高中数学必修第1册必背知识点+练习题

—>集合

元素与集

集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性

合

子集：若对任意XGA,都有XW8,则AG8（或B2A）

集合间的真子集：若AG8,且8中至少有一个元素不属于A,则A些8（或B叁A）

基本关系相等：若AGB,且8a4,则A=B

结论：若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2〃个，真子集有（2”-1）个

田并集：AUB={x\x^A,或x£B},AQB<^AUB=B

集合的基

本交集：AOB={x\x^A,且x£B},AQB^AC\B=A

i云笋

部补集：Cu4={x|x£U,且.尔川，AQB^CuA^CuB

二、充分条件与必要条件

命题真假“若p,则夕”为真命题“若p，则q”为假命题

推出关系由〃能推出q，记作“ng由〃不能推出夕，记作4

p是q的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

q是〃的必要条件q不是p的必要条件

三、充要条件

如果“若p,则和它的逆命题“若4,则p"均是真命题，即既有又有qnp,就记作

poq.此时，〃既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说〃是q的充分必要条件，简称为

充要条件.概括地说，如果〃oq,那么〃与q互为充要条件.

四、全称量词与全称量词命题

全称量词命题

全称量词全称量词命题

的真假判断

短语“所有的”“任意一个”含有全称量词的命题，叫做全称量词命

在逻辑中通常叫做全称量题.全称量词命题“对必中任意一个心全真为真’

一假为假

词，并用符号“V”表示〃（外成立”可用符号简记为VxWM,pCv）

五、存在星诃与存在星诃命题

存在量词命题

存在量词存在量同命题

的真假判断

短语“存在一个”“至少有含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存

在量词命题“存在"中的元素x,p(x)成立“一真为具‘全

一个“在逻辑中通常叫做存

假为假

在量词，并用符号“m”表示可用符号简记为女p(x)

六、全称量词命题和存在量词命题的否定

命题的否定命题的否定

命题的类型命题的符号表示

的符号表示的类型

全称量词命题/?：YxGM,p{x)7：女£历，J?(A)存在量词命题

存在量词命题p：p(x)~p：TxRM,~p(x)全称量词命题

七、不等式的主要性质

1.对称性：a>b<^>b<a.

2.传递性：a>b,b>c=>a>c.

3.加法法则：a>b^>a4-c>b~\-c；a>b,c>d=>a+c>b~\-d.

4.乘法法则：a>b,c>O〉ac>bc；a>b,c<O=>ac<ba

a>b>0,c>d>O^ac>bd.

5.倒数法则：血＞()△＜；.

ab

6.乘方法则：力心2).

7.开方法则：心〃22).

八、基本不等式

如果。，〃是正数，那么向三营(当且仅当4时，等号成立).

九、二次函数与一元二次方程、不等式

:

设一元二次方程a〈'+瓜+c=0(a>0)的两根为汨、x2f且上iW^，A=b—4ac,则不等式a/'+hx

+c>0或ax'++c<0(«>0)的解集的各种情况如下表：

J<0

a/+版+c=0有两个不相等的实有两个相等的实数

没有实数根

(a>0)的根数根此，加(》〈刘)根》=工2=一二

a/+〃x+c>0

U|x<Xi,或Qx?}R

(〃>0)的解集

a?+〃.r+cV0

{xlwVXVM}0

(a>0)的解集

十、函数的概念及其表示

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合4中的任意一个数-按照某种

函数确定的对应关系亦在集合8中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称/：4f8

为从集合A到集合8的一个函数

表示法解析法、列表法和图象法

十一、函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性

增函数减函数

设函数./V)的定义域为/，区间。£/：如果VM,即£0

当汨V即时，都有/(M)V/(E),那

当即时，都有那么就称/(功在

么就称/(x)在区间。上单调递增，

区间D上单调递减，。叫做/(x)的递减区间

。叫做/(公的递增区间

2.函数的最大(小)值

前提一般地，设函数)，=/(%)的定义域为/,如果存在实数M满足

YxCl,都有YxD,都有/(x)2M；

条件

五《£/,使得/(即)=朋3X0G/,使得/(%)=M

结论那么称M是函数f(x)的最大值那么称M是函数/(%)的最小值

3.函数的奇偶性

奇偶

定义图象特点

性

一般地，设函数/(公的定义域为/,如果Vxw

偶函

必/，都有一4£/,且/(-x)=/(x),那么函数/(x)关于y轴对称

就叫做偶函数

一般地，设函数/(x)的定义域为/,如果

奇函

必1，都有一人£/,且/(一功=一/3,那么函数关于原点对称

/(X)就叫做奇函数

十二、塞函数

定义一般地，函数y=k叫做品函数，其中x是自变量，。是常数

常见五

种暴函

数的图象

事函数在（0,+8）上都有定义

性质当a>0时，图象都过点（1,1）和（0,0）,且在（0,+8）上单调递增

当aVO时，图象都过点（1,1）,且在（0,+8）上单调递减

十三、指数与指数函数

1.正数的分数指数塞

MlS]]

定义an=VH^(«>0,m,〃>1)a蔡=切，n(=N\n>l)

ar.

运算性

aW=a尸$；(仪尸=〃%(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s^Q

质

2.指数函数及其性质

概念一般地，函数），=他（。>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R

底数的

«>10<«<1

范围

图象

定义域：R；值域:(C,+°°)

过定点（0，1）,即x=0时，y=l

性质

x>0时，y>l；xVO时，OVyVlxVO时，y>l：x>0时，OVyVl

在（-8,+8）上是增函数在（—8,+8）上是减函数

十四、对数与对数函数

1.对数的概念与运算(。>0,且a#l,M>0,;V>0)

一般地，如果r=N(a>0,且aW])，那么数x叫做以。为底N的对数，

定义

记作X=\OgaN

常用对数以10为底的对数叫做常用对数，并把logicN记为lgN

自然对数以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，并把log’R记为InN

logaNh

结论log«l=0；Iog“o=l；a=N；\o^(1a=b

①log“(MN)=log“M+log〃N；②logA=log“MTog“N；

运算性质都

③log〃M〃=川ogaM(〃£R)

换底公式10涣匕=等(。>0,且。#1；b>0；c>0,且cHl)

loffca

2.对数函数及其性质

一般地，函数y=log<*(〃>(),且叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,

概念

+0°)

底数的

a>l0<6/<1

范围

”中)Tog/PT^

图象®。)一

定义域：(0,+8)；值域：R

过定点(1，0),即x=l时，y=0

性质

x>l时，)，>0；OVxVl时，y<0x>l时，y<Q；OVxVl时，>>>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

十五、函数与方程

1.函数的零点

概念对于一般函数y=/G)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点

方程/W=0有实数解。函数)，=/(x)有零点。函数)，=/(x)的图象与x轴有

等价关系

公共点

如果函数y=/(x)在区间[。，父上的图象是一条连续不断的曲线，且有

函数零占

f(a)f(b)<0,那么，函数)，=/&)在区间(小为内至少有一个零点，即存在

存在定理

c£(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的解

2.二分法求函数的零点

对于在区间［。，加上图象连续不断且/(〃)/仍)V0的函数y=/(x),通过不断地把

二分法

它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零

的概念

点近似值的方法叫做二分法

(1)确定零点双的初始区间［mm，验证/W(bXO.

⑵求区间(4,方)的中点C.

步骤(3)计算/(c),并进一步确定零点所在的区间：①若/(c)=0(此时H=c),则C就

(给定精是函数的零点；②若/(a)/(c)V0(此时零点乂£(。，＜?)),则令人=c；③若/(c)/S)

确度e)V0(此时零点即e(c,〃))，则令a=c.

(4)判断是否达到精确度£：若则得到零点近似值判或出;否则重复

步骤(2)、(4)

十六、三角函数

1.同角三角函数的基本关系

(l)sina4-cosa=l：

(2)tana=^^-(a#：kird--.Zc£Z).

2.诱导公式

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

公式一：

sin(2E+a)=sina(A^Z)；cos(2^71+a)=cosa(k^Z)；ian(2bi+a)=tana(VWZ).

公式二：

sin(n+a)=~sin«；cos(兀+a)=­cosa；tan(n+a)=tana.

公式三：

sin(-a)=­sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=­(ana.

公式四：

sin(n-a)=sina；cos(7t-G)=~COS«；tan(n-a)=_tana.

公式五：

sinQ-a)=cosa；cos(^—a)=sina.

公式六：

3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(l)cos(«±//)=cosacos圻sinasin//；

(2)sin(«±^)=sinacos土cosasin/?；

tana±tan/?

⑶lan(a±/0=

ITtanatan/?

4.二倍角公式

(Osin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=uos'a—sii>a=2cus%—1=1-2sin2a；

(3)tan2a=2tana

1-tan2a

5.辅助角公式

asina+/?cosa=Ja2+b2sin(a+^)(tan(p=：).

6.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数产sinx

>

图象

\yx

定义域R

值域[-h1]

单调递增区间：鼠兀一争

单调递增区间:[2沅一

2E+：],kQZ；Ji,2E],kQZ；单调递增区间：（加一*E+5

单调性单调递减区间：

单调递减区间：[2批+]）,kez

[2E,2履+兀],

2E+.],kezkGZ

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称中心：（E+；,

对称中心:对称中心：

（条0）,k^Z

（kit,0）,kGZo）,A：ez

对称性

对称轴：对称轴：

x=kn-\--,kJZ

2x=kn,k^Z

周期2n2兀n

7.三角函数的图象变换

由函数y=sinx的图象通过变换得到函数)，=4sin3x+s)(A>0,s>0)的图象的两种方法:

先平移后伸缩先伸缩后平移

♦画出尸siax的图象

横坐标变为系来的需

得到产sin儆的图象

向力话评移］|周

得到j=in(ex+0的图旬

纵坐限变为原来的4倍

得到厂而诃如+⑴的图象

模块综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合八={0.1,2,4,8}6={0.123}.珞集合人8分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数

恰好为2的丛(

ABAB

D

2.设a>0,则是92>於，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.［2024北京丰台高一期末］在平面直角坐标系xOy中，角与角人均以x轴的非负半轴为始边,终边关于原点O对称.

若角a的终边与单位圆。0交于点夕。手)，则cos6=(

•53

6.设函数/)=［皆艺;2则帆冷饮3)=()

14%XSU,5

A.-lB.5C.6D.li

7.定义在R上的奇函数於)满足:任意加韧,都有空曲也>0,设“-/UogSb/logM.I),c/2。)则abc的大小关系为

打“25

()

j\.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<b

8.(2023尘国浙商考【］己知sin(a-历=3cos«sin/7=2贝Jcos(2«+2/?)=()

36

A.-B.-C」D.--

9999

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分，部

分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知abed均为实数，下列不等关系推导不成立的是()

A.若a>b,c<d,^Aa+c>b+dB.若则ac>hd

C.若a>b>0,c>d>0,贝I］J>JD.若bc-ad>0^-£>0,贝Uah<0

10.设函数K0=4sin(2x+$+l的图象为C,则卜冽结论中正确的是()

A.图象。关于直线工=书对称

B.图象C关于点(弓0)对称

C函数©在上单调递增

D.把函数Ar)=4sin(.r+》+l的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C

1L已知函数Kr)=(ji；g-j；'若xiVqv^VM且/(X1)=.何2)=7E)=7U»1,则下列结论正确的是()

A..ri+X2=-IB5g=l

C.1<14<2D.OC.XIXMRV1

三、填空题沐题共3小题.每小题5分.共15分.

12.已知函数46是定义在R上的偶函数，当x20时<X)=2A"+4),则函数./U)在R上的表达式为.

13.已知正数m,n满足2.〃+3〃-，〃"=0,则2,“+3〃的最小值为.

14.［2023全国新高考/］己知函数«x)=coss-l(力>0)在区间也2元］上有且仅有3个零点，则3的取值范围

是.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)［2024河南高一期末］已知tan求：

«5

八、sina-2cosa

(I)~-------;

3sina+4cosa,

(2)sin%-3sinocosa+l的值.

16.(15分)［2024江苏镇江高三期中］已知集合4=卜上>1卡集合/?={4r-2.t-wr+l<0}.

⑴若〃?=2,求(CR4)C仅

(2)若，求实数机的取值范围.

在以下两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并给出解答.

①XE/T是f的充分不必要条件;②

17.(15分)［2024广东忠州］疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性,实现企业高质量发展，其根据员工的销

售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元),奖金发放方案同时具备两个条件:①奖金凡6随销售额期2Wx《8)的增

加而增加;②奖金不低于销售额的5%(即奖金启)大于等于.3%).经测算，该企业决定采用函数模型/)=佛--+h

30X

(〃>06>0)作为奖金发放方案.

(1)若。=〃=点,此奖金发放方案是否满足条件?并说明理由.

⑵若〃=：,要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围.

18.(17分)已知函数.儿r)=笔是定义在(11)上的奇函数,且尼)W

(1)求函数人¥)的解析式；

(2)判断当xW(1l)时，函数启)的单调性拼用定义证明;

(3)若贝产//次。恒成立，求t的取值范围.

19.(17分)己知函数_/U)=2百sin(x-：)sin(：-.x)+2cos2(x-：)-lzWR

(1)若函数y=Av)的图象关于直线x=〃S>0)对称，求〃的最小值；

(2)若函数g(x)=/(.r)-log2〃?在［0,当上有零点,求实数m的取值范围.

答案：

1.B对于A、阴影部分表示的集合为AD8={0.l.2),元素个数为3.故A错误:对于B,阴影部分表示的集合为{4.8},元素

个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{3},元素个数为1,故C错误;对于D,阴彩部分表示的集合为{4,8,3},

元素个数为3,故D错误.故选B.

2.A由于〃>0、当b>a时,〃2>*当〃〉/时力可能是负数,因此不能得出8>”.故">a‘、是"2〉介的充分不必要条件.

故逸A.

3.B角a与角夕终边关于原点O对称,且若角。的终边与单位圆OO爻于点尸(泉一),

所以角夕的终边与单位圆OO交于点喙多，故cos6=个故选B.

4.C因为函数Kv)=e，+4x-3在R上连续单调递增，

//(}=e；+4x.3=£-2<0,

=ez+4x|-3=ez-l>0,

所以函数的零点在区间C，9内.故选c.

5.A函数的定义域为国辱0}.为得该函数为奇函数，可排除CD.

又尸名与-1+*7,其在(3.。)<0，十R)上单调递减，改选A.

cx-c,*e,人・1

6.B•・•log*。,....川0829+洲3)=2一皿23〃2-3)=2麻23M.i)=3+2=5.故选B.

7.C因为任他的。2,都有空迟丝>0.

x\'x2

所以ytv)在R上单调递增，

a=X-log2^)=^log25).

因为Iog25>log>4.1>log24=2>208,

所以川og25)M】og24.1)》2吗，

即c0<a故选C.

8.B由题意」.飞111((//)="85asin夕="

36

.*.sin(«-/?)=sin«cos伊cos«sin//=sinacos=g,解得sin«cos/?=1.

ii2

sin(a+")=sinacos”+cosasin/)=-+-=

263

9.ABD

10.AC对于A,函数启)=4sin(2x+E)+l的对称轴方程为=9E(Q£Z),解得广三+Rk£Z),当E寸可得

产瑞所以图象。关于直线4号时称，故正确.

对于B,函数段)=4sin(2吗)+】的对称中心为2x+g=反伙WZ).解得产5+软《£Z).

当&=0时可得所以图象C关于点(T，l)对称,而不是关于点(三0)对称，故错误.

666

对于C,由2AW<2A4<2EIa£ez),解得H片&《从i白飞Z),

当上=0时,专所以函数{r)在［片,勺上单调递增，故正确.

1/1It1414

对于D,把函数/(x)=4sin(x+；)+l的图象上点的横坐标缩短为原来的一乂(纵坐标不变)得到函数4sin(2x+^)+l的图象.

66

不是图象仁故错误.

综上,AC正确.

11.BCD后出函数y(x)的大致,图象如图.得山Al+X2=-2.-log2.V3=log2，V4.4心=1.故A措误,D正确;由图可知1<X4V2,

故C正确;因为-2<X1<-1J|X2=X|(-2-KI)=-好-2q=-(X|+l)2+l50,1),所以内.3*4="1”2任(01),故D正确.

驾11?言°,当r<0时「x>0,故./3=21*+4)=2心、4),所以及)=/(R=2A54),所以

I2./(X)=

4人>1人■"人U

2X(X+4),x>0,

H2r(r-4),rV(1

13.24由正数m,/i满足2〃】+3〃-〃ri=0,可得三+—=1,

nm

所以2〃】+3”=（2〃】+3”）（：+~）=~+曰'+1222

当且仅当更=型,2+—=l.Hp〃?=6.”=4时取等号，所以2ni+3n的最小值为24.

nmnm

14.［2.3）由题意可知，要使函数凡r）=cos5-l在［0,2汨上有且仅有3个冬点和函数产8ss•的图象在［0,2可上有且仅

有3个最高点,设产cos3的最小正周期为7.如图（草图），

O

要满足题意，需要27^2X37,即4<六2《冗,解得2W“<3.

sinazcosa

解sinaZcosa_cosa_tana-2行2二7

WkU

3sina+4cosa_3slna+4cosa-3tana+43x(-j)+49'

cosa

(2)sin2a-3sinacos«+1=sin2a-3sin«cos«+(sin2a+cos2«)

2sin2a-3sinacosa4-cos2a2tan2a-3tana+l_2X(-M3X($+1_*1

sin2«+cos2alan2a+l

16.解（1房21，//=K20，则双;J-“解得0Wx<2,故A={x|0Wx<2}.

.XT-

因为，“=2,所以集合8={xM2t-3<0}52Z-3=(x-3)(x+l)<0,解得-1<x<3,

所以8={x|-K3},所以CR4=WA<0或Q2),(CRA)A8={X|-K0或2Wx<3}.

(2)若选①，若戈E4是的充分不必要条件，则A是B的其子枭.

而『2丫-(，〃-1)(，〃+1)<O=(x+，〃-11)vO,显然〃褚0,否则U=a.

当???>0时,B={.r|l-/w<x<m+l卜所以{：；；；2‘2="'>上

1-mO2m^\x

当/n<0时方={仙〃+1<¥<1加},所以{,：0,=>/w<-l.

m+102\-mx

综上M的取值范围为（-8,-1）U（l.+8）.

若选②，因为An8=e,所以BQA.

①若〃尸0,则8=。,符合.

②若/〃>O,则