2026年高考数学一轮练习 第十章 第三节 随机事件与概率（附答案）

§10.3随机事件与概率

分值：100分

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生B.至少有1个男生

C.3个都是女生D.至少有1个女生

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次,那么第2024次出现正面朝上的概率是（）

3.从2,3,5,7,11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（）

A.|B.|C.l

4.某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案:

在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分别编号为1~50,被调查的学生从中随机

摸出--个，确认颜色和序号后放回（调查者不知道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇

数？”，摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”.共调查了1200名学生，得到了390个“是”

的回答，据此估计该校学生的作弊率为（）

A.15%B.20%C.5%D.10%

5.甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站

方向的3路公交车（线路图如下）.甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之

前的任意一站下车.假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为

12345678910111213141516）71»192（）21222321

后黄

东

鹅海

福下

白

下阳

港妈

轮

妈基

莲

金莲

北供

地

兴闽

宝.

至

山

巷

楼

金

尾

佑

祖

池

水

景

石

海

范

渡

池

祖

税

台

海

白

澜

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沙

沙

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大

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Mi东

石

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阁

街

环

里

)环

)

173

BCD

一

-一-

A.5

3010

6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（）

A瑞B目D郎

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025•哈尔滨模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件

4="两次取到的球颜色相同”，事件8:“第二次取到红球"，事件C="第一次取到红球”.下列说法正确

的是（）

A.AQB

B.事件8与事件C是互斥事件

C.P（AB）《

D.P（B+C），2

8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如

下数据：

日销售量的[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

天数46956

以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（）

A.估计平均每天销售50杯双皮奶（同一组区间以中点值为代表）

B.若当天准备55杯双皮奶，则售罄的概率为总

C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为3

D.这3（）天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025・八省联考）有8张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出

3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

10.通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四个数字0426皿其中的£[0,1，2,…，9},1=1,2,

3,4）随机组成，如果验证码mssoi满足小＜。2＜的＜出，则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验证

码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

四、解答题（共28分）

11.（13分）某市A,8两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，8中学推荐了3

名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机

抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.

（I）求A中学至少有I名学生入选代表队的概率；（6分）

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率。分）

12.（15分）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在珠海国际航展中心开幕，我国空军汇

聚多方智慧，研讨无人智能、通航建设，带来「歼-35A、红-19等新型装备.某巾为了了解居民对航空航天

知识的认知程度，举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知

程度高的有机人，按年龄分成5组，其中第一组：［20,25）,第二组：［25,30）,第三组：［30,35）,第四

组：［35,40）,第五组：［40,45］,得到如图所示的频率分布直方图.

().07

0.06

()5

(H

()3

()2

()1

2）253（）35♦）45年龄/岁

（I）根据频率分布直方图，估计这用人年龄的第85百分位数；（6分）

（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有

甲（年龄31）、乙（年龄34）、丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者

中，再随机抽取2人作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率.（9分）

K能力拓展

每小题5分，共20分

13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如

下性质：220的所有真因数（小包括本身的因数）之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,

他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.

己知220和284,1184和1210,2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个

数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为（）

A.-B.-C.—D.i

155155

14.（2025・泉州模拟）如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字I到8.将该八面体连续抛掷三

次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

15.（2024•昆明模拟）在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上

再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口

且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是.

16.（2024・长沙模拟）已知集合B,。是集合A的真子集且BDC=0,如果W/W4,,c^C,使得a=Ab

+9,其中2,,1},则称B,C是集合4的一组有序基底集，记为（8,。.已知A={1,2,3,4},

且（8,O为A的一组有序基底集，则集合8中的元素之和小于4的概率为.

答案精析

1.B2.D3,A

4.A［调查的1200名学生中，摸到红球的概率是］,其编号是奇数的概率也是:,摸到绿球的概率为1,即

摸到红球的人数约为1200X；=600,摸到绿球的人数约为I2OOX/=6OO,所以回答问题“你摸到的球的序

号是否为奇数？”且回答“是”的学生人数约为600X1=300,回答问题“你是否曾在考试中作弊？”且回

答“是”的学生人数约为390-300=90,所以估计该校学生的作弊率为券X100%=15%.］

5.C［甲从“管委会”站到“北康（东环）”站的每一站下车都可以，有8种情况，

乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，

若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，

若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，

若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，

若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况，

若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，

若乙在“金海岸”站下车，则甲有2种情况，

若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，

因此，甲比乙后下车的概率为p」+2+3：4：5+6+7=三二

8X158X1530

6.A[15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先让11个人入坐好，再让其余4人

插空，共有等小3种不同的围坐方法，所以所求概率是当&

11AI591

IT

7.CD[由题意可得，事件A包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，绿）｝,事件8包含的取球颜色为｛（红，红），

（绿，红）｝,事件C包含的取球颜色为｛（红，红），（红，绿）｝,则A不包含于8,选项A错误；

Bncw。,选项B错误；

事件AA包含的取球颜色为｛（红，红）｝,P（4B尸学二，选项C王确；

Cio15

事件B+C包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，红），（红，绿）｝,P（B+C）二弋常三，选项D正确.]

AUzv

8.BCD|平均每天双皮奶的销售量为

30X4+40X6+50X9+60X5+70X6_,."、o

---------------------二51（杯），A错供；

JU

日销售量不小于55杯的概率为誓:总，B正确；

日销售量小于45杯的概率为詈专，C正确；

1-^=0.8,因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确

9.-

56

解析从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点个数为备=56,

因为1+2+3+4+5+6+7+3=36,

所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，则抽出的3张卡片上的数字之

和应为18,

则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种，

所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，

所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之利相等的概率为

56

10.—

2000

解析由题意设该验证码为。1。2的44,则。尸2,2＜〃2＜的＜。4,；・〃2,。3,从3,4,5,6,7,8,9中选，

选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列有©=35（种）排法，

又四位验证码共有10X10X10X10=10000（种）排法,

・•・它是首位为2的递增型验证码的概率为口二义.

100002000

II.解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为察二七，

C6c6100

故A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-*=捺.

100100

(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C,“参赛女生有2人”为事件。，“参赛女生有3人”为

事件E.

则P(D)二萼q,

Pn(/rEr\)=~^=1?

%'

由互斥事件的概率加法公式，得

P(Q=P(D)+P(E)=^--=-,

ODO

故所求事件的概率为，

12.解(I)由频率分布直方图得,年龄在[2。,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]的频率分别为

0.05,0.35,0.3,0.2,0.1,

由各组频率知第85百分位数。£(35,40),

由(40-4)X0.04=0.9-0.85,解得。=38.75,

所以第85百分位数为38.75.

(2)由第三组、第五组的频率可知第三组抽取20义0.3=6(人)，第五组抽取20X0.1=2(人)，

方法一不妨设除甲、乙、丙外的五人为A,8,C,。，E,于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2

人的所有情况为：

甲A,甲8,甲C,甲。，甲E,甲乙，甲丙，乙A,乙8,乙C,乙。，乙E,乙丙，丙A,丙8,丙C,

丙。，丙石，43,AC,4。，AE,8C,肛BE,CO,CE,OE,共28种，

其中甲、乙、丙都没被抽到的情况有A8,AC,AO,AE,8C,8。，,CO,CE,DE,共10种，

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率为1--.

方法二由题意知，甲、乙、丙三