第十三章 三角形 全章提优练习-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章三角形

13.1三角形的概念

考点1三角形的相关概念与表示方法

1.如图,在4ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点，连接BE,AD,相交于点F.

(1)图中共有多少个三角形?用符号表示这些三角形.

(2)请写出ABDF的三个顶点、三条边及三个内角.

⑶以线段AB为边的三角形有哪些？

(4)以NC为内角的三角形有哪些。

考点2三角形的分类

2.如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小关系分类，则两个？，处应分别为

A.等边三角形等腰直角三角形B.等腰直角三角形钝角三角形

C等边三角形钝角三角形D.锐角三角形等边三角形

B

三边都等腰、

不相等三角形

的三

'以形

,r,

A4）A2A3AnC

(第2题)（第4题）

3.如图，在4ABC中,NACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则()

A.4ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

B£ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

《△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形

D.4ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为说角三角形,接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角

三角形

易借点数三角形的个数出错

4.如图，在4ABC中,人142八3,...,4为边AC上不同的n个点，从B点首先连接BA.,图中出现了3个不同的三角

形；再连接BA?,图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，图中共有一个不同的三角形.(n为

正整数)

13.2与三角形有关的线段

考点1二角形的二边关系（重点）

1.下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（）

A.l,2,3B.1,V2,V3C.2,2,4D.2,3,6

2.已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简:||a+b-c|-2|a-b-c|+|a+b+c|.

考点2三角形的稳定性

3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是

（第3题）（第6题）

考点3三角形的中线、角平分线、高（重点）

4.如图，AD,AE,AF分别是的中线、角平分线、高，下列结论中错误的是（）

A.BC=2CDB.NBAE=；NBACC.ZAFB=90cD.AE=CE

5.如图,△ABC的中线AD,BE相交于点F.

⑴图中与△ABE面积相等的三隹形有____个（不含△ABE）;

（2）gAABF的面积是4cmL则四边形FDCE的面积为cm2.5

易借点判断三角形的高易出错

6.如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（）

A.爱段AD是AB边上的高B.线段BE是AC边上的高

C.线段CF是AC边上的高D.线段CF是BC边上的高

能力诊断

1.如图.在4ABC中,AD为AABC的角平分线,BE为aABC的高,NC=7（）o,NABC=48。,那么/3是（

B.600C.56°D.220

（第2题）

2.如图，五根木条钉成一个框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添一根木条.

3.若某三角形的三边长分别为3,m-l,2m,则m的取值范围为

4.如图T为ZXABC内任意一点,求证:AB+AOPB+PC.

5.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

(1)如图①在RtAABC中,NACB=9()o,BC=3,AC=4,AB=5,CD_LAB,则CD的长为

（2）如图②.在△ABC中,AB=4,BC=2,则AABC的高CD与AE的比是_.

(3)如图③.在4ABC中,NC=90o(NA<NABC),点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DEJ_BP,DF1AP,垂足分另1|

为点E,F.若BC=10,求DE+DF的值.

专题1三角形的三边关系

名师指导

三角形两边的和大于第三边三角AB+AOBCA

三边关系AC+BC>AB/\

形两边的差小于第三边AB+BOAC/——

分类训练

类型一已知三边大小关系，判断是否能够组成三角形

1.朽一根长12cm的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（）

A.6cm4cm2cmB.6cm3cm3cm

C.7cm3cm2cmD.5cm5cm2cm

I_________111Q1」」

2.以下列各组长度的线段为边，其中a>3,能组成三角形的是（）

A.2a+7,a+3,a+4B.5a2,6a2,lda2

C.3a,4a,aD.a-l,a-2,3a-3

类型二已知两边，求第三边的取值范围

3.已知三角形三边长分别为2,3,x,则所有符合条件的整数x的值为一

类型三已知一边或二边均未知，求未知数的取值范围

4.已知一个三角形的周长为36,一条边是另一条边长度的2倍，则最小边m的取值范围是（）

A.4<m<8B.5<m<8C.6<m<9D.7<m<9

类型四等腰三角形的三边关系

5.一•个等腰三角形的周长为30cm.

（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；

（2）已知其中一边的长为7cm,求其他两边的长.

类型五利用三边关系求最值

6.如图在△ABC中,NC=90o,AC=6,BC=8,AB=l（）,D在AC边上运动（不与A,C重合），将4BCD沿BD折叠点

C的对应点为E,K!JAADE的周长的最小值为

专题2三角形的面积造化

名师指导

AD1利用同（等）底或同（等）高，将面积关系进行转化：

万

S_c_BP_SdAOB__DO

S-BC吧。cSg0csMOCOB

BPC2.利用中线的性质将面积进行等量代换：

AP,BO是AABC的中线AABC

s△ABP=SAACP=SAOBC=S4ABO，S&BP『SNAQoS4ABO=S&CDO

针对训练

1.如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作长方形BCDE,连接AE,AD^^AEDAABE,ZXACD的面

积分别为S3,Sz,若要求出的值，只需知道的条件是

A.AABE的面积B.Z\ACD的面积C.AABC的面积D.长方形BCDE的面积（）

（第2题）

2.如图，在aABC中,AD既是AABC的高,也是AABC的中线、且AD=4,AC=5,BD=3,若点P在边AC上移动，则B

P的最小值是.

3.如图，在4ABC中,E是AC的中点，点D在BC上，且BD=2CD,AD与BE交于点F.若力*小则

△ABC的面积为

4.如图点E是线段AC上一点，连接BE,且AB_LBE,CE=2AE,过点C作BE的垂线，交BE的延长线于D点，已

知BE=1,

⑴求DE的长度;

（2）求AABC的面积.

13.3三角形的内角与外角

考点1三角形的内角

1.如图，已知直线h〃gN1=50。,N2=80。,那么N3的大小为)

B.500C.60°D.70°

（第1题）（第2题）（第3题）

2如图，将AABC的BC边对折，使点B与点C重合,DE为折痕，若/A=65o,NACD=25W!]NB=

考点2直角三角形角的性质与判定

3.如图,AB_LAC,AD_LBC,NABC=54oj^NDAC的度数是)

A.540B.36°C.26°D.46°

4.具备下列条1牛的△ABC中，不是直角三角形的是)

A.ZA=2ZB=3ZCB.ZC-ZA=ZB

C.ZA:ZB:ZC=3：4：7D.Z/4=|ZB=jZC

考点3三角形的外角

5.如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作射线BF交AC于点E,则下列是aABE的外角的是

A.ZACDB.ZAEBC.ZAEFD.ZCEF

（第5题）（第6题）（第7题）

6.将一副三角板如图所示放置，皿图中Na的度数是)

A.15°B.20°C.3O°D.45°

易措点分类讨论易缺少情况

7.如图在4ABC中,NB=25o,NC=4（）o,P是边BC上一点若4ABP为直角三角形，则NPAC的度数为

能力诊断

1如图,AD是AABC的角平分线点O在AD上，且OE1BC于点E,ZBAC=60°,ZEOD=20°,JllJZC的度数为

)

A.80°C.70°D.65°

B

2.如图，两面镜子AB,BC的夹角为Na,当光线经过镜子反射时,N1=N2/3=N4若/a=70。厕Np的度数是

()

A.300B.35°C.40°D.45°对点专练P23

3.如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且NA,/B,NE保持不变.为了舒适,需调整ND

的大小使/EFD=140。,则图中ND应—（填“增加”或减少

4.在△ABC中,CD平分/ACB交AB于点D,点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF〃BC交

直线CD于点F,ZBEF的平分线所在的直线与射线CD交于点G.

⑴如图，点E在线段AD上运动.

①若ZB=60°,ZACB=40。厕ZEGC=

②若NA=90。,求NEGC的度数.

⑵若点E在射线DB上运动，探究NEGC与NA之间的数量关系.

专题3导角模型（一）A字型

名师指导

基本图形：

A结论：

Z1+Z2=ZB+ZC

Z3+Z4=180°+ZJ

BL---------、c

针对训练

1.如图，在AABC中、NC=70。,若沿图中虚线截去/C,求N1+N2的度数

2.如图,P是四边形ABCD的外角NEBC与NBCF的平分线BP与CP的交点.设/A+/D=a.探索/BPC与Q的

数量关系.

3.如图，在△ABC中,E,H分别是AB,AC上的点,D,F是BC上的点，连接ED,FH,过点F作FG//AB交AC于点

G.且NHFG+NAED=180°.

⑴求证:ED〃HF;

⑵若ZAED+ZFDE=240°,ZB-ZC=10。,求ZAHF+ZEDB的度数.

专题4导角模型（二）8字型

（蝴蝶型）

名师指导

基本图形：

*结论：

ZA+ZB=ZC+ZD

针对训练

1.如图,NC=NA=9()O,NB=25OJU!|ND的度数是()

A.55°B,35°C,25°D,20°

2.如图,NA+NB+NC+ND+NE+NF的度数为.

3.如图①，已知线段AB,CD相交于点0,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”.

（1）求证:NA+NC=NB+ND.

（2）如图②若NCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.

①以线段AC为边的“8字型”有一个，以点0为交点的“8字型”有一个；

②若NB和NC为任意角时，其他条件不变，试探究NP与NB,NC之间存在着怎样的数量关系并证明；

③若角平分线中角的关系改为'/。1尸=；/。出,/8尸4/。。外,试探究6与/8,/（：之间存在的数量关

系，并说明理由.

①②

专题5导角模型（三）飞镖型

（燕尾型）

名师指导

基本图形：

A结论：

ZA+ZB+ZC=ZD

针对训练

1.一个零件的形状如图所示按规定NA应等于90°,ZB,ZD应分别是20。和30。.当NBCD是下列哪个度数时,

这个零件才是合格的（）

A.I500B.1400C.130°D.1200

D夕

ABBEC

（第1题）（第2题）

2.如图在4ABC中点D在BA的延长线上点E在BC边上，连接DE交AC于点F,已知/DFC=3NB=I23。,/

C=ND.则/BED的度数为（）

A.102°B.980C.880D.820

3将一副三角尺按如图所示放置、直角顶点重合于点C,NB=60o,/E=45。,斜边AB_LDE,垂足为F厕NACD=

4.如图,CE平分NACD,交AB于点E^NA=40o,/B=30o,NBDC=ll()oJM/BEC的度数为

5.如图,NA+NB+/C+ND=—.

6.如图①所示的图形由于形似燕子的尾巴，称为“燕尾图'观察"燕尾图”回答下列问题:

(1试探究NBDC与/A,NB,NC之间的关系.并说明埋由:

(2)如图②,BE是NABD的平分线CF是ZACD的平分线,BE与CF交于点G,若NBDC=140°,ZBGC=110。,求N

A的度数;

⑶如图③,NABD/ACD的10等分线相交于点GI,G2,...,G%若/BDC=l4()o,NBGC=77。.求NA的度数

7.⑴如图①,NA=52。,NB=25。,NC=30。,ND=35。,NE=72。,求NF的度数;⑵如图②,NEGC=105。,求NA+NB+N

专题6导角模型(四)风筝型

(伞型、折叠模型)

类型一不压边

1.如图，在aABC中、NBAC=60。,将AABC沿DE折叠.使点A落在BC边上A处下列结论正确的是（）

A.Z1+Z2-ZB+ZCB.Z1+Z2>ZB+ZC

C,Z1+Z2<ZB+ZCD.无法判断/1+N2与NB+NC的大小关系

BA1C

（第1题）（第2题）

2.如图，将4ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，且BA，平分NABC,CA平分NACB,若NBAC=110。,则N1+N2

的度数为一.

3把四边形ABCD沿EF折叠，当点A,D分别落在四边形BCFE内部点A\D的位置时，你能求出NA<Z

N1与N2之间的数量关系吗?并说明理由.

类型二压一边

4.如图，已知/BAC=32。,点D,E分别在AB,AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在NBAC外部的点A处，此

时测得N1=106。，则N2的度数为（）

A.34°B.37°C.40°D.42°

A

：\A

*，q

B1CBEGC

（第4题）（第5题）

5.已知在4ABC中,NA=65。,将NB,NC按照如图所示折叠若NADB』35。,则Nl+/2+N3=

6.如图，有一特定的纸带其边沿夹角为15。,现将该纸带沿BD翻折,NGEA=30。,求NEDB的度数.

①

类型三压两边

7.如图把ZXABC沿EF折叠折叠石的图形如图所示,NA=5（）。，则/1+Z2的度数为（）

B.120°C.1100D.100°

（第7题）（第8题）

8.如图把一张RtZXABC纸片沿DE折叠若Nl=70o,NC=90。,则/2的度数为

专题7导角模型（五）余角模型

（双垂直模型）与补角模型

名师指导

分类训练

类型一余角模型

1.如图在△ABC中，两条高线CE,BD相交于点G,M,N是边BC上两点且AM,GN分别平分NBAC,NBGC,A

M交CE于点F.

⑴求证:NBAC+ZBGC=180°;

(2)求证:AM〃GN.

类型二补角模型

2.如图，在四边形ABCD中,NABC=ND=90\AE平分NBAD交BC于点E,交DC的延长线于点F,作NECF的

平分线交AB的延长线于点G.

(1球证:NBAD=2NBCG;

(2球证:CG_LEF.

专题8角平分线夹角模型(一)双内角平分线

名师指导

基本图形：

条件:BP平分内角ZABC,CP平分内角ZACB

A

结论：ZP=90°+^ZJ

针对训练

1.如图在4PBC中,BD,CA分别平分NABC和NDCB,BD与AC相交于点0.连接AD.

(1)已矢[]NOAD+NODA=60。.求/P的度数：

(2诺ZBAC=a,ZCDB=P，ZBOC=y,试探究aQy三者之间的等量关系.

2.如图①，在4ABC中2ABC的平分线与/ACB的平分线交于点D.

(1试说明NBDC=90

(2四点D任意作直线MN,分别交射线AB和射线AC于点M和N.

①如图②，当点M,N分别在边AB.AC上时、求NMDB+NNDC的度数(用含NA的代数式表示).

②当点M,N中有一点在边AB或AC的延长线上时，ZMDB,ZNDC,NA三者之间存在怎样的数量关系。

说明你的理由.

专题9角平分线夹角模型(二)双外角平分线

名师指导

基本图形：

A条件:BP平分外角NCBD,CP平分外角NBCE

结论：/尸=90。-；/月

P

针对训练

1.⑴如图①在△ARC中R。平分外角ZCRP.CO平分外角/RCQ,猜想/O和/A之间有什么数量关系”并证

明你的结论.

(2)如图②，在锐角AABC中,BD和BE三等分外角NPBC,CD和CE三等分外角NQCB,请分别写出NA和ND,

NA和/E的数量关系并证明.

2.如图①,Z\ABC的外角平分线BF,CF交于点F.

(1诺NA=50。,求/F的度数.

(2四点F作直线MN,交射线ABAC于点M,N,并将直线MN绕点F转动.

①如图②,当直线MN与线段BC没有交点时，若设NMFB=a,NNFC平试探索NA与a串之间满足的数量关系,

并说明理由.

②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中/A与a,p之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明理

由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系.

专题10角平分线夹角模型(三)内外角平分线

名师指导

基本图形：

条件:BP平分内角NABC,CP平分外角ZACD

结论：ZP=^ZA

BCD

针对训练

1.如图①，已知在△ABC中,CE是外角ZACD的平分线,BE是/ABC的平分线.

⑴求证:NA=2/E;

(2诺NA=NABC,求证:AB〃CE;

(3)如图②，在aABC中,NA=0,NABC和NACD的平分线交于点As得NAI,NAIBC和NACD的平分线交于点

Az,得NAz,…,NAn-iBC和的平分线交于点An,求NAn.

2.已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O,点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运点A,B均不

与点。重合.

(1)如图①,AI平分NBAO交OB于点I,BC平分NABM,BC的反向延长线交AI的延长线于点D.在点A,B的运

动过程中，NADB的大小是否会发生变化“若不变，求出NADB的度数；若变化，请说明理由.

(2)如图②，已知点E在BA的延长线上,NBAO的平分线AI,ZOAE的平分线AF与NBOP的平分线所在的直线

分别相交于点D,F.在4ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出NABO的度数.

M

专题11角平分线夹角模型(四)角平分线与垂线

名师指导

*

/t\j

基本图形

BDECBEC

共点型异点型

NACB是直角，局CD与角平分线AE相交

条件AD是高,AE是角平分线,NB>NC

于点F

结论ND4EW（NB-NC）ZFEC=ZCFE

针对训练

1.⑴如图①，在AABC中,NB〈/C,AE_LBC,AD是aABC的角平分线.试写出NDAE,NB,NC之间的数量关

系，并证明你的结论；

(2)如图②，若点F在AD的延长线或反向延长线上，作FE_LRC,其他条件不变，试写出NF与NB,NC之

间的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，若把(1)中的“AE_LBC”改为"CE_LAD”,其他条件不变试写出NECD与NB2ACB之间的数量关系,

并证明你的结论.

2.⑴如图①,在△ABC中,NA=31)。,NACB=8()。,CD为AB边上的高,BE平分NABC,分别交CD,AC于点F,E,求

NCFB的度数

(2府⑴的条件下，若NACB=90。,如图②，求证:NCFE=NCEF.

cc

第十三章三角形章未检测

一、选择题

1从10米长的木条两边各截取一根X米长的木条.若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则X的值可

能为

A.2B.2.5C.3D.6

2.如图,AD,CE都是△ABC的中线，连接ED,AABC的面积是lOcm?厕ABDE的面积是（）

3.如图，在AABC4,,ZBAC=36°,ZACB=62°,BED为BE延长线上一点，且DF1AC于点F,则/

BDF的度数为

A.8°B.12°C.13°D.I5°

4.如图,AC=6,BC=8,AB=10,点D是平面内一点,且满足AD=2CD,则2BD+AD的最小值是

A.12B.14C.16D.18

二、填空题

5.如图在△ABC中,AD是边BC上的中线,AABD的周长比△ADC的周长多3,AB与AC的和为13,则AB的长

为

（第7题）

6.已知4ABC中AE是角平分线,AD是BC边上的高线,NEAD=30o,NDAC=l（）oJjHJNBAC的度数为

7.如图，一张三角形纸片ABC中，/A=30。，点D在边AC上，先将纸片沿BD折叠，点A落在点A处AB

交AC于点E（如图①），再将aBCE沿BE折叠，点C恰好落在折痕BD上的点C处，此时/CEB=72。（如图②），则NAB

C的度娟.

三、解答题

8.已知a,b,c是aABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.

⑴直接写出c及x的取值范围.

(2)§x是小于18的偶数.

①求c的长;②判断aABC的形状.

9.如图，在aABC中,NABC=6()o,/ACB=4()o,BEJ_AC于点E,AD与BE交于点F.

⑴求NABE的度数；

(2®AD平分NBAC,DG平分NADC,试说明DG/7BE.

10如图，在AABC中,NABC与NACB的平分线相交于点P,AABC的外角ZMBC与/NCB的平分线交于点

Q,延长线段BP,QC交于点E.

⑴若NA=30。,求NBPC的度数；

(2探究/BPC与NQ之间的数量关系，并证明；

(3)ffi^BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求/A的度数.

专题12数学思想(一)方程思想

当问题中线段或角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已

知的转化.

1.在aABC中，则△ABC是()

A.说角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

2.如图,△ABC中点D在边BC上，若NB=NC=NBAD,且NCAD=NCDA,则NBAC的度数是___.

3.一个等腰三角形的周长是30cm.若腰长是底边长的2倍，求各边的长.

4.在△ABC中,AB=AC,DB为AABC的中线，且BD将aABC周长分为12与15两部分，求三角形各边长.

5.如图在AABC中,D是BC上一点，连接AD,ZCAD的平分线交BC于点E,ZBAE=ZBEA.(l)3<iiE：ZBAD=Z

C;

(2)若NC=55o,NB=3NDAE,求NB的度数.

BDEC

专题13数学思想(二)分类讨论思想

当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，需要根据可能出现的情况分类讨论求解.

针对训练

1.已知非直角三角形ABC中,NA=45。,高BD与高CE所在直线交于点H,则/BHC的度数是()

A.45°B.45。或135°C.45。或125°D.135°

2.如图，点P为^ABC外一点(点P不在直线AB,BC,AC上).连接PB,PC.若NPBA=a,NPCA邛,/BAC=Y，对于①

由他②叱叼;③p-a・y;④360。心内,则/BPC的度数可能是

B.②③④C.®®®D.①②③④

3.一个等腰三角形的周长是20,若其中一条边长为8,则这个等腰三角形的腰长是___.

4.已知a,b,c分别为aABC的三边长、并满足I〃-4|+(C-3)2=0.若b为奇数，则^ABC的周长为

5.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形为

“开心三角形”.

例如在△ABC中，如果NA=70o,/B=35o,Z\ABC为“开心三角形’二

问题如图①,△ABC中,NACB=9Do,NA=60Oj^D是线段AB上一点(不与点A,B重合)，连接CD.

(I)如图②.若CD±AB,KIJAACD,ABCD是听心三角形”吗？为什么?

(2)§AACD是“开心三角形”，直接写出/ACD的度数.

专题14数学思想(三)整体思想、转化思想

名师指导

当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求解.

转化思想，亦称化归思想，把一个未知的新问题转化为我们已知的旧问题，用已有的知识加以解决，化陌生

为熟悉，化复杂为简单.

分类训练

类型一整体思想

1.如图直角三角形ABC中,NACB=90o,AB=10,AC=8,BC=6,点D是边AB上一动点作直线MN经过点C、点D,

分别过点A,B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点F,E.设线段BE,AF的长度分别为5注,则(

4+〃2的最大值为

2.(1)如图①，四边形ABCD的内角和为一.

(2)用(1)中的结论解决问题:如图②,AE,DE分别是四边形ABCD的外角ZNAD,ZMDA的平分线,NB+NC=240。,

求NE的度数.

类型二转化思想

3.如图①所示，已知一个五角星ABCDE.

(1球NA+NB+NC+/D+NE的度数.

(2)如图②所示，如果点B向下移动到AC上.求NA+NEBD+NC+/D+NE的度数.

(3)如果点B继续向下，移到AC的另一侧，如图③所示，(2)中的结果还成立吗?如果成立，请说明理由；如果

不成立，请求出它