浙江省某校2025-2026学年高一年级下册4月期中数学学科练习 （解析版）

浙江温岭市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习

注意事项：

1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.

3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效.

4.结束后，只需上交答题卡.

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=G||X-1|<=X2-X-2<0)SR

1,已知集合I"।I>,则AD8=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

【答案】D

【解析】

【分析】解出集合A、A后，利月交集定义即可得.

【详解】由卜一1|<1,可得一1<1一1<1,即0<xv2,故4={闻0</<2},

由x—2v0，可得(x-2)(x+l)<0,

解得-lv_rv2,故B={x[-l<x<2},则Ac8=(O,2).

2.在复平面内，复数2二对应的点位于().

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数除法运算法则，求出三的实部和虚部，即可得出结论.

1

,¥杼"2T(2-/)(-/).

【详角吊】----=-----；——=-l-2z,

1-i

起对应点的坐标为(7,-2),位于第三象限.

故选:C.

【点睛】本题考查史数的代数运算以及复:数的几何意义，属于基础题.

3.下列说法正确的是()

A.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥

B.相等的角在直观图中仍然相等

C.有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体是棱台

D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

【答案】A

【解析】

【详解】对于A,棱锥的侧面均为三角形，若有一个面为平行四边形，则此面一定为底面，所以该楂锥为

四棱锥，故A正确；

对于B,正方形的每个角均为90，而直观图中ZD'A8'=45°,NA7TC'=135'，

故NAXATTHNATTC,故B错混；

对干C,棱台是楂锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点，

有两个面相似，其它各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，

因此该多面体不一定是棱台，如图，四边形ABC力和是相似的矩形，该多面体不是棱台，故C

对于D,用平行于圆锥底面的一个平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故D错误.

4.已知3"=2,k)g274=人，则3"3=()

A.-B.：C.1D.4

42

【答案】B

【解析】

【详解】由3“=2得。=bg32.

2

Z?=log274=-log34,

所以.功=3隔2-附*4=31%=，.

2

5.如图，在四边形A8C。中，AB=2,CD=4,向量丽，反的夹角为g.若E,尸分别是边AD,

BC的中点，则|丽|二（）

【分析】根据向量线性运算，数量积的运算律即可得到答案.

【详解】由炉=ED+成+万=4而+配

22

=:（荏+网+反+g回+西=;而+（云，

所以同=/（而+反扁+2ABDC+DC1

6.如图①，测量河对岸的塔高A3,可以选取与塔底。在同一平面内的两个测量基点C与。，如图②.现

测得NBCQ=30',NBOC=l（）5；CD=30m,在点。测得塔顶4的仰角为60,，则塔高为（）

图①图②

3

A.5X/2B.576C.15GD.15巫

【答案】D

【解析】

【分析】设塔高A3=〃，在中求出80=且〃，在△8CO中，利用正弦定理列方程即可求解.

3

【详解】设塔高AB=/?,

在RtZvlB。中，405=60"，所以80=""=正〃，

tan603

在△38中，ZCBD=180-Z.BCD-ZBDC=450>

8i

由正弦定理得・%八二即平=V-，解得〃=156，

sinZ.C13Dsi.nZ穹.H”CD。21

92

所以塔高为15卡.

7.已知函数/。)=/+*，若q=/(tanl),Z?=/(cos2),c=/'(sin3),则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】先分析函数/(x)的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可.

【洋解】由f(x)=f+*的定义域为R,即定义域关于原点对称，

2w|A|

又f(-x)=x+e=f(x),则/(x)=f+e是偶函数，

乂y=/在(o,+8)上单调递增，且)，二1在(0,也)上也单调递增,

所以“式)=F+e|v|在(0,+8)上单调递增，

,71,

由tan1>tan—=1,

4

又y=cosx在(0,兀)上单调递减，

则y=-cosx在(0,兀)上单调递增，且0<三一3<24兀，

4

所以0<sin3=—cos-----3<-cos2<1,

I2)

所以卜an1|>|cos2|>|sin3|>0,

所以/(tan1)>/(cos2)>/(sin3),即。><>c.

8.已知半径为2的圆。上有三点A,B,C,满足通+反=0，点P是圆上一点，则西.下。十方•方

的取值范围是()

A.[-4,14]B.[-2,14]C.[0,16]D.[2,18]

【答案】B

【解析】

【分析】以圆心。为原点建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算将所求表达式转化为与圆心。和点P

相关的形式，再结合正弦函数的性质求解取值范围.

【详解】以圆心0为原点建立平面直角坐标系，设C'(2,U),则加=一反=(一2,0),

设则5(x-2，x),且A8在圆上，满足片十4=4,(^一2『+犬=4,

两式相减得4%一4二0,解得天=l,y=±G，

不妨取A(l,@,B(-L@,C(2,0),

设P(2cos9,2sin0),则PA=(1-2cos夕,G—2sin,P。=(-2cos夕,一2sin8),

PB=(-1-2cos6>,5/3-2sin<9),PC=(2-2cos^-2sin6>),

所以林丽=(l-2cos。)(-2cose)+(G-2sine)(-2sine)

=-2cos^+4cos2<9-2\/3sin^+4sin20=4-2cos6-2Gsin9,

PBPC=(-l-2cos6)(2-2cose)+(\/^-2sine)(-2sin0

=-2+2COS^-4COS^4-4COS2^-2>/3sin^+4sin20=2-2cos9-2\[?>sin0，

相加得丽•用+而京=(4—2cos0—2Gsine)+(2—2cose—2#sin0)

=6-4cos^-4>/3sin0，

4cos0+473sin=8—cos<9+—sin^=8sinf^+—1,

[22)[6)

5

因为sin6^+^jc[-1,1],

所以-8<8sin（e+F<8,即-8《4cos6+4Gsin6《8，

I

所以一8<—4cose-46singKB，所以一2<6-4cos9-4Gsin9W14，

所以~PA~PO+PBPC的取值范围为[-2,14].

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z=a+〃i（。/eR）,i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

22222

A.\z-z\>2bB.z-z=a-bC.|z|£a|+|Z?|D.z=a+/?

【答案】AC

【解析】

【分析】由z=〃+历（。/ER）得，=〃_折，再由复数的运算法则与模长公式验证选项即可求解

【详解】由z=〃+Z?i（a,Z?eR）得1=4一历，

对干A,\z-z\=\2bi\=2\b\>2b,故A正确：

对于B,z-z=（a+bi）（a-h\）=a2+b2,故B不正确，

对于C,由于|Z|=，于，由于/+从+从+2向例=（向+例了,

所以|z|=CTP'Sa|+|〃|,故C正确；

对于D,由于Z?=（〃+为）~=/一〃2+2〃加，当。/0,寸，显然/=/一。2+2.Z?i工/+。2,故

D错误

10.如图，在长方体ABC。-AgeA中，E为GA的中点，厂为4G靠近G的三等分点，M为AG

与E尸的交点，。为8。的中点，则下列说法正确的是（）

AB

6

A.过E,F,。的平面截长方体所得截面是四边形B.直线A。上存在点N使O,N,M三点共线

C.三条直线BF,DE,CC1有公共点、D.直线与直线。石异面

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：作出相应辅助线，根据平行关系可证EF//O7\即可得截面图形；对于B：可知OM与

相交，即可判断；对于C：设。EnCG=尸，BFDCC,=0,计算可得尸、。不为同一点：对于D：

根据异面直线的判定定理分析判断.•

【详解】对A：取用G上靠近用的三等分点S,上靠近8的三等分点7,

连接仅S、FT、ST,由尸为瓦G靠近C1的三等分点，

则尸为SG中点，故EF/心,

由了为AC靠近/?的三等分点，故ST//。。一

又ST=DD「故四边形ST。。是平行四边形，故。户//。7,

则EF//D7,故四边形“70即为过E,F,。的平面截长方体所得截面，故A正确:

对B：因为A，O,C，G均在平面A^CC内，连接0仞，则0M与4。相交,

所以直线4。上存在点N使M,N,。三点共线，故B正确；

对C设OEnCG=P，由七为G。的中点，ECJ/DC,

则EG为户的中位线，故PG=CC\；

7

设8RnCC1=Q,由/为BC靠近G的三等分点，FCJIBC,

则AQG/与△QC8的相似比为;，故QG=：CG；

故P、Q不为同一点，即三条直线8F,。瓦CC「没有公共点，故C错误;

对D：因为ACu平面AAGC，OEC平面AAGC=O,

所以直线4。与直线。£是异面直线，故D正确.

11.在VA3c中，内角4,B,C的对边分别为4,b,C,下列说法中正确的是（）

A.若A>B，则cos2A>cos23

B.若a=8,c=10,A=40",则符合条件的VA8C有两个

C.若VA8C为锐角三角形，则sinA>cos8

D.若VABC是钝角三角形，则tanAtanB+tanBlanC+tanCtanAv1

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项根据三角形边角美系逐项判断.A项可通过构造反例说明命题不成立；B项利用正弦定理把

边角关系转化为sinC的值，再结合sin400<0.8判断角C有两个可能值，并验证两种情况都能构成三角形;

C项利用锐角三角形中A十6>90°,把cos8转化为sin（9（r—6）比较；D项设钝角为C,先证明

tan/ltanB<l,再结合tanCvO判断所给不等式.

【详解】对于A项，取4=100。,3=40。,。=40。，则A>8，

但cos2A=cos200o<0,cos25=cos80°>0,所以cos2A<cos25,

与选项中的cos2A>cos28不符，故A项错误.

8

对于B项，由正弦定理得一一=-----,所以sinC=—sin40。.

sinAsinC4

sin40°<sin45°=—<0.8，从而0v?sin40。v1.

24

因此满足sinC=*sin40°的角C有两个可能值.

4

设较小的角为G，则G为锐角，且由sinG>sin40。得G>40。：

另一个角为180。一G，且180。-G<140。.

当C=G时，A+C=400+C1<180°；

当。=180。-0时，A4-C=40o+180o-C,<180°,

因为G>40。.所以这两个角都能与A=40。构成三角形，符合条件的VAAC有两个，故B项正确.

对于C项，若VA3c为锐角三角形，则C<9()。，

所以A+6=18(r—C>90c,即A>9()c—6.

又A与90。—B均为锐角，且)，=sinx在上单调递增，

所以sinA>sin(90°-8)=cos8,故C项正确.

对干D项，不妨设。为钝角，则A+3=1800—C<90。,

于是A,5均为锐角，故ta”>0,tan/>0,J=LtanC<0.

tanA+tan8

由于0<A+Z?<90。所以tan（A+8）>0.乂tan（A+3）=

1-tanA?Bt

其中tanA+lanB>0,故必有艇fltan4?B>，即tanA・tan8v1.

于是tanA?taiB+taiB*laiC+laiClafll=tacA'h而+taiC（lacA+taiB）

因为tanC<0且tanA+tanB>0,所以tanC(tanA+tan3)<0,

从而tanA?质痴i例an(?+CA<AB<,故D项正确.

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若某圆锥侧面展开图是面积为2兀的半圆，则该圆锥体积为.

【答案】叵

3

【解析】

9

【详解】设圆锥的母线长为/,底面圆的半径为，，

则圆锥侧面积为!兀1二2兀，所以/二2,

乂圆锥侧面积也可表示为兀〃=2兀，所以r=1，

所以该圆锥的高为h=J/?一产=0,

所以该圆锥的体积为V=』7t//?=正兀

33

13.如图，平面四边形A8C。中，AB//CD,AB=2AC=43,AD-sinD=4^AC-cosZACD，则

BC=.

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】由AB=2AC=G得到AB=百，AC=与在AACD中，将AOsinO转化为ACsin^ACD,

再结合已知条件求出NACD-60°.±AB//CD得到NBAC-^ACD-60，最后在.ABC中用余弦定

理求8C.

【详解】因为A8=2AC=J5,所以A8=6，AC=—.

2

在ziAC。中，由正弦定理可得A6inD=ACsinNACO,

又已知ADsinD=43ACcos^ACD，所以ACsin^ACD=&AGcos/ACO.

因为AC>0,月.AOsin£)>0,所以cos/ACD>0，从而tan/ACO=G，故NACD=60.

又因为A3//CQ,所以/84。=/4。。=60.

在aABC中，由余弦定理得8c2=AB2+AC2—2A8-ACCOS/R4C=3+3—2・G•正,=2，

3

所以

10

14.已知平面向量无。满足|〃|=l,|a+2b|=3,则|。+。|+|切的最小值是,最大值是

【答案】①.3②.JI6

【脩析】

【分析[设2+5=3已知条件变为2—坂=1,2+各=3,问题变为求2+B的最值，把已知条件平方,

可求得W1+k[=5,bc=2,结合数量积的性质和基本不等式可得2m麻卜,，从而求得(口+忸『的

范围，得出结论.

【详解】设Z+五=入则2=2-几%+%=%+，

所以已知条件变为c-b=1,c+b=3,

平方得（C—5）2=1,（C+B/=9,

Kn~*2z*-r*2-*2_=一z*2

卬c-2bc+b=1，c+2〃•c+b=9»

所以^+22=5即4+|c|=5,/?c=2>记（及c>二夕,则万•<?=BccosO=2,

又-1&OSO1,所以忖,之,4=2,万工共线时等号成立，

又5=忸『+同2之2忖目，所以WFk"|,当且仅当卜半时等号成立，

所以24Bc<-,

2

(0+5|+由)2=帆+坂)=卜『+2而+印=5+2丽,

所以94(口+忸『410’所以3«口+忖《布

所以c|+|^|即|3+万|+|B|的最大值为Jid，最小值为3.

四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分,

第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知平面向量值=(3,4),/?=(1,0),c=a—tb.

(1)求|,不•(1+B)；

(2)若〈凡云〉=〈〃]),求实数/的值.

II

【答案】（1）5,28

（2）t=-5

【解析】

【分析】（1）利用向量模的公式，以及数量积公式求解即可；

（2）利用向量的夹角公式计算即可求解.

【小问1详解】

方=（3,4）,|万|=J32+42=5,

口•（云+B）=+彳•5=25+3=28；

【小问2详解】

因为〈2］〉二〈6,①，

-a-ch-c

所以cos〈H〉=cosSQ〉，即=而二;，

\a\\c\\b\\c\

a2-tabah-tb2

mi叫

代人可得"二卫=3-，，解得，=—5.

5

16.设函数f（x）=sin2；r+2Gsinxcosx-cos^x,其中xwR.

（I）求f（%）的最小正周期;

（2）若/（。）=6，其中0v〃（工，求cosfo+g）的值.

213,

【答案】（1）兀

（2）在也或至

42

【解析】

（分析】（D利用三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期公式计算即可得:

（2）由/（。）=百可计算出6,再利用两角和的余弦公式计算即可得.

【小问1详解】

由/（x）=>/3sin2x4-sin2x-cos2x

12

=V3sin2x—cos2x=2sin

故f（M的最小正周期r=—=K；

2

【小问2详解】

若〃0)=G，则2sin(2夕一m、=G，即sin(2e—二］=>/3

I6,I6J

又因为Ov。〈工，所以20-色=工或2。一二二空，即。二四或空，

263.…412

5/2—^6

71兀兀

当®二4时，cosIe+1=cos—+—

4143丁

？5兀(3兀五

当。=—时，cos夕+—=cos——=----

12{3)42

17.如图，正三棱柱ABC-44G中，A6=2,A4=3,。是榜43的中点.

（1）设E为棱与G的中点，F为棱BB1上一点,求AF+FE的最小值;

（2）求三棱锥。一44。的体积；

（3）求该正三棱柱的外接球的表面积.

【答案】（1）3百

⑵G

【解析】

【分析】（1）利用侧面展开解题；

（2）法一，总体积减去多余的体积；法二，等体积换顶点体积:

13

（3）确定正棱柱的外接球球心，求得半径，代入表面积公式.

【小问1详解】

将恻面BCCM绕8片旋转至与侧面A84A共面，如图所示.

当A,F,E三点共线时，A尸+尸£取得最小值,

且最小值为舟+（2+1尸=3上•

【小问2详解】

法一：因为△A8C为等边三角形，AB=2,

所以△ABC的面积S"BC=!X2XG=G，又4A=3,

=

所以匕8C-A4G二S4ABC,3百»

“1711c4AG

/-ACD=5-BCD=.X3S.BC'，

%.A«1G=gxS-，AA=6，

=

所以用c=1G—匕-ACD—%-BCD—%-A5G百,

法二：因为△44。的面积“，”⑷=；x2x3=3,CD=6，

所以%-卡。=-BQ=g弘晒•CO=百.

【小问3详解】

设正三棱柱A8C—A4G两底面中心分别为o,q，。9的中点为G.

14

正二棱柱的外接球半径R=GC=dOG2+DC?=j+当=卡

外接球表面积S=4兀R2=971.

3

18.在VA3C中，内角A,以C的对边分别为小b,c,A为锐角，已知

acosC-GcsinA-b+>/3c=0.

（1）求A;

（2）若a=3,△ABC的面积为2—求VA8C的周长；

（3）若VA8C是锐角三角形，求区二的取值范围.

b

Tt

【答案】（1）A=-

6

（2）3+后

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解；

（2）由三角形面积公式求得力c,再由余弦定理求得人+c,从而得三角形周长；

（3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化华为关于tan2的式

b2

子，再由"的范围求得结论.

【小问I详解】

在VA3C中，由acosC-ecsinA+百。=0及正弦定理、内角和定理，得

sinAcosC->/3sinAsinC-sin(A+C)4->/3sinC=0，

即-J5sinAsinC-cosAsinC+GsinC=0

QsinC>0,故得百sinA+cosA-=0，从而sin/4+—1=^^»

I6；2

717t„.7127r

...A+-=—或A+一二——，

6363

而0<A〈N,故A=2(A=二舍去).

262

【小问2详解】

15

由VA/C的面积为，〃csin4=2-G,儿=4(2-6)

2

又由余弦定理/=b2+c2-2/JCCOSA»得9二从+c2-\f3bc=(b+c)2-(2+退)be,

从而得〃+C=y/\3＞

所以V48C的周长为3+JI5.

【小问3详解】

.71.f7TJJJ3

由正弦定理得4+c_siM+sinC_6(6)_222

hsinBsinBsinB

"%B1B1

-(14-COSB)区—?zeesc:--cos区一区

二।13=22।，3=22।43=2।(3

sinB2-n.BB2一.B2一.B2

2sin—cos—sin—tan—

2222

VA3c为锐角三角形，由4=工，得四＜8＜四，则tan色＜tanO＜tanZ,

632624

19.如图，设Ox,。,，是平面内夹