2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末复习：证明（巩固练习）

2025-2026学年苏科版数学七年级下册

期末复习专题1:证明

（巩固练习）

【典型例题】

【例1】下列命题中，属于真命题的是（）

A.若a>b,^]ac2>bc2B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等D.有两个角是锐角的三角形是锐角三角形

【例2】如图，下列条件中：©ZC=Z1,®ZC=Z2,③N3+NC=18O。，@Z4+Z2=180°,

能判断的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例3】命题“〃=从，则〃=〃”的逆命题的结论是一__________•

【例4】如图，己知48〃。£/43。=55。,/8。。=25。，则NC0E的度数为—

4:

A/DE

C

【例5】如图，Zl=Z2,ZB=ZD.求证：AD//BC,

4^—.............................D

/7

E

B

【例6】如图，有下列三个条件：①DE〃BC；②N1=N2；③NB=NC.

(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几

个命题？请你都写出来；

(2)选择你写的一个真命题写出证明过程.

【举一反三】

【变式1】判断命题“如果冗＜2,那么/—4VO”是假命题，只需举出一个反例，反例中的x

可以为()

A.1B.0C.-1D.-2

【变式2】一副三角板如图放置，ZA=45°,ZF=60°fAB//EF,则()

A.45°B.55°C.65°D.75°

【变式3】已知：如图，在VA3C中，ZA=ZABC=64°,直线E尸分别交A3、AC.6c的

延长线于点£、D、F,若"=20°,则/。力/=______°

【变式4】如图，-43。和/ACE是“13。的外角，族和CG分别是-48。和NACE的角平

分线，延长网和GC交于点设NA=a,4H=B，则。与6之间的数量关系为______.

G

A

D/[E

V

H

【变式5】完成下面推理说明：

已知：如图，BH//CF,BE、b分别平分/ABC和NBC。.

求证：AB//CD.

证明：♦：BE、CT分别平分/ABC和NBC。（已知），

・・・/l=g/,N2=；N.（角平分线的定义）.

VBE//CF（已知），

?.Zl=Z2（_____）.

：.^ZABC=^ZBCD（等量代换）.

:•公BC=/BCD（等式的性质）.

AAB//CD（______）.

【变式6】如图，点C,。在直线族外，C4J_£F于点A,BD上EF于点、R,连接CO和C8,

3尸是由C。沿CB方向平移至点〃得到（点C的对应点是点。）.

D

EF

（1）依据题意，补充完整图形.（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图）

（2）证明：NDCA+ND3P=180。.

【巩固练习】

1.卜列语句是命题的是（）

A.对顶角一定相等吗B.人们经常用实验、归纳的方法去发现命题

C.画一个角等于己知角D.若。二〃，则/="

2.对于命题“若。＜〃，则从"，下面〃，匕的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A.a=—lfb=2B.。=0,b=2C.«=-4,b=-2D.a=2,b=4

3.已知：如图，长方形纸条43CZ）沿族折叠，点C、。的对称点为M、N,若/DEF=a,

则/GFM的度数为（）

A.2aB.90。+2aC.1800-2crD.180。一3a

4.如图，直线CE〃。尸,ZC4B=125°,ZABD=85°,则Nl+N2=()

A.30°B.35°C.36°D.40°

5.如图，四边形A8CD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CO边上一点，将这张纸片4BCO

沿M折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G,若NBEF=a,

则/FGN的度数为（）

A.-aB.90°--«C.-a-90°D.%—90。

222

6.命题“两直线平行，同位角相等的逆命题是____.

7.用反证法证明“已知VABC,AB=AC,则NB<90。”时，应假设：_____.

8.如图，点E在AO的延长线上，请添加一个恰当的条件,使AB〃CD.

9.如图，已知“13。中，ZA=75°,将N8、NC按照如图所示折叠，若44。3'=30。，则

Zl+Z2+Z3=

10.如图，在VAO8和△COD中，Z4OB=ZCOD=90°,ZA=40°,ZC=60°,。£>与OA重叠.若

V4OB绕点0按每秒20。的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若VAO8和△COD中

第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到_____秒时，第2025次边平行.

11.如图，在VA3C中，ZXE是边A8上的点，H、G是边AC上的点，连接叩、EG,

NE”C+NC=180。过点。作交3c于点尸,N1=N2,求证：EG上AB.

8C

12.如图，AB//CD,。的平分线与NAC。的平分线交于点E,填空:

・：AB//CD,

.•./班C+①=180。.

•・•AE1平分NB4C,

.•/=；②.

・.・CE平分ZACD,

...Z2=-(3).

2--

/.Zl+Z2=®

ZE=180°-Zl-Z2=@°.

,-.AE@CE.

请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦

13.已知：如图，在△ABC中，ZA=ZABC,直线石厂分别交AABC的边A3、AC和C8的延

长线于点£＞、E、F.

(1)ZA=70°,ZF=30°,求NFEC的度数;

(2)求证：NF+NFEC=2ZA.

14.如图，在V43C中，/8=20。，点。为边3c上一点，将AHOC沿直线折叠后，点。落

到点E处，ZADC=100°.

(1)求证：AB\\DE.

(2)若AE1恰好平分/BAD,求—E的度数.

15.如图1,已知直线MN〃G〃，且MN和之间的距离为1,小明同学制作了两个直角三

角形硬纸板AC4和。以"其中NAC3=90。，ZDFE=90°,Z/MC=45°,ZEDF=30°,AC=\,

小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：

(1)如图1,点A在MN上，边3。在G”上，边短E在直线AB上.

①将直角三角形。律沿射线B4的方向平移，如图2,当点尸在MN上时，4正的度数为

②将直角三角形。/从图2的位置继续沿射线阴的方向平移，当以A、D、尸为顶点的三角

形是直角三角形时，求NRW度数.

(2)如图3,点A在MN上，边3C在G”上，GEF的边DE在直线MN上，点、F落在MN与

G”之间.将VA8C绕点。以每秒4。的速度顺时针旋转，设运动时间为/秒，且0<f<90,当

A3与石尸平行时，t=_____秒.

答案解析

【典型例题】

【例1】下列命题中，属于真命题的是（）

A.若心b,^\ac2>bc2B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等D.有两个角是锐角的三角形是锐角三角形

【答案】B

【例2】如图，下列条件中:①NC=N1,②NC=N2,@Z3+ZC=180°,@Z4+Z2=180°,

能判断48〃CO的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【例3】命题“片二/，则〃=人”的逆命题的结论是.

【答案】a2=b2

【例4】如图，已知”〃。石,448。=55。,/8。。=25。，则NCOE的度数为______.

【答案】150。

【例5】如图，Zl=Z2,ZB=ZD.求证：AD//BC.

【答案】证明：・・・N1=N2,

:.AB〃CD,

：./B=/DCF,

•・•ZB=ZD,

:.ZD=NDC/,

:.AD//BC.

【例6】如图，有下列三个条件：①DE〃BC；®Z1=Z2；③NB=NC.

(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几

个命题？请你都写出来；

(2)选择你写的一个真命题写出证明过程.

【答案】(1)解：一共能组成三个命题：

①如果。回〃3C,Z1=Z2,那么N3=NC；

②如果OE〃3C,ZB=ZC,那么N1=N2；

③如果N1=N2,ZB=ZC,那么。石〃3。；

【小问2详解】

解：如果力E〃BC,Z1=Z2,那么N8=NC,

理由如下：,：DE//BC,

=Z2=ZC,

・・・Z1=Z2,

:.4B=/C.

如果加石〃8C,NB=NC,那么N1=N2；

理由如下：,:DE〃BC,

：.Z1=ZB,Z2=ZC,

•・•ZB=ZC,

・・・Z1=Z2；

如果N1=N2,/B=NC,那么DE〃BC；

理由如下：VZB+ZC+ZBAC=180°f

・•・/B+/C=\^-/BAC,

•・•Zl+Z2+ZE4C=180°,

JZ1+Z2=18O°-Z^C,

・・・/B=NC,Z1=Z2,

Z1=Z2,ZB=ZC,

:.NB=N1,

：.DE//BC.

【举一反三】

【变式1】判断命题“如果x42,那么小一4<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的1

可以为()

A.1B.0C.—1D.-2

【答案】D

【变式2】一副三角板如图放置，ZA=45°,ZF=60°fAB//EF,则NC3F=()

A.45°B.55°C.65°D.75°

【答案】D

【变式3】己知：如图，在VA6c中，ZA=ZA5C=64°,直线石尸分别交A6、AC、6c的

延长线于点£、D、F,若"=20°,则NCOF=______°

【答案】32

【变式4】如图，和24CE是“WC的外角，皮7和CG分别是NA8D和/ACE的角平

分线，延长m和GC交于点77.设N4=a,4H=0,则。与〃之间的数量关系为.

【变式5】完成下面推理说明：

己知：如图，BH//CF,BE、b分别平分ZA8C和NBCZ）.

求证：AB//CD.

证明：':BE、C/分别平分/ABC和/3CQ（已知）,

・・・/l=g/,Z2=1z.（角平分线的定义）.

VBE//CF（已知），

Zl=Z2（______）.

・・・；NABC=；NBCD（等量代换）.

:"BC=/BCD（等式的性质）.

AAB//CD（）.

【答案】•:BE、C尸分别平分NABC和NBCD（已知）,

AZ1=1ZABC,Z2=1ZBCD,（角平分线的定义），

VBE//CF（已知）,

・・・/l=N2（两直线平行，内错角相等），

二NABC二NBCD（等量代换），

22

・・・ZABC=/BCD（等式的性质）.

・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

【变式6】如图，点C,。在直线及'外，C4_L£F于点A,BD工EF于点、B,连接。拉和C8,

3尸是由CD、沿CB方向平移至点8得到（点C的对应点是点B）.

D

。・

EF

（1）依据题意，补充完整图形.（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图）

（2）证明：ZDCA+ZDBP=\SO0.

【答案】（1）解：补充完整图形，如图所示.

【小问2详解】

证明：VC41EF,DBA,EF,

：./.CAE=ZABD=/.DBF=90°,

・•・CA〃BD,

：.ZZ）G4+ZBr>C=180o,

由平移的性质知CD〃8P,

:.4BDC=/DBP,

:.4>C4+NZMP=180。.

【巩固练习】

1.下列语句是命题的是（）

A.对顶角一定相等吗B.人们经常用实验、归纳的方法去发现命题

C.画一个角等于己知角D.若。=〃，则/=〃

【答案】D

2.对于命题“若“<〃，则〃2<从"，下面。，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A.a=~\,b=2B.。=0,b=2C.a=-4,b=-2D.a=2,b=4

【答案】c

3.已知：如图，长方形纸条43CO沿Eb折叠，点C、。的对称点为M、N,若/DEF=a,

则/GFM的度数为（）

4Jp

A.2aB.90。+2aC.180。-2aD.1800-3a

【答案】C

4.如图，直线CE〃。/，ZC4Z?=125°,N/SO=85。，则Nl+N2=()

cE

A.30°B.35°C.36°D.40°

【答案】A

5.如图，四边形ABC。为一张长方形纸片，点E、F分别为A3、CO边上一点，将这张纸片48C。

沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点、G,若NBEF=a,

则/FGN的度数为（）

/V

pGC'FC

</

AEB

A.-aB.90°--«C.-«-90°D.2^-90°

222

【答案】D

6.命题“两直线平行，同位角相等的逆命题是_____.

【答案】同位角相等，两直线平行

7.用反证法证明“已知VABC,AB=AC,则ZB<90°”时,应假设：______.

【答案】ZB>90°

8.如图，点E在AD的延长线上，请添加一个恰当的条件,使

BC

/\/

ADE

【答案】ZA=ZCDE（答案不唯一）

9.如图，已知“WC中，ZA=75°,将N8、/C按照如图所示折叠，若/4。9=30。，则

Zl+Z2+Z3=

A

10.如图，在VAOB和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZA=40°,ZC=60°,0。与OA重叠.若

VAO8绕点0按每秒20。的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若VAOB和△COD中

第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到秒时，第2025次边平行.

11.如图，在VA8C中，D、E是边A8上的点，H、G是边AC上的点，连接EH、EG,

NE〃C+NC=180。过点£>作交于点尸=求证：EGA.AB.

【答案】VZEHC+ZC=180°,

:.EH//BC,

:.ZAEH=ZB,

■:FDVAB,

・•・Z1+ZB=9O°,

Z1=Z2,

Z24-ZAEH=90°,

・•・ZAEG=90°,

:.EG.LAB.

12.如图，AB//CD,。的平分线与/ACO的平分线交于点E,填空:

VAB//CD,

.•.NfiAC+①=180。.

­/AE平分N8AC,

2------------

・；CE平分ZACD,

...Z2=-@.

2--

.•.Nl+N2=④。.

ZE=180°-Zl-Z2=@°.

,\AE®CE.

请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：⑦

【答案】•・・A3〃C。,

：.ABAC+ZACD=\8(r.

•.•AE平分/B4C,

/.Z\=-ZBAC.

2

・.・CE平分ZACD,

Z2=-ZACD.

2

Zl+Z2=90°.

.•.Z£=180°-Zl-Z2=90°.

・・・AE1CE.

用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：两直线平行，同旁内角的平分线互相

垂直

故答案为：ZACD；ZB\CxZACQ；90；90；1；两直线平行，同旁内角的平分线

互相垂直

13.已知：如图，在△然（?中，ZA=ZABC,直线样分别交aABC的边A3、AC和。3的延

长线于点。、E、F.

(1)NA=70。，ZF=30°,求NFEC的度数;

(2)求证：NF+NFEC=2ZA.

【答案】(1)解：・・・NABC=/A=70。，

ZC=180°-70°-70°=40°,

:"FEC=18O°-ZC-ZF=180°-40°-30°=110°；

【小问2详解】

证明：・・・NA=NA8C,

.•.Z4+ZABC=2ZA=I8O°-ZC,

•・・ZF+ZFEC=180°-ZC,

/.ZF+ZFEC=2ZA.

14.如图，在VABC中，4=20。，点Q为边8c上一点，将A4OC沿直线AO折叠后，点。落

到点E处，ZAT>C=100°.

（1）求证：AB\\DE.

（2）若4E1恰好平分NBA力，求的度数.

【答案】（1）证明：由折叠兀知注dCQ,

Z4DE=ZADC=100°,

二AADB=180°-ZADC=180°-100°=80°,

:"BDE=ZADE-ZADB=100。-80°=20°,

:"BDE=NB=20。,

:.AB\\DE；

【小问2详解】

解：•・・/ADC是△ABD的外角,

:,ZADC=ZB+ZBADt

.•.100。=20。+/班。，

.•"30=80。，

AE平分NBAD,

「.NEW=-ZBAD=1x80°=40°,

22

在AADE中，ZADE+ZEAD^-ZE=180°,

二./E=180。一ZADE-ZEAD=180o-100°-40o=40°.

15.如图1,已知直线MN〃G”，旦MN和G”之间的距离为1,小明同学制作了两个直角三

角形硬纸板4cB和。瓦'，其中NACB=90。，NO庄=90。，N84C=45。，ZEDF=30°,AC=\f

小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究:

(1)如图1,点A在MV上，边BC在GH上,边OE在直线A8上.

①将直角三角形O£F沿射线84的方向平移，如图2,当点尸在MN上时，NAm的度数为

②将直角三角形。由从图2的位置继续沿射线84的方向平移，当以A、D、尸为顶点的三角

形是直角三角形时，求NW度数.

(2)如图3,点、A在MN上,边8C在G