用样本估计总体的离散程度参数-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

题组一极差、方差、标准差的计算

1.（2025江苏无锡怀仁中学期中）若数据XI,X2,X3,X4的平均数为

元方差为5,则数据X1,X2,X3,X41的方差为（）

A.lB.2V5

C.4D.5

2

2.（2025江西景德镇期末）已知一组数据XI,X2,X3,X4的平均数1=4,方差s=2,则数据

2xi+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均数和方差分别为（）

A.11,4B.8,8

C11,8D4,2

3.（多选题）（2025湖北武汉联考）某班有男生30人，女生20人.在某次考试中,男生、女生成

绩的平均分分别为1132s*工2）,方差分别为

小原该班所有学生的成绩的平均分和方差分别为工§,则下列结论一定正确的是（）

AJ=|XI+|X2

3_2_

B.X>-X|+-X

JJ2

C.s2=|s：+|.其

3）2

D.S2>-5f+y.S2

4.（多选题）（2025福建厦门模拟）甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则

（）

一甲.■乙

A.甲得分的极差大于乙得分的极差

B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数

C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

题组二极差、方差、标准差的应用

5.（2025江苏南通期中）在一次足球联赛上,甲队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球

数的标准差为L4;乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球数的标准差为0.4,则

（）

A.平均来说，乙队比甲队防守技术更好

B.甲队比乙队防守技术水平更稳定

C.乙队很少失球

D.甲队在防守中有时表现较差，有时表现较好

6.（2025江苏太仓沙溪高级中学阶段检测）为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采

取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行

统计，如图所示.

⑴分别求用甲、乙两套方案培训的测试成绩的平均数和方差；

（2）从下面两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：

①从平均数和方差相结合角度（分析哪种方案的成绩更好）；

②从折线图上两种方案的走势（分析哪种方案更有潜力）.

能力提升练

题组样本数字特征的综合应用

1.（2025江苏淮安中学期中）已知互不相等的数据X1,X2,X3,X4,X5,X6,t的平均数为t,方差为

数据XI,X2,X3,X4,X5,X6的方差为成则（）

27B22

31^51千2

C.sj<$D.s；与其的大小关系无法判断

2.(2025山东临沂期中)有一组数据1,2,3,4,5,现加入两个正整数x,y构成一组新数据,与原数

据相比，下列说法正确的是()

A.若平均数不变，则x+y=6

B.若极差不变，则x+y=6

C.若x+y=6,则中位数变大

D.若x+y=6,则方差不变

3.(多选题)(2025江苏南通模拟)每年4月23日为“世界读书日”，某小学为鼓励学生进行课

外阅读，拓宽学生眼界，对热爱课外阅读的班级进行表彰，规定从班级中随机抽取5位同学,

统计他们一学年内阅读课外书籍的本数，若抽取的5位同学在一学年内阅读课外书籍的本

数都不低于10,则该班级被评选为“优阅班级”.以下是4个班级中从每个班级抽取的5位同

学阅读课外书籍的本数的统计数据.

六年级(1)班:中位数为11,众数为10;

六年级(2)班:众数为12,极差为3;

六年级(3)班:平均数为12,极差为3;

六年级(4)班:平均数为12,方差为2.

根据以上信息，一定能被评为“优阅班级”的是()

A.六年级(1)班B.六年级(2)班

C.六年级(3)班D.六年级(4)班

4.(多选题)(2024湖南长沙一中月考)为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽

取了该地区三个县在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计,A县建档立卡人

员年人均收入提升状况如扇形统计图所示,B县建档立卡人员年人均收入提升状况如条形

统计图所示,C县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元,方差为4百元2,A,B,C

三县建档立卡人数之比为3：4：5,则下列说法正确的有()

A.A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为122百元

B.B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6百元2

C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为120.75百元

D.C县精准扶贫的效果最好

5.（多选题）（2025河南焦作期中）某校社团为发扬奥林匹克精神举办了竞技比赛，此比赛共

有5名同学参加，赛后经数据统计得到这5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8,方

差为4,比赛成绩x£[0[5],且xEN”,则这5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）

A.13B.12C.llD.10

6.（2025江苏镇江期初调研深校积极开展“武术进校园”活动，为了解该校各班参加武术兴

趣小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加武术兴趣小组的人数作为样本

数据.已知样本平均数为5,极差不大于6,且样本数据互不相等，则该样本数据的方差的最

大值为.

7.（2025江西九江期中）己知某中学高一年级有学生1000人，其中男生460人，现采用分层

抽样的方法从中抽取50人，对他们的身高进行统计.若男生身高（单位:cm）的平均数和方差

分别为170.6和12.59,女生身高（单位:cm）的平均数和方差分别为160.6和38.62,则估计该

校高一年级学生身高的平均数是_______，方差为（结果保留一位小数）

8.（高考新发现）（以新定义的形式考查统计知识）（2025四川成都树德中学期中）《中国制造

2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国

之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针是质量为先，要坚持把质量作为建设制

造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线

进行技术升级改造,为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产

品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表.

质量[25,[35,[45,[55,[65,[75,[85,

指标值35)45)55)65)75)85)95]

产品

6010016030020010080

件数

（1）估计这组样本的质量指标值的平均数工和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表）；

⑵设X表示不大于x的最大整数,｛x｝表示不小于x的最小整

数m=5,｛岸｝,悦=5•图,n£N;标准差s的值精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后,

若有65%的产品的质量指标值落在⑶卜]内，则可以判定技术改造后的产品质量初级稳定;

若有95%的产品的质量指标值落在侬屁]内，则可以判定技术改造后的产品质量稳定，认为

该生产线的技术改造成功.根据样本数据估计，是否可以判定该生产线的技术改造是成功

的.（附:旧Tn6）

答案与分层梯度式解析

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

基础过关练

l.c由己知得小）2=20,所以数据Xi,X2,X3,X4b的方差为^-------=4.

i=\'

2C由数据X1,X2,X3,X4的三均数1=4,方差s2=2,可知数据2xi+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均

数为2'4+3=11,方差为2?X2=8.

规律总结若一组数据的平均数为工,方差为s2,则将这组数据分别加上（或减去）同一个常

数a,所得数据的平均数为5+a（或1・a）,方差不变;将这组数据分别乘上同一个常数帅翔）,所

得数据的平均数为位,方差为b2sZ

3.AD由分层抽样的平均数计算公式可得工=生|+自2=3|+*2,则A正确,B错误；

由分层抽样的方差计算公式可得52=|［（幻氏）2+5节+/121）2+5句］、制/之当且仅当其=工2时,

等号成立，

又因为其打2,所以等号不成立，故s2>|s；+|sZ，则C错误,D正确.

4BC甲5场比赛得分由低到高分别为15,1618,21,30,乙5场比赛得分由低到高分别为

4,10,16,22,38,

则甲得分的极差为30/5=15,乙得分的极差为38-4=34,

故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误；

甲得分的平均数为.6+7+3。20,乙得分的平均数为4+10+丁2+38电

则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确；

甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C

正确；

甲得分的方差为

(15-2O)2+(16-20)2+(18-20)2+(21-20)2+(30-20)2、

------------------------------29.2,

乙得分的方差为

(4-18)2+(10-18)2+(]6-18)2+(22-18)2+(38-18)2,~/

---------------------------二136,

故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误.

5.D对于A,因为1.5V2.1,所以平均来说，甲队比乙队的防守技术更好，故A错误；

对于B,因为1.4>0.4,所以乙队比甲队防守技术水平更稳定，故B错误；

对于C,因为乙队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球数的标准差为0.4,

所以乙队失球数更多，且乙队防守技术水平相对稳定,所以乙队很少不失球，故C错误；

对于D,因为甲队全年比赛失球数的标准差为1.4,相比较来说不太稳定，所以甲队在防守中

有时表现较差，有时表现较好，故D正确.

6.解析(1)由题图可得用甲方案培训的测试成绩的平均数

_109+111+113+115+117+119+121la

方甲----------：----------115,

用乙方案培训的测试成绩的平均版乙=2"⑶」。9+:川3川735_1]5,

用甲方案培训的测试成绩的方差%=3676⑷,"mW6

用乙方案培训的测试成绩的方差上=36+0+36,440=当

J11

(2)①因为甲、乙两种方案培训的测试成绩的平均数相等，其，所以用乙方案培训成绩更

*1乙

稳定、更好；

②从折线图的走势来看甲更有潜力，使用甲方案的成绩稳步提高，而使用乙方案的成绩不

稳定，忽上忽下.

能力提升练

1.C数据Xl,X2,X3,X4,X5,X6,t的平均数为且生/空曳工、

所以XI十X2十X3十X4十X5十X6=6l,

2_(^1-。2+-2+-2+(工4“)2+(工5“)2+(工6“)2+(4)2

5,7

_(.0-。2+。2-。2+。3-。2+。4“)2+(号02+(.3)2

7，

数据Xg,X3,X4,X5,X6的平均数丈3答3

OO

2_(Xj-t)2+(X2-t)2+(X3-t)2+(X4-t)2+<X5-t)2+(X6-t)2

$26，

因为(X]-1)2+(工24)2+(工3-1)2+(、4-1)2+(15-1)2+(工6“)2>0,所以

2.A若平均数不变，则上手比=上上产=3,解得x+y=6,故A正确;

当x=y=2时，极差不变，但x+y#6,故B错误；

若x+y=6,则x,y为1,5或24或3,3,每一种情况对应的中位数都是3,故C错误；

原数据的平均数为3,方差为%(4+1+0+1+4)=2,

因为x+y=6,由A知原数据和新数据的平均数均为3,

所以新数据的方差为;[(x-3)2+(y-3A4+1+0+1+4]-吟业-史巴/沙-瞥生，

当x=y=3时，方差有最小值当所以方差有可能改变，故D错误.

3.ACD对于A,设六年级⑴班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为xi,X2,X3,X4,X5(假

设顺序是从小到大的)，

因为中位数为11,所以X3=ll,又众数为10,所以X|=X2=10,所以该班级一定能被评为“优阅班

级''，故A正确；

对于B,假如六年级(2)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为9,10』满足众数

为12,极差为3,但不满足被评为“优阅班级”的条件，故B错误；

对于C,设六年级(3)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为xixZxSxZX.假设顺序

是从小到大的)，

由X'5-X*I=3,

得若XW9,则XF3S9,解得号32,这与平均数为12矛盾，故XG10,所以该班级一定能被评

为“优阅班级''，故C正确；

对于D,设六年级(4)班的这5位同学阅读课外书籍的本数分别为X”i,X〃2,X〃3,X〃4,X〃5(假设顺

序是从小到大的)，

2w

由题得2中(X"r12)+(x2-12)2+(X"3-12)2+(X"4・12)2+(X"5-12)2],

所以Q"i-12)2+(x”2・12)2+0"3-12)2+(X"4-12)2+(X"5-12产=10,

若X"£8,则(x〃1-12注16>10,与上式不符，若X"|=9,且平均数为12,则x%>12,上式不成立，所

以x”G10,所以该班级一定能被评为“优阅班级”，故D正确.

4BCD选项A中，A县建档立卡人员年人均收入提升的平均数

2=123x1+114x!+121><H21(百元)，故A错误；

1264

选项B中，B县建档立卡人员年人均收入提升的平均数

心=115x1。％+1"x20%+l19X5U%+123X20%=119(百元)，

B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为

(115-119)2xo/+(i17-119)2xO.2+(U9・l19)2x0.5+(123-119)2x02=5.6(百元2),故B正确；

选项C中，估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升为

2x(121x3+l19x4+122x5尸120.75(百元)，故C正确；

选项D中，A县建档立卡人员年人均收入提升的方差为

(123-121)2x^+(114T21)2x：+(121T21)2x410.5(百元2),所以C县建档立卡人员年人均收

入提升的平均数最大，方差最小，故C县精准扶贫的效果最好，故D正确.

5.BC设这5名同学在此次比赛中所得成绩分别为X.,X2,X3,X4,X5,

由题得平均数h1(x]+X2+X3+X4+X5)=8,则X|+X2+X3+X4+X5MO,

且方差52=[8・8)2+(工2・8)2+(4-8)2+(y8)2+的-8)2]=4,

则(町・8)2+(必-8)2+(%3・8)2+04-8)2+05・8)2=20,

不妨设X5最大.

对于A,若X5=13,则3-8)2+(必-8)2+(与-8)2+(%4-8)2=・5,不成立，故A错误;

对于B,若X5=12,则(勺-8)2+的-8)2+(工3-8)2+(工4-8)2=4,满足题意，故B正确；

对于C,若X5=l1,则(为-8)2+(》2・8)2+(工3・8)2+(必・8)2=11,满足题意,故C正确；

对于D,若X5=10,则X1+X2+X3+X4=30且(町・8)2+(42・8)2+(叼・8)2+(工4・8)2=16,

则16(x1+XZ+X3+X4)+4x82=16,

十x；十4十寸=16(xi+x2+x3+x4)-4x8?+16=16x30-4x82+16=240,

则该方程组无正整数解，故D错误.

6.答案y

解析不妨设这5个班级的样本数据分别为a,b,c,d,e(a<b<c<d<e),_Ba,b,c,d,eWN；

依题意有a+b+c+d+e=25,易知e>d+1>c+2>b+3>a+4,

所以5a十103a十b十c十d十c35e-10,则e>7,a<3,

又e-a56,所以a,b,c,d,e的值可能有三种情况:

@a,b,c,d,e分别为2,3,5,7,8,则平均数为5,方差为

肾[(2-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=?

②a,b,c,d,e分别为2,456,8,则平均数为5,方差为*(2・5产+(4-5)2+(5・5)2+(6・5)2+(8・5)2]=4;

@a,b,c,d,c分别为3,4,5,67则平均数为5,方差为卜[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2.

综上，当a,b,c,d,e分另ij为2,3,