山东省淄博市沂源县2025-2026学年九年级下学期（五四学制）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省淄博市沂源县九年级（下）期中数学试卷（五四

学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在2,-1,兀，•通四个数中，最小的数是（）

A.-、后B.2C.7iD.-1

2.未来将是一个可以预见的4时代.4一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智

能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学.卜列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对

称图形也是中心对称图形的是（）

3.2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截至3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前

位列全球影史票房第6名.其中149亿用科学记数法表示为（

A.14.9X109B.1.49X109C.1.49X1O10D.0.149X10"

4.下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（）

5.下列运算正确的是（

A.(。加)2=a2bGB.a3+a2=a5C.凉・。2=〃6D.2(a-b)=2a-b

6.为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产-“抖空竹”引入阳光特色大课

间.下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知”||8,乙£48=70°,

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ZECD=100°，则NE的度数是（）

图1图2

A.30°B.40°C.60°D.70°

7.某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位:

分钟）：55,57,65,55,65,70,65,78,68,70.对这组数据判断正确的是（）

A.方差为3B.平均数为65C.众数为65D.中位数为67.5

8.如图，正方形48C。的顶点〃在x轴上，点力，点C在反比例函数v

x

（AX）,x>0）图象上，若直线8c的函数表达式为”I,则〃值为

（）

A.6

B.12

C.：6

D.24

9.如图，在矩形48CQ中，AB=4,BC=3,以8为圆心，适当的长为半径画弧,

交BD,BC于M,N两点、;再分别以N为圆心，大于1.UN的长为半径画

弧，两弧交于点P，作射线8P交CO于点色再以8为圆心，8。的长为半径

画弧，交射线8P于点£,则b的长为（）

A.那

B.入：C.5D.5-2遥

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10.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：（；，-今,

（V，4）…都是“方形点”.下列结论：

①直线尸-4x+3上存在“方形点”；

②抛物线尸35/3上的2个“方形点”之间的距离是10；

③若二次函数尸n：2+3x+cQwo）的图象上有且只有一个“方形点”（2,-2）,当-KW阳时，二次函数

一

产加+3x+c（〃工0）的最小值为-8,最大值为一；，则实数，〃的取值范围是-1W〃忘4：

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.因式分解：3/.12=.

12.己知〃和6是方程N+2（）25X-4=0的两个解，则42+2（）24止人的俏为.

13.如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以

。为圆心,04,。8长分别为半径，圆心角40=120°形成的扇面，若。力=4”,08=2叽则阴影部分的面积为一.

（计算结果保留几）

AYCV

图①1物

14.张华和王亮平时的耐力与速度相差无几,李老师设计了一个200/〃赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，

甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（〃?）与出发时间I（s）的关系.当两人相距20加时，出发的时间

是___S.

s/m

2°°/m

：—甲

0253740t/s

y,、

15.如图，在平面直角坐标系xQv中，有一个等腰直角三角形力04/0/14=90°

直角边AO在x轴上，且力。=1.将R/△/08绕原点。顺时针旋转90°得到等

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Bz

腰直角三角形40以，且AiO=2AO,再将必△40%,绕原点。顺时针旋转90°得到等腰直角三角形/2O82,

旦上82小。依此规律，得到等腰直角三角形^2025^2025,则点8202s的坐标为一

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

(1)计算：(2025)0+4sin60°+卜2■兀卜2」.

fih

1\,并求值（请从小宇和小丽的对话中确定〃力的值）.

a-b

小宇小丽

17.（本小题10分）

如图，四边形48co是菱形，点E、/分别在边力B、AD的延长线上，且BE=DF,连接CE、CE求证：CE=CF.

18.（本小题10分）

为加强法制和安全教育，某学校臼发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料.经过一段时间的学

习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了•次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛

中部分同学的成绩，并绘制了下而不完整的统计图表.

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参赛成绩60«7070WxV8080«9090WT00

人数m15n40

级别及格中等良好优秀

请根据所给的信息解答下列问题:

（1）王老师抽取了名学生的参赛成绩；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该校有160（）名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x280）的学生有多少人？

（4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后,

再由电脑随机从儿B,C,。四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出

两个班同时选中同一套试卷的概率.

及格中等良好优秀级别

19.（本小题10分）

新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车4s店决定采购新能源甲型

和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购正甲型汽车的

数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆.

（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？

（2）该汽车4s店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍,

问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？

20.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，一次函数y产於+力与反比例函数的"（x>0）的图象交

X

于,4（2,利）、B（4,2）两点.

（1）求一次函数户与反比例函数"的解析式；

（2）根据图象回答，当+/&U时，*的取值范围为______；

（3）y轴上有一点P,当以点。、P、A、8为顶点的四边形的面积为7时，求点P的坐标.

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21.（本小题12分）

如图，A,B,C,。是。。上的匹点，4C是直径，AB=BD,过点4作4E1OE交0c的延长线于点£

（1）求证：是。。的切线;

（2）若\"=3%,BE=3,求0。的半径.

22.（本小题13分）

二次函数尸"2+队-3的图象与x轴交于/（-3,0）、夕（I,0）两点，与y轴交于点C.

（I）求此二次函数的表达式；

（2）如图1,点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作EZ）亚轴，交x轴于点。，四边形CD4E的

面积是否存在最大值？若存在，请求出£点坐标；

（3）如图2,点尸是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交早点。，在x轴上有一点N（・5,0），连接

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NP,在抛物线的对称轴上是否存在一点“，使得乙“NP+48co=45°,若存在，请求出点〃的坐标.

23.（本小题13分）

（一）模型呈现

（1）如图1,点力在直线/上，乙BAD=90°,AB=AD,过点8作8C1/于点C,过点。作。以/于点£,由

41-42=22+4。=90°,得乙1=,。，又UCB=AED=9G,可以奉理得到△^。^△。花，进而得到力。=

，BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

（二）模型体验

（2）如图2,在。中，点。为/“上一点，DE=DF=3,乙4=^EDF=cB,四边形CKZ）厂的周长为10,

△"C的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△力短石丝^所。，进而得到力AD=BF,那

么,48=力£+8凡再根据题目中周长信息就可得AB=______；

（三）模型拓展

（3）如图3,在△48C中，乙4cB=90°,AC=2BC,直线MN经过点C,且力O1MN于点。，BE1MN于点

£请猜想线段。£，AD,8七之间的数量关系，并写出证明过程；

（四）模型应用

（4）如图4,已知在矩形/18C。中，AB=\4,BC=7,点石在CO边上，且。E=4.P是对角线4C上一动点，

。是边力。上一动点，且满足“加NFPQ:小，当P在/C上运动时，请求线段/。的最大值，并求出此

5

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时线段4P的长度.

D

图2

图4

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1.【答案】A

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】3(x+2)(x-2)

12.【答案】2029

13.【答案】4兀谓

14.【答案】20或26.5

15.【答案】(22。25,_22025)

16.【答案】.,+2\&+兀；

11

a-b'5

17.【答案】解：•••四边形48co是菱形，

:.BC=CD,乙4BC=UDC,

•••乙48。+/。8£=180°,乙ADC+乙CDF=T80°,

:.(CBE=cCDF,

在和△C3E中，

CD=CB

<KDF-KBE,

DF=BE

•••△CDFdCBE(SAS),

:CE=CF.

18.【答案】100.

见解答.

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约1200人.

19.【答案】每辆甲型汽车的进价为12万元，每辆乙型汽车的进价为10万元;

购进乙型汽车4()辆，可使投资总额最少，最少投资总额是112()万元.

20.【答案】一次函数yi的解析式为yi=・x+6；

07xW2或Q4；

点P的坐标为(0,1)或(0,-0.5).

21.【答案】(1)证明：如图，连接80并延长交4)于点“，连接OZ),

-：AB=BD,OA=OD,

.•.8。垂直平分力£>,

:.乙BHD=90°，

•MC为。O的直径,

•Z4QC=9O°,

,-BEIDE,

.•4=90°,

匹边形BEDH为矩形,

；/OBE=9C,

•••OB为。。的半径，

・•.8E为。。的切线；

(2)解：在RtABDE中,

-BDAB八月，BE=3,

:・DE・《'，、'、二3乃，

•.•匹边形8EQH为矩形，

:.DH=BE=3,BH=DE=3隗，

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设。。的半径为二

则。〃=3而一7,OD=r,

在Rt^ODH中，(3\/5-r)2+32=户,

解得1'M,

5

即0。的半径为"v§.

5

22.【答案】尸32。3；

四边形C2ME的面积存在最大值；£点坐标为(-1,-4)；

在抛物线的对称轴上存在一点凡使得4/NP+MCO=45°；点〃的坐标为(1.。或(-1,-12).

■5

23.【答案】解：(1)DE；AE；

••.土1+42=22+41>90°,

.*.zl=zZ),

在△力8c和△D4E中，

'Nl=NO

,AACB=ADEAt

AB=AD

•••△AB8ADAE(SAS)

:.AC=DE,BC=AE,

故答案为：DE；AE；

(2)7.

vzy/DF=Z.B+Z-BFD=Z.ADE+Z.EDF,且LA=^B=£EDF,

/.Z.ADE=Z-BFD,

在△力。E和△8。中，

fN/l=£B

{Z.ADE-znm,

IDE=DF

:.△ADE/ABFD(AAS),

:.AE=BD,AD=BF,

•••匹边形CEO产的周长为10,DE=DF=3,

:.CE+CF=25DE-DF=10-3-3=4,

乂•••△48C的周长为18,

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.XE+AD+BD+BF=18-(CE+CF)=18-4=14,

,:AE=BD,AD=BF,

.*.2(AD+BD)=14,

:.AD+BD=7,

即,48=7.,

故答案为:7；

(3)数量关系为：DE=2BE--AD,

2

理由：/CB=90°,

^4CD+Z-BCE=9O°,

又；N,BELMN,

山CC=BEC=9Q0,

.•.乙4CQ+QO=9(T,

:♦乙BCE=cCAD,

:.△