.

14.【答案】①③④

【知识点】三角形三边关系等边三角形的判定与性质轴对称的性质

【释析】【解答】解：〈HD关于AC对称点P是AC上的点

PD=PHADAC=AHAC乙DCA=乙HCA.

同理可得QE=QHAEBC=AHBC乙ECB=乙HCB.

①乙DCE=乙DCH+Z.HCE=2/.ACH+2Z.HCB=2/.ACB=2x30°=60°故①正确

@APQH的周长=PH+PQ+QH=PD+PQ+QE=DE.

由①知乙DCE=60°CD=CH=CE故ADCE是等边三角形.

DE=DC=CH=6故④正确

②在△PQH中PD+QE=PH+QH>PQ

而PD+QE+PQ=DE=6即P"+Q"=6—PQ

•••6-PQ>PQ

•••PQ<3故②错误

③S五边形ABECD=2»册=2x.CH=4x6=24故③正确.

故答案为：①③④.

【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH△DAC^AHACZDCA=ZHCA同理可得到QE=QH

△EBC丝ZXHBCZECB=ZHCB再证明NDCE=2/ACB代入计算可求出NDCE的度数可对

①作出判断利用有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形可证得ADCE是等边三角形利用

等边三角形的性质可得至IJDE=DC=CH=6再证明△PQH的周长就是DE的长可对④作出判断利

用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QHAPQ再证明PH+QH=6-PQ由此可求出PQ的取值

范围可对②作出判断易证五边形ABECD的面积=2aABC的面积由此可求出五边形ABECD

的面积可对③作出判断综上所述可得到正确结论的序号.

15.【答案】（1）证明：•••△ABC为等边三角形点E为48的中点

：-LABC=Z.ACB=60°,CE平分44C8,AE=BE

"ECB==30°

VDF=CE

・••乙0=乙ECB=30°

*：LABC=Z-D+Z.DEB

：,LDEB=乙ABC一乙D=30°

/.Z.D=（DEB

：.BD=BE

A.4E=BD

（2）解：当点E为线段48上任意一点时（1）中的结论成立理由如下：

如图②过E作EF||BC交AC于F

图②

是等边三角形

：-LABC=Z-ACB=^A=60°,AB=AC=BC

：.LAEF=乙ABC=60°匕AFE=^ACB=60°

即乙力ET=LAFE=乙4=60°

是等边三角形

：.AE=EF=AF

'：cABC=Z.ACB=Z-AFE=60°

:,乙DBE=乙EFC=120°乙D+乙BED=乙FCE+乙ECD=60°

，：DE=EC

・••乙0=乙ECD

:2BED=乙ECF

ZDBE=乙EFC

在乙DE5WAECF中乙DEB=乙ECF

DE=EC

"DEBECF(AAS)

:・BD=EF

：.AE=BD

(3)解：如图③过E作E/||8C交AC的延长线十F

A

E

图③

贝IJA力EF为等边三角形乙ECD=乙CEF

A.4F=AE=EF=2,zF=60°

VEC=ED

，乙。=乙ECD

*.LCEF=Z.D

•••△ABC是等边三角形

:・BC-AC-1,4ABC~60°

：.LDBE=4ABC=60°

••LF=乙DBE

ZF=乙DBE

在ACEF^WL£7)8中乙CEF=£D

EC=DE

：.£^CEF=^EDB(AAS)

：-BD=EF=2

：-CD=BDAC=2+1=3.

【知识点】等腰三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS

【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出ND=NDEB则BD=BE即

可得出结论

(2)过E作EF〃BC交AC于F证4AEF是等边三角形得AE=EF=AF再利用AAS证

△DEB^AECF得BD=EF即可得出结论

(3)过E作EF/7BC交CA的延长线于F则4AEF为等边三角形得AF=AE=EF=2ZF=60°

再利用AAS证4CEF^AEDB得BD=EF=2即可得出答案.

16.【答案】(1)72108

(2)证明：VAB=ACZBAC=108°

AZB=ZC=i(180°-ZBAC)=36°

VAC=CN

/.ZCAN=ZCNA=1(180°-ZC)=72°

:.ZBAN=ZBAC-ZNAC=108°-72°=36°

AZBAN=ZB

ANA=NB

/.△ABNaACN均为等腰三角形

AAN为小ABC的完美分割线

(3)证明：I,AN是△ABC的一条完美分割线

AAN=CNAB=BN

・•・ZC=ZCANZBAN=ZBNA

AZBNA=ZC+ZCAN=2ZCAN

AZBAN=2ZCAN

VZCAN=ZCiAN

AZBAN=2ZCiAN

ZBAN=ZCiAN+ZBAM

AZCiAN=ZBAM

VAC=AB

AZC=ZB

VZC=ZCi

AZCi=ZB

VAC=ACi

AACi=AB

.*.△ACiN^AABM（ASA）

.,.NCi=BM.

【知识点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质三角形全等的判定・ASA

【解析】【解答】（1）VAB=ACZBAC=36"

AZC=（180°-ZBAC）+2=144*2=72。

BM为AABC的完美分割线且CM<AM

AZABM=ZBAC=36°

/.ZAMB=180°-ZBAC-NABM=180°-36°-36°=108°

故答案为：72108

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得NC=（1800-ZBAC）;2=72。利用“完美分割线”的定义可

得/ABM=NBAC=36。根据三角形内角和定理求出/AMB即可

（2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN△ACN均为等腰三角形根据“完美分割线”

的定义即可判断

（3）根据ASA证明△AGNgZXABM利用全等三角形的性质即得结论.

17.【答案】（1）解：△48C与LACD^ABC与ABCDACD与LBCD是"等角三角形”

（2）证明：•••在△ABC中=40°乙B=60°

LACB=180°一乙A—乙8=80°•:CD为角平分线

：•LACD=乙DCB=建ACB=40°

:.LACD=Z-AZ.DCB=Z-A

.%CD=DA

•••在△DBC中乙DCB=40°Z-B=60°

:.LBDC=180°-乙DCB一乙B=80°

•••LBDC=^-ACB

vCD=DAZ.BDC=LACB（DCB=

乙B=Z-B

CD为△ABC的等角分割线

(3)解：乙4cB的度数为111°或84°或106°或92°.

【知识点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质角平分线的概念

【解析】【解答】解：(1)在RSABC中NACB=90。

AZA+ZB=90°

VCD±AB

AZADC=ZCDB=90o

ZA+ZACD=90°ZB+ZBCD=90°

，ZA=ZBCDZACD=ZB

/.△ABC与^ACD△ABC与八BCD△ACD与4BCD都是等角三角形

〔3）当△ACD是等腰三角形DA=DC时^LACD=匕4=42°

•••LACB=乙BDC=420+42°=84°

当△ACD是等腰三角形DA=AC时/-ACD=/-ADC=69°

乙BCD=乙4=42°

•••LACB=69°+42°=111°

当△力CO是等腰三角形AC=CD时ZA=ZADC=42°

ZACD=180o-42°-42o=96°乙BCD==42°

.,.ZACB=96°+42°=138°而NA+NACB=138o+42o=180。所以CB与AB不可能相交比种情况不

存在

当△BCD是等腰三角形DC=BD时Z-ACD=乙BCD=LB=46°

LACB=92°

当△BCD是等腰三角形DB=BC时乙BDC=乙BCD

设乙BDC=4BCD=x

则乙B=1800-2%

则Z.ACD=ZB=1800-2%

由题意得180。一2%+42。=%

解得x=74°

•••LACD=180°-2%=32°

:.LACB=106°

当△BCD是等腰三角形CD=CB时ZB=ZCDBZACD=ZB而NCDB>NACD故此种情况

不存在.

•••£ACB的度数为111。或84°或106°或92°.

【分析】(1)推出NA=NBCDZACB=ZBZADC=ZBDC从而得出结论

(2)根据三角形的内角和定理得NACB的度数进而根据角平分线的定义得NACD=NDCB=40。

则NACD=NAZBCD=ZA=60°ZB=ZBZBDC=ZACB=800从而得出结论

(3)分为当4ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形当4ACD是等腰三角形时再分为：AC

=ADAD=CDAC=CD三种情形讨论同样当△BCD是等腰三角形时也分为三种情形讨论.

18.【答案】(1)PA=PB线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

(2)解：如图连接BDDE

由作法知BC=BD=BE则4BCD^BDE是等腰三角形

VAB=ACZBAC=36°AZABC=Z