苏科八年级数学下册复习-第十二章 二次根式（复合二次根式化简和应用拓展）

第十二章二次根式（复合二次根式化简和应用拓展）

复合二次根式化简

典例1

阅读材料：数学上有一种根号内乂带根号的数.形如必赤,如果你能找到两个数加、〃,

使〃P+/r=a,且〃〃?=s[b,则\]a±2\[b可变形为m2+n2±2mn=J(,n土八丫=\in±.从而达到化

去一层根号的目的.例如化简2寂，•.•5=3+2且6=3*2,

.•.J5_2#=J=6一拉.

⑴填上适当的数：78+2715=7(___)2=|-1=

⑵当1W2时，化筒4X+2\/X^\+7^-2\/7-T.

典例2

阅读材料：

小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2&=（1+夜了.这样就可以将际正进行化简，

即：＞/3+2夜=J（l+&）2=1+、4.

善于思考的小明进行了以下探索：

对于4+2痣,若能找到两个数成和〃,使病+〃2=4且相〃=G，则4+2昭可

变为〃广+n2+2mn＞即变成（加+〃）2,从而使得Ja+2/=+=m+n.

（其中a,b,加，〃均为正整数）

例如：,••4+26=1+3+2退=（4尸+（6尸+2石=（1+6）2,

"+2&=J（i+75）2=1+6.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:

⑴化简«+26;

⑵化简小5-2庭;

⑶若［方=2+6，求。的值.

跟踪训练1

先阅读材料，然后回答问题.

⑴小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考

小5-2瓜=小2-2而i+3①,

=，（&『-2』XB+MY②，

=,，（夜-可③,

=历.-6④，

在上述化简过程中，第一步出现了错误，化简的正确结果为

⑵请根据你从上述材料中得到的启发，化简：

①2石②J8+46

跟踪训练2

阅读材料：

小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2&=（1+码=善于思考的小李同学进行了以下探索：

设a+b&=（m+尸（其中a、〃、〃?、〃均为整数），则有a+b42=m2+2n2+2mn近.；・a=nr+2n2,

b=2mn.

这样小李同学就找到了一种把类似a+8虚的式子化为平方式的方法.

请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：

⑴当a、b、m、〃均为正整数时，若a+b6=（巾+〃百）,用含加、〃的式子分别表示。、b,得:

"，b=；

⑵若a+4G=+,且4、〃均为正整数，求。的值.

⑶化简：。5+46.

二次根式应用问题

典例3

如图，在长方形44C。中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片则图中空白部

分的面积为（）cnr.

A____________D

1216

BC

A.-12+8^B.16-8、回C.8-4x/3D.4-2x/3

典例4

【阅读下列材料】：

若a>0,b>0f贝lJa=(G),b=(4b^,(4a-4b^=a+h-2y/ab.(注：=4ab)*.*

-C)NO,a+b-2\[ab>0♦，△.”a+Z?22\/^“称为"基本不等式”，利用它可求

一些代数式的最值及解决一些实际问题.(。、。为正数；职定和最小；和定积最大；当。=力时，

取等号.)

【例】：若。>0,力>0,ab=[6,求a+b的最小值.

解：*.*«>0,b>0fab=16a+b-2y/cib>0,

a+b>2\/ab=8.

.,.a=b=4时,〃+〃的最小值为8.

【解决问题】

(1)用篱笆围成一个面积为lOOnf的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时、所用篱笆最

短？最短篱笆的长是多少；

(2)用一段长为l(X)m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最

大？最大面积是多少；

⑶如图，四边形A3CD的对角线八C、加相交于点。，少OD、△或纥的面积分别为2和3,求

四边形A3CO面积的最小值.

O

BC

跟踪训练3

如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形A8CO和正方形EFG”,面积分别为1和2,那

么图中阴影部分的面积为（）

D

C

A.>/2—2B.5/2—1C.2>/2—1D.>/2—3

跟踪训练4

阅读理解：由丫20得，a2+h2>2ab；如果两个正数4，b,即a>0,Z?>0,则有下面

的不等式：疯，当巨仅当时，取到等号.

例如：已知工>0,求式子的最小值.

解：令a=x,b=—则由ii+h>2\fab,得x+->2.x--=4,

xtxVx

当且仅当X=±时，即正数工=2时，式子有最小值，最小值为4.

x

请根据上面材料回答下列问题：

9,1

⑴当入•>（）,式子工+-的最小值为二

x

⑵如图1,用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙

长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，

最短的篱笆是多少米？

墙

//////////1/

花园

图1

⑶如图2,四边形A8C。的对角线AC、比）相交于点O,A4O8ACO。的面积分别是6和12,

求四边形A8CQ面积的最小值.

过关训练

1、如图，将长女m、宽1cm的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为cm.

2.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一

个三角形的三边长分别为。、从则该三角形的面积为S=J已知

的三边长。、汰c分别为1、瓜2,则△居（?的面积是（）

A.7B.BC.6D.73

242

3、阅读下列材料，解决问题：

①+也『=1+2*以夜+（正）2=3+2应

；・{3+2&=旭+a）2

二13+2五=\+五

②（2+可=2?+2x2x75+（"『=7+4退

・・・g+4G=J（2+@2

；・j7+4g=2+G

由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简.

⑴化简：“+26:

⑵现有长度分别为g+4g，“7韭，历大后的三条线段，以这三条线段的长为边能否构

成三角形？请说明理由.

4、先阅读材料，然后回答问题.

（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简后函

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

55-2#=&-25/^+3①

=_2血xG+（扬2②

=J@一回③

二及-6④

在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为

（2）化简J9+2/X;

（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：历访.

5、阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记〃="鲁，那么这个三角形的面积5二

）（〃-c）.这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形

面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦

—秦九韶公式”完成下列问题：

如图，在“比、中，«=7,b=5,c=6.

A

⑴求△/WC的面积；

⑵设AB边上的高为九，AC边上的高为生，求4+4的值.

6、阅读材料：

已知4,〃为非负实数，,・F+b-2\/^=(6)+(力)-2yfa-4b=^>/a-\/b^>0,

:.a+b之2夜,当且仅当“a=b”时，等号成立.

这个结论就是著名的“均值不等式“，”均值不等式“在一类最值问题中有着广泛的应用.

例：已知x>0,求代数式x+［最小值.

解：令“=工，贝(J由a+〃之得x+&之2Jx•3=4.

当且仅当x=3,即片2时，代数式取到最小值，最小值为4.

x

根据以上材料解答下列问题：

⑴已知x>0,则当尸时，代数式士到最小值，最小值为;

X

(2)用篱笆围一个面积为lOOnf的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的

篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？

(3)已知x>0,则自变量x取何值时，代数式，:。取到最大值?最大值为多少？

x-2x+9

(4)若X为任意实数，代数式2:4的值为根,则“范围为______.

x+4x4-5

第十二章二次根式（复合二次根式化简和应用拓展）

答案全解全析

复合二次根式化简

典例1

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如而砺，如果你能找到两个数〃?、〃,

使4+〃，=〃，且〃"?=4b，则\/a±2\[b可变形为\lm2+n2t2mn=^（m+n）2=\in±n\.从而达到化

去一层根号的目的.例如化简加-2印，,-5=3+2且6=3：<2,

《5-2a=-=>/3—\f2.

⑴填上适当的数：V8+2V15=7（）2=|-1=；

⑵当1W2时，化简++\/x-24x^1.

【答案】⑴石+G，石+5后+6

⑵2

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公

式的特征是解题的关键.

（1）将8写成（石丫+（石『，将后写成方*6,然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，

即可得出答案.

（2）将x写成+然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案.

【详解】（1）解：后

厨+⑹+2X氐6

和+国

=|不+四

二石+石，

故答案为：石+6，5/5+73,百+G；

（2）vl<x<2,

/.Jx+2\lx-\Mx_2y/x-1，

—)+2xdX-lx1+1~+^y/x—T-2xy/x—Tx1+1"

=y/x—}+1+I—yjX-ir

典例2

阅读材料：

小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2&=（1+&儿这样就可以将病运进行化简，

即：）3+2夜=J（1+上L=1+&.

善于思考的小明进行了以下探索：

对于〃十2加，若能找到两个数，〃和〃，使〃/十〃2=4且"?〃=",则《十2赤可

变为nr+n2+hnn,即变成（m+〃）]，从而使得+=/,〃+=m+n.

（其中mb,m,〃均为正整数）

例如：•.・4+2G=l+3+2G=（W）2+（G）2+2G=（1+6）2,

6+26=J（i+G）2=i+&.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

⑴化简«+2石;

⑵化简y]5-2^/6;

⑶若＞//+4"=2+后,求。的值.

【答案】（1）1+后

⑵痒0

（3）«=±3

【分析1（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；

（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；

（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可.

【详解】（1）解：・・，6+2逐=1+5+2逐=尸+2石+（石『=0+石『，

；・76+2布={(1+逐了=1+75;

(2)解：V5-2>/6=3+2-2^=(V3)2-2>/3XV2+(V2)2=(X/3-^)2,

*••2#=r(6-6)=G-&;

(3)解：V(2+>/5)2=22+2x2xx/5+(>/5)2=4+5+4x/5=9+4x/5,

a2=9,贝lja=±3.

【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解

是解答的关键.

跟踪训练1

先阅读材料，然后回答问题.

⑴小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考

75-2>/6=72-2V2x3+3®，

=附—2&xQ+(可②,

=,/(应-可③,

=&-+④，

在上述化简过程中，第一步出现了错误，化简的正确结果为二

⑵请根据你从上述材料中得到的启发，化简：

①/6-26

②《8+4%

【答案】⑴④，V3-V2

(2)©>/5-1；②娓+近

【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次

根式的性质进行化简是解题的关键.

(1)根据二次根式的性质(，后0)即可求解；

(2)根据(1)中的材料化简即可.

【详解】(1)解：《5-26=^2-27^+3①,

=,］附一2区6+（可②,

=J（及-@2③,

=A/3—\/2④，

在上述化简过程中，第④步出现了错误，

故答案为：④，百-0；

（2）解：①原式=--2褥+1

T曲—2布+1

=西

=75-1;

②原式=小6+2>/^1+£

=,/（利、46+（何?

=柄+国

=5/64-5/2.

跟踪训练2

阅读材料：

小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2应=（1+及善于思考的小李同学进行了以下探索：

设a+b&=（m+（其中a、b、ni、n均为整数），则有a+b42=m2+2n2+2mn\l2.**•a=m2+2n2,

h=2mn.

这样小李同学就找到了一种把类似〃+/,右的式子化为平方式的方法.

请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：

⑴当。、b、m、〃均为正整数时，若a+46=（机+〃@~,用含"2、〃的式子分别表示a、b,得:

a-,b=；

⑵若。+4右=（〃?+〃>/5）2,且4、"7、〃均为正整数，求。的值.

⑶化简：也5+4后.

【答案】

（2）13或7

（3）276+1

【分析】（1）利用完全平方公式将（〃，+〃6）2展开即可求解；

（2）由（1）中所得结论结合〃、加、〃均为正整数，即可求解；

（3）25+4遍=25+2后=/+2依+（旧了=（值+1『，据此即可求解.

【详解】（1）解：,+

*.*a+b\[i=（m+〃石）

a=m1+3n2,b=2mn.

故答案为：〉+3/『,2mn.

（2）解：•・•，+4G=+,

：.b=4f

由（1）中结论可知：2"掰=4,

mn=2,

'・・"八〃均为正整数,

m=1,〃=2或m=2,〃=1,

当m=1,〃=2时，a=nt2+3n2=13;

2

当〃?=2,〃=1时，a=nr+3n=7；

・・・。的值为13或7.

(3)解：25+4G=25+2厉=/+2扃+(扃丫=(9+『,

）25+4#-+-向+1=2斯+1.

【点睛】本题考查复合二次根式的化简.正确理解题意是解题关键.

二次根式应用问题

典例3

如图，在长方形A8CO中无重春放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片则图中空白部

分的面积为（）cmt

AD

1216

BC

A.-12+85/3B.16—8、回C.8-473D.4-2x/3

【答案】A

【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两

个正方形的边长即可得出结果.

【详解】解：•・•两张正方形纸片面积分别为16cm2和12cm，

・•・它们的边长分别为加=4(cm),阮=26(cm),

AB=4cm,BC=(2>/3+4jcm,

・・・空臼部分的面积=(26+4)x4-12-16

=8百+16-12-16

=(8x/3-12)cm2

故选：A.

典例4

【阅读下列材料】：

若a>0,b>0f则a=(G),b==a-vb-lsfab.(注：xfa-\fb=\[ab)*/

(da>0,a+b-2y[ab>0>；.4+。N2\/^.“〃+2\/^”称为"基本不等式”，利用它可求

一些代数式的最值及解决一些实际问题.(。、〃为正数；积定和最小；和定积最大；当。=〃时，

取等号.)

【例】：若〃>0,ab=16f求a十。的最小值.

解：*/«>0,/?>0,ab=\6a+b-2\[ab>0f

a+b>2\[ab=8.

.•.”=b=4时，的最小值为8.

【解决问题】

(1)用筒笆围成一个面积为lOOn『的长方形菜园,当这个长方形的动长为多少时.所用篱笆最

短？最短篱笆的长是多少；

(2〕用一段长为l(X)m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最

大？最大面积是多少；

(3)如图，四边形A8CD的对隹线AC、8。相交于点O,AAOD、的面积分别为2和3,求

四边形相CD面积的最小值.

【答案】⑴这个长方形的长、宽分别为10夜米，5&米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20页

米；

(2］菜园的长为50m,宽为25m时,面积最大为1250m?；

⑶I四边形八BCD面积的最小值为5+卡.

【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用.

(1)设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为5米，则个=100,)，=&,

x

所以所用篱笆的长为(变+25米，再根据材料提供的信息求出(吧+2「的最小值即可；

IxJkxJ

(2)设垂直于墙的一边为xm,利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利

用非负数的性质求解即可；

(3)设点8到AC的距离为4(4>0),点。到AC的距离为"仇>0),又△AO。、△COB的面

4664

积分别是2和3,则。a=丁，0C=-fAC=OC+OA=-+-f从而求得右边形—然后根据材

料提供的信息求出最小值即可.

【详解】(1)解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为九米，则平行于墙的一边为y米，

则R，=100,

.100

••y=—,

・••所用篱笆的长为(岑+2)米，

—+2A>2x2x=20>/2,

•・.当且仅当一=2x时，——+2x的值最小，最小值为20灭，

XX

二・x=5正或x=-5夜（舍去）.

・•・这个长方形的长、宽分别为10枝米，5&米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是2。&米;

（2）解：设垂直于墙的一边为xm,则平行于墙的一边长为（100-2x）m,

WKS!X（100-2X）=-2A2+100.V=-2（X-25）2+1250,

XV-2（X-25）2＜0,

・••当x=25时，菜园的面积有最大值为1250,

答：菜园的长为50m,宽为25m时，面积最大为1250m?；

（3）解：设点8到AC的距离为"供＞0）,点。到AC的距离为"仇＞0）,

又•・•^AOD、MOB的面积分别是2和3,

46

・・.OA—OC--,

生丸

64

,\AC=OC+OA=—+—f

h｝心'

•,S四边形八be。=S4ABe+SAADC=2AC%+万AC也

=；AC（…）

if64Y.i、＜3儿2h

=~—+—（/?.+lly）=5+--+—]

21%fh）4%

・・•强+纹＞2匹Z

%也一N4也

・・・当且仅当黑=｝时，取等号，即祟+务的最小值为石，

・•.四边形A8C。面积的最小值为5+6.

跟踪训练3

如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形/WCQ和正方形ER7”,面积分别为1和2,那

么图中阴影部分的面积为（）

D

C

A.V2-2B.V2-IC.2V2-ID.V2-3

【答案】B

【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算.正确的识图，确定长方形的长

和宽，是解题的关键.

分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形

的面积即可得解.

【详解】解：・・,两个正方形的面积分别为1和2,

・•・它们的边长分别为：I和6，

由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为（1+夜），宽为大正方形的边长，即为正,

二•阴影部分的面积为（1+夜）,拉-1-2=&+2-1-2=夜-1；

故选：B.

跟踪训练4

阅读理解：由（〃-3飞。得，a1+h2>2ah;如果两个正数即a>0,Z?>0,则有下面

的不等式：〃之2而，当巨仅当。=力时，取到等号.

例如：已知1>0,求式子x+g的最小值.

解：令a=xb=—,则由u+b>2\fab,得x+—2LV--=4,

fXXX\X

当且仅当X=±时，即正数X=2时，式子有最小值，最小值为4.

X

请根据上面材料回答下列问题：

9

⑴当人>（）,式子X+-的最小值为二

X

⑵如图1,用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙

长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，

最短的篱笆是多少米？

墙

//////////[/

花园

图1

⑶如图2,四边形人3CZ）的对角线AC,9相交干点0,△AO8ACO。的面积分别是6和12,

求四边形A48面积的最小值.

（2）20米

（3）18+12人

【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中

学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问

题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目.

（1）根据材料提供的信息解答即可.

（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为），（0<）小20）米，则个=50,

>'=-，所以所用篱笆的长为（竺+2寸米，再根据材料提供的信息求出竺+2］的最小值即可.

X\X）X

（3）设点8到AC的距离为4仇>。），点。到OC的距离为他仇>0），又JOB、△C8的面

12941224

积分别是6和12,则。4=丁，℃=7，AC=OA+OC=-+-f从而求得S崛阂曲，然后根

据材料提供的信息求出最小值即可.

【详解】（1）解：令《=x，b=2,贝|J由a+b>2^b,得x+->2.O-=6,

XX\X

9

当且仅当工=?时，即正数工=3时，式子有最小值，最小值为6.

x

（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y（0<>«20）米，

则邛=50,

.50

・・）'=一，

x

・••所用篱笆的长为（三+2x）米,

—+2x>2x=20

X

;当且仅当竺=2x时,4+2》的值最小，最小值为20,

X

・・.x=5或x=-5（舍夫）.

・•・这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米.

（3）解：设点8到AC的距离为九供＞0）,点。到OC的距离为％仇＞0）,

又•；AAOB、△C。。的面积分别是6和12,

・・.。若，。一，

九%

.・.AC=OA+OC=—+—

%生t

S=S+SAC,t

mm^ABCD&ARC&ADC=^y+'%）=g号+今（4+他）=18+等+

\*1*/.

—I也

・・・当且仅当空=詈时，取等号，即空+等的最小值为12&,

"1,z2〃ifh

.••四边形A8CD面积的最小值为18+12我.

过关训练

1、如图，将长女m、宽1cm的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为cm.

【答案】6

【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可.

【详解】解：•・•长方形的长女m、宽1cm

，长方形的面积为：3xl=3cm2,

•・•正方形是由这样的长方形拼接面成的，

・••正方形的面积为3cm2,

因此正方形的边长为6cm,

故答案为：V3.

2.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一

个三角形的三边长分别为。、汰。，则该三角形的面积为S=1,已知

的三边长久b、c分别为1、6、2,则小8。的面积是（）

A.B.@C.且D.G

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【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根

式是解题的关键.

【详解】解：的三边长久氏c分别为1、瓜2,

故选：C.

3、阅读下列材料，解决问题：

①・.・（1+应y=l+2xlx&+（正丫=3+2也

JJ3+2&='（1+可

73+272=1+>/2

@V（2+V3）2=22+2X2XT3+（X/3）2=7+4X/3

Jg+4百='（2+75）2

77+475=2+x/3

由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简.

（1）化简：“+2g;

⑵现有长度分别为凡语，“7•万，历赤的三条线段，以这三条线段的长为边能否构

成三角形？请说明理由.

【答案】（1）1+6

（2）能，理由见解析

【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解；

（2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解.

【详解】（1）解：+省『=1+2万+3=4+2右

；・"+26=1+6

（2）能，理由如下，

•（夜+厨=2+2#+3=5+2#

；.<5+2瓜=向6

<g+4石=2+石，“+26=1+石

*.*1<V2<2

・・・1+百<&+6<2+6

•1+>2

••1+，3+\/2+\/3>2+，3

即J4+2G+J5+2卡>,7+46

・・・长度分别为671万，7^/3,屈二店的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角

形

【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完

全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键.

4、先阅读材料，然后回答问题.

（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简7^3忑

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

"5-26=也-2>/^+3①

=J（&）z-2&x&+（祈②

=J（夜-石>③

=72-73@

在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为;

（2）化简血+2而;

（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：历语.

【答案】（1）④，>/3-V2；（2）#+6;（3）>/6+-Ji

【分析】（1）第④步出现了错误，J（辰扬2朋=6-点:

（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值

即可；

（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值

即可.

【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下:

\/5-2>/6=72-272^3+3

=7（>/2）2-2V2XV3+（X/3）2

=7（X/2-V3）2

=|夜-四

=A/3->/2；

（2）79+2718=76+276^3+3

=1函2-2舟6+（石>

=J（#+6）2

=|\/6+>/5|

（3）78+4^3=76+2^2+2

=1（府+2显&+（扬2

=/（«+舟

=2+阕

=瓜+>/2.

【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平

方公式是解题的关键.

5、阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记岁，那么这个三角形的面积5二

Jp（〃-a）（〃叫（P"）.这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形

面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦

一秦九韶公式”完成下列问题：

如图，1fAe中，〃=7,b=5,c=6.

A

b

BaC

⑴求"8C的面积；

⑵设43边上的高为4，AC边上的高为生，求4+4的值.

【答案】(1)6#

崂瓜

【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学

的三角形的面积公式进行求解.

(1)先计算P,再代入海伦公式即可求解；

(2)根据三角形的面积求法即可求出九，仁即可计算4+42的值.

【详解】(1)解：根据题意知〃=丝簪=9,

所以s=(〃-a)(/T)(〃-c)=^9x(9-7)x(9-5)x(9-6)=6瓜,

AAI3C的面积为6瓜；

(2)・・・5=；哂=驯=66，

・・・/64=京5〃2=6"

**.Iiy=2>/6,k=/;

:,h\+k=苦痛.

6、阅读材料：

已知m〃为非负实数，2«^=(々)+(")-2G.e=>0,

:.a+b之2强,当且仅当“a=b”时,等号成立.

这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式''在一类最值问题中有着广泛的应用.

例：已知x>0,求代数式x+g最小值.

解：令〃=4，b=—t则由〃+〃之2>/^,得x+*V2卜.±=4.

当且仅当X=t即x=2时，代数式取到最小值，最小值为4.

x

根据以上材料解答下列问题：

⑴已知x>0,则当x=时，代数式x+士到最小值，最小值为;

X

(2)用篱笆围一个面积为lOOn?的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的

篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？

⑶已知\>0,则臼变量x取何值时，代数式、:°取到最大值?最大值为多少？

x-2x+9

(4)若X为任意实数，代数式、:一的值为〃7,则〃?范围为______.

x+4.r+5

【答案】⑴⑸26

⑵这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是4。米

(3)自变量x=3时，函数y=,:。取最大值,最大值为:

A:-2x+94

(4〕一且•一\<-1

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【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解.

(1)根据例题，可得尸X+，2、Q=2G,故当R仅当户,时，函数y=取到最小值,

xVxxx

最小值为26，即可获得答案；

(2)设这个矩形的长为x米，篱笆周长为y米，可得函数解析式为'=2(工+嗖)，根据例题,

x

即可获得答案；

(3)将原函数变形为,=3［，由"+［取最小值，即可确定自变量x取何值时，函数

X

尸，:。取到最大值,并求得最大值.

(4)分x>0,x=0,x<0,三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解:Vx>0,

y=x+—>2dx3-2\j3,

当且仅当工=上时，取等号，

x

・・・当》二百时，函数产工