2026年高考数学复习讲义：直线的交点坐标与距离公式（知识梳理+题型归纳）学生版+解析

【第32讲：直线的交点坐标与距离公式】

【知识梳理】

一、直线的交点坐标

1.核心原理

两条直线的交点坐标，本质是两直线方程所构成方程组的唯一解（两直线相交时）。

2.判定与求解步骤

判定相交条件：设直线4：A》+片），+酬=0,Z2：AX+B,y+C2=o

当4纥一A2MH0时，两直线相交，有唯一交点；

当4与-44=0时，两直线平行或重合，无交点或无数交点。

[A二.X++B勺,y，++C,G==0。’所得（"）即为交点'坐标。

求解交点坐标：联立两直线方程，解二元一次方程组

二、距离公式（三大核心类型）

i.两点间距离公式

适用场景：已知两点R（*，X）、鸟（々，％），求两点间距离166I。

公式：|初|=4V2f）2+（%一方

（推导依据：平面直角坐标系中勾股定理）

特殊情况:若两点在X轴上（X=y2），则I[61=1/一%I；若在y轴上（3=.），则I片鸟1=1%-HI。

2.点到直线的距离公式

适用场景：已知点尸（马,兄）和直线/：Ar+耳y+C=（）（AB不同时为0）,求点到直线的垂线段长度.

\Ax+By+C\

公式：d=Q0

yjA2+B2

（分子取绝对值保证距离非负，分母为直线方程系数的“平方和开根号”，避免分母为0）

易错点：使用前需将直线方程化为一般式（Ar+8y+C=。），否则公式不适用。

3.两平行直线间的距离公式

适用场景：已知两条平行直线4：AE+B），+G=0、l2:Ax+By+C2=0（A,8不同时为0,且

G工。2），求两直线间的距离。

JIC-CJ

公式：d=/,

y/A2+B2

（推导依据：在一条直线上取任意一点，转化为“点到直线的距离”计算）

关键前提：两直线方程需满足“X、y系数对应相等”（即化为相同的一般式形式），若系数不同，需先

统一系数（如4：2x+4y+3=0可化为x+2y+1.5=0,再与4：x+2），+5=。计算距离）。

三、对称相关知识（四大核心类型）

1.点关于点对称

核心原理：对称点与原点（对称中心）的连线被对称中心平分，即对称中心是两点连线的中点。

求解方法：设点尸（须，）’0）关于点例（。，份的对称点为P（x'，V），根据中点坐标公式可得：

a=-%-+--x-

xr=2a-

2,,解得《x0

y=2b-y0

2

2.点关于直线对称

核心原理：直线是两点连线的垂直平分线，满足两个条件：①两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为T,

若直线斜率存在）；②两点连线的中点在对称轴上。

求解步骤：设点关于直线/：Ar+By+C=O的对称点为P'（V,y'）,则:

①垂直条件：若直线/斜率为2=-一（区工0）,则怎=即:卫•.（-6）二一；

②中点条件：中点（X=,血上X）在直线/上，代入得4方旦+8・2U+C=O：

2222

联立①②，解方程组得/、/（若直线/斜率不存在，即垂直x轴，直接利用对称性求解，如直线x=。,

则上二2。一％,/=y0）（,

3.直线关于点对称

核心原理：两条对称直线平行（斜率相同），且对称中心到两条直线的距离相等。

求解方法：设直线/：—+为+。=。关于点M（〃,份的对称宜线为1',则/'方程可设为

AY+By+C=O（因平行，x、y系数相同）；

\Aa+Bb+C\\Aa+Bh+C'\

由点M（a,b）到/与〃的距离相等得/=——=---1=——

y/A2+B2ylA2+B2即

|加+慨+C'|=|Aa+Bb+C\-

又因/与/'不重合，故ChC,解得C'=—2(4。+Bb)—C,即:Ax+By—2(Aci+Bb)—C=0<,

4.宜线关于直线对称

核心原理：分两种情况：①两直线相交，对称直线过两直线的交点，且与两直线的夹角相等；②两直

线平行，对称直线与它们平行，且到两条直线的距离相等。

求解方法：

当两直线乙与对称轴/相交时：先求交点P；在4上取一点。，求其关于/的对称点0：由八0'两点

确定对称直线//；

当两直线4与对称轴/平行时：设4：Av+8），+G=0,/:Ar+By+C=O,对称直线

IC-CIIC-CI

/］.:Ax+By+C2=0,根据I212=/；2，得G=2C-C］（保证4与/［在/两侧

四、核心易错点与注意事项

1.求交点时，需先判断两直线是否相交（避免联立无解或无数解的情况）；

2.距离公式中，分母，42+）不可漏写,且需保证不同时为（）；

3.两平行直线距离计算前，必须统一x、y的系数（系数成比例时需化简为相同系数）；

4.所有距离均为非负数，公式中分子的绝对值不可省略；

5.点关于直线对称求解时，需同时满足“垂直”和“中点在直线上”两个条件，缺一不可；

6.直线关于直线对称时，需先判断两直线是否相交，再选择对应方法，避免混淆平行与相交的求解逻辑

题型分类知识讲解身常善题型

【考点一：两直线的位置关系】

【例题】1.（2025高三・全国•专题练习）直线/过两直线3x+y-6=O和2x-），+3=0的交点，且与直线

x+y-10=0平行，则直线/的方程是.

2.（25-26高二上•全国・单元测试）已知直线点2x-），=。与/2：x+y-3=O,过点尸（3,2）的直线;被。〃截得

的线段恰好被点。平分，则这三条直线小%/围成的三角形面积为.

【针对训练】3.（25-26高二上•全国・单元测试）已知直线4：2.r+3），-2=0,Z2:/7u+（2/n-l）y+l=0,其

中阳为实数.

（1）当时,求机的值;

（2）当〃?=1时，求过直线44的交点，且垂直于直线X-2），+4=0的直线方程.

4.（2025高三・全国•专题练习）已知直线/1：3x+4），-10=04：4x-6y+7=0,直线。过丸与6的交点且过点

4（4,-7）,求A的方程.

5.（24-25高二下•上海徐汇•期中）在V/WC中，已知c（2,6）,乙4的平分线所在直线方程是x-y=0,BC

边上的高所在直线是2x-y+1=0,则点8的坐标为

【解题策略】

判断两直线的位置关系：

利用斜率判断：若两直线斜率都存在，对于不重合的直线4、12,斜率分别为占、k2,则/J40K=包，

4_/2=%/2=-1。要注意前提是两直线斜率都存在。当两宜线不重合且斜率都不存在时，两直线平行;

一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直。

根据直线方程的一般式判断：对于直线/1：4r+4），+G=o和/2：41+82），+。2=0,若

A.B.C.[A.x+B呢.y++Cc,『=0。有唯一解'则两

—,则/J，2；若A4+3]32=。，则若方程组，

儿占

直线相交。

由两直线的位置关系求参数：

平行关系求参数：根据两直线平行的条件列方程求解，如两直线4：Ax+与y+G=0与

，2：&X+约丁+。2=0平行，则4为-&旦=0,同时要注意排除两直线重合的情况。

垂直关系求参数：依据两直线垂直的条件AAz+q层=0（斜率都存在时可用K&二T）列方程，进

而求出参数的值。

由两直线的位置关系求直线方程：

平行直线系方程：与直线Ax+6y+〃=（）平行的直线方程可设为不+5+〃?=0（加工〃），再根据已

知条件求出〃?的值。

垂直直线系方程：与直线4丫+为，+〃=0垂直的直线方程可设为Ai-A），+，〃=O,然后结合其他条件

确定mo

过两直线交点的直线系方程：过直线4：4工+用），+。1=0与/2：4X+与），+。2=0交点的直线系方程

为44+与），+0+〃41+82>+。2）=0（丸为参数），不包括直线，2。可根据其他条件求出丸，进而得

到直线方程。

【考点二：距离问题】

【例题】L（24-25高二上•上海•阶段练习）己知实数。，〃，c成等差数列,则点尸（2,1）到直线⑪+圾+c=0

的最大距离是.

2.（25-26高二上•全国•单元测试）已知直线/的方程为（〃?+3L+⑵7-l）），-7〃7=O（〃7eR）.

⑴证明：直线/过定点，并求定点到直线3x+4y-7=。的距离；

（2）当，〃为何值时，点Q（3,4）到直线/的距离最大？最大距离是多少？

【针对训练】1.（25-26高二上•全国•课后作业）若点P（l,a）到直线办-3），-1=0的距离不大于后，则a的

取值范围是.

2.（25-26高二上•全国•单元测试）已知4（-3,-4）,8（6,3）两点到直线/：⑪+y+l=。的距离相等，则。的

值为（）

17厂Iy7「1-1、7

AA.-BD.C.--BJC--D.-sk--

JxO，J，

3.（25-26高二上•全国•期中）若两条平行直线《：.”2），+6=。与仆2x+〃），-6=0之间的距离是2。，则

直线4在x轴上的截距为.

【解题策略】

一、核心距离公式（解题基础，必须熟记）

1.点到直线的距离公式

若点坐标为2%,先），直线方程为/：—+3）'+。=。（4，5不同时为0）,则点尸到直线/的距离为：

_|八七）I孙）।C\

&+■

关键前提：直线方程需化为一般式，分母为系数平方和的算术平方根，分子为绝对值（保证距离非负）。

2.两条平行线间的距离公式

若两条平行线的方程分别为4：Av+By+G=0和，2：Ar+By+C2=0（A8不同时为0,C,*C2）,

则两直线间的距离为：

77^

关键前提：两直线方程需满足X、y系数完全相同（若不同，需先统一系数，如将4：2x+4），+3=O化

3

为4+2丁+不=0,再与4：x+2y+5=0计算距离）。

3.两点间距离公式（辅助工具）

若两点坐标为4（X11）、鸟（毛，％），则两点间距离为：

1附1=—NY+（%—-I

常与“点到直线距离”“对称问题”结合使用（如求对称点后计算距离）。

二、常见题型分类及解题步骤（高考高频考法）

题型1：宜接利用公式求距离

解题步骤：

①统一方程形式：将直线方程化为一般式（点到直线距离）或统一x、y系数（平行线间距离）；

②代入对应公式：明确公式中各参数（如A8,C或小，）'。），注意分子绝对值符号；

③计算化简：分母有理化（若有根号），结果需化为最简形式（如分数、整数或根号形式）。

题型2：已知距离求参数（逆向求解）

解题步骤：

①确定距离类型：判断是“点到直线距离”还是“平行线间距离”，明确已知条件与待求参数的位置（如

参数在直线方程系数中，或在点的坐标中）；

②代入公式列方程：根据距离公式建立含参数的方程，注意绝对值符号带来的“正负两种情况”；

③求解并验证：解绝对值方程得到参数值，需验证参数是否满足直线方程的前提（如两直线平行时，需排

除重合情况，即系数成比例但常数项不成比例）。

题型3：距离的最值问题（高考难点）

解题思路：

①转化为“点到直线距离”：若求“直线上一点到定点的最短距离”，直接用点到直线距离（最短距离即定

点到直线的垂线段长度）；若求“两条动直线间的最短距离”，需先判断直线位置关系（平行时可转化为定

点到直线的距离，相交时最短距离为0）；

②结合几何意义：利用“三角形两边之和大于第三边”“垂线段最短”等几何性质，避免复杂代数运算；

③函数法辅助：若含参数的距离表达式可化为二次函数，可通寸配方法求最值（注意参数的取值范围）。

题型4：距离与其他知识结合（综合题）

常见结合方向：与直线的平行/垂直、对称问题、圆的方程（如圆上点到直线的距离）结合；

解题核心：先拆解问题，优先解决“距离相关的核心条件”，再结合其他知识（如利用垂直关系求直线斜率，

利用对称点求距离），分步突破。

三、常见误区与规避方法（易错点总结）

1.公式使用前提错误

误区：计算平行线间距离时，未统一x、y系数（如直接用4：2x+y+l=O与4：x+O.5y+2=O代入

公式）；

规避：先将两直线方程化为“Ar+8y+G=0”与“几+8.V+G=°”形式，确保A、B完全相同。

2.忽略绝对值的多解性

误区：已知点到直线距离求参数时，直接去掉绝对值（如由|2%+3|=5只解得女=1,遗漏々=-4）；

规避：解绝对俏方程时，明确“|M|=N（N>0）”等价于“加=/7或加=一""，所有解需代入原

直线方程验证合理性。

3.混淆“点到直线距离”与“两点间距离”

误区：求“直线外一点到直线上某点的距离”时，误用水平/垂直距离（如点（1,2）到直线y=x+l的

距离，误算为横坐标差1）；

规避：牢记“点到直线的距离是垂线段长度”，必须用点到直线距离公式，不可用两点间距离公式随意

计算。

【考点三：对称问题】

【例题】1.（24-25高一上•四川自贡•阶段练习）已知直线/：）=2x+3,求：

（1）原点关于/的对称点坐标；

（2）直线）=关于/的对称直线方程；

（3）直线/关于点A（3,1）的对称直线方程.

2.（24-25高二上•贵州遵义•阶段练习）已知宜线/经过直线2工-3），+8=0和x+y-1=0的交点，且与直线

3x-2y+18=0垂直，若直线阳与直线/关于点对称，求直线，〃的方程.

【针对训练】1.（24-25高二上•湖北荆门•期中）已知直线/：3x-）T=0及点A（4,l）,8（0,4）,点。在/

上，当忸Q|的值最大时，点的坐标为,|A9-忸。的最大值为.

2.（2025高三•全国•专题练习）已知直线/：2x-3y+l=0,则直线机：3x-2y-6=。关于直线/的对称直线

加的方程为.

3.（23-24高二上•海南海口•期中）下列说法正确的是（）

A.直线1-）=2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是4

B.点（0,2）关于直线），=x+l的对称点为（1,0）

C.直线x—2y+3=0关于直线x+y_3=0的对称直线的方程为x_2），=（）

D.直线y=3x+3关于点A（3,2）的对称直线的方程为3x-），-17=0

【解题策略】

一、对称问题核心解题依据（本质原理）

对称问题的本质是“垂直”与“中点在对称轴上“，所有类型的对称求解均围绕这两个核心条件展开：

1.垂直关系：若点P与对称点却'$关「直线/对称，则直线$PP'$与对称轴/垂宜，即它们的斜率之积为-1

（若其中一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为0）。

2.中点在轴上：线段$PP'$的中点M坐标满足对称轴/的方程，即中点在对称轴直线上。

二、常见对称类型及解题策略（高考高频考法）

类型1:点关于直线对称（基础且核心）

解题步骤：

1.设坐标:设已知点为2%，%），其关于直线/：—+B.y+C=O（不同时为0）的对称点为

2.列方程组：根据核心依据列两个方程：

垂直条件:若直线/斜率存在（8工0）,则上二比（--）=-1：若直线/斜率不存在（8=0）,则$「，$平

x-x（）B

行于y轴，即x=.%。

中点条件：线段$PP'$的中点（王也,二也）代入直线/方程，得A.主也+3・汇滋+C=（）.

2222

3.求解方程组：解上述二元一次方程组，得到x和y的值，即为对称点$门$的坐标。

类型2：直线关于直线对称（综合应用）

解题思路（两种常用方法）：

1.两点法（通用）：

取点：在已知直线4上任意取两个不重合的点片、p2（优先取与对称轴/相交的点，简化计算）。

求对称点：分别求出点片、巴关于对称轴/的对称点4、p2（方法同“点关于直线对称

求直线方程：根据两点6、修，利用两点式或点斜式求出对称直线，2的方程。

2.到角公式法（适用于两直线相交）：

求交点：先求出己知直线人与对称轴1/的交点M（该点在对称直线4上）。

算斜率：设4、/、4的斜率分别为勺、k、k”根据“到角相等”（/到4的角等于4至“的角），利

用到角公式tan。』竺§k-k1

,求解得到公。

1+kk]

定方程：已知对称直线右过交点用且斜率为0，用点斜式确定其方程。

类型3：点关于点对称（简单拓展）

解题步骤：

1.设坐标：设已知点为尸（%,%）,关于定点的对称点为P*,），）。

2.用中点公式列方程：因M是线段$?「$的中点，根据中点坐标公式得主也=〃，上斗=〃。

22

3.求解：直接解上述方程，得工二2。一与，＞=2〃一％,即对称点$了$的坐标。

三、常见误区与规避方法（易错点总结）

1.忽略斜率不存在的情况：

误区：求解点关于直线对称时，默认直线斜率存在，遗漏“直线垂直于x轴（斜率不存在）”或“直线

平行于x轴（斜率为0）”的特殊情况。

规避：先判断对称轴直线的斜率是否存在，再选择对应的垂直条件（如斜率不存在时，对称点的横坐

标与已知点相同；斜率为0时，对称点的纵坐标与已知点相同）。

2.计算中点坐标出错：

误区：列中点条件时，误将中点坐标（专匕亨^）写为5+%,），+%）,导致方程错误。

规避：牢记中点坐标公式，代入对称轴方程前先检查中点坐标的表达式是否正确。

3.直线关于直线对称时漏验证：

误区：用两点法求对称直线时，取的两点过于特殊（如两点连线与对称轴平行），或未验正所求直线是

否符合对称性质。

规避：优先取与对称轴相交的点，若两点连线与对称轴垂直，可额外再取一个点验证：求出直线方程

后，可随机取原直线上一点，检查其对称点是否在所求直线上。

4.混淆“到角”与“夹角”：

误区：用到角公式时，误将“到角”等同于“夹角”（夹角是锐角或直角，到角有方向），导致斜率计

算错误。

规避：明确“到角”的方向（如乙至”的角是从右逆时针转到I的角），严格按照到角公式的定义列方程，

若斜率不存在需单独讨论。

踝唁针;对训练

—*、单选题

1.（25-26高二上全国.课前预习）已知直线2x-2y-6=（）和直线x-）T=O平行，则这两条平行线之间的距

离为（）

A.*B.V2C.2&D.472

2.（2025高二•全国•专题练习）直线2x+5y—7=0和3x+2y+6=0的交点坐标为（）

A.(4,3)B.(3,4)C.(<3)D.(-4,-3)

3.（2025高三•全国•专题练习）在等腰直角VA8C中，AB=AC=4,P是边A8上异于A4的一点，光线从

点P出发，经BC,C4发射后又回到原点/，（如图）.若光线QR经过VA8C的重心，则4,等于（）

4

D.

3

4.（25-26高二上.全国•单元测试）若某直线被两平行线4"-y+i=o与/2：x-y+3=0所截得的线段的长为

2加，则该直线的倾斜角大小为（）

A.15°B.15。或75。C.30°D.30。或150。

二，多选题

5.（25-26高二上•全国・单元测试）平行于直线x-y-2=0,且与它距离为及的直线方程可能是（）

A.x-y=0B.x-y-1=0

C.x-y+1=0D.x-y-4=0

三、填空题

6.（2025高二上•全国•专题练习）己知直线/经过点（-2,3）,且原点到直线/的距离等于2,则直线/的方程

为一.

7.（25-26高二上•全国•课前预习）己知A（0,l）,4（2,3）,则恒却,48的中点坐标为.

8.（25-26高二上•全国•课前预习）顺次连接43,1）,仇5,加）,。（〃?,2）构成一个等腰三角形，则实数〃［的一个取

值可能为.

9.（25-26高二上.全国.单元测试）己知△A4C的顶点高CO所在直线方程为3x+），-12=0,NABC

的平分线8E所在直线方程为4-2），+4=（）,则8点的坐标为.

四、解答题

10.（2025高二•全国・专题练习）求过两条直线x+）」2=。和x-2y+4=0的交点，且分别满足下列条件的

直线/的方程：

⑴与直线34-4），+1=0平行；

（2）与直线5x+3y-6=0垂直.

H.（2025高三・全国・专题练习）在中，已知A（l,4）,并且的角平分线所在直线方程分别为

/,：x-2y=0,/2:x+y-l=0,求直线8c的方程.

12.（24-25高二上•上海•阶段练习）分别求经过点P（0,-1）,且满足下列条件的直线/方程：

（1）点A（2,l）与点8（0,1）到直线/的距离相等;

（2）直线/被两条平行直线2x+y-6=0和4.2），-5=（）截得的线段长为

13.（25-26高二上.全国•单元测试）已知直线4%-丁+3=0和直线/2：2x-y+l=0交于点C,直线右过点C

且原点到人的距离等于2.

（1）求直线A的方程；

⑵设直线乙关于直线对称的直线为x轴与直线％和直线乙分别交于点A,B,求|A8|.

14.（25-26高二上•全国・单元测试）已知VABC的顶点8（5,1）,48边上的高所在的直线方程为公2），-5=0.

⑴求直线AB的方程.

(2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

①角A的平分线所在的直线方程为工+2)，-13=0；

②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0.

,求直线AC的方程.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【第32讲：直线的交点坐标与距离公式】

【知识梳理】

一、直线的交点坐标

1.核心原理

两条直线的交点坐标，本质是两面线方程所构成方程组的唯一解（两更线相交时）。

2.判定与求解步骤

判定相交条件：设直线4：Ax+8]），+G=。，l2:A2x+B2y+C2=0

当4层一为用工0时，两直线相交，有唯一交点；

当弓4一儿用二。时，两直线平行或重合，无交点或无数交点。

A.x+B.y-vC.=0

求解交点坐标：联立两直线方程，解二元一次方程组《t+/，+G=o'所得（"即为交点坐标,

二、距离公式（三大核心类型）

i.两点间距离公式

适用场景：已知两点《（为,%）、鸟（孙力），求两点间距离165I.

公式：I—|=//一%）2+（%—天）2

（推导依据：平面直角坐标系中勾股定理.）

特殊情况:若两点在X轴上（J]=%），则I461=1工2-芯I；若在y轴上（玉二X2），则IP\P？1=1%-yI。

2.点到直线的距离公式

适用场景：已知点户（与，为）和直线/：AY+8.y+C=0（AB不同时为0）,求点到直线的垂线段长度。

八4IA7+3y0+C|

公式：a~/—；---7—

（分子取绝对值保证距离非负，分母为直线方程系数的“平方和开根号”，避免分母为0）

易错点：使用前需将直线方程化为一般式（4t+By+C=0）,否则公式不适用。

3.两平行直线间的距离公式

适用场景：已知两条平行直线4：4x+8），+G=0、l2：Ax+By+C2=0（A,3不同时为0,且

。|工。2），求两直线间的距离。

公式：d='、1

\IA-+B-

（推导依据：在一条直线上取任意一点，转化为“点到直线的距离”计算）

关键前提：两直线方程需满足“x、y系数对应相等"（即化为相同的一般式形式），若系数不同，需先

统一系数（如4：2x+4y+3=。可化为x+2），+1.5=0,再与/2：x+2），+5=0计算距离）。

三、对称相关知识（四大核心类型）

1.点关于点对称

核心原理：对称点与原点（对称中心）的连线被对称中心平分，即对称中心是两点连线的中点。

求解方法：设点。（公,%）关于点M（a,勿的对称点为P'（My'）,根据中点坐标公式可得:

r

2x=2a-x{}

解得

)/=〃?一%

2

2.点关于直线对称

核心原理：直线是两点连线的垂直平分线，满足两个条件：①两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为T,

若直线斜率存在）：②两点连线的中点在对称轴上。

求解步骤：设点2%,打）关于直线/：AY+8），+C=0的对称点为P（x',），'），贝IJ：

①垂直条件：若直线/斜率为z二一2（8工0）,则原尸/二-1,即2口^（—4）=-1；

Bx-x0D

②中点条件：中点（土上工,迎土）在直线/上，代入得4二旦+8•空空+C=0；

2222

联立①②，解方程组得/、/（若直线/斜率不存在，即垂直x轴，直接利用对称性求解，如直线x=〃,

则/二2。一/，y'=）b）。

3.直线关于点对称

核心原理：两条对称直线平行（斜率相同），且对称中心到两条直线的距离相等。

求解方法：设直线/：Ar+8.v+C=0关于点的对称直线为广，则/'方程可设为

Av+^+C^O（因平行，x、y系数相同）；

z((\Aa+Bb+C\JAa+Bb+C'l

由点M（a,b）到/与，'的距离相等即

\JA2+B2\JA2+B2

\Aa+Bb+C\=\Aa+册+C|；

又因/与厂不重合，故CwC,解得C'=-2(A4+R?)-C,即r：Ar+3y-2(Aa+3份-C=()。

4.直线关于直线对称

核心原理：分两种情况：①两直线相交，对称直线过两直线的交点，且与两直线的夹角相等；②两直

线平行，对称直线与它们平行，且到两条直线的距离相等。

求解方法：

当两直线4与对称轴/相交时：先求交点P；在4上取一点Q,求其关于/的对称点0'；由凡Q'两点

确定对称直线4；

当两直线4与对称轴/平行时：设/|：4K+B），+G=O,Z:Ar+By+C=O,对称直线

IC-CIIc-CI

lv:Ax+By+C2=0,根据~~；，=/；骨，得。2=2C-G（保证/],与4在/两侧）。

yJA+B-\IA~+B-

四、核心易错点与注意事项

1.求交点时，需先判断两直线是否相交（避免联立无解或无数解的情况）：

2.距离公式中，分母"TF不可漏写，且需保证A8不同时为0：

3.两平行直线距离计算前，必须统一x、y的系数（系数成比例时需化简为相同系数）；

4.所有距离均为非负数，公式中分子的绝对值不可省略；

5.点关于直线对称求解时，需同时满足“垂直”和“中点在直线上”两个条件，缺一不可;

6.更线关于直线对称时，需先判断两直线是否相交，再选择对应方法，避免混淆平行与相交他求解逻辑

该型分类

【考点一：两直线的位置关系】

【例题】1.（2025高三・全国・专题练习）直线/过两直线3x+y-6=0和2x-），+3=0的交点，且与直线

x+y-10=（）平行，则直线/的方程是.

【答案】5x+5y—24=0

【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解.

【详解】设过两直线3x+y-6=0和2工-》+3=0的交点的直线系方程为3x+y-6+&2x-y+3）=O,

g|J(3+2/l)x+(l-/l)>>-6+32=0.

2

由于/与x+y-1（）=0平行，所以3+22=1—4,解得4=—；.

2

当人一一彳时，直线/的方程是5.g5），-24=0,故符合题意.

故答案为：5x+5.y-24=0

2.（25-26高二上•全国・单元测试）已知直线4：2x-.y=O与4：x+y-3=O,过点P（3,2）的直线;被小4截得

的线段恰好被点尸平分，则这三条直线4,%/围成的三角形面积为.

【答案】v/5l

33

【分析】设直线/与直线4,4的交点分别为A8,且4（«2〃），则6（6—43）,代入直线/”x+y-3=0,

即可得点AB的坐标，则可算出|A8|和直线/的方程，再求44的交点到/的距离，最后利用三角形的面积

公式计算即可.

【详解】设直线/与直线44的交点分别为AB,且A（a,2a）,则由题意可知，点A（a,2a）关于点P（3,2）的

对称点8（6—劣4-2々）在4上，所以6—〃+4—2«—3=0,解得

所以唱，外《卜J所以阴=4x/17

3

«4.2

因为直线/过点尸（3,2）,噌,胃所以直线/的斜率&=/-二•七

3-3

所以直线,的方程为y-2=-4（x-3）,即4x+y-14=（）.

2x,=0

联立的方程得|（+）：_]二’0解得《4的交点坐标为（1,2）.

因为点（1,2）到直线/:4/），-14=0的距离方=匕厂2二四=塔

V42+l21，

所以这三条宜线人。围成的三角形面积为5=口人外"=1处乂处=3

21123173

故答案为：号.

【针对训练】3.（25-26高二上,全国•单元测试）已知直线《：2尤+3），-2=。，/2:/m+（2/H-l）.y+l=0,其

中川为实数.

（1）当人〃，2时，求小的值；

⑵当〃?=1时，求过直线的交点，且垂直于直线工-2），+4=0的直线方程.

【答案】（1），〃=2

（2）2X+>'+6=0

【分析】（1）根据两直线平行，列出关于机的方程，即可求得答案；

（2）解方程组求出直线44的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案.

【详解】（1）由4〃/2得2（2加-1）=3〃?，解得机=2,经检验，/〃=2符合题意，

故〃?=2；

,八，―2x+3y-2=0,,（x=-5

（2）当〃?=1时，Z:x+y+l=0,联立।八，解得），

2x+y+l=0[y=4

即直线44的交点为（-5,4）,

又直线x-2y+4=0的斜率为3，

故过直线//的交点，且垂直于直线工-2），+4=0的直线方程为y—4=-2（x+5）,即2x+y+6=0.

4.（2025高三•全国•专题练习）已知直线小31+4），-10=（）4：4戈-6y+7=（）,直线g过乙与的交点且过点

A（4,-7）,求&的方程.

【答案】23x+8y-36=0

【分析】点A坐标代入4方程可得答案.

【详解】由题意可设。的方程为3x+4y—IO+2（4x—6），+7）=0.

因为4过点4（4,f）,

所以3x4+4x(—7)—10+/l[4x4—6x(—7)+7]=0,解得4=2,

5

2,

所以人的方程为3x+4），-10+w（4i-6y+7）=。,

即23%+8)，-36=0.

5.（2425高二下•上海徐汇期中）在VA8C中，己知。（2,6）,N4的平分线所在直线方程是-0,BC

边上的高所在直线是2i-），+1=0,则点3的坐标为

10638

【答案】

【分析】联立2A的平分线直线方程和AC边上的高所在直线方程可求出点A坐标，利用角平分线的性质结

合点关于直线的对称点的计算可求出直线A8的方程，再利用8c边上的高所在直线的斜率以及点C坐标求

出直线3C的方程，联、'/：求解即可得到点"的坐标.

A-y=0二;，所以….

【详解】由

因为-A的平分线所在直线方程是工-＞，=0,所以点C（2,6）关于直线x-y=0的对称点C（6,2）在所在直

线上,

所以直线AB的方程为y+l=/K（x+l）,整理得3x-7y-4=0.

又BC边上的高所在直线是2x-），+l=0,其斜率为2,所以直线8C的斜率为-g,

所以直线8C的方程为〉，—6=—g（x—2）,整理得x+2y-14=o.

106

x=---

"3x-心7y-4=0,解得2，所以则点8的坐标为10638]

由，"TP司，

Jo

y=一

13

10638)

故答案为:

【解题策略】

判断两直线的位置关系：

利用斜率判断:若两直线斜率都存在,对于不重合的直线4、4，斜率分别为k\、k”则小|2%=%,

要注意前提是两直线斜率都存在。当两直线不重合且斜率都不存在时，两直线平行:

一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直。

根据直线方程的一般式判断：对于直线九+"y+G=O和/2：4/+&）,+。2=0,若

AB.C,（A.x+B,y+C,=0

:二U=U，则41%；若44+30=。，则/J。；若方程组丁'八有唯一解，则两

A,D2C2'[A.X+B2y+C2=0

直线相交。

由两直线的位置关系求参数：

平行关系求参数：根据两直线平行的条件列方程求解，如两直线4：Ax+4y+G=。与

4：人工十约y+G=。平行，则A与一&4=0,同时耍注意排除两直线重合的情况。

垂直关系求参数：依据两直线垂直的条件A4+片区=0（斜率都存在时可用人心=-1）列方程，进

而求出参数的值。

由两直线的位置关系求直线方程：

平行直线系方程：与直线Ax+gy+〃=o平行的直线方程可设为AY+8），+〃7=0（加工，7）,再根据已

知条件求出〃7的值。

垂直直线系方程：与直线Ar+gy+〃=（）垂直的直线方程可设为3工-4）'+m=。，然后结合其他条件

确定m。

过两直线交点的直线系方程：过直线4：A人+4）叶G=o与，2：A?人十•十G=0交点的直线系方程

为AX+8J+G+〃4X+B2）'+G）=°（/I为参数），不包括直线4。可根据其他条件求出丸，进而得

到直线方程。

【考点二：距离问题】

【例题】1.（24-25高二上•上海•阶段练习）己知实数。，方，。成等差数列，则点打2,1）到直线仆+b+。=0

的最大距离是.

【答案】屈

【分析[由条件，结合等差数列定义可得。=乃-。，由此可得直线勿+%-。=0过定点4（1,-2）,推出

点P（2,l）到直线依+切+c=0的距离,由此可得结论.

【详解】因为*b,。成等差数列，所以a+c=»,即c=»-a,

方程av+〃y+c=0可化为奴+/?>+2〃-a=（）,即a（x-l）+方（y+2）=0,

所以直线如+与+c=0过定点A（1.-2）,

设点P（2,l）到直线依+缈+c=0的距离为"，则当且仅当与直线如+力+。=0垂直时等号成立,

所以当"与直线or+b），+c=0垂直时，点。（2,1）到直线依+切+c=0的距离最大，

最大距离等于|AP|=J（2-l『+（l+2）2=Vi0,

所以点P（2,l）到直线如+外+c=0的最大距离是如，

故答案为：M.

2.（25-26高二上•全国・单元测试）已知直线/的方程为（〃?+3）工+（2〃?-1）），-7〃?=0（〃蚱/?）.

⑴证明：直线/过定点，并求定点到直线3x+4），-7=0的距离；

（2）当，"为何值时，点Q（3,4）到直线/的距离最大？最大距离是多少？

【答案】（1）证明见解析，IQ

⑵盟=g,45

jvI2y7=0

【分析】⑴将直线/的方程整理得（工+2'-7）〃叶（3工-），）=0,令a_；=o—，解出即可定点，由点到

直线的距离公式即可求解；

（2）由（1）可得直线/过定点，设定点为夕。,3）,当尸。，，时，点。到直线/的距离最大，且最大距离,

由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求小.

【详解】（1）将直线/的方程整理得（x+2y-7）〃?+（3x-），）=0,

x+2y-7=0解得：所以宣线/恒过点（1,3）.

令

3x-y=0）'=3,

|34-12-7|_8

则定点（1,3）到直线3戈+4），-7=0的距离为