人教版高中数学必修2考点训练 专项强化10：概率题型精讲与精练（原卷版）

专题强化10：概率题型精讲与精练

【题型归纳】

＞题型一：随机事件

＞题型三：事件的关系和运算

＞题型三：互斥事件、对立事件、独立事件理解

＞题型四：互斥事件、对立事件关系辨析

＞题型五：互斥事件、对立事件和独立事件概率问题

＞题型六：古典概型计算

＞题型七：整式值随机数

＞题型八：几何概型

＞题型九：概率综合问题

【题型归纳】

题型一：随机事件

1.（21-22高一下•陕西渭南•期末）下列事件中，是随机事件的是（）

①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；

②投掷2颗质地均匀的股子，点数之和为14：

③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上

@13个人中至少有2个人的生日在同一个月.

A.①③B.③④C.①④D.②③

2.（21-22高一下•陕西渭南•期末）下列事件中，是随机事件的是（）

A.在只装有5个红球的袋子中摸出1个球，是红球

B.在标准大气压下，水在-C结冰

C.打开电视机，正在转播足球比赛

D.地球绕着太阳转

3.（21-22高一下•黑龙江哈尔滨•期末）下列事件是必然事件的是（）

A.在标准大气压下，水加热到8CTC时会沸腾

B.实数的绝对值不小于零

C.某彩票中奖的概率为二^京，则买1OOOO张这种彩票一定能中奖

I（）0000

D.连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上

题型三：事件的关系和运算

4.（2024高一下•全国・专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A=（两弹都击中飞机｝,

8=｛两弹都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,。=｛至少有一弹击中飞机｝，下列说法不正确的是（）

A.AuZ）B.0C.A\JC=DD.A\JC=B\）D

5.（22-23高一下•山西•期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚正面向上“，事件8二“第二枚反面向上”,

则事件A与8的关系是（）

A.AqBB.A=BC.相互独立D.互斥

6.（23-24高二上.四川凉山•期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投

中”，事件8表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件。表示随机事件“至少有一

次投中”，则下列关系不正确的是（）

A.A^DB.8「O=0C.ADB=BUDD.AuC=D

题型三：互斥事件、对立事件、独立事件理解

7.（24々5高一下•安徽宿州•期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件8表

示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（）

A.A与8是对立事件B.B与C是对立事件C.人与。是互斥事件D.A与8是

互斥事件

8.（23-24高一下•江西•期末）掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E“两个点数都是奇数”为

事件凡“两个点数之和是偶数”为事件M，”两个点数之积是偶数”为事件M则（）

A.事件E与事件厂互为对立事件

B.事件M与事件N相互独立

C.事件E与事件McN互斥

D.事件厂与事件MuN相互独立

9.（23-24高一下•江苏南京•期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A=”第一枚向上点数为

奇数”，事件8="第二枚向上点数为偶数“，事件。="两枚骰子向上点数之和为8”，事件。="两枚骰子向上点数之

积为奇数“，贝IJ（）

A.A与C互斥B.A与C相互独立C.3与。互斥D.4与。相互独立

题型四：互斥事件、对立事件关系辨析

10.（23-24高一下.陕西西安•期末）有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、

北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（）

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

11.（23-24高一下•福建福州•期末）某小组有2名男生和1名女生，从中任选2名学生参加比赛，事件“至少有1名男

生”与事件“至少有1名女生”（）

A.是对立事件B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件D.不是互斥事件

12.（23-24高一下.河北邢台•期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则

互斥且不对立的两个事件是（）

A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”

B.“甲取出的球是红球”与“乙取H的球是红球”

C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”

D.”甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”

题型五：互斥事件、对立事件和独立事件概率问题

13.（2£24高一下.安徽合肥.期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为'且P（A）=2P⑻，则）

A.-B.C.\D.-

181899

14.（23-24高一下.江苏常州.期末）已知事件A8互斥，它们都不发生的概率为:，且P（人）=22（6，则P（彳）=（）

1452

A.-B.-C.-D.一

3993

15.（23-24高一下•河北张家口•期末）如图，某电子元件由A,B,。三种部件组成，现将该电子元件应用到某研

发设备中，经过反复测试，A,B,C三种部件不能正常工作的概左分别为（，4,g,各个部件是否正常工作相

互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（）

题型六：古典概型计算

16.（23-24高一下.贵州黔西.期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》,

《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（）

A2

-得B-ICD.

-55

17.（23-24高一下•江苏南京•期末）从分别写有1,2,3,4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片

上的数字之和是偶数的概率为（）

18.（23-24高一下•天津西青•期末）从两名男生（记为石和生）、两名女生（记为G和5）中任意抽取两人，分别

采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别

为（）

21八11八12h11

A.一,—B.—C.一,—D.一,一

32462364

题型七：整式值随机数

19.（23-24高一下•河南开封•期末）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比

赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机模拟产生

1~5之间的整数随机数，当出现随机数1,2或3时表示甲获胜，出现4,5时表示乙获胜.因为比赛采用了3局2

胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

据此估计所求概率的值为（）

A.0.3B.0.35C.0.6D.0.65

20.（22-23高一下•安徽宣城•期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚''四个字，有放回地从中任取一张卡片,

直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卜片后停止的概率.利用电脑随机产

生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三

次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

343432314134234132243331112324

342241244342124431233214344434

由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（）

21.（22-23高一下•福建福州•期末）采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9

之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，以三个随机数为一组，代表

三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：

107955181935271832612458329683

331257393027556498730113537989

根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（）

题型八：几何概型

22.（21-22高一下•青海海东・期末）已知直角VABC的两条直角边分别为3,4,且VA8C的三个顶点都在圆。上，

若在圆。内随机取一点，则此点取自VA3C内的概率是（）

6「12「24八48

5兀5兀25兀25兀

23.（21-22高一下•陕西渭南•期末）小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午8:30-9:30之间

送货到家.小李上午有两节视频课，上课时间分别为7:50-8:30和840-9:20,则辅导书恰好在小李同学非上课时

间送到的概率为.

24.（21-22高一下•陕西渭南•期末）对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相

间的小方块就已经出现了.二维码背后的趋势是整个世界的G联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从

线下流向线上.如图是一个边长为4的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区

域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有250个点，据此可估计黑色部分的面积为.

题型九：概率综合问题

25.（24-25高一下•贵州遵义）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分

别为10元、20元、30元、40元.已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为《士士，，

6336

且每次抽奖结果相互独立.

（1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；

⑵求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于8（）元的概率.

26.（24-25高一上•湖南邵阳・期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛竞赛共

32

分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为:，-；在第二

43

轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p,q.假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）若夕=3,求乙恰好有一轮胜出的概率；

O

96

（2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为二，甲，乙两轮都胜出的概率为7T.

①求p,q的值;

②求甲，乙两人至少有i人两轮都胜出的概率.

27.（24-25高一下•北京•期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，

共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥

运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.

⑴求该样本的第75百分位数；

（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5

名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50）,[50,60）各一人的

概率.

【专题强化】

一、单选题

1.（24-25高一下•江西景德镇•期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件N表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下

列事件中与事件N相互独立的是（）

A.第二次朝上的数字是奇数B.第二次朝上的数字为2

C.两次朝上的数字之和为9D.两次朝上的数字之和为10

2.（24-25高一上•陕西汉中•期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件3：所选盒中有记事本，事件C：所选盒

中有笔袋，则O

A.事件A与事件8互斥B.P（AB）=P（A）P（B）

C.事件A与事件BuC互斥D.尸（BIC）=0.5

3.（24-25高一上•辽宁锦州•期末）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺

读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33,,99共9个，茬从三位数的回文

数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3479

4.（24-25高一上•北京房山・期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件N="点数

为3的整数倍"，若P（M）,P（N）分别表示事件加，N发生的概率，则（）

A.P（M）=LP（N）=-B.P（M）=L,P（N）=L

3223

C.P（M）=P（N）=5D.P（M）=P（N）=；

5.（24-25高一上•贵州遵义•期末）新高考选科要求3+1+2,语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、

生物）四选二.针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件人“选物理”，事件中选历史”，事件U选化学”，事件

。“选政治”，则下列正确的是（）

14

A.事件C与事件。互斥B.P（C）=-C.事件A与事件8对立D.P（CD）=-

65

6.（24-25高三上•江苏常）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都

不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）

A.③B.①③C.②③D.①②

7.（23-24高一下•安徽•期末）某幼儿园一名小朋友过生口，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4

个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为

生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

8.（23-24高一下•贵州贵阳・期末）关于事件A和事件8,下列说法错误的是（）

A.若A与3互为互斥事件，则尸（A）=1-P（B）

B.若4q8,则A与B互斥

C.若A与3互斥，则P（AJ8）=P（A）+P（8）

D.若A与3相互独立,则P（AB）=P（A）P（5）

9.（23-24高一下•吉林・期末）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰：（2）

比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，

直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为g，则丙最终获胜的概率为（）

A.—B.—C.~D.—

161628

10.（23-24高一下•河南漂河・期末）已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4,乙罐中有三个相同的小球,标

号为123,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件"抽取的两个小球标号之和大于5”，事件8二“抽取

的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）

A.事件A发生的概率为!B.事件A8相互独立

C.事件A8是互斥事件D.事件AJ8发生的概率为。

二、多选题

11.2（3-24高一下•河北张家口•期末）下列命题正确的有（）

A.一组数据分别是82,84,86,88,95,96,94,则该组数据的上四分位数是96

B.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件

C.不可能事件与任意事件相互独立

D.若事件A,8独立,则P（A+8）=P（A）+P（8）

12.（23-24高一下•安徽六安・期末）有6个相同的球，分别标有数字I,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次,

每次取I个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件3表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表

示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件。表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）

A.A与8是互斥事件B.C与。互为对立事件

C.8发生的概率为gD.8与C不相互独立

13.（23-24高一下•福建福州•期末）下列描述正确的是（）

A.若P（AB）=!，P（4）=lP（B）=（，则事件A与8相互独立

443

B.A与A是互斥事件”是“A与A互为对立事件”的充分不必要条件

C.掷两枚质地均匀的骰子，”第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件

D.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是4

4

14.（23-24高一下•福建福州•期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件

B.“至少有一个黑球,,与“至少有一个红球..不是互斥事件

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

15.（23-24高一下.贵州安顺.期末）已知48是相互独立事件,且。（加=〃（8）=，则下列说法一定正确的是（）

A.A与B可能互斥B.因为P（4）+P（B）=1,所以A与8可能相互对立

C.P（ALI3）=-D.P（AB）=-

44

16.（23-24高一下•山东聊城・期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次

的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件。为“两次点数之和为奇数”，则（）

A.=；B.事件A与事件。互斥

C.事件A与C相互独立D.P（AUC）q

17.（23-24高一下•山东临沂・期末）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取

出2个小球，记事件A=“取出的两个球是一个黑球、一个白球“，事件8=”两个球中至多一个黑球“，事件C="两

个球均为白球“，则（）

A.P（A）=IB.-*C.P（AB）=gD.—©

三、填空题

18.（23-24高一下呐蒙古•期末）在如图所示的3x3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中,

□在所有符合i上n述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为.

d

□E□

19.（23-24高一下•江苏无锡・期末）某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65,71,78,82,85,88,

90,93,假设这8名学生成绩的第6（）百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率

为.

20.（23-24高一下•宁夏固原•期末）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为

0.7,乙投中的概率为0.8,则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.

21.（23-24高一下•陕西西安・期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为

小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则

置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“一”，62记为现从由4根算筹表示的两

位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为.

数字123456789

纵式1IIIII1111muTT¥mr

横式—1■

22.（23-24高一下•吉林长春•期末）数学来源于生活・，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.

十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示

数卜9的一种方法.例如：3可表示为“二”，26可表示为“-1-,现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余,

则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.

_—===J_J-ii

123456789

23.（23-24高一下•广东肇庆•期末）如图，M到N的电路中有5个元件（，T2,乙，4,电流能通过刀，，，

4的概率都为0.8,电流能通过I的概率为0.9,且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M与N之间通

过的概率为

四、解答题

24.（23-24高一下•安徽马鞍山•期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2

个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.

（I）从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；

（2）从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.

25.（23-24高一下•江苏南京・期木）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的

学生，教育部启动了“强基计划''的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面

试.假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面拭环节，他们答对第一题的概率分别是，

II2

答对第二题的概率分别是5，不刀.

乙oa

⑴求甲考生通过某校强基招生面试的概率；

（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率;

（3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

26.（24-25高一上•安徽蚌埠•期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1,2的

两个红球和标号为3,4,5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽

取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：

规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为

奇数获三等奖，其余不获奖；

规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和

为偶数获三等奖，其余不获奖.

⑴请以标号（X,），）写出两次抽取小球的所有结果（其中x,y分别为第一、第二次抽到的小球标号）；

（2）求两种规则下获得二等奖的概率；

（3）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由.

27.（24-25高二上•四川绵阳•期中）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A,B,

C,D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A,B,

CD四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分,

部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得。分.

（I）考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的