导数与函数的单调性（原卷版）2027届高考数学一轮复习

第15讲导数与函I数的单调性

题型一导函数为含参一次函数的单调性分析.................................................3

题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析...............................................4

题型三导函数为含参可因式;分解的二次函数单调性分析.......................................5

题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析......................................7

题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析.............................................8

课时精练..................................................................................15

【基础回顾】

知识点1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f(x)>0f(x)在区间(a,b)上单调递增

函数y=f(x)在区

fz(x)<0f(x)在区间(a,b)上单调递减

间(a,b)上可导

fz(x)=Of(x)在区间(a,b)上是常数函数

知识点2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数f(x)的定义域；

第2步，求出导数口x)的零点；

第3步，用口x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出F(x)在各区间上的正负，

由此得出函数y=t(x)在定义域内的单调性.

【特别强调】

1.若函数/U)在(。，L上单调递增,则当加时，/(X)K)恒成立;若函数7U)在(4,〃)上

单调递减，则当b州寸，/(x)0O恒成立.

2.若函数危)在(小份上存在单调递增区间,则当尤(小份时，/(幻>()有解；若函数段)在3,

力上存在单调递减区间，则当花m，份时，/(工)<0有解.

团考点01不含参函数的单调性

确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能

漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号''或"和"隔开.

1.讨论函数/(%)=2x3—3x2—36x+16的单调性.

2.求函数f(%)=(%—k)e”的单调区间.

X(8,k-1)k-1(k1,18)

((X)—0+

fW一e"i7

3.函数/(x)=Inx-2%

⑴求y=/(盼在点(1J(l))处的切线方程.

(2)求/1(“)的单调区间.

4.已知函数/(x)=x(a+x2),曲线y=/(%)在点处的切线与直线3x+y+l=0平行.

⑴求”的值；

⑵求函数/(%)的单调区间.

5.求函数/•(%)=/一Ex的单调区间.

6.求函数/(%)=%2铲的单调区间.

7.利用导数求下列函数的单调区间.

(l)f(x)=x3+3%；

(2)f(x)=sinx-x,xE(0,n).

8.求函数f(%)=e2x-e*-r的单调区间.

9.己知函数/(%)=1(%2-1)一Inx.讨论/Xx)的单调性.

10.已知函数f(%)=3%-

⑴求函数/(%)在点(2)(2))处的切线方程；

⑵求函数/(%)的单调区间.

国考点02含参数的函数的单调性

⑴研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

⑵划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

题型一导函数为含参一次函数的单调性分析

【方法技巧】导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判

断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像

判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间.

【例题精讲】

1.已知函数f(%)=ln%-mx+m,meR.求f(x)的单调区间.

2.已知函数/(%)=alnx+2x,讨论函数/(x)的单调性；

3.已知函数/'(X)=QX+Inx

(1)当a=1时，求曲线y=外幻在点(1,/(1))处曲线的切线方程；

(2)求函数/(幻的单调区间.

4.已知函数f(x)=a(lnx+b)+ex(a>0,b,cWR)在x=1处的切线方程为、=x.

⑴求a+b+c的值：

(2)分析函数/(%)的单调性.

5.已知函数f(x)=Inx+£—2,a€R

⑴讨论f(x)的单调性.

⑵若对任意％G(0,+8)都有/•(%)>0恒成；/：,求a的取值范围.

6.已知函数f(x)=ax-Inx-

⑴若Q=2,求/(外在(1,7(1))处的切线方程；

(2)讨论/⑺的单调性：

⑶若/•(%)在区间@,1)上存在极值，且此极值小于Ina,求a的取值范围.

7.设函数fa)=Qln%+x,其中Q为实常数.

(1)当a=1时,，求曲线y=外外在(1,/(1))处的切线方程；

(2)讨论/■(%)的单调性.

8.设函数f(x)=ax-2—lnx(a6R).

⑴若了(%)在点(e,/(e))处的切线为3-ey+b=0,求a,8的值；

⑵求;(x)<0的解集.

y.已知困数r(x)=Inx+/,aER.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若函数/'(X)在(l,e)上的最小值是去求〃的值.

10.已知函数/(无)=QX+】nx-1,aeR.

⑴当a=2时，求函数”幻在点(1)(1))处的切线方程；

⑵讨论函数/'(%)的单调性.

题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析

【方法技巧】

导函数的形式为含参准一次函数，首先对广⑴定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的

大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间.

【例题精讲】

1.已知函数/'(%)=(a-l)x+ex(a6R).

⑴讨论函数y=/(x)的单调性；

⑵设函数g(x)=/(%)-sinx,若函数y=g(x)在［0,+8)上为增函数，求实数a的取值范围.

2.设函数/(%)=e*-QX-2,求/(%)的单调区间.

3.已知函数/(%)=铲+ax(a€R).

⑴当Q=1时，求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求f(%)的单调区间.

4.己知函数/(%)=2x-x\nx+xlna—ea(a>0).

⑴讨论f(%)的单调区间;

(2)证明:/(x)<0.

5.已知函数fa)=x—l+2(aWR,e为自然对数的底数).

⑴若曲线y=/(幻在点(l,f(l))处的切线平行于％轴，求Q的值；

(2)讨论函数/Q)的单调性.

6.已知函数f(x)=e"i—mx,mHO.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)>0恒成立，求实数，〃的取值范围.

7.已知函数/(x)=e*—ax—1,口£R.

⑴讨论f(%)的单调性;

⑵当工€(0,+8)时，/(%)>xlnx恒成立，求a的取值范围.

8.已知函数/(%)=萼一1.

⑴当Q=1时，求函数在点(Lf(D)处的切线方程；

⑵试讨论函数/(%)的单调性.

9.函数/(%)=%+me”,其中m€R.

⑴讨论函数/(切的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间［0,3］上有两个零点，求m的取值范围.

10.已知函数f(>)=e-x+i-mx,meR.

⑴讨论函数fG)的单调性：

(2)若/(%)>。恒成立，求实数〃，的取值范围.

题型三导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析

【方法技巧】

若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后

再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

【例题精讲】

1.已知函数/(%)=彳-alnx-(a—1)%-

(1)当Q=一1时，求曲线y=-%)在点x=1处的切线方程；

(2)讨论/(%)的单调性;

⑶若/•(工)有极小值，月/(外？。，求。的取值范围.

2.已知函数/'(%)=aln%+-(a+1)%(aG/?+).

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)当a>1时，求/(%)在口罔上的最小值.

3.已知函数/(%)=alnx+［%+§-(QH0).

⑴讨论函数f(x)的单调性；

⑵设9(幻=2/-7九^+9+；S=2.718・「为自然对数的底数)，当a=-，e时，对任意.E[1,4],存

在孙E使gOD4/(%2)，求实数m的取值范围.

4.已知函数/'(%)=/一2alnx,a>0.

(1)若a=2,求曲线y=/(%)在点A(l,f(l))处的切线方程;

(2)若存在&W(0,+8),使/(%0)V小+]na,求a的取值范围.

5.已知函数/(%)=一QX2+1.

⑴若曲线y=/(x)在点(一1,/(一1))处的切线，与直线y=-9垂直，求，的方程；

«5

(2)讨论f(%)的单调性.

6.已知a6R,函数/(%)=2/-3(a+I)/+6ax.

⑴若/'(%)在处取得极值，求实数a的值：

(2)讨论函数/G)的单调性；

⑶若Q>l,/(x)在R上有三个零点，求Q的取值范围.

7.已知函数/(%)=g/一伍+1)%+Q1n%.

⑴若曲线y=/(无)在x=2处的切线方程为y=1x+ln2+b,求实数Q,匕的值

⑵讨论函数y=f(x)的单调区间；

⑶若ga)=a-x+lnx,对任意两个不相等的正数%,不，都有怒招<a恒成立,求实数a的取值范

闱.

8.已知函数/(%)=Q%-(Q+l)ln(2x)-3(Q>0).

⑴讨论函数/(x)的单调性

(2)若函数/(%)在其定义域的一个子集(2a—1,4)内存在两个极值点，求实数〃的取值范围并求f(x)的极值.

9.已知函数/(%)=-Inx,a6R.

⑴讨论函数/(切的单调性；

⑵若函数/(外在区间口⑹上的最小值为1,求a的值.

10.已知函数/a)=x+lnx-7K(x2+2x)+l,meR.

⑴当m=:时，求/'(x)的极值；

(2)讨论/'(x)的单调性；

⑶若/'(%)W0对任意%>0恒成立，求整数m的最小值.

题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析

【方法技巧】

若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划

分定义域讨论.

【例题精讲】

1.已知函数/a)=W¥(a£R).

⑴若曲线y=/(外在点(1,f(l))处的切线斜率为0,求实数a的值，并证明此时/(幻无极值点；

(2)讨论/'(x)的单调性;

⑶若/•(%)在区间［0,+8)上的最大值为1,求实数a的值.

2.已知函数/(%)=Inx+/+QX+1.

⑴若函数/(功在点处的切线斜率为2,求实数a的值；

(2)讨论f(x)的单调性.

3.已知函数/(%)=3%-alnx+：.

⑴若力=1.

(0)证明：曲线y=/(")过定点；

(0)当a=0时，求曲线y=/(x)在点(14(1))处的切线方程.

⑵当a=1时，讨论/'(%)的单调性.

4.己知函数/(%)=x3-3/+ax(aGR).

⑴讨论/(%)的单调性;

⑵若八乃在工=2处取得极值，且关于无的方程/(%)=匕在区间［0,3］上有两个不同的实数根，求实数匕的取

值范围.

X0(0,2)2(2,3)3

r(x)—0+

fW0单调递减-4单调递增0

5.已知函数/•a)=21nx—x+?(7n6R)

(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)讨论函数/(%)的单调性；

⑶求证：In2<(+W+京+…+*(nEM)

6.已知函数f(x)=lnx,g(x)=，/+2%.

⑴求函数九(幻=/(%)-g(x)的单调性；

(2)若卬％2£口川且/〈如若/Qi)-f(%2)>g(》i)一g(》2)，求。的取值范围.

7.已知函数/'(%)=-21nx-E+x(aWR).

⑴讨论函数/(切的单调性；

(2)当xNl时，-x恒成立，求实数a的取值范围.

8.已知函数/(x)=-ga/+x-Inx,aER.

⑴若曲线y=/(均在点(1)(1))处的切线与直线y=2%+1平行，求Q的值；

(2)讨论f(x)的单调性;

⑶若/'(%)存在两个极值点%1，%2(均V物)，月/(%2)—/'(修)>：一E2,求a的取值范围.

9.已知函数/(X)=Qlnx-x+：，aeR.

(1)讨论f(x)的单调性;

⑵若存在正实数匕使得/a)>0成立当且仅当X6(o,k),求a的取值范围.

题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析

【方法技巧】

若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大

小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.

【例题精讲】

1.已知函数/(%)=(x—2)ex--ax2+ax(aGR).

⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2/(2))处的切线方程；

(2)当％N2时,/a)NO恒成立,求a的取值范围.

2.已知函数/X%)=ae2x4-(a-2)ex-x.

⑴若a=0,求函数在％W[1,3]的最值；

(2)讨论/1(%)的单调性;

⑶若/'(%)有两个零点，求Q的取值范围.

3.已知关于%的函数/(%)=(x-2)ex-_%,QwR.

⑴当Q=0时，求/(x)在x=2处的切线方程；

⑵若QWe且x>0,求/Q)的极小值.

4.已知函数八>)=一1-11^+?(。£1<).

⑴当a=-l时,求函数/(%)的最大值；

(2)当a>0时,求“幻的单调区间.

X(0.1)1(1,+8)

rw+0-

fW单调递增极大值单调递减

5.已知函数/'(x)=ae2x+2(1一a)ex—2x.

(1)若a=l,求函数/(x)的极值;

(2)讨论f(%)的单调性.

X(一8,0)0(0,+8)

rw-0+

单调递减极小值f(0)=1单调递增

6.已知函数f(x)=(%—2)e*—a(%-1)2.

⑴讨论/(幻单调性

⑵当Q>0时，证明：函数/Xx)有且仅有一个零点；

7.已知函数fa)=ae*+(Q-l)%+eT(a£R,e=2.71828…为自然对数的底数).

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)若人均有最小值g(a)，证明：g(a)v|.

8.已知函数/'(%)=(xl)exa\nx,aCR.

⑴当QVO时，求函数<%)的单调区间;

⑵当a=e时，求函数/'(%)的最小值；

⑶求证：e++…+>ln(n+l)(n6N)

9.已知函数/(%)=ae?"+(a—2)e*-

⑴证明不等式：ex>%；

⑵讨论了(%)的单调性；

(3)设a€(0,1),证明：/Xx)在定义域上有两个零点.

10.已知函数/(x)=(%—2)ex-^ax2+ax(aER).

(1)当Q=0时，求曲线y=f(x)在x=。处的切线方程；

(2)当a>0时,求函数>%)的单调区间.

烤点03利用导数研究函数的图像及其应用

常见组合函数的图像

在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图像，对解题有事半功倍的效果.

1.已知/(%)在R上是可导函数，y=f(x)的图象如图所示，则不等式/''(%)>0的解集为()

B.(—co,-2)U(2,4-oo)

C.(一8,—1)U(l,+8)D.(-2,-1)U(1,2)

2.己知函数y=f(x),其导函数尸(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)在(一8,0)上单调递减B.函数/(%)在x=4处取得最大值

C.函数/(%)在(4,+8)上单调递减D./(x)在区间(0.2)内的函数值为负

若函数y=f(Y)的导函数y="(>)=/(丫)图象加图所示，则下列说法正确的是()

A.，(幻<0的解集为(一8,-3)

B.函数y=/'(")有2个极值点

C.函数y=/(%)的单调递增区间为(-1,+8)

D.一3是函数y=/(x)的极小值点

4.已知函数/Xx)的导函数广(幻的图象如图所示，则函数f(x)可能是()

A./(%)=xcosxB./(%)=xsinx

C./(x)=x2sinxD./(%)=%2+cosx

5.已知定义在(0,3)上的函数/(%)的图象如图所示，则不等式△?>()的解集为().

0

A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2)U(2,3)D.(0,1)U(1,2)

6.若f(x)是定义在区间(-3,2)上的函数,其图象如图所示,设八第)的导函数为f(%),则/'(%)/'(%)>0的

解集为()

A.(-2,-l)U(l,2)B.(-2,-l)U(0,l)

C.(-3,-2)U(0,1)D.(-1,0)U(0,1)

7.函数/(幻是定义在(一4,4)上的偶函数.其图象如图所示，/(3)=0.设尸(幻是/(幻的导函数，则关于工的

C.(-5,0)U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

8.函数y=f(x)的导函数y二(仁)的图象如图所示，以下命题正确的是()

A.-3是函数y=/(x)的极值点B.-2是函数y=/(%)的极值点

C.y=/(x)在区间(一3,1)上单调递增D.-1是函数y=/(x)的极值点

9.已知定义在(-3,3)上的函数/(%)的导函数为尸。)，且函数y=x/(x)的图象如图所示，则下列说法正

确的是()

%

2-

\一

-3-i\^O1234X

A.函数/X%)在(0,3)上单调递增B.%=1是函数/")的极大值点

C.%=0是函数/(%)的极小值点D./(X)>/(-2)

10.已知函数/'(%)及其导函数/•'(%)的部分图象如图所示，设函数9(%)=等，则g。)()

A.在区间(a,b)上是减函数B.在区间(a,b)上是增函数

C.在x=Q时取极小值D.在％=b时取极小值

团考点04根据函数的单调性求参数

由函数的单调性求参数的取值范围的方法

⑴函数在区间①，加上单调，实际上就是在该区间上〃x)N)(或/(x)wo)恒成立.

(2)函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际上就是了(x)〉0(或了(幻〈0)在该区间上存在解集.

⑶已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变

量范围.

(4)己知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

【例题精讲】

1.已知函数/(%)=13—收2+2%+1在(0,2)上单调递增，贝IJ实数k的取值范围是()

A.(-co,V2]B.[0,V2]D.[词

2G

2.已知函数f(%)=2x\nx-ax,若对任意的,，必(0,+oo),当今<必时，都有2%+/(%2)<2xz+f(%i)，

则实数a的取值范围为()

A，[。+8)B**，+8)C.日,+8)D.(%+8)

3.己知函数/(%)=sinx+二一批为增函数，则a的取值范围是()

A.[0,+8)B.(-co,0]C.(-8,1]D.[l,+oo)

4.设函数/(幻=3%+Sin2x+Qcosx,且f⑺在R上满足"必)一"必)>o,则实数。的取值范围为()

xl-x2

A.[0,1]B.[-1,1]C.[l,+8)D.

5.已知函数f(x)="2一。久+1m;在区间6，1)上单调递减，则实数a的取值范围为()

A.(—oo,2V2]B.(—00,2V2)C.(3,+00)D.[3,+00)

6.若函数f(x)=(a?+a)lnx+-(2a+l)x不单调，则实数a的取值范围是()

A.(0,+8)B.(-1,0)

C.(-co,-l)U(0,+co)D.(-l,+oo)

7.、之一1"是"函数/"(x)=Inx-ga/-2x存在单调递减区间”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

8.已知函数/•(%)=/一。%2+。一1,则下列说法正确的是()

A.当Q=0时，—的对称中心为(0,-1)

B.若函数/(%)在R上单调递增，则实数a的取值范围是[-75,6]

C.存在实数a使曲线y=\fW+1|是轴对称图形

D.当Q=2时，函数/'(%)的极大值点为(0,1)

9.已知/1(%)=(%—a)(x—2尸，则下列正确的是()

A.直线y=0为/(幻的切线

B.若/(a?)vf(a),则aw(-1,1)

C.若f(x)在(一8,2)上单调递增，则Q€[2,+8)

D.设为曲线/(%)在(右，/(打))，。2，/(孙))处的两条切线，若。〃则Xi+©=g(4+a)

10.已知函数/"a)=3,则()

A.外外在(0,e)内单调递增

B.当方程/(%)=Q有三个不等的实根时，ae(0,^)

C.当不等式外外>Q恰有三个不等的正整数解时，

D.当过点(a,0)可作曲线、=f(x)的三条切线时，。6(-8,3-2鱼)1)(3+2在,+8)

课时精练

一、单选题

1.函数y=/的单调递增区间是()

A.(—8,0)B.(0,十8)C.(-8,十8)D.(-8,0］

2.已知函数/(%)二一一，则f(x)的单调递减区间为()

A.(0彳)B.G+8)C.Q,l)u(l,+co)D.©,1),(l,+8)

3.若f(x)=等,eVa<b,则()

A./•⑷>f(b)B./(a)=f(b)C./(a)<fWD.f(a)fW>1

4.函数/•(>)=卓二在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围是()

A.(-8,0]B.(—8,0)

C.[0,+co)D.(0,+8)

5.己知Q==Lc=竽，则4,匕，c的大小顺序为()

2e3

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

6.己知函数/"(%)=：/-4%+2,下列说法中正确的有()

A.函数/(%)的极大值为小极小值为-产

B.若函数/•(%)在［-2,匍上单调递减，则一2WaW2

C.当％W［3,4］时，函数/•(%)的最大值为拳最小值为一学

JJ

D.若方程/(x)-c=0有3个不同的解，则一三三6：三彳

/+2a—11

在R上单调递增，则实数0的取值范围是()

{aex~1,x<1

A.(0,1]B.(1,2]