人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教学设计

25.2.4一元二次方程根与系数的关系（教学设计）

^^教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次--解一元二次方程》，

2524一元二次方程根与系数的关系.核心内容为一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）.主要包括：通

过具体一元二次方程的两根计算、观察归纳出根与系数的基本规律；结合求根公式严谨推导一般形式•元

二次方程《谓+云+c=ogwo）的两根和、两根积与系数的关系式；明确定理成立的前提条件；运用根与系

数关系进行简单求值、验根、求待定系数等基础运算，是•元二次方程解法、根的判别式知识的延伸与拓

展.

2.内容解析

本节课是一元二次方程章节的核心拓展内容，承接前面直接开立方法、配方法、公式法、因式分解法解方

程，以及根的判别式的知识，实现了由“解方程求根”到“不解方程研究根的特征”的思维跨越。此前学生研

究方程根依赖具体求解，本节课通过系数直接关联根的和与积，简化了运算流程，为后续二次函数与一元

二次方程综合题、代数式求值、方程参数求解、根系综合问题奠定核心基础，在初中方程知识体系中起到

承上启下的关键作用.新教材遵循“特殊到一般”的认知规律，先通过多个简单一元二次方程计算两根和、两

根积，引导学生观察猜想规律，再结合求根公式严谨证明，最后搭配基础例题、习题巩固应用，弱化更杂

偏难题型，侧重定理的推导理解与基础应用，注重培养学生归纳推理、逻辑证明的数学核心素养，贴合新

课标对初中代数运算与推理的能力要求.

基于以上分析，本节课的教学重点为：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用

韦达定理求解两根和、两根积及简单根系代数式的值.

教学目标与解析

1.教学目标

⑴理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式：掌握定理成立的前提条件

（A=/r-4«c>0）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方

程根的正确性、求解简单参数问题.

⑵经历“计算观察一猜想归纳一严谨证明一应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代

数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.

(3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导

与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.

2.目标解析

目标1是基础性目标为学生能准确记忆根系关系公式，区分二次项系数为1和不为1的两种方程形式的根系规

律；核心目标为理解公式推导逻辑，明确前提条件，规避无实数根时误用定理的错误；应用性目标为熟练

运用整体代入思想解决根系相关求值、参数问题.

目标拆2通过特殊方程探究，培养学生观察、对比、归纳的直观推理能力；通过公式严谨证明，规范学生代

数证明的步骤与逻辑；通过分层例题练习，提升学生知识迁移、灵活解题的应用能力.

目标3依托规律探究过程，落实数学抽象、逻辑推理核心素养；依托代数式求值运算，提升数学运算核心素

养；依托易错点辨析，培养学生严谨求实的数学理性思维.

学情分析

九年级学生已经熟练掌握•兀二次方程的四种解法、•兀二次方程•般形式、根的判别式的判定方法，熟

记求根公式，具备一定的代数运算和简单推理能力，为本节课根系关系的探究与证明提供了必备知识支撑.

学生已初步掌握“特殊到一般”的探究方法，但逻辑严谨性不足，对公式推导的必要性、前提条件的约束性理

解薄弱；同时学生习惯具体运算解题，对“不解方程、整体代入”的抽象解题思维不够熟练，容易出现机械套

用公式、忽略符号、遗漏前提条件的问题.学生容易混淆二次项系数为1和不为1的根系公式，频繁看错一次

项、常数项符号；普遍忽略△=〃-4ac20的前提，在方程无实数根时强行套用韦达定理；对需要配方、变

形的根系代数式求值，缺乏解题思路.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前

提条件，规避无实数根时误用定理、看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根

系代数式.

^^教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

情境导入，特例探究

教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积.：

①x2-3x+2=0②x2-5x+6=0③一6x+4=0

学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察:

方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？

学生小组交流，自主猜想：当二次项系数为1时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项；当

二次项系数不为1时，两根和、两根积与系数存在固定比例关系.

(设计意图：从学生熟悉的解方程运算入手，降低探究门槛，贴合学生认知基础。通过特殊实例的计算、观

察、猜想，让学生自主感知根系关联规律，激发探究兴趣，自然完成从“具体运算”到“规律猜想'.的思维过渡，

培养归纳推理能力.)

新知探窕

探究点1严谨推导，得出定理

活动1:猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.

师生共同推导：对于一般形式一元二次方程“一+法+c=°(a*°),当△=6-4ac20时，方程的两个实

数根为：

-b+yjb~-4ac-b-yjb2-4ac

Xt==

la,-la

分步计算两根和、两根积：

-b+y/b2-4ac-b-yJb2-4ac-b-bb

工一x,=------------+------------=-----=——

2a2a2aa.

-bjbiac-b_J._4片_(询2_("2_4〃c)/_但_4ac)_4s•_

“*2a2a(2tz)24/4t/2a

归纳总结：一元二次方程根与系数的关系：

,._b_c

若一元二次方程加+法+。=°(4工°)的两个实数根为内，%,则"+“一一7~"一丁

核心前提：方程必须有实数根，即△=6-4仇20.

特例：当a=l时，方程V+PX+4=°,则再+』=一"，再，/

(设计意图：通过严谨的代数推导，脸证猜想的正确性，让学生知其然更知其所以然，突破本节课推导难

点.明确定理前提条件，从根源上规避学生后续误用公式的问题，培养学生严谨的数学证明思维和逻辑素养.)

探究点2：理解定理，及时应用

活动2.判断下列说法是否正确.

方程Y+2x+3=°的两根和为_2,两根积为3.

（X,无实数根，不能用定理）

（2）方程2/-4%-1二0的两根和为2,两根积为2.

（、'，根据一元二次方程根与系数关系结论正确）

活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根小々的和与积:

（1）x2-6x-15=0.（2）3x2+7x-9=0.（3）5x-i=4x2

（1）X\+A2=-（-6）=6,^x,=-15;

79,

芭+工2=一三,内•9=一3=一3;

（2）33

-551

,X+X,=---=—X=-.

（3）方程化为4r—5x+l=0,所以-44y-4

（设计意图：通过辩析题直击核心易错点，强化学生对“4=从-4〃:？°前提条件，，和“系数符号，，的认知：基

础例题简单直白，帮助学生熟练套用公式，夯实新知，建立解题信心.）

探究点3灵活运用拓展提升

活动4：代数式变形求值（核心应用）

11

--1--

已知X，％是方程V—4x+2=0的两根，不解方程，求下列代数式的值：（I）⑵K4

学生讨论交流：结合完全平方公式、分式通分，将所求代数式整体变形为含玉十巧、玉的形式，再代入计

算.

推导核心变形公式:

1J

%12+/?=（玉+/）~_2X）X;

2X）x2xtx2

学生独立完成解题，教师规范解题步骤，强调整体代入思想.

活动5：参数解决综合问题

已知方程d+SL2）工+26=°的两根之和为］,求m的值及两根之积。

学生交流讨论：1.根据根系关系得：-（m-2）=I,解得m=l；

2.捡证△=6-4加=0,确保方程有实数根;

3.代入求两根积.

（设计意图：拓展题型贴合中考基础考点，通过代数式变形、参数求解，突破本节课难点.弓I导学生掌握整

体代入的核心解题思想，实现知识的灵活迁移，提升学生综合解题能力，兼顾分层教学，满足不同层次学

生的学习需求.）

典型例题

例L已知关于x的方程f-4x+&+l=°有两实数根.

（1）求k的取值范围;

22r

—I=X|X2―7

（2）设方程两实数根分别为：为，“，且耳W,求实数k的值.

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程;

（1）根据方程有两个实数根得出△=（~4）2-4xlx（&+l）N°,解之可得.

（2）利用根与系数的关系可用女表示出％+“2小巧的值，根据条件可得到关于人的方程，可求得左的值，注

竟利用根的判别式进行取舍.

【详解】（1）解：・••关于x的方程/一44+八1=0有两实数根,

.A=(-4)2-4xlx(/c+l)>0

解得：4工3；

（2）解：♦.•方程9―41+2+1=0两实数根分别为：/，凡,

.A-]+A'2—4X{X2—A+1

，工”7

泡2”

内工2

237

.•乂+1

解得：&二一2,&=7（经检验都是原方程的解），

,:k43

故也二一2.

例2.若关于x的一元二次方程9+"+2=°有一个根是x=2,求b的值及方程的另一个根.

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若"2+加+。=°(”工())有两实数根为占，X?,则

__h_c

”「七=-「，根据根与系数的关系求解即可.

【详解】解：设方程的另一个根为演，

x.+2C=—b

41

根据题意，得12±二2,

%=1

V

解得"二一3,

.•净二-3,方程的另一个根为'=1.

例3.已知夕，夕是关于x的一元二次方程3/+2工-4=°的两个不相等的实数根，

(1)求°+"的值

(2)求”的值

工_1_

(3)求/的值

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，对于一元二次方程

bc

底+反+c=0("0),若与“2是该方程的两个实数根,则

(1)根据根与系数的关系即可得到答案；

(2)根据根与系数的关系即可得到答案；

11a+4

--1--=----

(2)根据(1)(2)所求结合aP幼进行求解即可.

【详解】(1)解：•.。，夕是关于x的一元二次方程犷+2x-4=°的两个不相等的实数根，

a+*；

(2)解：・「a,/是关于x的一元二次方程3犬+2工-4=0的两个不相等的实数根，

4

严F

24

a+J3=——aP=——

(3)解：v3,3

a+

~郊

_2

=21

_4

~3

=一1

r/・

(设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.)

巩固练习

课本课堂练习(P16).

(设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解,还可以及时反馈学习情况,将助学生查漏补抉,帮助教师及时调整教学策略)

拓展提升

1.已知关于己的一元二次方程:+(2++1K+*+1=0

⑴若方程有实数根，求实数，〃的取值范围；

⑵若方程两实数根分别为为，*2,且满足内2+%；=15,求实数〃?的值.

【详解】(1)解：关于”的一元二次方程♦-⑵"D八十"十1=0有实数根,

6-4ac=(2m+1)2-4(+1)=4/n-3>0

f

m>—

解得：4,

m>—

即阳的取值范围是4；

(2)%+/=Y25+1),&&=62+1,

2

父+g=(%+再产-2xlx2-(2m+1产-2(〃/+1)=2m+4/n-l

•jM+君=15,

2,7r+4/»-l=15,即nr+2m-8=0,

解得〃z=2或机=-4.

/.in=2.

故州的值为2.

（设计意图:强化本节课核心知识的拓展.）

真题感知

1.（2025・湖北）一元二次方程，-4/3=0的两个实数根为川，X2,下列结论正确的是（）

A.XI+A-2=-4B.x]+xi=3C.XIX2=4D.X\X2=3

【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，7-4x+3=0,

a=1,b=-4,c=3,

b.c.

•••X|+.V2=----=4,Xl*X2=-=3>

aa

故逸:D.

2.（2025•绥化）己知〃?，〃是关于x的一元二次方程12・2025%+1=0的两个根，则（m+1）（〃+[）=

【解答】解:〃是关于x的一元二次方程2025/1=0的两个根,

•••〃?+〃=2025,nm=1,

（ni+1）（〃+1）=mm+m+n+\=1+2025+1=2027,

故答案为：2027.

3.（2025"眉山）已知方程7-2.1-5-0的两根分别为xi,xz,则（xi+1）（A2+1）的值为.

【解答】解•：由题意，•••方程/・〃・5=0的两根分别为川，A2,

■•Xl+X2=2,X\X2=-5.（xi+1）（X2+1）=X1X2+X|+X2+1=-5+2+1=-2.故答案为：-2.

4.（2025・广安）已知方程24=0的两根分别为。和4则代数式♦・4〃+b的值为—

【解答】解：•.•方程7-5x-24=0中的两根分别为〃、b,

­-a+b=5,cr-5a-24=0.

・••J-5a—24,

­-a1-4a+b=cr-5a+a+b,

=24+5,

=29.

故答案为：29.

5.（2025•泸州）若一元二次方程2?-6x-1=0的两根为a,。，则2a2-3a+3p的值为.

【解答】解：将x=a代入原方程得：2a2-6cx-1=0,

••2a2-6a=I.

,•一元二次方程2A2-6x-1=0的两根为a,p,

・•・a+0=3,

.♦.2a2-3a+3p=(2a2-6a)+3(a+p)=1+3x3=10.

故答案为：1().

6.(2025•南充)设川，立是关于1的方程(x-1)(x-2)=〃尸的两根.

(1)当加=-1时，求X2及旭的值.

(2)求证：(xi-I)(x>-I)<0.

【解答】解：(1)把川=-I代入方程a-I)(A-2)=nrt

得"『=6,

■.m=

(x-1)(x-2)=6,即«-31-4=0.

(x-4)(x+1)=0.

•••XI=-1，X2=4.

•,•%2=4,m=+V6.

(2)方程(x-1)a-2)=渥可化为/-3/2-m2=0.

--,A-9-4(2-;??2)~4?/r+l>0,

方程有两个不相等的实数根.

,•,方程(JI-1)(x-2)=m2即f-3x+2-m2=0的两根为xi、X2,

■-Xl+X2=3,Xl*X2=2-n?.

(XI-I)(X2-1)

=X1U'2-(X]+X2)+\

-2-m-3+1

=-nr.

1•,w2>0,

••-m2<0,即(xi-1)Cx2-1)<0.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以若助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检

险学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

课堂小结

1.知识与技能：⑴核心定理：对于加+次+。=°52°）,当A="4比20时，方程两个实数根为内也

bc

则一0一。;（2）特殊形式：方