带电粒子在电磁场中的运动-2027高考物理（含解析）

带电粒子在电磁场中的运动

【高考题解读】

1.2D26高考陕晋青宁卷第15题

如图，垂直于x轴的足够大绝缘薄挡板尸紧贴平行金属板放置，挡板尸有一小孔在原点O处，O点到垂

直于y轴的两金属板距离相等，在以为平面位于（-七，0）处的粒子源以速率比向面内各方向发射质量

为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子。两金属板（上板为正极）间距为2L,板间电压U初始为警逋。

Zoq

在cQz平面y轴右侧，圆心O位于（0,乙）、直径在y轴、半役为L的半圆区域存在方向垂直于平面向里

的匀强磁场，其磁感应强度大小为号。在处有一垂直于I轴的固定弹性绝缘挡板Q,粒子若碰

到Q将发生弹性碰撞且电荷量q不变。粒子打到金属板或挡板P均会被吸收，不计粒子重力及粒子间

的相互作用，忽略边缘效应。（比、m、q、L均为已知量）

⑴可从小孔进入磁场的粒子，求其从。点处射入磁场速度方向与立轴正向夹角的正弦值；

（2）粒子从磁场射出后与挡板Q发生碰撞,求其再次射入磁场到达挡板。上位置的g坐标；

⑶若仅改变电压U的大小（U>0）,在不同电压下，粒子源发射的所有粒子均无法打到挡板P右侧面；

进入磁场的所有粒子打到挡板P右侧面有1个撞击点或2个撞击点,求以上三种情况分别对应的电压取

值范围（用已知量3、a、q表示）。

【针对性训练】

1.（18分）（2026四川绵阳中学二模）如图甲所示,半径为R的圆形区域内存在辐向电场，电场方向由圆心沿

半径向外，电场强度大小E随距圆心O的距离力的变化如图乙所示，图中瓦为已知量。圆形区域外存

在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为馆,电荷量为+q的带电粒子,从圆心O点由静止释放，粒子沿半

径OP运动至虚线边界上的。点进入磁场偏转再返回电场,粒子每次到达。点后沿进入电场的路径返

回磁场，最后刚好沿PO方向回到。点，这个过程中粒子在磁场中运动的总时间记为M（未知）。已知磁

场的磁感应强度\(3=\latex>；\sqrt{\frac{mE0}{3QR}}，不计带电粒子的重力。求:

xxXXXXXXXXXX

B

⑴带电粒子经过P点时的速度大小；

（2）曲的大小；

（3）若改变带电粒子的释放位置，将带电粒子在OP之间的某点Q（图中未标出）释放，粒子经过一段时间

后沿PQ方向第一次回到释放点Q,该过程粒子在磁场区域运动的总时间为求粒子释放点Q到，

点的可能距离。

2.（：8分）（2026甘肃岷县三模）利用带电粒子在电场和磁场中受力的特点，可以控制带电粒子的运动。如

图所示，平面直角坐标系以川中的第四象限内存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，第三象限（含c轴）内

存在沿“轴负方向的匀强电场,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从2轴上横坐标为-6L处，以大

小为班的速度沿z轴正方向射入电场，经过第三象限内的匀强电场后，在g轴上纵坐标为—一L处进入

第四象限内的匀强磁场,一段时间后粒子恰好垂直于2轴射入第一象限。/轴上方无电场和磁场，不计

带电粒子受到的重力。

⑴求匀强电场的电场强度大小E及匀强磁场的磁感应强度大小3；

（2）求粒子在第三、四象限运动的时间机

（3）若笫四象限的磁场仅分布在一个矩形区域内，其他条件不变，求这个矩形磁场区域的最小面积S。

3.(16分)(2026年4月四川眉山二模)如图所示，在光滑绝缘的水平桌面内，建立平面直角坐标系xOy,桌

面内分布两个匀强电场区域：区域1(0437&&),两极板间距为4=0.bn,在。轴上开有两小孔。和

0-电场强度大小Ei=9N/C,方向沿)轴正方向；区域II与)，两极板间距为刈=

1.6zn,电场强度大小£?2=1N/C,方向沿夕轴正方向。一质量m=0.1kg、电荷帚q=2C的带正电金属小

球P,从O点由静止释放，沿I轴正方向进入区域I,随后在区域H的。处与静止在该处的另一质量M

=0.2kg不带电金属的小球Q发生弹性正碰。碰后两金属小球的电荷量平均分配，求：

(1)金属小球P从O点运动到。|的过程中电势能的变化量：

⑵金属小球Q与区域II极板第一次碰撞时的速度大小；

(3)若在区域II内再加上垂直于水平桌面向上的匀强磁场，两小球在O.碰后小球Q恰好能沿直线运动,

则小球P从。点释放到与区域H极板第一次相碰前运动的总时间以及碰撞点的坐标。

4.(湖北省黄冈中学2025届高三5月第三次模拟考试)如图所示，空间交替分布着宽度均为乙的匀强电磁

场区域，磁场垂直以为平面向里，磁感应强度大小为6=?华，电场沿。轴负方向，电场强度大小为E

二萼。一带正电的粒子从坐标原点。沿与Z轴负方向成8角、初速度大小为为进入匀强磁场区域，虚

2qL

线边界有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q,不计重力，取用=1.73。

-3L-2L-LOL2L

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

1)

XXXX,XX

EE

X8X2--------------------------------------X------------XX8x

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

y

(1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时0大小；

⑵若粒子只能经历两个完整的电场区，求sin。满足的条件；

⑶若0=0,粒子以幼=多的初速度从O点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为丹=罂，求当粒

子竖直位移大小为y=学乙时的运动时间。

O

q..................

5.（江苏南通2025年高考三模）如图所示，在平面直角坐标系iQ/的第一、二象限有沿+归轴方向的匀强

电场,在第三、四象限有宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外，氏度为d的荧光屏与

%轴垂直,下端在方轴上.一质量为m、电荷量为+q的粒子从点P（0,d）沿-y轴运动，初速度大小为处,

经电场偏转后从点Q仔d,0）进入磁场，并垂直于磁场的下边界离开磁场.已知尸点到MN的距离产M

=，，不计粒子重力。

O

⑴求电场强度大小E；

⑵求磁感应强度大小R：

⑶在匀强磁场下方所有区域再加一垂直于坐标平面的匀强磁场，要使粒子能打到MTV上，求所加磁场

的磁感应强度Bf所满足的条件。

...........»

6.（湖北省2025届八校三统联考）如图所示，在zoz平面的第二象限内有沿i轴负方向的匀强电场，电场

强度的大小E=10U/m,,空间某区域存在轴线平行于z轴的圆柱形磁场区域，磁场方向沿z轴正方向。

・比荷为'=104C/kg的带正电粒子从4轴上的尸点以速度“）射入电场，方向与宓轴的夹角6=30°o

该粒子经电场偏转后，由z轴上的Q点以垂直于z轴的方向立即进入磁场区域，经磁场偏转射出后，通过

坐标为（0,0.15M,0.2m）的M点（图中未画出），且速度方向与I轴负方向的夹角a=60°,其中OQ=

0.2m,不计粒子重力。求：

⑴粒子速度。。的大小；

（2）圆柱形磁场区域的最小横截面积S,（结果保留两位有效数字）；

（3）粒子从P点运动到M点经历的时间£（结果保留三位有效数字）。

带电粒子在电磁场中的运动

【高考题解读】

1.2D26高考陕晋青宁卷第15题

如图，垂直于x轴的足够大绝缘薄挡板尸紧贴平行金属板放置，挡板尸有一小孔在原点O处，O点到垂

直于y轴的两金属板距离相等，在以为平面位于（-七，0）处的粒子源以速率比向面内各方向发射质量

为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子。两金属板（上板为正极）间距为2L,板间电压U初始为警逋。

Zoq

在cQz平面y轴右侧，圆心O位于（0,乙）、直径在y轴、半役为L的半圆区域存在方向垂直于平面向里

的匀强磁场，其磁感应强度大小为号。在处有一垂直于1轴的固定弹性绝缘挡板Q,粒子若碰

到Q将发生弹性碰撞且电荷量q不变。粒子打到金属板或当板P均会被吸收，不计粒子重力及粒子间

的相互作用，忽略边缘效应。（为、m、q、L均为已知量）

⑴可从小孔进入磁场的粒子，求其从。点处射入磁场速度方向与立轴正向夹角的正弦值；

（2）粒子从磁场射出后与挡板Q发生碰撞,求其再次射入磁场到达挡板。上位置的g坐标；

⑶若仅改变电压U的大小（U>0）,在不同电压下，粒子源发射的所有粒子均无法打到挡板P右侧面；

进入磁场的所有粒子打到挡板P右侧面有1个撞击点或2个撞击点,求以上三种情况分别对应的电压取

值范围（用已知量3、a、q表示）。

【答案】（1）0.6或0.8

⑵口或9

5□

（3）U>」生，无粒子能到达O点，均无法打到尸右侧面。

q

当ovuv里哒时，仅仇粒子能进入磁场，1个撞击点；

17q

当当遗&UV至逋时，两粒子均能进入且撞击点不同，2个撞击点：

17qq

当u=红逋时，两粒子轨迹重合，1个撞击点。

q

【解析】

⑴带电粒子在电场中做类斜抛运动

设粒子初速度方向与c轴夹角为仇加速度。=一空二=簿

m（2L）2oL

方向沿y轴正向。粒子从（一£/,0）运动到（0,0）,水平方向L=VQCOSO,t

竖直方向。=—Oosin。♦£+[■at2

联立解得忧sin（2。）=aL=*"祝

即sin（2J）=丹

2Tn/u。25

在O点、，。1—v（）co«<9,uy——。（）》山夕十—ggsiii夕

设射入磁场速度方向与x轴夹南为£,则tan£=—=tan。

即6=0

根据sin(2£)=提,sin2s+co邻=1

解得sin£=0.6或sin/?=0.8

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径尺=笔=L

（田

磁场区域辛径也为Lo由几何关系，粒子从O点射入，必从骏场边界另一点射出，且射出速度方向水平

射出点纵坐标勺出=L（1—cosa）

当sina=■时，cosa=g,2/出=三

DD0

当sina=4时，cosa=4■，如=今

OOO

粒子与Q板弹性碰撞后沿c轴负方向返回，再次进入磁场。

由对称性及圆周运动几何关系，粒子再次打到挡板尸上的位置纵坐标g=2g出

故)坐标为义L或二Lo

55

⑶根据(1)可知sin(2J)==黑

2m喘2。

设k=一也二。粒子能到达。点需满足sin(20)=/c,即k&l,U&包亚

2mvoq

若生曳，则卜＞1,无粒子能到达。点，均无法打到P右侧面。

q

2

当。&与9m曳??时，存在两个发射角仇，仇(假设必大于仇)。粒子在电场中不撞板条件为Ijminl&L,如下图

上图为刚好到达上极板的临界，根据逆向看，类平抛运动速度偏转角是位移偏转角正切值的2倍，可知,

此时tan。=2X―4

2L

根据数学关系可知此时sin9=4^^,cos9—

解得对于为需k=sin(28)＞得■，即甯逋

此时%对应粒子枕迹刚好与上极板相切。

绘上所述，当0VUV坐出时，仅仇粒子能进入磁场，1个撞击点；

17q

当阴逋&UV迎火时，两注子均能进入且撞击点不同，2个撞击点；

17qq

当u=±”也时，两粒子轨迹重合，1个撞击点；

q

当u＞包逋，则上＞i,无粒子能到达。点，均无法打到p右侧面。

q

【针对性训练】

1.（18分）（2026四川绵阳中学二模）如图甲所示，半径为总的圆形区域内存在辐向电场，电场方向由圆心沿

半径向外，电场强度大小石随距圆心O的距离c的变化如图乙所示，图中及为已知量。圆形区域外存

在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为电荷量为+q的带电粒子,从圆心O点由静止释放，粒子沿半

径OP运动至虚线边界上的P点进入磁场偏转再返回电场，粒子每次到达。点后沿进入电场的路径返

回磁场，最后刚好沿PO方向回到。点，这个过程中粒子在磁场中运动的总时间记为M（未知）。已知磁

场的磁感应强度\（石=\latex>；\sqrt{\frac{mE0}{3qR}},不计带电粒子的重力。求：

XXXXXXXXXXXX

B

⑴带电粒子经过。点时的速度大小；

（2）to的大小;

（3）若改变带电粒子的释放位置，将带电粒子在OP之间的某点Q（图中未标出）释放，粒子经过一段时间

后沿FQ方向第一次回到释放点Q，该过程粒子在磁场区域运动的总时间为3环。求粒子释放点Q到。

点的可能距离。

【解析】⑴（4分）根据乙图，图中图线所围成面积代表电势差，则

3竽（1分）

由动能定理可得q%户=］小炉（2分），解得°=J号黑（1分）

（2）（8分）设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为『，根据题意作

轨迹图，由向心力公式得qvB=m—,厂=2（=瓜R（2分）

设NOiOP=〃，由几何关系可知=?

”V

解得0=^（1分）

O

所以/用。尸=等（1分）

O

粒子在磁场中运动过程所转过的角度为"）=3x[2兀一（兀—专）]=5兀（1分）

粒子在磁场中运动总时间友=典7（1分）

271

粒子在磁场中运动周期为T=—（1分），

v

解得叁=5兀/螭（1分）

Vq"

（3）（6分）如图，设改变释放位置后，粒子在磁场中第一次从S点回到电场区域，令/SOP=/,

粒子在磁场中运动的圆弧所对圆心角为明根据题意可知：

nO'=TVx271,々=2兀一（五一。'）（1分）

粒子在磁场中运动总时间为3M,所以丁以=3/，

解得冷+2N=15（1分）

其中九和N均为正整数；

由题意可知?V?,则n&=Nx2E您,

解得n>3N（1分）

联立"+2N=15与九>3N,解得N<3

①当N=1,n二13时，由几何关系可得仇=与，则

132H

由洛伦兹力提供向心力公式得qi）xB=m^~

由动能定理可得4等壮=《砧忧（1分），

2rt2

解得①i=W^Rtan/（1分）

o1J

②当N=2,n=11时，由几何关系可得。2=答，

同理解得g=WRtan等（1分）

J11

2.（18分）（2026甘肃岷县三模）利用带电粒子在电场和磁场中受力的特点，可以控制带电粒子的运动。如

图所示，平面直角坐标系①Og中的第四象限内存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，第三象限（含出轴）内

存在沿V轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从。轴上横坐标为-6L处，以大

小为&。的速度沿c轴正方向射入电场，经过第三象限内的匀强电场后，在9轴上纵坐标为—处进入

:第四象限内的匀强磁场,一段时间后粒子恰好垂直于c轴射入第一象限。c轴上方无电场和磁场，不计

!带电粒子受到的重力。

Q................

⑴求匀强电场的电场强度大小E及匀强磁场的磁感应强度大小

(2)求粒子在第三、四象限运动的时间力；

⑶若第四象限的磁场仅分布在一个矩形区域内，其他条件不变，求这个矩形磁场区域的最小面积S。

答案：⑴华等，6=冬曳

ISqL3qL

⑵y(2京+18)L

(3)5,=2V3L2

解析:(1)粒子在电场中做类平抛运动，有6L=初由，V3L=yatf

其中q£=rna.

解得［尸爪，后=冬学

设粒子刚进入第四象限内的磁场时，速度方向与y轴负方向的夹角为。，有tan。=*=6

aii

设带电粒子在磁场中的轨迹半径为r,根据几何关系可知rsin〃=V3L

则「=21/

由洛伦兹力提供向心力有Bqv=m^

其中。=一^=岑』加。

sinbo

解得6=冬曳

3qL

(2)粒子在第四象限内运动的时间［2="""

v

解得：,二巧"

粒子在第三、四象限运动的时间£=力+±2

解得七普里眄

⑶如图所示，最小面积S=2rsin60°x(1—cos600)r

解得S=2』》

.........................................................................a

3.(16分)(2026年4月四川眉山二模)如图所示，在光滑绝缘的水平桌面内，建立平面直角坐标系cOy。桌

面内分布两个匀强电场区域：区域I(OMcMdi),两极板间距为di=0.1。丁儿,在。轴上开有两小孔O

和Q,电场强度大小团=9。N/C,方向沿1轴正方向；区域1［牛42/4鲁)，两极板间距为

4=L6。m,电场强度大小£；=1。N/C,方向沿y轴正方向。一质量m=0.1。kg、电荷量q=2。C

的带正电金属小球P,从O点由静止释放，沿c轴正方向进入区域I,随后在区域II的O1处与静止在该

心的另一质量M=0.2kg不带电金属的小球Q发牛弹忤正确.碰后两金属小球的电荷量平均分配,求:

(1)金属小球P从O点运动到0,的过程中电势能的变化量；

⑵金属小球Q与区域II极板第一次碰撞时的速度大小：

(3)若在区域II内再加上垂直于水平桌面向上的匀强磁场，两小球在。碰后小球Q恰好能沿直线运动,

则小球尸从。点释放到与区域H极板第一次相碰前运动的总时间以及碰撞点的坐标。

解析：⑴对小球P在区域I,电场力做功W=qEi4=1.8。J2分

由功能关系，P电势能的变化量AE°=—W=—L8。J1分

⑵对小球P在区域I由动能定理"小优1分

解得。与Q碰前的速度豌=6。m/s

P和Q发生弹性正碰，设碰撞后〃和Q的速度分别为幼和3

mv()=mvl+MV21分

+1分

//z

代入数据，解得幼=-2。rri/s,V2=4°ni/s

设小球Q与区域II极板碰撞时的速度大小为。Q,碰后对小球Q,由动能定理

2分

代入数据解得阳=20。ni/s1分

⑶碰前对2有

加速度a=盛^=180°ni/s?时间t}=—=1s1分

ma30

碰后对尸有

qE

在区域I加速度优=上」=90。m/s'2,时间与=2%=2。s1分

ma'45

在区域II，加上磁场后对Q做直线运动

则等吕=等岫1分

解得

在区域II，加上磁场后对P,可以视为以g向右匀速直线运动和以?人顺时针匀速圆周运动的合运动。

圆周运动的轨道半径H=经人=0.8。m1分

圆周运动的周期7=空巳=0.8兀。s1分

三B

当。在g方向上的位移大小牛时与区域II的极板相碰

由A二号得粒子运动；周和g轴正方向极板相碰运动时间£：：=£"=0.2兀。s

244

故尸从O点释放到与区域11极板相碰前运动的总时间£=酎+与+G=（亳+0.2兀）。s1分

在区域II,P沿z轴方向的位移=02t3—R=（。-8冗一0.8）。m

所以尸碰撞点的横坐标式=di+/'=（0.8兀-0.7）。m

综上P碰撞点的坐标[（0.8兀一0.7）。m,0.8m]1分

4.（湖北省黄冈中学2025届高三5月第三次模拟考试）如图所示，空间交替分布着宽度均为L的匀强电磁

场区域，磁场垂直rr禽平面向里，磁感应强度大小为6=1竿，电场沿，轴负方向，电场强度大小为E

ZqL

=膂。一带正电的粒子从坐标原点。沿与①轴负方向成方角、初速度大小为比进入匀强磁场区域，虚

ZqL

线边界有磁场。粒子的质量为"八电荷量为q,不计重力，取g=1.73。

-3L-2L-LOL1L

XXXXXX

xXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

⑴若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时夕大小;

⑵若粒子只能经历两个完整的电场区，求sin。满足的条件;

⑶若。=0,粒子以幼=多的初速度从O点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为片二翳，求当粒

<5

子竖直位移大小为y=与L时的运动时间。

【答案】⑴30°;

(2)0.234sin。V0.73;

(3)力1=(64+~^^)§或力2=(68+35兀)5或力3=(72+~^)普

【解析】⑴由qv(3=m■曳

r

得r=2L

粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，由几何关系得

?^•一rsin^=L

解得sin。=友,0=30°

(2)粒子向左只能经历两个完整的电场区，设粒子在第三个磁场中水平速度变为0时竖直速度为凹，由竖

直方向动量定理有EqvJB。=mVy—mvdsind

即qB①琅=mvy—mvnSinO

又由动能定理2L=-ymvo

其中2LVC&&3L

联立解得《-1.5«sin。〈《一1

即0.23Wsin。V0.73

(3)由qv\B=m^-

为

得乃=?"7]=至1=生心

粒子第一次经电场减速后，速度大小变为v2

根据动能定理有一qEiL=-ymvj—mv1

gDV2

又qv2B=m—

『2

况_Vo_1<p_2兀/2_47rL

得02=7-,，2=-7乙r，石=----=-----

63v-2Va

粒子在电磁场中运动一个完整的周期T,沿”轴向下移动的距离A7/=2r,-2r2=^-L

oL2L

X

X

X

X

X

设粒子能运动完整的ri个周期，则满足力,Ag+A小=学力

O

£△"V2n=.Z/

O

解得外＞7.5

故71=8

粒子在电场中减速和加速时间均为£==—

仙+”2V0

2

7=行+22+口

乙乙

19

故当粒子竖直位移大小为y=L=+L时的运动时间可能为

T

£I=87+春7；或±2=87+47；+±+；霓或£3=97+47；

<5240

即£产(64+也普)工

'3'劭)

t=(68+357u)—

2°o

3(72+明吉

5.（江苏南通2025年高考三模）如图所示，在平面直角坐标系eg/的第一、二象限有沿+c轴方向的匀强

电场,在第三、四象限有宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外,长度为d的荧光屏MN与

①轴垂直,下端在c轴.匕一质量为m、电荷量为+q的粒子从点P（O,d）沿-y轴运动，初速度大小为如

经电场偏转后从点Q（等d,0）进入磁场，并垂直于磁场的下边界离开磁场.已知P点到MN的距离

二》，不计粒子重力。

O

_____________________________________8

⑴求电场强度大小E;

⑵求磁感应强度大小B：

⑶在匀强磁场下方所有区域再加一垂直于坐标平面的匀强磁场，要使粒子能打到A//N上，求所加磁场

的磁感应强度⑶所满足的条件。

【答案】(1)后=今苧

3qd

4/fWo

(2)B=

3qd

当与■，方向垂直于平面向内或向外。

(3)BZ>

5qd

【解析】

(1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，在一夕方向有d=

+出方向有^d=^-at1

根据牛顿第二定律有qE=ma

联立解得石=年苧

3qd

(2)粒子经过Q点时十4方向的分速度以=Q±二今豌

财合速度大小%=~1•比

设粒子均与i轴的夹角为0,有tan/?=—

几何关系d=rcosO

mvQ

半径度=~qB~

解得8=4m”o

3qd

(3)粒子经两磁场偏转到回到a:轴时速度大小不变，方向与轴的夹角为0且斜向右上方，做类斜抛运

动，粒子如果能够打到M■点，则+g方向d=vvt

2

十%方向Ai=vrt+—at

解得AN=2d

①若所加磁场垂直于平面向内，且粒子恰能到达N点，几何关系须＞+2(r—rsin9)+2ri=PM

解得=

又因为在磁场中半径为=卫等

qBi

联立解得场=当竽

若8—8,粒子回到C轴时的位置与八四间的距离AN'=dVAc打在屏上，则所加磁场垂直于平面向

内，且3）学学时粒子能打到上；

3qd

②若所加磁场垂直于平面向外，且粒子恰能到达M点，几何关系CQ+2（R一rsin。）-2n+A①

解得『2