山东省菏泽市重点高中2025-2026学年高一年级下册4月测评考试 数学（含解析）

2025-2026学年高一下学期4月诊断测试数学试题

一、单选题

1.已知点A（l,3）1（4.-1）,则与AB同方向的单位向量为

B.5一灯

2.若复数z=a—l+5（a+l）i为纯虚数，其中awR,i为虚数单位，则产=（）

1-671

A.iB.-iC.1D.-1

3.已知向量a=（1,1）,〃=。,一1）,若（。+如）+，则（）

A.A+//=1B.4+〃=T

C.A//=1D.力=T

4.已知非零向量”，〃满足“;卜行,1）,若a・b=l，则向量a在向量方方向上的投影向量为（）

I1A

A.—bB.—bC.—―bD.b

422

5.在VA4c中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM，4c=4AN，。在边3c上（不包含端点）.若

12

AD=xAM+yAN,则一+1的最小值是（）

乂）’

A.8B.4C.2D.I

6.已知V48c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〃sinB-asinA=（/?-c、）sinC.若VABC的面积

S,M=书叵，且。=5，则VAAC的周长为（）

A.15+5&B.15C.5+5百D.10+56

7.如图，为了测量河对面M,N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M,N分别在A处的北偏西15、

北偏东45方向.再往正东方向行驶32米至8处，观测N在3处的正北方向，M在8处的北偏西60”方向,

则M,N两建筑物之间的距离为：）

A.32遥米B.326米C.16G米D.166米

8.已知VA8C的内角A,B,C所对的边分别为。,b,c,下列四个命题中错误的命题是（）

A.在NABC中，若sinA>sinB,则A>B

B.若B=b=2,c=VL则VA8C有唯一解

C.若gos4=/xx）sB,则VABC是等腰三角形或直角三角形

D.若（a2+c2-b2）tanB=>j3ac,则角4:*

二、多选题

9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）

A.产”mB.复数-2—i的虚部为-i

C.若复数z为纯虚数，则，=z2D.若z为更数，则zi为实数

10.下列结论正确的是（）

A,已知〃是非零向量，b/c，若=则“，（〃一”

B.非零向量。和6,满足1=出|=|。一向，则―与足+b的夹角为30。

C.点尸在VA8C所在的平面内，满足E4+P8+PC=0，则点P是VA8C的外心

D.以（1,1）,（2,3）,（5,-1）,（6,1）为顶点的四边形是一个矩形

11.已知VABC的三个内角4,B,C的对边分别是小〃，c,面积为名（/+/一〃），则下列说法正确的

是（）.

A.cosAcosC的取值范围是一；（

B.若是锐角三角形，则巴的取值范围是（1,2）

C

C.若角8的平分线与边AC相交于点£,且4£=石，则。+4c的最小值为9

D.若b?=ac,且外接圆半径为2,圆心为O,。为。。上的一动点，则的取值范围为[-2,6]

三、填空题

12.已知向量〃=（八-1）,〃=&⑹），/〈（），且〃与方的夹角为锐角，则/的取值范围是.

13.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从二角形二边求面积的公式，他把这种方法称为,、二貉求积“，它填

补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=#其中〃，b,

c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边a=，5,〃=G,c=2,则该三角形的面积

S=.

14.如图，在VA3C中，已知AB=2,4C=5,N84C=60,8cAe边上的两条中线相交于点”，则

/MPN的余弦值为.

四、解答题

15.已知向量〃=(1,2),6=(-3,1).

⑴求卜+3〃卜

⑵设4力的夹角为。，求COS0的值；

(3)若向量〃+心与d-序互相垂直,求X的值.

z+2

16.已知复数z=bi(hwR),7-为实数.

14-1

⑴求卜+Z?1

⑵若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程/+(〃/-9)x+4=。的根，求实数〃?

的值.

17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且Z?cosC+J拓sinC-a-c=O.

(1)求角8的值；

(2)若。为AC的中点，且=b=2,求VAKC的面积.

18.在锐角VABC中，已知〃?=(2sin(A+C),6),〃=卜os28,2cos2g-l),且;?〃；?.

(1)求角8的大小；

(2)若AC=1,求VA3C面积的最大值.

19.已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中乙428=120,且在该区域内点R处有一个路灯，经

测量点R到区域边界抬、阳的距离分别为RS=4m,R7=6m,（m为长度单位）.现准备过点R修建一条长

输MN（点M,N分别落在2、PB上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

⑴求点S到点了的距离;

⑵为优化商场的经营面积，当PM等于多少时，该三角形对村区域面积最小？并求出面积的最小值.

参考答案

1.A

【详解】48=（4-1,一1-3）=（3,-4）,所以与人3同方向的单位向量为°=备=（（3,-4）=（|,一$,故选人.

2.A

【详解】因复:数z=a-l+5(a+l)i为纯虚数，

则有〃一1=0且5伍+1)。0,解得〃=1,

由巾a+i1+i(1+i)2l-2i+i22i.

所以■=匚？=而询=不I=E=L

3.D

【详解】因为〃=(1,1)/=(1,一1),所以4+2人=(1+4,1—4),〃+〃匕=(1+必1一〃)，

由(a+A/?)±(a+“可得，(a+〃“•(〃+〃〃)=0,

即(l+/l)(l+〃)+(l-/l)(l-〃)=O,整理得:加=7.

故选：D.

4.A

【详解】由题意，b=J(G)+f=2，a»b=1»

abb1,I,

则向量a在向量b方向上的投影向量为WW=齐”二W〃.

5.C

【详解】将A8=2AM，AC=4AN代入人。=xAM+yAN,

得：AD=-AB+^-AC(x>0.y>0),

24

在VA8C中，点8、C、。三点共线，

根据三点共线的向量性质得：3+5=1，即：2X+)，=4,

24

所以，+2=，x(2x+y)x(—+—=—x(4+—+—)>—x(4+2xx/14)=2,

xy4vvy)yx4

19

当且仅当2x=y,即：x=l,y=2时等号成立，此时一+二最小值为2.

xy

6.B

【详解】已知。Sin8-asin4=S-c；sinC,由正弦定理得：b2-a2=(b-c)c,

整理可得层+°2_2=历，所以cosA=，-/=4,

2bc2

由于OVAVTI,所以A=1：

NABC的面积'S>AAfiC=—Z?csinA=—he="",所以bc=25,

244

又〃=5,所以由余弦定理/=/?2+c2-2Z?(?cos/4,

可得25=〃2+d—丘=(〃+C)2-3加=：〃+C)2-3X25,

解得人+C=IO或TO(舍去)，

所以V/WC的周长a+〃+c=10+5=15.

故选：B

7.D

【详解】4MAN=15：+45°=60"，NMAB=90°+15°=105°，

NAIRN=60，ZMRA=NNRA-/NRM=900-60'=30'，/AMR=45'，

/NAB=ZMAB-/MAN=105°-60=45"，

在RtZXAAN中，BN=AB=32米.

在「ABM中，由正弦定理得历8=丝网”=166+16米.

sin45

在.BMN中,由余弦定理得：

MN'=BM'+BN?-2-BM•BNcos/NBM=(16>/3+16)2+(32)2-32(16x/3+16)=1536,

MN=\6瓜米.

故选：D.

8.D

【详解】对于A,在VAKC中，由正弦定理知，sinA>sinB04>'

结合大边对大角可得A>3,故命题正确，A不符合题意：

对于B,因为B=T，b=2,c=&,

J

由正弦定理=一”，得.rcsinB375.,

sinBsinCsinC=---=-=-=sinB

b242

由〃〉c知，C只有一解，所以VA8C有一个解，故命题正确，B不符合题意；

对「C,因为cicosA=bcosB,由正弦定理得：sin4cosA=sinZfcosB,则sin2A=sin2B,

因为ABe(0,兀)，可知2A=23或2A+28=TI,即A=3或A+B=g,

所以VA4C是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意;

对于D,因为卜-〃2)1a=

由余弦定理得：2〃ccos8tan8=、^ac,即$祖8=正，

2

因为Bw(O,7T),所以8=方或与，故命题错误，D符合题意.

故选：D.

9.AD

【详解】A：i2°25=(『产"=i,故A正确;

B：对于复数—2-i的虚部为-I,故B错误；

C：由复数z为纯虚数，设z=〃SeR,〃=0),则忖2=从z2=gi)2=—〃，所以|Z『HZ2,故C错误;

D：设复数z=a+0i(a/eR),则彳=。-加，所以z-5二/一(制/二合十〃©R,故D正确.

故选：AD.

10.ABD

【详解】对A,。是非零向量，b。c，若a,b=a•c,即［•%-〃，c=0，a(b-c)=0>

即“_!_(〃-c),故A正确：

对B,由非零向量a和5,满足|。|=|〃曰。-〃|,如图所示：

当向量a,〃方向如图所示，夹角为120。时，刚好满足题设条件，

则〃+〃为菱形的斜对角线所示方向，

。与a+匕的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为30。，故B正确;

对C,当尸A+PB+PC=0时，P点为V48C的重心，故C错误；

对D,可设4LDI⑵3),C(6,1),C(5,-1),则钻+川。=(1.2)+(4,-2)=(5,0),

AC=(5,0),则四边形A3CO为平行四边形，又33(1,2)(4,-2)=4-4=0,

uniLlUU

故A8-AD=0,根据有一个角为90。的平行四边形为矩形可判断四边形ABC。为矩形,

故D正确.

故答案为：ABD.

11.ACD

，rc)

【详解】由题意，S=-acsinB=a2+c--b2y整理可得a-+c-/r=^acsinB,

2

由余弦定理可知。2+。2一//=2。。（：0§8，.，.1@118=6，3£（0,71）,.，.8=1

2n)&Acos4」i3iS空

对A,cosAcosC=cosAcos-----A

I3)2244

1I

1.,冗n，.二71n77r---

=-sin2A——A€0,—I2A--G二.sin2A--G1,.".cosAcosCe2,

26I3J66'TI6j44

故A正确;

—cosC+isinC—

siny-C因为VABC是锐角三角形…苫，

对B,asinA22_2

sinCsinCtanC2

；，21，故B错误;

,+8,

I，Z

对于C,由+SABCE=§△4sc，可得?exBExsin2+gaxBExsin二二：”45而二,

262623

4c。-/4<?a_

即a+c=a,可得4c=(a+4c)L斗5++—>5+2./------=9,

acac)7

当且仅当。=2c时等号成立，故C正确;

对D,由正弦定理1人=2口,则/?=26，则ac=/=12,由余弦定理可得a?+c?-/尸=2accos8=〃c，所

sinB

以/+c2=24,

又ac=12,所以a=c=2。，则三角形ABC为等边三角形，取A8中点用，如图所示:

C

AMrB

则PAPB=(PM+MA卜(PM+MB)=PM'+PM-(MA+)+MA.MB

=PM2-MX=PM2-3>由"=2,OM=1,可得PMw[l,3],则PAP8e[—2,6],故D正确.

故选：ACD

【详解】因为a与力的夹角为锐角，故〃与人数量积为正，且两向量不同向共线，

所以。6”（小。，而解得'七%一正卜

13.—.

4

,所以5=心2一幅讣亨.

【详解】因为S=：

故答案为：叵.

4

4回

【详解】由题可得，AM=-(AB^-AC\BN=-AC-AB,

22

AB-AC=\AB\-\AC\COS60=5,

所以40.8?/=；卜8+4砒如(7一回=一；痴+；房一；八840

=-2+—--x5=3,

44

,叫=小8+时=iylAB2+AC2+2ABAC=>/4+25+10=冬，

\BN\=^AC-AB1AC\AB'-AC-AB=^

,V/…QAMBN34x/91

山I.icos/MPN=cos(AM,BN)=----n——=—=——f==--------

所以\―卜孙网।叵*叵9i,

故答案为：巫.

91

15.⑴病;

叵

(2)-

10

(3乂=±也.

2

【详解】⑴由。=(1,2),〃=(—3,1),得〃+劝=(1,2)+(-9,3)=(—8,5),

所以卜+3。卜#-8)2+52=789.

八ahlx(-3)+2xl6

⑵设。⑦的夹角为。，则2加丽=后去7"—而.

(3)由。=(1,2),〃二(一3,1),得G+幼二(1一3太2+攵),4一必=(1+3女,2—攵)，

由I可量a+k/与々-妨互相垂直得，(A+妹)-町=0,

所以(1—34)(1+3攵)+(2+2>(2—。=0,

化简得1-2公=0,解得攵=±变.

2

16.(l)2x/5

(2)-3

z+22+bi(2+历)(l-i)b+2b-2

【详解】(1)由z=8i,三为实数，则不一='八//=丁十丁i为实数,

1+1l+i(l+i)(l-i)22

h-2

所以丁=0,b=2,即z=2i,z'T，

所以卜+司=1+2“=2石.

(2)由W+z)2=(〃?+2i『=>_4+4〃?i在复平面内对应的点在第四象限，

m2-4>0八

所以J=>in<-2

4m<0

又z=2i为实系数方程/+(〃?2-9卜+4=0的根,

贝U4+2（>-9）i-4=0.

所以〃『一9=（）,,〃=±3,

又加<-2,所以〃?=-3.

17.（l）y

⑵石

a_b_c

【详解】(1)由正弦定理得,

sinAsin"sinC

则由Zx:osC+GbsinC-4一c=0得：sinBcosC+GsinBsinC-sinX-sinC=0,

在V/WC中，A+B+C=n,

sinA=sin(8+C)=sinBoosC+cosBsinC,则VJsinBsinC-cosBsinC-sinC=0,

,「sinCwO,/.y/3siii/3—cosA?=1,

n兀

sinD—=

6lP

兀、

n5nnn八兀

，--B—=—=>B=——；

66>663

.JBD|=£(81+2孙.80+8(；)=/+仇、+(?2=[2,①

(2),・•。为AC的中点，.•.8O=g(84+BC)j,

由余弦定理得，cos/?="f=/+。2-。。=4，②

lac

联立①②，解得ac=4,

正=6

=-«csinB=-x4x

「2ABC222

.•..ABC的面积G

18.⑴一

o

⑵源

4

【详解】(1)由于。〃；?，所以2sin(A+C)x(2cos2?-l=V3cos2B,

\乙)

即2sinBxcosB=>/5COS28,Kpsin2B=\/3cos2B,tan2B=\/3,

由于8是锐角，所以（兀，所以2A=1,B=g

236

b

⑵依题意‘8="=l,由正弦定理得