高考数学 集合与常用逻辑用语、不等式 充分条件与必要条件 （附解析）

充分条件与必要条件

激活思维

1.(教材经典题改编)“一元二次方程加+阪+c=0有实数根”是“庐一

4ac20(aW0)”的(C)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.(教材经典题改编)“xWA”是的(B)

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知。>(),/?>(),weR,则的一个必要不充分条件是(C)

A.B.

C.anv^bnrD.机？

2

4.若“1—mVx+〃7V2〃2”是“T<一1”的必要不充分条件，则实数〃7

X—1

的取值范围为(1,+8).

2x+1

【解析】因为1-/w<x+/??<2/n<=>\—2m<x<in,且r<—1<=>r<

x-1x—1

0<=>—1<X<1,所以由题意可得(一1,1){x\\-2m<x<m},所以1-2机W—l,

加21,且等号不同时成立，解得小>1,即实数阳的取值范围是(1,+8).

5.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，9是s的充分条件，那

么『是q的—充要—条件,p是q的—必要—条件.

【解析】因为q=s=r=>q,所以，•是q的充要条件.又g=s=r=>p,所以〃

是夕的必要条件.

聚焦知识

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1.定义法：分别判断“p今夕”及“夕台p”的真假.

2.集合法：利用集合间的包含关系进行判断.其中p：A={x\p(x)}fq：B=

充分、必要条件定义法集合法

p是q的充分条件p=qAQB

p是q的必要条件q0P5cA

p是q的充分不必要条件pOq且q^pAB

〃是夕的必要不充分条件p今q且q0PBA

〃是9的充要条件p0qA=B

〃是q的既不充分又不必要条件p书q且q至pAC8且80A

3.传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式

图，根据图中推式的传递性进行判断.

题型突破思维拓展

举题说法

目标U充要条件的判断

例1（1）（2025•青岛一模）设U为全集，A,8是集合，则“存在集合。使

得AGC,87[uC”是“API8=0"的（C）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】由8UQ/C,得3rle=0,而AUC,则AG5=0,故“存在集合

。使得4GC,BGCuC”是“AG8=。”的充分条件.由AG5=。，存在一个集合

C=A,使得ACC,B«uC,如图.所以“存在集合。使得ACC,B^CuC”是

“4AB=。”的充要条件.

（2）（多选）已知集合人=*£1<|/一以+/—3=0},B={x\x<0],则“A「8=

。”是真命题的一个充分不必要条件是（BCD）

A.。<一2或心小

B.a<-2

C.小

D.々V-2或Q2

【解析】因为A={x£R*—"+〃2—3=()},B={MxV()},所以若“ACIB

=。”是真命题，当A=。时，则/=〃2-4(a2-3)V(),解得々V—2或〃>2,当

AW。时，则由题意可得方程x2一⑪+〃2—3=()有两个非负实数根，所以

'/=〃一4(4—3)20,

〈注0,解得黄&W2.综上，。的取值范围是{*<一2或

、4—320,

小},即4GB=。是真命题的充要条件为。<一2或小，结合选项知B,

C,D正确.

・总结提燎A

判断充耍条件的三种方法

(1)定义法：直接判断“若P，则夕”以及“若q,则〃”的真假.

(2)集合法：利用集合的包含关系判断.小集合推出大集合，小集合是大集

合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，

就是充要条件的关系.

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由pi0〃20…0p〃，可得

pi=p”；充要条件也有传递性.

题组麻缪

1.(2025・苏锡常镇一模)是的(D)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】由：>(>()可得OVaV/?,由2">2，>可得〃>仇所以由!>/>0

推不出2。>2〃，即充分性不成立；由2。>2〃也推不若%>0,即必要性不成立.所

以“!>宗。”是“2〃>2叱的既不充分又不必要条件.

2.(2025•开封二模)设/b£R,则。〈〃的一个充分不必要条件是(D)

22

A.-a>TbB.a-\-b>2ab

C.«>1D.\n(b~a)>0

【解析】对于A,当。=1,b=-1时，满足/但是不符合故

十〉"不是4Vb的一个充分条件，故A错误；对于B,cr-\-lr>2ab,即（〃一。户〉

0,即。W/?,所以/+/>2出?是〃</?的必要不充分条件，故B错误；对于C,

e^>l=e°,即故9厂">1是的充要条件，故C错误；对于D,ln（Z?

—a）>0,即b-a>1">〃+1,故\n（b—a）>0是a<b的一个充分不必要条件,

故D正确.

3.（多选）已知〃是一的充分不必要条件，q是一的充分条件，s是一的必要

条件，夕是s的必要条件，则下列命题正确的是（AB）

A.r是夕的充要条件

B.〃是q的充分不必要条件

C,•是g的必要不充分条件

D.,•是s的充分不必要条件

【解析】根据条件弄清楚p,%一，s之间的关系，然后逐一判断即可.由

已知得〃=r,Tp、qnr,，=s,s=q,所以r=>q且4=/，故A正确，C不正确；

p=q,q+p,故B正确；r=>s且s=r,故D不正确.

4.（多选）下列命题正确的是（ABD）

A.是廿<1”的充分不必要条件

B.\n<0”是“二次方程『十（〃[-3）无+m=0有一正根、一负根”的充要

条件

C."xWl且）WI”是“x+），W2”的充要条件

D.设“，则“4#0”是“"W0”的必要不充分条件

【解析】对于A,由可得OV：V1,所以5Vl成立,所以“”>1”

是“%1”的充分条件；由*1可得。<0或。>1,所以不是廿<1"

的必要条件.综上，是吟<1”的充分不必要条件，故A正确.对于

B,“二次方程f+（/〃-3）x+m=（）有一正根、一负根”等价于ifxiX2=fn<0ff,

故B正确.对于C,由“xWl且）忘1”可得、+）W2"，但忘2”时,

如工=-3,y=4,此时且)W1”不成立，故C错误.对于D,因为。W0

推不出MWO,但帅H0能推出。工0,所以“不0”是“abWO”的必要不充分

条件，故D正确.

目标旧结合充要条件确定参数

Y---1

例2(1)(2025•天津一模)若“三<0”是“上一。|<2"的充分不必要条

件，则实数。的取值范围是(B)

A.(1,3]B.[1,3]

C.(-1,3]D,[-1,3]

X-1

【解析】因为一V0,则(x—1)a—3)<0=lVxV3.因为|x—。|<2,则

X3

-2Vx-〃V2=〃-2VxV〃+2,即1VXV3是〃一2<xV〃+2的充分不必要条

。一2&1,

件，所以=1

。+223

(2)(2025•秦皇岛一模)己知2>(),集合4="*一51一6<()},8="G一2)(工

-2A)<0),若是工£8的必要不充分条件，则实数2的取值范围为(B)

A.(0,3)B.(0,31

C.(0,2)D.(0⑵

【解析】A={中2—5x—6<。}={x|—l<x<6},B=

{x|(x-2)(x-2A)<0}={.也<rV22},因为工是的必要不充分条件,

—1W2,

所以8是A的真子集，可得…一，等号不同时成立，结合2>0,解得0V

、2z,W6,

AW3,所以2的取值范围为(0,3].

，总结提燎A

(l)p:是q:x£N的充分不必要条件OMN;p:xCM患q:xCN的

必要不充分条件ONM.

(2)在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验.在利

用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这

里容易增解或漏解.

变式2(2026•青岛期初)设〃：x2mq：/+31-10>(),且〃是q成立的

充分不必要条件，则实数。的取值范围是(B)

A.(0,2)B.(2,4-oo)

C.⑵4-oo)D.(2,5]

【解析】由f+3x-10>0,得工〈-5或x>2,设3=(—8,-5)U(2,

+°°).设满足p：的集合为A,则A=[〃，+°°).由〃是4成立的充分不必

要条件，知A是B的真子集，所以。>2.

目ME充要条件的证明

例3设%)，£R.

(1)求证：k+2y|=|工|+21yl成立的充要条件是盯2()；

【解答】先证充分性：因为x)，2(),讨论：当x=(),y#0时，k+2y|=2|y|,

kl+21yl=2|y|,所以k+2y|=W+2|y|；当y=0,xWO时，\x+2y\=\x\9W+2|y|

=M,所以k+2y|=|x|+2|y|;当y=0,人=0时，卜+2y|=3+21yl=0.所以当孙

=0时，有k+2y|=|x|+2|)，|成立.当xy>(),即N>0,)，>()或XV(),yVO时，

若x>0,)>0,贝小+2)，|=x+2y=|x|+2|y|；若MVO,y<0,则|x+2y|=-x—

2y,k|+2|y|=—x—2y,所以k+2yl=|x|+2|y|.充分性成立.再证必要性：因为

2

\x+2y\=\x\+2\y\f两边平方有x+4y2+49=『+4)，2+4|对引，所以|町|=xy,所

以冲20,必要性成立.综上，k+2)，|=|x|+2M成立的充要条件是孙20.

(2)直接写出k+2)，|=k-2y|成立的充要条件(不要求证明).

[解答】因为|x+2y|=|x—2y|oa+2y)2=(x—2旷)2<=>8孙=0=盯=0,所以

k+2y|=k-2yI成立的充要条件是盯=0.

，总结提炼A

充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明〃是“的充要条件，首先要明确〃是条件，g是结论；其

次推证〃0q是证明充分性，推证g0〃是证明必要性.

(2)集合思想:记p:A=[x\p(x)}tq:B={x|1(x)},若A=B,则〃与夕互为

充要条件.

变式3求证：方程〃谓一2x+3=0(mW0)有两个同号且不相等的实根的充

要条件是OV〃zV?

【解答】先证充分性：若OVmVQ,则/=4-12”>0,故方程有两个不

23

相等的实根.设这两个实根为则二故方程2

XI,X2,Xl+l2=••4,>0,X1X2=—ill->0,"a

—2x+3=0(,〃W0)有两个同号且不相等的实根.再证必要性：若方程加「一2x+

/=4—12/7i>0,

3=0(〃?#0)有两个同号且不相等的实根，贝J3解得OVmvg,故

X\X7=—>0,J

必要性成立.

随堂内化

1.(2025・九江二模)“机>2”是“|m|>log23”的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，

但不是乙的必要条件，那么丙是甲的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分乂不必要条件

3.(多选)下列四个条件中，可以作为“若mO0R,则〃+〃>()”的一个充

分不必要条件的是(CD)

A.ab>0B.或b>0

C.a+b>2D.。>0且匕>0

【解析】对于A,疝>0,则可能〃V0且。<0,此时所以充分

性不成立；对于B,例如a=—3,b=2,满足〃>0或〃>0,此时a+〃V0,所

以充分性不成立；对于C,由可得反之不成立，所以。+Z?

>2是〃+%>()的充分不必要条件；对于D,若。>0且8>0,则〃+人>0,反

之，若〃+方>0,不一定得到〃>0且6>0,所以〃>0且〃>0是a+b>0的充

分不必要条件.

4.已知p：x2—（2/H+3）x+/n2+3/n>0,q：x2一工一6W（）.若p是q成立的

必要不充分条件，则实数，〃的取值范围为（一8,—5）U（3,+8）.

【解析】由题知p：（工一/〃）（上一团—3）>0,则xV〃2或x>/〃+3.q：x2—x

-6W0,即一2WxW3.又〃是q成立的必要不充分条件，所以团>3或m+3V

-2,则〃z>3或〃zV—5,即机的取值范围为（-8,-5）U（3,+8）.

配套精练

一、单项选择题

1.（2025•沈阳、大连一模）“工>2”是一2i>0”的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.（2025•汕头一模）"log3Q>log3〃”是的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3.（2（）25•南昌一模）设〃：（）V〃VI：q：关于x的方程，§sinx+cosx=a有

实数解，则〃是彳的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

4.使得不等式"|戈+1|-x—1>0”成立的一个必要不充分条件是（C）

A.x+2V0B.<0

x+1

C.x<0D.A2-4>0

【解析】由|x+l|—X—1>0,可得|x+l|>x+l,所以x+ivo,解得xV

-1,即印+1|-无一1>0成立的充要条件为xV-l.对于A,由x+2V0,得xV

—2,是“|x+1|—x—1>0”成立的充分不必要条件；对于B,由Wj"VO,得x

<-1,是“仇+1|一]―1>0”成立的充要条件；对于C,XVO是“仅+1|一尤一1

>0”成立的必要不充分条件；对于D,由『一4>0,得XV—2或x>2,是“|x

+1|一]―1>0”成立的既不充分又不必要条件.

5.若“1VXV2”是/一〃）2<1”的充分不必要条件，则实数a的取值范

围是（C）

A.[1,2）B.（1,2]

C.[1,2]D.（1⑵

【解析】由（x—a）2Vl得。一IVxVa+l.因为1VXV2是不等式（x—々A

a~1W1,

VI成立的充分不必要条件，所以等号不能同时取得，解得

[a+122,

二、多项选择题

6.如果A是。的充分不必要条件，8是C的充要条件，4是。的必要不充

分条件，则下列说法正确的是（AB）

A.A是8的必要不充分条件

B.8是。的充分不必要条件

C.C是。充要条件

D.8是。的既不充分乂小必要条件

7.“集合A=｛（x,），）片+2尸〈小XWN,y£N｝只有3个真子集”的一个

充分不必要条件可以是（ABD）

37

--

A.24

37

--

C.1W〃V324

【解析】由题知集合A中只有2个元素，因为x£N,y£N,则有：当x

=0,y=0时，f+Z）NnO；当工=1,）,=（）时，/+2），=1；当工=0,y=\时，

f+2y2=2.则。的取值范围为（1,2],故其一个充分不必要条件可以为ABD.

8.己知〃：|2x—1|<3,q：l^—ax—a2^,若〃是g的必要不充分条件,

则实数。的取值范围可以是（AC）

A.（-1,0）B.（-2,0]

c.(-1,1)D.(-1,2]

【解析】对于p：|2x-l|<3,解得一1VXV2,设A={x|-1VXV2}.对于

q：Zv2—ox—Mwo,即(2x+4)(x—a)W0,当时，解得一设B=

x—^x^a；当。<0时，解得aWxW—/设2:因为p是

，>—1

^的必要不充分条件，所以BA.当。20时，2'解得0WaV2.当。<0

a<2,

时，ac解得一1V〃VO.综上，-1V〃V2.故只要实数。的取值集合是集合

{〃|-1V〃V2}的子集即可.

三、填空题

9.若“一IVxVl”是“。一公(工一3一〃)<0”的充分不必要条件，则实数〃

的取值范围是」一2,-11.

【解析】因为。一a)(x—3—a)V0,所以〃VxV3+a.因为“一1V工<1"

—1,

是“(x—〃)a—3—〃)vo”的充分不必要条件，所以L等号不能同时取

得，解得一2W〃W-1,所以实数。的取值范围是[-2,-1].

1().已知集合A=x(Jr2—x—6W1I，B=[x]log3(x+〃)21},若x£A是工

08的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(-8,0L.

【解析】集合4=3|@)d一1-6W1'={.4?一大-620}={.中23或xW

-2),集合B={Hk)g3a+a)\l}={4r+a23}={Mi23—a}.若是工£8

的必要不充分条件，则84,所以3—。23,解得aWO.

x-11

11.甲同学写出三个不等式，p：——<0,q：f—ax+3a<0,r：2X>^,然

后将。的值告诉了乙、丙、丁三名同学，要求他们与用一句话来描述，以下是甲、

乙、丙、丁四名同学的描述.

乙：。为整数：

丙：〃是q成立的充分不必要条件；

T：r是夕成立的必要不充分条件；

甲：三名同学说得都对.

则a的值为——1一.

x-1

【解析】P：V0等价于X(X—1)<0,解得OVxVl.因为〃是4成立

11

的充分不必要条件，所以।„「八=〃W-5.六由2'>6,解得x>—3,又

[1—。+3〃<02X

r是q成立的必要不充分条件，所以9的解集是「的解集的真子集，在aW—J的

前提下，结合二次函数的性质得到函数的对称轴二次函数和y轴的

交点为(O,3〃)，3〃VO,二次函数的图象大致如图所示，只需要在工=一3处的函

331

数值大于0即可，即9+3〃十3。>0,解得。>一力综上，一;〈。《一”又因为

。是整数，所以。=一1.

四、解答题

12.已知p：(x+1)(2—x)》O,q：关于x的不等式『+2〃a一加+6>0恒成

立.

(1)当x£R时q成立，求实数机的取值范围；

【解答】因为4届+4团―24V0,所以团2+〃?—6V0,所以一3VmV2,即

实数机的取值范围为(一3,2).

(2)若〃是“的充分不必要条件，求实数〃，的取值范围.

【解答】由题知p：—1WXW2,设A={卫-1WxW2},B={x\yr+2nix—tn

+6>0},因为〃是q的充分不必要条件，所以AB.由(1)知，当一3〈机V2时，

B=R,满足题意.当机=-3时，8={_4?—6犬+9>0}={斗EW3},满足题意.当

m=2时，8={x|f+4x+4>O}={m：#—2},满足题意.当机〈一3或机>2时，

(一机V—1,

设/U)=.F+2〃iY—m+6,则的对称轴为x=-由Az?得J或

1/(-1)>0

-m>2,m>1,m<—2,710

所以<或〈13加+1。>。，解得If或一行<加〈-2,所

卜2)>0，一3m+7>()一

以一号VmV—3或2<〃iV,.综上可知，〃z的取值范围为(一孚

35

13.己知集合4=」耶+,2m,集合B={戈|0<xW2},D=

1

(1)若。="|2〃4<1+〃},且CQ(AG8),求实数〃的取值范围.

【解答】对于x3+g5等价于升,3另或5丁+审3一本5解得或xW