【暑假预习】第四章 指数函数与对数函数-章末检测-2025年新高一数学暑假提升讲练 （人教A版）

指数函数与对数函数

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

要求的。

1.已知函数/'(1)=1唱任7),则函数/(工)的定义域为()

A.(^o,0)<J(l,-K»)B.(0,1]

C.(0,1)D.

2.己知。=log52,2''=3,则log/5=()

A.—I-bB.—+C.-D.一

abab

2

3.已知=•-〃是奇函数，则。=()

5-1

A.1B.—1C.；D.—

22

Q'+3t<

4.若函数/")二,42I"的定义域和值域的交集为空集，则。的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)

5.若实数&b满足e&2g=1,则曲的最大值为()

A.—B.gC.--D.—

16248

一x+a+1,&,a,

6.已知”1,函数/(x)=(则/*)的值域为()

log“>4,

A.RB.(0,+oo)C.[1,+co)D.[a,a)

7.已知函数=p-3|,若关于x的方程[/(力了-2q3+3=0有4个不同的实数根，则〃，的取值范

围是()

A.(e,一石)<>(石，+8)B.(-8,-石"(6,2)

C.(6+可D.(x/3,2)

8.已知函数/(力=27^工+卜-||-4恰好有3个零点，则实数a的取值范围为()

A.(—2,1]B.(—3,1]C.(-3,-2)D.(—2,0)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设f(x)=f+2x+l,g(x)=3.31A(x)=log2(x+1),当xe(3,y)时,对这三个函数的增长速度进行

比较,下列结论中，,用的是()

A./(力的增长速度最快,的增长速度最慢

B.g(x)的增长速度最快,/仆)的增长速度最慢

C.g(x)的增长速度最快,〃力的增长速度最慢

D./(K)的增长速度最快,的增长速度最慢

10.已知事函数〃x)=("?-l)/'(meR),则下列说法正确的是()

A.m-3

B.函数/(可为偶函数

C.不等式/(")<2x+8的解集为(-2,4)

陶(二年「二。…,且.)在R上单调递增，则实数〃的取值范围为

D.若函数g(x)='

(1,2)

11.已知定义在R上的函数“力在区间［0,2］上单调递减,且满足〃4+x)+f(x)=2/(-2),

./-(2+x)+/(2-x)=0,则下列说法正确的是()

A./(-2)=0B./(2025)>0

1

C./(log29)>/(3)D.j<0

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设函数/(.1)=:：警3°。则〃_6)+/(log312)=.

■

13.一种药在病人血液中的量低于lOOOmg,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg,如果

药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在_____h内再向病人的血液补充这种药(精确到O.lh,

参考数据：lg3«0.48,lg5»0.7).

14.已知函数/%)=喂岩=的对称中心是(〃3)，若正数〃?，〃满足2〃"/=b,贝1)3+8川+2"?的最

小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(1)求/_6^3+"(6-2尸-log?5•适4的值;

(2)若Ig3=a,lg5=匕,用表示log」.

16.(15分)已知，〃>0J("是定义在R上的奇函数，当xNO时，/(x)=ln(x+/n)+x.

⑴求加的值；

(2)求/(力在(-8,0)上的解析式;

⑶解不等式〃x)<e.

17.(15分)近年来，“国潮”不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各

个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来“国潮”关注度增长了528%"国潮"的兴

起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信.若预计年利润低于10%

时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润)：(百万元)与年投资成本x(百万元)变

化的一组数据：(年利润率=,二%%.)

年投资成本x

・・・

年份2019202020212022

年投资成本

461018•••

X

年利润)1234•••

给出以下3个函数模型：①y=x+b；@y=/?.0,a>0,«1)@y=logrt(A+b)(a>0,tz1)

(1)选择一个恰当的函数模型来描述My之间的关系，并求出其解析式；

(2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时;该厂是否要考虑转型.

18.(17分)已知二次函数/(幻=液+加+c的两个零点分别是t和3.

⑴求氏c的值;

(2)判断函数/(x)在［2,+00)上的单调性，并用定义法证明；

(3)求函数在［7,4］内的值域.

19.(17分)取名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理

表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数/(力，在其定义域内存在一点小，使得〃/)=%，则

称/为函数/*)的一个“不动点”.若/(/(%))=.%，则称/为/(X)的“稳定点”.

已知函数/若。>0

⑴已知g(x)=〃x)+l,若g。)只有一个“不动点”,求。的值;

(2涵数JQ)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和8,即A={x\f(x)=x}iB={x|/(/(x))=x］.

证明：AqB；

(3)讨论/(x)的稳定点个数.

参考答案

题号12345678910

答案AABBDCDCACDBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可.

【详解】要使函数“X)有意义，

则工2_%>0,解得x<0或x>l,

所以函数/("的定义域为(-8,0)=(1,+8).

故选：A

2.A

【分析】先利用对数的换底公式得，=log25,^=log23,最后利用对数的运算法则即可求解.

a

【详解】由题意有〃=1。屎2=警1=]=n1TogN,2=3n〃=log23,

log,5log25a

所以log,15=log,3+log,5=b+一，

a

故选：A.

3.B

【分析】利用奇函数的定义列式求解.

【详解】函数r〃的定义域为｛小工0｝，由人幻为奇函数，得/(工)+/(-幻=0,

故选：B

4.B

【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解.

【详解】由题意可得函数的定义域为｛划14勾，

当工工0时，〃"=2'+3«3,4],

要使得定义域和值域的交集为空集，则0vaK3,

又OvxWa时，/(x)=(x-2)2,

若。之2,则"2)=0,此时显然不满足题意，

若0<〃<2,则/")在(。，可上单调递减，/(x)e[(«-2)\4),

故f(x)w[(a—2)2,4)J(3,4],

所以—2)，解得ovavi.

故选；B.

5.D

【分析1由指数运算可得。+劝=1,再由二次函数可得必的最大值.

【详解】因为殷2^=1，所以e“+2j=e"即。+乃=1,

故(出=〃(1-29=—2(/)—；)当且仅当力=；时等号成立，

故面的最大值为J，

X

故选：D.

6.C

【分析】计算分段函数/*)在每一段上的值域，求并集可得结果.

【详解】当时，/(x)=T+a+l,/。)在(一可上为减函数，

所以/(x)N/(a)=-a+a+l=l.

当工>“时，/(x)=logux,

因为。>1,所以在(〃,”)上为增函数，

所以/@)>/(a)=log"=L

综上得，/*)的值域为口,内).

故选：C.

7.D

【分析】作出/(工)=|2,-3|的图象，由题意知/=/(1)=|2'-3|有两个根再结合二次方程有两个不同的根

△)0即可求得机的范围.

【详解】令/=/&)=|2,-3|,则令S(/)=*-2〃7/+3,即s(f)=0有4个不同的实数根.

则5(/)要有两个解乙出，

.3/

../V..

-3-2-1O\123々

由图知，*r,,O<r,<3,0<r2<3.

△=(2〃?)~-4x3>0,得，〃〈一6或小>途.

则「迦士亚巨二〃世府二5，

2

2222

令4=in-\lnr-3,0<m-Jm-3<3»得〃？>\/m-3»则机>43，/2=in+\lfn-3,0<m+\]fn-3<3»

得3-机>-3，m<2.

则、万<〃?<2.

故选：D.

8.C

【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，则可得函数g(x)=2«^与函数

g)=4-卜-1|二|：一”":恰有3个交点，再将两函数图象画出，分析图象即可得解.

[3+x,x<I

【详解】令〃x)=2j—卜一1|一4=0,则=4-0_1|,

5T>]

则函数g(x)=26^与函数4(x)=4-|x-l|二.';恰有3个交点,

J•49)I

则如下图所示：

则函数g(x)=2y/x-a与y=5-X有一横坐标大于1的交点,

即有g(l)<〃(l),即2)[二<4,解得一3<。41；

函数g(x)=2x/T工与y=3+x有两个横坐标小于1的交点,

令？［x-a=3+x,有f+2x+9+4a=0,

则△=2?—4（9+4。）=-32-16«>0,解得«<-2,

综上所述，。«-3,-2).

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数零点问题转化为函数图象交点问题，从而可借助图象，数形

结合解答问题.

9.ACD

【分析】做出三个函数/(X)=K+2X+1,g(x)=33,/?(x)=log式x+1)的图象，结合图象，即可求解.

【详解】做出三个函数f(x)=Y+2x+l,g(x)=3-3\%(工)=1暇(1+1)的图象,

通过图象可知三个函数/(x)=f+2x+l,g(x)=33,/?(x)=log2(x+l)+，

当了e(3,+oo)时,g(x)=33增长速度最快，〃(力=log2(x+l)的增长速度最慢,

故B正确，ACD错误.

故选：ACD.

10.BC

【分析】根据条件得=即可判断选项A的正误，对于B,利用奇偶函数的判断方法，即可求

解：对于C,利用一元二次不等式的解法，即可求解；对于D,根据条件得《।。、八，即可求解.

【详解】由事函数的定义，知/"1=1,解得机=2,所以/(工)二工2,所以选项A错误；

对于选项B,易知/(x)=d的定义域为R,关于原点对称，

又f(T)=(T)2=j2=f⑴,得函数/(X)为偶函数,所以选项B正确；

对于选项C,由/(x)<2x+8,得f-2x-8v0,解得-2<x<4,所以选项C正确；

对于选项D,因为函数gx=1fn,八在R上单调递增，

log(1(x+l)+2-a,x>0

a>1

必有।.o、八，解得1<。42,所以选项D错误•

logul+2-i/>0

故选：BC.

11.ABD

【分析】推导出/(x)=/(x+8),在等式1(2+力+〃2-力=0中,令x=0可求得"2)的值,在等式

/(4+x)+/(x)=2/(—2)中，令/=-2可求得〃—2)的值，可判断A选项；由函数的周期性结合函数

/")在［0,2］上的单调性可判断B选项；利用函数的单调性与市称性可知，函数/(x)在区间［2,4］上单调

递减，可判断C选项；在等式/(2+工)+/(2-力=0中，令工=1,可得出/。)+/(3)=0,再由

/*)>♦(；)可判断D选项.

【详解】因为〃4+x)+/(X)=2/(-2),所以f(8+x)+f(4+x)=2〃—2),

所以f(x)=/(x+8).

因为/(2+x)+/(2-x)=。，取工=(),得/(2)=0.

因为/(4+x)+/(x)=2/(—2),取1=一2,得/(2)+/(—2)=2/(—2),

又f(2)=0,所以f(-2)=/(2)=0,故A正确;

由f(%)在区间［0,2］上单调递减,得/⑴>〃2)=0,

又f(x)=/(x+8),J§L2025=8x253+1,所以/(2025)"(1)>0,故B正确;

因为/(2+x)+/(2—x)=0,所以函数/(x)的图象关于点(2,0)对称，

因为函数/")在区间［0,2］上单调递减，所以/(M在区间［2.4］上单调递减，

因为23<9<2,则3<1鸣9<4,所以/(1吗9)</(3),故C错误；

由，(2十人)十/(2一人)=0,取4=1,得/(1)+/(3)=(),

又“3)>噌>所以/⑴+电)=_〃3)+名)<0,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

(1)若函数八1)的图象关于直线x=〃和x=b对称，则函数/(x)的周期为丁二2|〃-小

(2)若函数/3的图象关于点(4。)和点作。)对称，则函数/(%)的周期为7=2,-小

(3)若函数/(X)的图象关于直线x=〃和点伍0)对称，则函数/‘(X)的周期为r=业一凡

12.7

【分析】根据分段函数先求〃-6),结合对数恒等式再求/(log/2)即可求解.

【详解】由题意有:/(-6)=l+log3(3+6)=l+log39=l+2=3,

/(108312)=3陛/27=3麻"x3T=］2xg=4,

所以〃-6)+〃嘎312)=3+4=7

故答案为：7.

13.4.8

【详解】设最迟应在x小时内再向病人的血液补充这种药,

依题意，可得3000(1-0.2)、1000,

1

得X<

-S3-

og5-

又因为

乂口log刀,-=Ig5-lg4=-31g-5——-2«4.8',

・••最迟应在4.8h内再向病人的血液补充这种药.

14.10

【分析】根据题意分析/(力的对称中心可得力的值，即可得〃?)=1,乂由

-4-8/n+2y/2n=-+4m+4m+,结合基本不等式的性质分析可得结果.

mm

3・2'+4・2-“32+22T

【详解】根据题意/(力=

2'+42"2'+22T

加土、3-22-v+2r的卜।、32+22-X3,2』+2

则伺/(2-x)=之〜"，所以〃力+/(2-、)=亍/7+亍三彳

故f(x)的对称中心为(1,2),可得b=2；

又正数"八"满足2mn2-b,即可得""?？=1；

所以'+Srn+2\/2n=—+4m+4机+,2〃+\!ln>5->—■4m-4m•\2n-

ntmVm

=5^32mn2=5x2=10：

当且仅当'•=4〃，=&〃时，即〃?=上〃=0时，等号成立

in2

此时，+8〃7+2&〃的最小值是10.

m

故答案为：10.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出〃〃『=1,再由基本不等式的推广

计算可得结果.

15.(I)1-73；(2)

a+b

【分析】(1)根据指数及对数的运算性质，即可求值；

(2)根据对数的运算和换底公式，即可求解.

【详解】(I)R3_6,081'3+7(^-2r-log,5.log.4

二(2中-3+(2-©-里.昱

L]Ig2Ig5

=22-3+2-6-些

1g2

=4-3+2-V3-2=l-x/3

10

(2)Joa2二怆2二环上Jgl0-lg5-1-b.

15lg15lg(3-5)Ig3+lg5a+b

16.⑴〃2=1

(2)/(x)=-ln(-x+l)4-x

(3)(-oo,e-l)

【分析】(1)根据时R上的奇函数，利用/(0)=0即可求，取：

(2)根据函数”X)为奇函数，即可求在(9,0)上的解析式；

(3)根据函数的单调性，结合/(e-l)=e即可解不等式.

【详解】(1)因为函数/(X)是定义在R上的奇函数，所以/(。)=0,

故livn=0,解得〃?=1.

(2)令xe(f,0),贝lj-xe(0,+co),所以/(-x)=ln(-x+

因为/(%)是定义在R上的奇函数，所以/(力=-〃-力，

则f(x)=Tn(r+l)+MxvO),即在(—,0)上的解析式为/(x)=-ln(T+l)+x.

(3)当xNO时，/(x)=ln(x+l)+x,易得f(x)在[0,+oo)上单调递增.

因为/")是定义在R上的奇函数，所以/(“在R上单调递增.

又f(e-l)=e,所以f(x)<e的解集为(-oo,e-l).

17.(I)选择③来描述*y之间的关系,函数解析式为y=iog2(】-2)；

(2)该企业要考虑转型.

【分析】(1)利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系.

(2)利用(1)中结论，求出年利润率判断得解.

【详解】(1)点(4,1),(6,2)不同在函数y=x+〃的图象上，①不符合要求；

将(4,1),(6,2)代入y=b•优,得

当工=10时，y=8,不符合要求;

log„(4+Z?)=1

将(4,1),(6⑵代入y=log。(x+6),得-晨…”解得2=2

>'=log,(x-2),当x=10时，y=3；当x=18时，y=4,符合题意，

所以选择③来描述X，》之间的关系，函数解析式为)，=1。历。-2).

(2)由(1)知，y=log2(x-2),当)，之6时，log2(x-2)>6,解得x266,

当‘=366时的年利润率所以该厂要考虑转型.

⑵/V)在⑵+8)上单调递增，证明见解析:

⑶1-4,51.

【分析】(I)应用根与系数关系求参数值：

(2)由单调性定义，令应用作差法比较/(X)J(W)的大小，即可证;

(3)根据二次函数的性质求区间值域即可.

—1+3=-Z?b=-2

【详解】(1)由题意得,解得

-Ix3=cc=-3

(2)/(%)在⑵物)上单调递增,证明如下:

由(1)知/(x)=W一24一3,令司>/之2,

所以/(七)一/(石)=(X；-2玉-3)一但一2公-3)=(%)+x2)(X1-X2)-2(X,-X2)

=(占+工2—2)(芭一w)，

而升+X2-2>0小一42>。，则/(X)7(W)>0,所以/(%)>.〃王)，

综上，/*)在［2,+8)上单调递增.

(3)由/(1)=/一2"—3=(*—1)2—4,