暑假预习：二次根式的运算（教师版）-八年级数学（北师大版）

第六讲二次根式的运算

【学习目标】

会进行二次根式的简单四则运算，并解决简单的实际问题.

【基础知识】

1.二次根式的乘法法则：&,〃=而o箍二8・&(“20必2°)(主要用于化简)

)(_〃)•(_1)=y/a・b=\[ci•xfb(心0,后0)

2.二次根式的除法法则：

4a_lafa_\[a

4b<=>xbyfb(40,〃>0)

3.二次根式的乘方法则：&乐=4^=册=Q(。20)G・G=(JZ)2=o(。＞0)

4.二次根式的加减运算方法：①不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；②是最简二次根式，只把二

次根式系数想加减，二次根式不变照写;

【考点剖析】

考点一：二次根式的乘法

例I.(1)计算：V6x5/2=

【答案】20

【详解】

解：\[GxV2=V6x2=Vi2=25/3

故答案为：

(2)计算(«+2)(6-2)的结果等于

【答案】1

【详解】

解：原式=(6+2)(6-2)

=(可"

=5-4

故答案为：1.

(3)计算(2月-血尸的结果等于.

【答案】14-4#

【详解】

解：(2百-五尸

=(20)2_2XX0+(历

=12-4>/6+2

=14-4^.

故答案为：14一4«.

考点二：二次根式的除法

例2.(1)计算：745-75=

【答案】3

【详解】解：底*亚=亚=3,

故答案为：3.

(2)计算平的结果是

6

【答案】2叵

【详解】

*：源2夫=2万

故答案为2近.

考点三：二次根式的加减运算

例3.(1)计算加-20的结果是

【答案】V2

【详解】

解：源式=—2近>=・

故答案为：血.

（2）计算：（加一2百）一（

【答案】+

【解析】

W：(V18-2x^)-(

=(3>72—2>/3)—(―>/2-5>/3)

4

=3>/2—2->/3—+5>/3

4

=—V2+3V3.

4

(2)

考点四：二次根式的混合运算

例4.计算：

(1)273x76;

⑵4而-3而+26

(3)3>/5x—>/30+A/2；

3

【答案】（I）6>/2；（2）75;（3）55（4）6/一,

【详解】

解：(I)2\/3xx/b=2x3>/2=6>/2：

(2)4而-3a+26

=4x2\/5-3x3>/5+2>/5

8石-9石+2石

（3）35/5x—《30+A/2

3

=3x175x304-2

3

=775

=5>/3；

（4）3屈-3A+2炳

=66-6+6夜

=班一亚

12

考点五：二次根式的应用

例5.（1）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不

清楚.

1：/-4。+6B：*?’+2。-3

甲乙

（1）嘉嘉认为污染的数为一3,计算“A+B”的结果；

（2）若〃=3+6,淇淇认为存在一个整数，可以使得—8”的结果是整数，请你求出满足题意的被污

染的这个数.

【答案】（1）一2。2-2。+3;（2）0.

【详解】解：（1）A+B=a2-46/+6+（-36f2+2«-3）

-cr-4。+6-3/+2。-3

=-2/-2。+3：

（2）设污染的数字为执,

:.A-B=（a2-4。+6）-*+2々-3）

//一4〃+6—nm2—2〃+3

=/-6。+9-ma2

={ci-3)'-imr

,••“=3+0

*'•(a—3)2=(3+>/3-3)=3是整数

A—6的结果是整数

・♦・〃"2是整数

Va2=(3+>/3)2=12+6是无理数，机是整数

m=0

即存在整数0满足题意.

例6.已知三角形的三边长分别为0，h,Ct求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式

S=(其中,我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式

।I727-2.2、

-"+「，若一个三角形的三边长分别为2,2,3,请你选择自己喜欢的公式计算这

2VI2J

个三角形的面积.

【答案】s=—

4

【详解】解：由题意得：a=2,b=2,c=3,

a+b+c7

•"=-2-=2*

・•・S=JM〃一〃)(〃--)(〃-c)=Jgxjx'x；=平.

【真题演练】

I.下列各数中，与夜的积为无理数的是()

A.4B.712c.VT8D.V32

【答案】B

【解析】

A、Qgx6=J；x2=&=l,不是无理数’错误；

B、V12X2=V24=2A/6，是无理数，正确；

C、V18xV2=V18X2=>/36=6»不是无理数，错误；

D、>/32x72=732x2=764=8，不是无理数，错误；

故选B.

2.已知：J而是整数，则满足条件的最小正整数〃为（)

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

•・•J2O〃=J4x5〃=2,5"，且,20〃是整数,

•••2后是整数，即5n是完全平方数，

・・・n的最小正整数为5.

故选D.

3.6+人与6-旭互为倒数，则（）

A.a=b—1B.a+b=1C.a=b+1D.a+b=-1

【答案】C

【解析】

解：由题意得，（&+声）（&-振）=1

a-b=1,即a=b+1

故选：C

4.已知—5y,则代数式j〃/+〃？—的值为()

A.±3B.3C.5D.9

【答案】B

【解析】

由已知可得:〃z+〃=2,〃z〃=(l+J5)(l-J5)=-l,

原式=J（〃2+〃）2-5,7〃？=722-5X（-1）=也=3

故选：B

5.下列计算正确的个数是（）

①而/"=4(?②质xVl砺=5&。③a.a2x-=\J7i④\f3ci-y/2a

V6/Va

A.1个B.2个C.3个

【答案】B

【解析】

A、原式=4a?,所以A选项的计算正确；

B、原式=7^1丽=5夜a,所以B选项的计算正确;

C、原式=，J+&=2G，所以C选项的计算错误；

D、J3a-J2〃不能合并，所以D选项的计算错误.

故选:B.

6.下列运算正确的是（）

夜+百=石

C.J(-2).(-3)=GCD.(V2+1)(V2-1)=1

【答案】D

【解析】

解：A选项血和百不是同类二次根式，不能相加，A错误;

口4T再c137V37口神山

B选项q9a==—^―，B告状;

C选项J（-2）・（-3）=",被开方数不能是负数，C错误；

7.若。=1■/，b=-念丁则。与〃的关系是（）

A.互为相反数B.相等

C.互为倒数D.互为有理化因式

【答案】B

【解析】

b="-F=~=-(0-1)=-亚+1,

V2+1

而(i=1->/2，

所以a=b.

故选:B.

8.若14.42,则化简、,—,+|a-2|的结果是()

A-2a-3B--ac-3-2a

【答案】D

【解析】

ft?：Vl<a<2,

Aa-l>0,a-2<0,

，原式=f1=a-14-2-a=1,

故答案为：D.

9.若x=e-1,则X3+X2-3X+2020的值为.

【答案】2019

【解析】

解：原式n/Cv+D-Bx+ZOZO

=X2(V2-1+1)-3X+2020

=后-3x+2020

=j(V2x-3)+2020

=(V2-l)[V2x(V2-l)-3+2020

=(>/2-1)(-72-1)+2020

=-1+2020

=2019

10.若ab>。，a+b<。,那么下面各式:①;②=1；③y[ab+=—b；

,其中正确的是（填序号）

【答案】②③

【解析】

解:因为若ab>0,a+b〈0,所以a<0,b<0.

由尸a<0,b<0,，加无意义，所以①的变形错误;

唔得展j故②正确：

•；痴+"二后二川’

由干bvO,・••原式二-b,故③正确；

•;=Qab?=J^'二问，由于a<0,工原式=-a,故④计算错误.

故答案为②③.

“』笛14fT/12b

11.计算：—J—r+J—r

abVab-V5a

【答案】平

14叵

14ay/lOb

H2b2

12.已知〃=8+1，求。3-/-3。+2018的值.

【答案】2019.

(解析］解：：4=5/2+1•-1=5/2，

•**(t/-1)=2,即a2—2a=l.

，原式二。(c/-2a)+(/-2a)-a+2018=a+1-^+2018=2019

13.(2019•广东初二月考)已知工=6+2，_y=>/5-2.

(1)求x+y与％-与的值:(2)利用(1)的结果求金+盯+y2的值

【答案】⑴2亚;4；(2)19.

【解析】

解：(1)因为x=j5+2，y=y/5-2

所以x+)』石+2+石-2=2下；

下)=(石+2)-(石-2)=4.

⑵x2+xy+y2=(x+»-xy

=(2>/5)--(>/5+2)(^-2)=20-1=19

【过关检测】

1.下列运算正确的是()

A.J(—2)2=-2B.(26)2=6C.72+73=75D.艮K=戈

【答案】D

【解析】

A：斤斤=2,故本选项错误；

B：(26)2=12,故本选项错误；

C：拉与退不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确,

故选D.

2.下列计算正确的是（)

A.x/3+V2=V5B.厄一石二行

U芯？近6D.屈子石=4

【答案】B

【解析】

解：A.6+也不能合并.故选项错误；

B.厄-6=2有一百=6.故选项正确；

C.V3x>/2=>/6.故选项错误；

D.\/\2>/3=\/12-j-3=x/4=2.故选项错误，

故选B.

3.已知第=1一则代数式(6+2遥)炉+百)x+的的值是()

A-20+VSB-V5c-12-V5D-12+VS

【答案】D

【解析】

•x=1_VS，

•••(6+2v'S)x、仕+V5>t代

=(6+2^)(l-VS)3+(1+V5)(1-VS)+V5

==+2芮3-2、务44-5+而

=36-：20+1-5"弓

=12+VS

故选D.

4.计算：(4&-3«)+2及的结果是()

3/rJ523

A.2--V3B.1-—C.-D.-7=

233V2

【答案】A

【解析】

（4.y2-3瓜）+2a=4&-2&-3瓜:2&=2--1\/3.

故选：A.

5.下列运算中错误的是（）

A.e-V3=V6B.斥血=2C.V2+6=6D.（-6）2=3

【答案】C

【解析】

A.V2•0=指正确，不符合题意；

B.我+血="=2正确，不符合题意；

C.，2、j3不能合并，及+J3=J5错误，符合题意；

D.（-指户=3正确，不符合题意；

故选C

6.已知实数〃=2+6,则与实数。互为倒数的是（）

A.-2—>/3B.2—-J3C.—2+\/3D.3—25/3

【答案】B

【解析】

解：a的倒数=：;-j==——尸、「二2-6

2+J3（2+V3）（2-V3）

故选：B

7.卜列讨算①6><逐=J话；②点；=得；③*=*；④亚=4.其中错误的是（）.

A.①B.②C.③D.©

【答案】C

【解析】

J；,\/3x5/5—x/i-5,正确；

④厢=4正确.

故选C.

8.（2019・贵阳市清镇市卫城中学初二期中）下列计算正确的是（）

A.2^x3V3=6>/3B.V2+5/3=>/5

C.5亚-2叵=36D.724-73=—

3

【答案】D

【解析】

解：A.2Gx3百=18，故A选项错误；

B.J5,、万不是同类项，不能合并，故B选项错误；

C.56,20不是同类项，不能合并，故C选项错误;

D.6他=2=显,故D选项正确.

G3

故选:D

9.下列运算正确的是（）

A.y/2+>/3=>/5B.5/3x(\/s-x/2)=>/3x^6=VFs

C.V9=±3D.lx/5-6仁万~亚

【答案】D

【解析】

A、、历+&丰加，故A选项错误;

B、-^3x(>/8~5/2)=\/3xx^2=J24*>/6=2>/6~>/6=\/6，故B选项错误;

C、、何=3,故C选项错误;

D、IV5-布仁币-石，故D选项正确.

故选:D

io.计算：事

4b

A.-^-y\[abB.—\/abC.—VubD.b4ab

ab"abb

【答案】A

【解析】

11.（2019•邢台市第八中学初二月考）二次根式：①疝；②③J4；④用中，能与有合并

的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④