高二数学下学期期中模拟卷01（人教A版）含答案

2025-2026学年高二下学期期中模拟卷01

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版（数列+导数+计数原理+概率）

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.下列求导止确的（）

11

A.x+—

X)

1

B.[In(2x+D]'=

2x+\

C（门'j（x+l）

.I"一，

D.（xsinx）=sin.v+xcosx

2.已知函数/（x）的导函数为/'（x）,满足/（x）=3/-4（3）+2,则/⑴=（）

A.-3B.-8C.3D.8

3.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的

2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）

A.36种B.72种C.144种D.288种

4.设数列｛%｝满足=9包，且则。202，=（）

A.—2B.—C.~D.3

32

5.学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”,在男生中被选中的条件下，研学团中男生人数

多于女生的概率为（）

142

A.-B.-D.

773

1/10

6.已知函数/（x）=4c「公」在（0,+e）上单调递增，则。的取值范围是（）

（c3l（e-'l（e4l「小1

A.心一司B.心司c.d司D.历叼

7.已知数列｛可｝满足q=33,-—%=2〃，则半的最小值为（）

21八l—53~33

A.--B.2v33—1C.—D.—

255

8.已知实数》,，满足ln（4x+y-4）+4—e*3）T-2x-4.yN0,则2x+3y的值为（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得（）分.

9.数列｛q｝的前〃项和为S”，且4川+4=匕-1,下列说法正确的是（）

A.若｛%｝为等差数列，则血｝的公差为1

B.若｛5｝为等差数列，则｛吗的首项为1

530=445

D.S2n>4/z—3

10.有三个相同的箱子，分别编号1,2,3,其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿

球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中

摸出一个球，事件4表示“取到，•号箱。=1,2,3）”，事件8表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则（）

7

A.*可4)=]B.尸(3⑷+P(C|4)=P(4)

D.*忸)=2

\715

11.设函数/（力=2/+3奴2一］,则（）

A.当0>1时，/（》）有三个零点

B.当〃<0时，x=0是/（x）的极大值点

C.存在“力eR,使得X=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在awR,使得点（1J⑴）为曲线》=/（x）的对称中心

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.仅-力6+亡)的展开式中X，的系数为

13.已知等比数列｛《｝的前〃项和S“二h3"-3(%是常数)，则A的值为.

14.若不等式炉-对x.o,+oo)恒成立，则〃?的取值范围是.

四,解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

2n

(3)若(2x-l)"=a(>+a]x+a7x+•••+a„x,求1%1+1《l+l的l+…+1。」的值.

16.(15分)甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为乙每次投中的概率为：，丙每次投中的概率为

42

p(Dvp<1),设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.

(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；

(2)丙投篮3次，当P为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.

17.(15分)已知数列｛q｝中，a尸g,且满足《用-3%+1=0(〃eN*).

⑴证明：数列卜二；,为等比数列：

⑵求｛〃“｝的通项公式；

3"1

(3)令a=------,S"为数列｛"｝的前〃项和，证明：Sn<-.

7

18.(17分)已知函数/(》)=，+/,g(x)=xlnx+(〃+l)x.

⑴当。=1时，求g(x)的单调区间；

(2)若fa)Ng(x),求。的取值范国;

(3)若/(x)=g(x)有两个实数解不，/，证明：In再+lnx2<0.

19.(17分)已知函数/(x)=sinA-aYcosx,qeR.

⑴当。=1时，求函数/(“在x=f处的切线方程；

⑵Ke］。身时;

(i)若/(x)+sin2x>0,求”的取值范围;

(ii)证明：sin2x-tanx>x3.

2025-2026学年高二下学期期中模拟卷01

数学参考答案

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ADACDABI）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.-13

13.3

14.[21n2-2,+<x））

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为&=C；（2x）"[+J=（-l）r2-X；r2\（2分）

因为第5项与第3项的系数之比为7:6,可得^^=（〃_2誓—3）（3分）

乙

nHoO

即-50=0，解得〃=10或〃=-5（舍），所以〃=10.（4分）

（2）解：由（1）知二项式（2—1）,（S分）

根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，（7分）

x）H=-8064.（8分）

所以展开式中二项式系数最大的项为7；=C：°（2

（3）解：由（1）知，二项展开式的通项为二1

当"=1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为负；

当，=0,2,4,6,8,10时，展开式的项的系数为正,（11分）

5/10

所以1%i+mi+&i+…+1。1（）1=生-。1+6+…+4o

令二=一1，可得141+lqI+&什…+l4ol=%-卬+的一%+…+与=斗，

即@1+1%1+1引+…+14卜弧（13分）

16.（15分）

【详解】（1）甲恰好投中1次的概率为（：；,（3丫=0，（2分）

乙恰好投中1次的概率为C；-」d=3=*<2,（4分）

2⑴86464

所以甲恰好投中1次的概率大.（5分）

（2）丙恰好投中1次的概率为C；・p-（l-p）2=3p（l-pf.（7分）

令/'（x）=3x（l-x『=-6x2+3;,0<x<l.（9分）

求导得：/'（x）=9/-12x+3.（10分）

由「（力>0,解得0<x<；,故/⑴在（0。上单调递增：

由/'（力<。，解得gc<l,故/（X）在6,1）上单调递减，

所以小）2=/《）=?（14分）

所以当p=§1时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为14.（15分）

17.（15分）

I（1\

【详解】（1）由题意知。”+[-+1=0（〃wN）,所以。“+[-5=3an--,（2分）

乙\乙）

由于故%-g=3工0,

1

%+1-T

故——/=3,（3分）

a„——

”2

故数列｛（一；]是以3为首项，公比为3的等比数列；（4分）

6/10

(2)由(1)知，数列｛(一：］是以3为首项，公比为3的等比数歹力

所以4一;=3X3"T=3",故%=3"+；.(〃wN・)(7分)

(3)由(2)知.勺=3"eN),

J

，(10分)

3n+,+-

2)

11111

—-----------------+-

2rli.211.31

3+-3+-3-+—34—

I2222

由于〃eN*,------——>0故S“<g(〃eN*),(15分)

2・3%1

18.(17分)

【详解】(1)(1)当〃=1时，g(x)=xlnx+2x(x>0),(1分)

则g'(x)=lnx+3,令g")=0/=5，(2分)

当工€((),｝)吐g'(x)<0,g(x)在(0城)上单调递减，

当jeg,+8)时,g1)>O,g(A)在(｝，十8)上单调递增，

所以g(x)单调减区间为(0.J),单调增区间在为(2,+8).(4分)

(2)由/(x)Ng(x)可知，e1+x2>xlnx+(a+l)x,XG(0,+OO),(5分)

BP--Inx+x-(q+1)之0在x£(。,+8)上恒成立，

X

设=—lnr+x—(a+1),——~~”(：+”).(7分)

X厂

当x«0,l)时,F(x)<0,尸(力在(0,1)单调递减;

当—)时,F(x)>0,尸⑺在(1,+8)单调递增,

所以x=l时，尸(x)取得最小值，最小值为Rl)=e-“，(9分)

由题意知e-〃20,即a«e,故。的取值范围为(e，目；(10分)

(3)方程e'+/=xlnx+(4+l);v有两实数解怎，々，

7/10

即W-lnx+x-（a+l）=O有两实数解，不妨设$＜乙,

A

由（2）知方程/（x）=g（x）要有两实数解，贝峰-"0,即〃〉e,

同时王£(0,1),X2G(1,4-00),—€(0,1),（11分）

X?

F(x)=---Inx+x-(a+1)»则尸(%)=尸(巧)=。〃（力在（0,1）单调递减,

1

欲证In$+ln.q<0,即证再为<1，xi<—

x>

等价于尸（』）＞/!，即尸（电）＞尸，I,

\X27kX27)

e”~।

等价于----In々+与＞*x：+In占+一，

整理得曰+lne"——]

——>x、e"+lnxex：(f),（13分）

々2J

Xl

令G(x)=x+lnx,①式为G—>Gx2e,又G(x)在(0,+“)单调递增,

广-]

故①式等价于J>羽e”,即"21眸一一>0,(15分)

x2~吃

令Mx)=x-21nx-L,

xx*

当时,〃(力>0,〃卜)在(1,+动单调递增，

又工2>1，A(x2)>/?(1)=0,Upx2-2Inx2>0,

所以中2<1，则ln±+ln.q<0.(17分)

19.(17分)

【详解】(1)当。=1时，/(x)=sinx-x-cosx,f'(x)=cosx-(cosx-x-sinx)=x-sinx,/(^)=1-

所以切线方程为：），一1二5（4—5），即心—2^+2—号=0.（3分）

(2)(i)f(x)+sin2x=sinx-ax-cosx+sin2x>0,

即tanx-QX+2sinx>0,xe(09，

71

设g(x)=2sinx+tanx-ax,xe(0,:),

8/10

g/(x)=2cosx+-----a=-—(2cos3x-acos2x+l).

cos'xcos'x

又•••g(0)=0,g'(0)=3-a,...g'(0)=3-aN0是g(x)>0的一个必要条件,即a43.(5分)

下正“W3时，满足式¥)=25出工+611》-0¥>0,》€(0,券

Xg*(x)>—(2cos3x-3cos2X4-1),

cos'x

设(0=2r3-3/2+l./e(0.!)./；(/)=6产-6t=6f(f-1)v0力(f)在(0,1)上单调递减,

所以姐)>力(1)=0,

又X€(0,扣OSX€(0,1),.-.g[x)>0,即g(x)在(0片)单调递增.

…呜)时，g(x)>