点、直线、圆的位置关系（数学竞赛题汇编）九年级全国（解析版）

专题09点、直线、圆的位置关系

◊全国各地竞赛真题试题汇编

1.（2024九年级下•湖北黄冈•竞赛）如图，已知锐角△ABC的顶点力到垂心〃的距离等于它的外接圆半

径，则NBAC的度数为（）

A.52°B,56°C,60PD.64。

【答案】C

【分析】设△ABC外接圆的半径为R,连接BO并延长交。。一点。，连接OCADCDCH.先证明

ZBCD=90°,根据垂线定义证明AH||CD,AD\\CH,进而证明四边形AHCD是平行四边形，CD=

AH=R,进而证明△OCD是等边三角形，结合圆周角定理即可求出NBAC=NBDC=5疗.

【详解】解：如图，设△ABC外接圆的半径为凡连接BO并延长交。。于点。，连接OCAD,C，CH.

I

•・•点。是△ABC的外心,

」.BD是0O的直径，

「./BCD=90°,

..CD±BC,

.・.〃是△ABC的垂心，

:.AH1BC,

:.AH||CD,

同理：A。||CH,

二.四边形AHCD是平行四边形,

:.CD=AH=R.

1/37

二点、0是aA8C外接圆的圆心，

:.0C=OD=R,

:.0C=OD=CD=R,

.•.△OCO是等边三角形，

；.ZBDC=60°,

..ABAC=NBDC=60°.

故选：C

2.（2024九年级下•湖南湘西•竞赛）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是72cm,

若/ACB=6〃，则劣弧AB的长是cm.

【答案】8n

【分析】本题考查了弧长公式和切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

利用切线的性质和弧长公式解题即可.

【详解】解：由题意得：CA和分别马（30相切于点A和点B,

..OA±CA,OB±CB,

S.Z.OAC=ZOBC=90°,

:ZACB=60°,

:.ZAOB=12CP,

劣弧AB的长为：驾詈=8ncm.

loU

故答案为：8n.

3.（2023九年级•北京朝阳竞赛）已知四边形ABC。内接于一快I.若NBA。=ZABC=6/，AB=3,

CD=1,则该圆半径的长为.

2/37

B

【答案】子

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，分别取AB、C。的中点尸、E,连接EF,

过。作DG_LAB于G,过C作CH_LAB于H,设圆心为0,迷接0A,0D,OF,OE,由圆内接四边

形和NBAD=ZABC=6ZT得到NBCD=ZADC=120则ABIICD,再根据垂径定理得到OE1

CD,OF1AB,AF=BF=^AB=j,DE=CE=；CDJ,即可得到0E和OF是同一条直线，

即。在EF上，再由四边形。06乩。£1尸乩。赤尸都是矩形,得到6尸=FH=DE=CE=^GD=

EF=CH=V3,AG=BH=1,设OF=x,半径OA=OD=r,则OE=E尸一O尸二Q-x,

在长△AOF和RtZiEO。中，由勾股定理得到r2=(g2/(/j—x)2=(1)2+x2,解方程计算即可.

【详解】解：分别取AB、CD的中点F、E,连接EF,过D作DG1AB于G,过C作CH1AB于H,

设圆心为0,连接OA,OD,OF,0E,

•.•四边形ABC。内接于一圆.

:.NBAD+4BCD=18炉,ZABC+Z.ADC=18CP,

../BAD=ZABC=60°

."BCD=ZADC=12(T,

:.Z.ABC+/BCD=7&7°,

:.AB\\CD,

.AB.CD的中点F、E,

..0E1CD,OFLAB,AF=BF=1AB^,DE=CE=1CD=1

:AB\\CD,

3/37

:.0E1AB,

・•.0E和O尸是同一-条直线，即O在EF上，

:DG1AB,CH1AB,ABWCD,OE1AB,

二•四边形COGH、CEFH、DEGF都是矩形，

.\GF=FH=DE=CEGD=EF=CH,

.\FA-FG=FB-FH=\-\=7,

22'

:.AG=BH=J,

：Z.BAD=/.ABC=6(T,

：,Z.ADG=30

:.AD=2AG=2,DG=^AD2-AG2=V3,

..GD=EF=CH=C,

设。尸=x,半径OA=OD=r,则OE=EF-OF=4-x,

Rt.AOF中，AF2+OF2=0A2,+x2=r2,

Rt.EOD中，DE2+OE2=0D2,则/(4—x)“=r]

-r2=&^^~x)2=&^x^

解得x=《，

D

.“阳e回语

故答案为：J

4.(2023九年级上•浙江宁波•竞赛)如图，在。O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C,D是彘的三等

分点，直径CE交AB于点F,连结AD交CF于点G,连结AC,过点C作CE的垂线交BA的延长线于

点H.连结BC交AO于点N,若OO的半径为5AH=方，则△ANB的周长为.

【分析】根据题意可求得AC=CD=BD,再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解.

4/37

•.•点C,D是AB的三等分点，

.'.AC=CD=BD,

:.CE1AD,ZFAG=ZCAG,

又：CH1CE,

Z.AGF=NAGC=NHCF=9",

.\AD||HC,

\AG=AG,

△A,GC=△A.GF,

:.FG=CG,

'.AD||HC,

•处=殁=7

''AHCG

AH=AF,

•••ZHCF=90°,

AC=AH=AF=>Hd,

设CG=x,则FG=x,OG=5-x.

22

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,即25-(5-x)=10-xt

解得x=7,

AG=52—42=3,AD=6,

•••CD=DB,

ZDAC=/BCD,

VZCDN=ZADC,

CDN〜△ADC,

••ND-CD

CDAD'

・•.ND=需=?AN

5/37

VZBAD=ZDAC,ZABN=ZADC,

•••△ANBACD,

CCANc1313/W,26

,•C^ANB=CLACDxk=(6+2gx-^==—+-

即△ANB的周长为誓

故答案为：噂十弓.

5.（2024九年级上•江苏南京・竞赛）如图，两个同心圆O,小圆的半径为1,大圆的半径为饵点力为

小圆上的动点，P、Q是大圆上的两个动点，且AP1AQ,则PQ的长的最大值是

【答案】4

【详解】解：如图，取PQ中点河，连接OM,AM,OP,OA,则OP=0,OA=7,PM=jPQ,

:.0M1PQ,

;.OP2=PM2+OM2,

=^PQ)2+OM2,

.,.当OM最小时，PQ最大，

vAP±AQ,PQ中点

:.AM=jPQ,

:AM-OA<OM<AM+0A,

：.^PQ-7<OM<jPQ+1,

当A、O、M三点共线时，OM=^PQ-7最小，此时PQ最大,

2

=(1PQ)+{1PQ-7]\

637

解得PQ=4或尸Q=-2(舍去)，

故答案为：4.

6.(2023九年级下•湖南湘西•竞赛)如图，AB是。O的直径，C是0。上的一个动点，延长AB至P,使

BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点&点。在PC上.

⑴当PC与O。相切时，求NPCB的度数；

⑵当。在PC上运动时，怒的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由.

⑶设tan/PCB=x,tan&NPOC)=y,求y与x之间的函数关系式.

【答案】(1)34

(2)为定值(理由见解析

⑶y4

【分析】本题考查了直角三角形的性质、圆周角定理的推论、相似三角形的性质、正切的定义，熟练掌握

以二知识点是解题的关健.

(1)当PC是。O的切线时，则OC1PC,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,得出BC=BP,

即可由等腰三角形的判定定理得出结论；

(2)连接AC,AB是。。的直径，ZACB=900,证明AC||BO,^PDB^^PCA,进而即可求解；

(3)连接AC,根据题意得出tanZA=4^证明△APC,因为AP=OA+OB-t-BP=3BP,

代人即可求解.

【详解】(1)解：当PC是。。的切线时，则OC1PC,

.\ZOCP=90°,

\BP=OB,

BC=BP,OP=20B=2OC,

.,.NP=NPCB,

=2=器

:.NPCB=ZP=3(T-t

(2)解：为定值(理由如下:

如图，连接AC,

7/37

P

.AB是OO的直径，

：.Z.ACB=处.

.•BD1BC,

..AC||BD,

「.△PDBs&PCA,

.PD__PB

=

''PC~PA'

.BP=OB,

则PA=3BP,

.•AB是。。的直径,

：.Z.ACB=90°,

••.tanZA,

AC'

.NA=)POC,

y—tan&NPOC)=BC

:BD1BC,

•.NCBD=90°,

AX=tanZPCB=—

CB'

•—BCBDBD

JACBCAC'

Z.CBD=ZACB=9(T,

..AC||BD,

BFDSAArc,

8/37

.BD_BP

'*ZC~~APf

••,BP=OB=OA,

.\AP=OA+0B+BP=3BP,

BD_1

・•.xy=9

7.(2023九年级•江西赣州•竞赛)如图所示，直线［的解析式为y=；x—3并且与x轴、y轴分别相交于

(1)求力、8两点的坐标.

(2)•个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与

直线［相切.

⑶在题(2)中，若在圆开始运动的同时，一动点尸从3点出发，沿8A方向以0.5个单位/秒的速度运动,

问在整个运动的过程中，点尸在动圆的圆面(圆上和圆的内部)上一共运动了多少时间？

【答案】(1)人(40,6(。一学

⑵时间为那和当秒

OO

(3亨秒

【分析1本题考查相似三角形的判定和性质，点到圆的距离，一次函数的性质，切线的性质，解决这类问

题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

(1)分别令y=o；X=0,即可求出A、B的坐标；

(2)可设动圆的圆心在C处时与直线［相切，设切点为连接CD,则CDLAD,CD=1,得至URt△

ACO〜Rt^ABO,利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得靠=有，即1=平，求出AC的值，

DkJAD3D

即可得到此时oc的值，利用oc的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆c还可能在直线1的右侧，

与直线林目切，此时OC=4+0.4=等；

33V3o

(3)可设在1秒时，动圆的圆心在尸点处,动点在P处，此时OF=0.4t,BP=0.5t,尸点的坐标为

连接PF,当PF=7时，P点在动圆上，当0三PFv7时，P点在动圆内，而当PF=7时，由对称性

9/37

可知，有两种情况：①当P点在x轴下方时，PF=-(O.3t-3)=1,解之可得1的值，②当P点在x轴上方

时，PF=0.3t-3=1,解之得£的另一个值，进而可得到当§工£三学寸，0WPFW7,并且此时点P

在动圆的圆面上，所经过的时间为r一多=今.

JJJ

【详解】(1)解：在y=?x-3中，令x=o,得y=-3

令y=o,得x=4,

故得A、B两的坐标为Aqq,B(0f-3)；

(2)解：若动圆的圆心在C处时与直线/相切，设切点为。，如图所示，连接C。，则C。1AD.

VZCAD=ZBAO,Z.CDA=ZBOA=90°,

•••Rt△ACD〜Rl△ABO,

—=—即］=生

BOAB''35

则AC=4.

J

此时OC=4_《=1

JJ

g+0.4=g（秒）

根据对称性，圆c还可能在直线1的右侧，与直线I相切,

此时OC=4+：=?.

JJ

综上，翱时或胃秒时该圆与直线1相切；

OO

(3)解:设在t秒时,动圆的圆心在尸点处，动点在P处，此时OF=0.4t,BP=0.5t,尸点的坐标为0.农,0),

连接PF,

Ax

OF_0.41_4OA_4

"BP~~05t~5'BA"

OF_OA

~BP~'BA'

•••ZFAP=ZOAB,

10/37

FAPOAB

•••PF1OA,

P点的横坐标为0.4t,

••・P点在直线AB上，

二P点的纵坐标为0.3t-3,

可见：当PF=7时，P点在动圆上，当PFv7时，P点在动圆内.

当PF=7时，由对称性可知，有两种情况：

①当P点在X轴下方时，PF=-(0.31-3)=1,解之得：t=?

②当P点在X轴上方时，PF=0.3t-3=7,解之得：t=y.

.•・当时与三”争寸，0£PF£7,此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为［一与=今.

8.(2023九年级下•福建龙岩•竞赛)如图，AB为0O的直径，四边形ABCO内接于0O,B。交于点E,

。0的切线A尸交BD的延长线于点F,且NCAO=ZABD.

C

⑴求证：AD=CD；

(2)若AB=4,BF=5,求sin/BDC的值.

【答案】⑴详见解析

【分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等可得NABO=NACD,由NCA。=NABD得NACD=

^CAD,根据等角对等边可得结论；

(2)先证明NFAO=NABO,ACAD=ZFAD,由ASA证明△ADE三△4。尸，得AE=AF,

ED=FD-,再求AD=菅，BE=&再证明△EEC〜△AED得8c利用NBDC=NBACuJ

得结论.

【详解】(1)解：在。。中，•「NAB。与NACQ都是&所对的圆周角，

:.AABD=ZACD,

\ACAD=ZABD,

S.Z.ACD=ZCAD.

..AD=CD.

11/37

(2)解：「AF是。。的切线，AB是。。的直径，

:.Z.FAB=ZACB=Z.ADB=ZADF=90°.

:Z.FAD+Z.BAD=9(T,AABD-1-Z.BAD=90°,

:.AFAD=ZABD.

又「NABO=ZCAD,

..ACAD=ZFAD.

:AD=AD

/.△ADE=△ADFfASA),

:.AE=AF,ED=FD.

在中，\AB=4,BF=5,

：.AF=3,即AE=3

:-2AB•AF=2-BF-AD',

.•.AD=7.

在RtaADF中，FD=^AF2-AD2=1

:.BE=5-»2=Z

:Z.BEC=ZAED,且NECB=NEDA,

「.△BECAED,

.BEBC^28

••濯=而即un8R0=石

•「NBOC与NBAC都是£2所对的圆周角，

:.ABDC=ABAC.

在Rt^ACB中，ZACS=9(f,

.".sinZBAC=黑=1即sinZBDC

AB2525

9.(2024九年级下•江苏无锡・竞赛)如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AC=6,AB=8.点、D

是BC边上一点，口涉足CDBD=23若点K在4c上运动，过点D作。尸_LDE交边于点E

⑴证明：△QEF的形状不变；

(2)当点E从点C向点A运动的过程中，求边EF的中点M的运动路径长.

【答案】⑴证明过程详见解答

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【分析】(1)连接AD,作0G，AC于G,可求得CG和OG长，进而得出NCAD的正切值，可得出

A,巴。E共圆，从而得出NDFE=NDAC,进一步得出结论；

(2)以BC所在的直线为x轴,过点。与BC垂直的直线为v轴建立坐标系，作EV1BC于V,作尸W1BC

于W,可得出△EDU〜从而得出岩=%=需可设EV=4k,CV=3k,从而得出

UVBVU£.o

E(4-3kf4k),进而得出尸坐标，从而求得M点坐标，进而得出点M在一条线段上.运动，进一步得出结果.

【详解】(1)证明：如图1,连接A。，作DG1AC于G,

A

BDC

图1ZCGD=9CP,

VDF1DE,

:.ZEDF=9(T,

ABAC=90°,

ABAC+NEDF=180乙BAC=ZCGD,

・••点A,BD,E共圆,

•••Z.DFE=NCAD,

NC=ZC,

•••△CDG*~ACBA,

...空=挺=£2

ACABBC,

...空一，

BD3'

...-C-D=一2

BC6

..四=空一

68s

.*.CG=”G.

AG=AC-CG=655

16

•••tanZDFE=tanZCAD=芸=今=J,

A。-59

.♦.△OEF的形状不变；

(2)解：如图2,以BC所在的直线为x轴，以点。为两坐标轴交点过点。与BC垂直的直线为y轴建立

坐标系，作EV±BC于V,作FW±BC于W,

13/37

ZFWD=Z.EVD=好,

:.ZWFD+ZFDW=9(T,

•••NEDF=90°,

•••ZFDW-^ZEDV=90°,

ZWFD=ZEDV,

:eEDY〜△DFW,

:•—FW=-W--D-=--D--F——9

DVEVDE8'

•••ABAC=90AB=8,AC=6,

：.BC=10,

CD:BD=2:3,

.，•CD=4,BD=6,

C(4f0),

vtanZ/AACCDB=—EV=—AB=-4

.•.设EV=4k,CV=3k,

DV=CD-CV=4-3k,

E(4-3k,4k),

FW=-DV=---kDW=-EV=-k,

828/82,

设M(x，v),

2x=4-3k--k

.•••92，

2y=4k

7,29

••)y=----1-2xT—12,,

・・•点M运动路线是一条线段,

当点E在C处时，k=0.

当点在A处时，作AT_LBC于T,

14/37

，AT=AC.^C=AC^=6^=^

,假―，

・•・EF的中点M的运动路径长为：

O

10.（2023九年级•浙江宁波•竟赛）如图所示，AB为半圆。的宜径，C在AB延长线上，P是半圆O上的

一个动点，以PC为底边作等腰直角三角形PCQ（P、C、Q逆时针排列），已知AB=4,BC=2；

⑴若aPOB为正三角形，求QB的长;

（2）求四边形POCQ面积的最大值.

【答案】（1）7+4；

（2）472+5.

【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解

答本题的关键.

（1）连接BP、BQ交PC于点O,△POB为正三角形，△PDQ为等腰直角三角形，利用BQ=BO+OQ

计算即可；

⑵过点P作PMJ_AB交于M点，设PM=y,MO=x,^\x2+y2=4,则四边形S四边形p℃Q

Swoe+

【详解】（1）解：连接口尸、BQ交PC于点、D,

Q

♦・•△POB为正三角形，AB=4,BC=2,

BP=BC=2,ZOPC=9(T,

15/37

PC=20、

•••等腰直角三角形PCQ,

BQ垂直平分PC,

,.BD=jop=1,ZiPOQ为等腰直角三角形,

DQ=PD=jPC=Q,

BQ=1+>[3.

(2)解：过点P作PM1AB交于M点，

S四边形POCQ=S^poc+S>pQc=?x4xv-f--ly2+(x+4用=5+2(x+y)W5+4/2.

当且仅当x=y时，四边形POCQ的面积最大，最大值为5+4/2

11.(2024九年级下•湖北黄冈•竞赛)如图，△ABC的边长为a,OO为△ABC的外接圆，点B为A冷C

的中点，点M为G上一点，连接AM,且NAMB=6疗，连接BM交AC于。点，过M点作OO的切线

(2)如果BC平分NEBM；

①用含a的式子表示AM♦BE的值；

②求证：吉-左=(

【答案】⑴见解析；

(2)®AM^BE=a2：端-林二：.

【分析】(1)证明△ABC是等边三角形；进•步得到NACB=NBAC=NBN1C=87\证明

16/37

NDME=NMDE,即可得到结论;

⑵①证明△BCEAMC,则需=器,得到AM•BE=AC•BC=/；②证明器=篝⑴.黑=

2^1AC/LJJLZOD1JL/

(ID.由⑴(ID得：等=若.进一步整理即可得到结论.

/\DG1/A.D

【详解】(1)证明：・••点B为ABC的中点,

--AB=BC,

AB=BC.

VAB=AB,

:.Z.AMB=Z.ACB=609.

vAB—BC,Z.ACB=60°,

.•.△ABC是等边三角形；

连接CM,NMDE=NMBC+NBCA,NDME=NDMC+NEMC.

•••EM是。。的切线

/EMC=ZMBC.

•••ZACB=ABAC=NBMC=6/

・•・NDME=NMDE,

:.EM=ED；

(2)①•••BC平分NEBM,

•••XEBC=NCBM.

•••CM=CM,

•••ZEBC=ZCBM=ZCAM.

•••四边形ABCM是。。的内接四边形，

•­•/ABC+ZAMC=18(T.

•••ZBCE+ZBCA=J80°,且NABC=ZBCA=6(f,

AZAMC=ZBCE=12CP.

ZEBC=ACAM,

BCEAMC,

._BC__BE

"~AM~~AC,

AM-BE=AC-BC=a2；

@vBC平分NEBM,

.•.点。到BE、BD的距离相等,

17/37

S^BDC_CD_BD

SABECCEBE

BECE...

BDCD''.

ZEBC=ZCAM,ZABC=ZACB=6(Tt

ZABD=AAEB.

ZBAC=ZBAC,

•••△ABDAEB,

需=笠“）•

由⑴（H）得：等=篝

即:若江—】

ABAB'

等式两边除以CE得：备=£+/,

CDAbCL

即：—------

1CDCE

12.（2023九年级上•河北邯郸•竞赛）已知NMPN的两边分别与圆。相切于点力，B,圆。的半径为r.

求NACB的度数;

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，NAPB的度数应为多少？请说明

理由.

【答案】（1）5Z7°；

（2）当NAPB=6^时，四边形APBC为菱形，理由见解析.

【分析】（D连接OA、OB,根据切线的性质和多边形内角和定理可得NAOB+NAPB=7&T,然后

结合已知求得NAOB,最后根据圆周角定理即可解答;

（2）连接OA、OB,先观察发现当NAPB=6）时，四边形/!尸8C可能为菱形；然后利用NAPB=6/

结合（1）的解答过程可得NACB=NAPB=6〃，再根据点C运动到PC最大，即PC经过圆心；再说

I明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA=PB=CA=CB,即可得到四边形APBC为菱形.

【详解】（1）解：如图1,连接OA、OB

•.PA,PB为OO的切线,

18/37

:./.PAO=Z.PBO=9*

S.Z.AOB+NMPN=180°,

:ZMPN=8g

：.AAOB=18(f-NMPN=700°,

:.ZACB=^ZAOB=50

图1

(2)解：当NAPB=6^时，四边形APBC为菱形，

理由如下：

如图2：连接OA、03

由(1)可知NAOB+NAPB=78货，

：Z.APB=

：.Z.AOB=12CT,

:.ZACB=6(T=ZAPB,

.••点c运动到PC最大，

・••PC经过圆心，

•「PA、PB为G)O的切线，

「•四边形APBC为轴对称图形，

:PA=PB,CA=CB,PC平分NAPB和NACB,

/.ZAPS=AACB=6(T,

:.AAPO=NBPO=ZACP=ZBCP=30°,

:.PA=PB=CA=CB,

二.四边形APBC为菱形；

19/37

M

图2

O全国联赛真题试题汇编「

1.（2024九年级•全国•竞赛）等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（）.

A.7B.&+1C.年D.与

22

【答案】A

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内切圆与外接圆，熟悉直角三角形的内切圆半径等于两

条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半.

设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是我.根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边

的差的一半，得其内切圆半径；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径，即可求解.

【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1,则其斜边是方，

・••等腰直角三角形的内切圆半径是亨，外接圆半径是当

2-C

「•所以它们的比为^^=2-7.

故选:A.

2.（2024九年级•全国•竞赛）下列结论正确的是（）

A.同一个平面内的三点确定一个圆B,三角形三条角平分线的交点是三角形的外心

C,一个圆有无数个内接三角形，一个三角形有无数个外接圆D.三角形的外心到三角形三个顶点的

距离相等

【答案】D

【分析】本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，熟记圆的有关的概念是解决问题的关键.根据确定

圆的条件及三角形与其外心之间的关系解答即可.

【详解】解：同一个平面不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，所以A错；

三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，所以B错；

一个圆有无数个内接三角形，但只有一个外接圆，所以C错；

20/37

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D正确.

故选：D

3J2024九年级•全国•竞赛)已知△ABC为OO的外切三角形，点D、E、尸分别是AB、BC、AC与。0

的切点，如果NA=%那么NDEF=().

A.7CeB.6CPC,55°D,50°

【答案】C

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理.连接OD、OF,利用切线的性质求得NADO=NAFO=

9)，根据四边形内角和定理求得NDOF的度数，再利用圆周角中位线定理即可求解.

【详解】解：连接。。、OF,

二,点D、F分别是AB、AC与。。的切点，

S.Z.ADO=ZAFO=2,

.'.Z.DOF=36炉-9(T-7CP-9(f=ll(f,

：.ZDEF=：NDOF=55°,

故选：C.

4.(2024九年级•全国•竞赛)如图，两半圆的圆心点。八分别在直角△ABC的两直角边AB、AC

上，直径分别为AB、CD,如果两半圆相外切，且AB=AC=6cm,那么图中阴影部分的面积为().

A.(7-n)cm2B.(5-n}cm2C.7cm2D.5cm2

【答案】D

【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解.利用

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勾股定理求出。。2的半径，证明弓形S7=S?弓形S3=S4，利用割补法将阴影部分面积转化成S阴影=

S^BC-SyBF-SgEc，即可求解・

【详解】解：

如图，连接OE,AF,OjO2,

设。。2半径为rem,则02c=rem,

•••△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6cm

=-

•••AO2（^r）cm,AO1=^cm,

•••两半圆相外切，

0）02=^3+r）cm,

在Rt/kAOQz中，由勾股定理得，炉+（6-厂）2=（3+=）2

解得：r=2,

VZABC=ZACB=45°,DC、AB为两半圆直径，

ZDEC=NAFB=妙，

CE=DE,AF=BE,

二弓形S/=Sz，弓形S3=Sq,

,O,S阴影=S4AbC—^^ABF~S>DEC

111

=-x6x6x6x3x2x2x2

222

=5cm2.

故答案为：D.

5.（2024九年级•全国•竞赛）如图，有••个圆桶，里而装有两个不变形的球体，其中大球的半径为R=30cm,

小球的半径为r=2/m,两球顶部到桶的顶部的距离分别为Q=4/m,b=20cm,那么桶的内部直径X为

22/37

C.8氏mD.9cm

【答案】D

【分析】本题考查了两圆相切，勾股定理.先求得。7。2和AO?的长，再利用勾股定理求得A。7的长，进

一步计算即可求解.

【详解】解：由题意得。/。2=氏=50（cm）,AO2=a+R-（b=30cm,

且/OMO2=S

由勾股定理得A。j=V502—302=40(cin),

/.x=A01+R+r=90(cm),

故选：D.

6.（2024九年级•全国•竞赛）如图，点O为矩形ABCD的中心，AB=8BC=6。B的半径为2,点P

是。B上一个动点，则4AOP面积的最小值为（）

C.7.2D.7

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形面积，直线与圆的位置关系等知识，得到dAOP面积

最小时点P的位置是解答的关键.

连接AC,过8作BH_LAC于儿交。B于G,过G作allAC,由勾股定理及面积相等可求得GH的长;

当点P到AC的距离最短时，△AOP面积最小，此时点P与点G重合，进而求得aAOP面积的最小值.

【详解】解：如图，连接AC,过8作BH1AC于H,交OBFG,过G作直线allAC,

••,点O为矩形ABCD的中心,

一•AC必过点。

由勾股定理得：AC=＜夕+82=70,

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,•・四边形A8CD是矩形,

.".OA=-[AC=5

.S^ABC=jAB-BC=jAC-BH,

.rABBC24

.BnjH=F^=7；

\BH1AC,a\\AC,

直线a是0B的切线,

:.GH=BH-BG

当点尸到AC的距离最短时，即最短距离为GH的长时，^AOP面积最小，此时点尸与点G重合,

・•.△AOP面积的最小值为:x5x==7.

2b

7.（2024九年级•全国•竞赛）已知。O为△ABC的外接圆，且圆心。在△ABC的内部，分别过点。作

OD1AB,OE1AC,垂足分别为点D、E,若DE=8cm,则BC=cm.

【答案】16

【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键;

由点O是△ABC的外心，ODLAB,OE_LAC得到。E是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理

即可求得BC.

【详解】解:如图,

BO是△ABC的外心，OD1AB,OE1AC,

AD=BD,AE=CE,

.•・DE为△ABC的中位线,

二BC=2DE=76cm.

24/37

故答案为：16

8.（2024九年级•全国•竞赛）如图，以ABC的斜边AB为直径作G）O.I为△ABC的内心，点P

为。0上一个动点，N为1P的中点，若AB=70,AC=6,则AN的最大值为.

【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接IO,AI,OP,取1O中点连接MN,过/作

AB于点H,则点N在以点M为圆心，MN为半径的圆上运动，当点A、M,N三点共线时，AN最大值

为AM+MN,然后由勾股定理求出AM的值即可，解题的关犍是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性

质定理和勾股定理的应用.

【详解】解：如图，连接JO,AI,OP,取JO中点连接MN,过/作IH1AB于点H,

•••由勾股定理得：BC={AB2-AC2={702-62=8,

・••N为/P的中点，

...MN=；OP=*

则点N在以点M为圆心，MN为半径的圆上运动，

当点A、M,N三点共线时，AN最大,为AM+MN的值，

为△ABC的内心，过/作1R_LAC于点R,ILtBC于点L,

•・.四边形CR/L为正方形，

由直角三角形的内切圆半径为汽士=2即/H=IL=IR=2,

25/37

.\CR=IR=IH=2,

取OH的中点G,连接MG,

：.MG=jlH=7,AH=AR=4,

:OA=OB=5,

：.OH=7,

:.HG=GO=\OH={

22

:,AG=AH+HG=4+-=-,

22,

在RtZXAMG中，由勾股定理得:

AM=y)AG2+MG2={(丁+j2=华

「•AN最大值为AM+MN=等竺，

故答案为：弩.

9.(2024九年级•全国•竞赛)如里，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C为半圆上一点，点D为AB延长

线上一点，且N7=/2.

⑴求证：C。为。。的切线;

⑵过点A作。O的切线AE交OC的延长线于点E,若O。的半径为&m,BD=2cm,求CE的长度.

【答案】(1)见解析

(2)6cm

【分析】(1)连接OC,根据AB为半圆的直径，得出NACB=9*证明N2+N4=9/从而可以证

明结论；

(2)根据已知条件先求出AD=2x3/2=8(cm),。。=3/2=6(cm),根据勾股定理求出CD=

^OD2-OC2=4(cm),设AE=CE=x,根据勾股定理得出x?+加=仅+4产，求出x的值即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。。，

26/37

N7=N3,

•••N7=N2,

.•・N2=N3,

•••AB为半圆的直径，

:.ZACB=90°,

•••£3+44=9(f\

:.£2+£4=9Cf\即OC_LC。，

:，CO为。。的切线.

(2)解：•••©O的半径为3cm,BD=2cm,

:.AD=2x3+2=8(cm),

OD=3+2=5(cm),

CD=ylOD2-OC2=4(cm),

•••AE、CE都为切线，

•，•AE=CE,Z.DAE=90",

设AE=CE=x,

则根据勾股定理得：x2+S2=(x+4)2,

解得x=6,

•••CE的长度为6cm.

10.(2024九年级•全国・竞赛)如图，四边形ABC。为正方形，点E为BC延长线上一点，连接AE,交BO

⑴求证：CF与ACEG的外接圆相切;

27/37

⑵当CE=C尸时，判断CG和EF有怎样的数量关系？并说明理由；

⑶在(2)的条件下，求DG与CG的比值.

【答案】⑴见解析

(2)EF=3CG.理由见解析

喷=等

【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识：

(1)证明△AOF三△C。尸得NOAF=N2,由A。||BE得N2=NE=NDAF,取EG的中点H,

连接CH,证明N2+N4=9疗因可得出结论；

(2)证明NE=3^°,得出EG=2CG,进一步得出结论；

(3)设CG=x,可求出AG=(◎+7)x,DG=＜乎，从而可得结论.

:.AD=CD,ZADF=NCDF,

又DF=DF,

ADF=△CDF,

ZDAF=N2,

•••AD||BE,

:.ZDAF=NE,

:.Z2=NE,

取EG的中点H,连接CH,

则CH=EH=GH为aCEG外接圆的半径,

N7=NE,N4=N5

-%Z7=42,

•:£1+£4=

•••Z.2+Z.4=9(f,

:.CF1CH,

所以。尸4ACEG的外接圆相切.

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(2)解：EF=3CG.理由如下：

-CE=CF,

N3=NE=N7=2N5=2NE,

而N5+NE=90

ZE=3/

:.EG=2CG,

EF=3CG.

(3)解：设CG=x,则FG=K,CE=CF=AF=4x,

■0•AG=(A/5+7)x,

由(2)知NDAF=NE=30\

“7“(Q+7)X

22

DGV3+7

11.(2024九年级•全国•竞赛)如图，点。为等腰直角△ABC斜边BC的中点，0。与AB、AC分别相切

于点。、E,交OC于点尸，O尸的延长线交AC的延长线于点G