高中数学专项复习：统计 期末试题汇编（含答案详解）

专题05统计

☆高频考点概览

考点01简单随机抽样

考点02分层抽样

考点03获取数据的途径

考点04频率分布直方图及其应用

考点05条形图、扇形图、折线图

考点06总体百分位数的估计

考点07众数、中位数、平均数

考点08方差

国简单随机抽样______________________________________

1.（2021春•西城区校级期末）对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统

抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为鸟，A，则（）

A.4=B.P?=P、<P\C.《二6〈鸟D.《=鸟=6

【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概

率都是相等的，

即<=,=鸟.

故选：D.

2.（2021春•西城区校级期末）总体由编号为01,02,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数

表选取4个个体，选取方法是从随机数表第1行的笫5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，

则选出的第4个个体的编号为（）

7806657208026314294718219800

3204923449353623486969387481

A.02B.14C.18D.29

【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依

次为：

08,02,14,29,

可知第4个个体的编号为29.

故选：D.

3.（2022春♦北京校级期末）要考察某种品牌的450颗种子的发芽率，从中抽取5（）颗种子进行实验.利用

随机数表抽取种子时，先将450颗种子按001,002,450进行编号，如果从随机数表第2行第4组

（随机数组中每5个数为一组）开始，自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，则最先抽

取的4颗种子的编号是99•

（下面摘取了随机数表第1行至第5行）

4302192980277682691627783845727848339820

6145939073792422037221048870883460034636

6317158247129075030328814404229789561421

4237253183515469038512120640425132022983.

【解答】解：从随机数表第2行第4组（随机数组中每5个数为一组）开始,

自左向右自上至下读数，使用各个5位数组的前3位，

可得第一个数字是203,符合题意，

第二个数字是210,也符合题意，

第三个数字是870,大于450,舍去，

第四个数字346,符合题意，

第五个数字是346,重复，舍去，

第六数字是631,大于450,舍去，

第七个数字是582,大于450,舍去，

第八个数字是129,符合题意.

故答案为:203,210,346,129.

考点02分层抽样

4.（2021春•丰台区校级期末）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分

学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生

视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层随机抽样

C.按学段分层随机抽样D.其他抽样方法

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视刀情况有较大差异，而男女生视力情况差异

不大.

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.

故选：C.

5.（2025春•朝阳区期末）某学校高一年级由360名男同学和270名女同学组成，现用分层抽样的方法，

从高一年级中随机抽取一个容量为28的样本进行运动成绩调查，其中男同学应抽取的人数为（）

A.12B.14C.16D.28

【解答】解：设男同学应抽取的人数为〃,

因为有360名男同学和270名女同学,

可得恭其

解得n=16

故选：C.

6.（2025春•大兴区期末）某学校有高中学生500人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为

160,150,190,为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分层抽样的方法从中抽取一个容

量为50的样本，那么应抽取高二年级的人数为（）

A.15B.16C.19D.32

【解答】解：由分层随机抽样的定义可知，应抽取高二年级的人数为50x—————=15.

160+150+190

故选：A.

7.（2024春•朝阳区期末）已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为2:2:3:3,

现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取20人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数

为—.

【解答】解：由分层抽样的定义，可得从曲艺社抽取的人数为20x————=6人.

2+2+3+3

故答案为：6.

8.（2024春•北京期末）某高中共有学生1000人，其中高一和庙二各有400人，现采用分层抽样的方法抽

取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为

【解答】解：由题意可得，采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本,

那么高二抽取的人数为理25=10.

1000

故答案为：10.

9.（2024春•北京校级期末）某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛.若

得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人：且该地区高一、高三学生数之比为2:3,

则样本容量为一.

【解答】解：设样本中高一学生数为2x,则高三学生数为3x,

因为得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，

所以2A•+40=统-20,

解得x=60，

所以高一学生数为120,而二学生数为160,高三学生数为180,

所以样本容量为120+】60+180=460.

故答案为：460.

10.（2023春•朝阳区期末）某地区有高中生300（）人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了

解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中

按比例分配样本，总样本量为150,那么在高中生中抽取了一人.

【解答】解：因为某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.共计3000+6000+6000=15000

人，

又总样本量为150,

则抽样比为耳_=」一，

15000100

则在高中生中抽取了3000x—=30；k.

100

故答案为：30.

11.（2023春•顺义区期木）某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑

假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人

数为（）

A.14B.16C.28D.32

【解答】解:280:320=7:8,

则高一年级应抽取的人数为60X—L=28.

7+8

故选：c.

12.（2023春•大兴区期末）某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决

定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180,那么

这所学校的初中学生人数为（）

A.800B.900C.1000D.1100

【解答】解：根据分层抽样的定义和题意，

这所学校的初中学生人数为2000x^=900（人）.

400

故选：B.

13.（2019春•昌平区期末）某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别

为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为

100的样本，那么应抽取而二年级学生的人数为（）

A.68B.38C.32D.30

【解答】解：由分层抽样方法可得：

应抽取高二年级学生的人数为SOQxl00=30,

320+300+380

故选：D.

14.（2022春•丰台区校级期末）在“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对某区甲、乙、丙、丁

四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：

学校甲乙丙T

抽查人数50151025

“创城”活动中参4010915

与的人数

若该区共2000名高中学生，估计甲学校参与“创城”活动的人数为（）

A.1600B.101XJC.80UD.500

【解答】解：该区共2000名高中学生，估计甲学校参与“创城”活动的人数为

2（XX）x-------------X—=8（）0.

故选：C.

15.（2022春•朝阳区校级期末）某校高一、高二、高三年级学生人数分别为400、500、400,现用按比例

分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为〃的样本了解网课学习情况，样本中高一学生的人数为36人，

则样本容量〃是（

A.208B.96C.156D.117

36_400

【解答】解：由题意可得,解得〃=117.

T-400+500+400

故选：O.

16.（2022春•朝阳区期末）某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计1200亩,其中A品种600亩,B品

种400亩，C品种200亩.为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比

例进行分层随机抽样，从总体中拍出60亩作为样本进行调查，测得样本中A品种总产量为108吨，8品种

总产量为50吨，C品种总产量为20吨，则这1200亩西瓜的总产量估计为（）

A.1200吨B.3000吨C.3560吨D.6480吨

【解答】解：由题意可得，这1200亩西瓜的总产量估计为畏x（108+50+20）=3560.

故选：C.

17.（2021•东城区一模）某中学高一、高二和高三各年级人数见表.采用分层抽样的方法调查学生的健康

状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）

年级人数

高一550

高二500

高三450

合计1500

A.18B.22C.40D.60

【解答】解：因为高二年级与高三年级的比例为迎=3，

4509

由于分层抽样是按比例抽取，故抽取的比例为此，

9

Q

因为高二年级有20人，所以高三年级为20x2=18人.

10

故选：A.

18.（2024春•大兴区期末）某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表.则此样本的平均数为（）

样本量平均数

第1层2030

第2层3020

A.20B.24C.25D.30

【解答】解：样本的平均数为：20X30+30X20=24.

20+30

故选：B.

考点03获取数据的途径

19.（2024春•北京期末）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）

A.调查某校一年级（3）班全体学生的身高情况

B.某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查

C.农业科技人员调查某块地今年麦穗的单糖平均质量

D.调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况

【解答】解：选项C适合采用抽样调查,

因为选项A、8和。中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式.

故选：C.

20.（2023春•顺义区期末）在以下4项调查中：

①调查•个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；

②调查某省的一种结核病的发病率；

③调查一批食品的合格率；

④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例：

适合用全面调查的是（）

A.①B.②C.③D.@

【解答】解：①调直一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间，样本较少，适合全面调查,

②③④，样本多，不适合全面调查.

故选：A.

考点04频率分布直方图及其应用

21.（2025春•通州区期末）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了

200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于L5立方米

的用户数为()

用水量(立方米)

A.20B.30C.50D.60

【解答】解：由频率分布百方图得用水最小于1.5立方米的用户数为：

(0.2+0.3)x0.5x200=50.

故选：C.

22.(2025春•东城区期末)某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据

分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率

所以样本中分数不低于60分的有11X)-15=85人，

由频率分布直方图可知，样本中分数不低于60分的频率为().25+0.3+0.2+1(必=().75+10〃,

所以100x(0.75+10幻=85,

解得a=0.01.

故答案为：0.01.

23.(2024春•朝阳区期末)李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话

60次，他按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了如图所示的频率分布直方图.则

每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为（）

【解答】解：观察频率分布直方图，得每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的频率为：

l-5x（0.06+0.03+0.02+0.02）=0.35,

则60x0.35=21,所以每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为21.

故选：B.

24.（2023春•朝阳区校级期末）某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，

获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照[（），5）,[5,10）,110,15）,115,

20）,[20,25]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中。的值为—；估计高一年级年平

均阅读名著的数量不少于10本的人数为

«=--0.006-0.014-0.080-0.070=0.030，

5

估计高•年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为600x（0.014+0.006+0.030）x5=150人；

故答案为：0.030,150.

25.（2023春•朝阳区期末）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽

取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：依)，其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产

量相互独立.

0.040

0.034

().032

0.024

0.020

0.014

0.012

0

(I)求频率分布直方图中〃的值；

(H)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品口各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱

产量都不低于55奴的概率；

(III)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，

该养殖场F一年应采用哪种养殖法更合适？(直接写出结果)

【解答】解:(I)已知5(0.004+0.020+已044+4+0.046+0.010+0.008)=1,

解得a=0.068

(H)不妨设事件A为运用新网箱养殖方法的水产品中各随机拍取一个网箱，箱产量不低于55依，

事件8为运用旧网箱养殖方法的人产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55依，

用频率估计概率，

此时P(A)=5(0.020+0.012+0.012)=0.22,P(B)=5(0.046+0.010+0.008)=0.32,

因为A,8相互独立，

所以尸(A8)=P(A)P(B)=0.22x0.32=0.0704；

(HI)该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.

26.(2021春•东城区期末)某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽

取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为

左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是()

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［60,70）的学生数为10

C.估计全校学生的平均成绩不低于80分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

【解答】解:由图可知（0.005+0.01+0.015+0.04+x）xl0=l,解得x=0.03,错;

由图可知根据成绩在区间［60,70）的学生数为001x10x200=20，/.8错：

由图可知平均数为：55x0.054-65x0.1+75x0.154-85x0.34-95x0.4=84,「.C对；

由图可知样本数据的80%分位数约为：90+。8-吟10=95,.•./）错.

0.4

故选：C.

考点05条形图、扇形图、折线图

27.（2020春•大兴区期末）甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、

丁两组人数和为（）

A.150B.250C.300D.400

【解答】解：♦,,甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%,

・••总人数为120・30%=400人,

•.•丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1-30%-7.5%=62.5%

，丙、「两组人数和为400x62.5%=250人.

故选：B.

28.（2022春•通州区期末）小李同学一周的总开支分布如表所示，一周的食品开支如图所示，则小李同学

一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为.

【解答】解：由图可知，小李一星期的食品开支为20+40+100+80+60=300元,

具中蔬菜开支为10（）元，占食品开支的!，而食品开支占总开支的60%，

3

.•.小李一星期的蔬菜开支点总开支的百分比为60%x』=20%.

3

故答案为：20%.

29.（2019春•通州区期末）北京市某年12个月的FM2.5平均浓度指数如图所示，由图判断，四个季度中

PM2.5的平均浓度指数方差最大的是（）

D.第四季度

【解答】解：根据图中数据知：

第一季度的数据是72.25,43.96,93.13；

第二季度的数据是66.5,55.25,58.67；

第三季度的数据是59.36,38.67,51.6：

第四季度的数据是82.09,104.6,168.05；

观察得出第四季度的数据波动性最大，

所以第四季度的7W2.5平均浓度指数方差最大.

故选：D.

考点06总体百分位数的估计

30.（2021春•通州区期末）在一次文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给

参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分：

小组A424548465247495542514745

小组B553670667549466842625847

4小组的第75百分位数是—；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是—.

【解答】解：将小组6的数据进行排序，可得36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,

•.12x75%=9,

.•・B小组的第75百分位数为竺*=67.

2

A组数据的平均数是用=《(42+45+…+45)才47,

{=卷[(42-47尸+(45-47)2+...+(45-47)2]«14.08,

标准差sA«3.75»

4组数据的平均数是豆$(55+36+...+47)=56,

•.«=—1(55-56)2+(36-56)2+...(47—56)2139,

・•・标准差与alL79,

•.•专业人士组成的小组打分相似也更高，

.•.4组是专业人士组成的.

故答案为：67,A.

31.（2022春•大兴区期末）一组样本数据的频率分布直方图如图所示，由此图，估计总体数据不低于30

的概率为—：估计总体数据的第80百分位数是—.

【解答】解:数据在10~20之间的频率为：0.015x10=0.15；

数据在20〜30之间的频率为：0.03x10=0.3；

数据在40~50之间的频率为：0.015x10=0.15；

数据在30〜40之间的频率为：1-0.15-0.3-0.15=0.4：

所以总体数据不低于30的概率为：0.4+0.15=0.55:

数据在10~40之间的频率为：1-0.15-085=85%,数据在10~30之间的频率为:0.15+0.3-0.45=45%0

此总体数据的第8（）百分位数一定位了30〜40之间.

由30+10X（）S（）~（）45=38.75，可以估计估计总体数据的第80百分位数是38.75.

0.85-0.45

故答案为：0.55；38.75.

32.（2025春•通州区期末）一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的75%分位数是（）

A.31B.33C.34D.35

【解答】解：样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50,共10个数字,

由10x0,75=7.5.故所求的白分位数为第8个数字35.

故选：D.

33.（2024春•大兴区期末）已知一组数据3,4,4,6,6,7,8,8,则这组数据的80%分位数是（）

A.6B.7C.7.5D.8

【解答】解：因为8x80%=6.4，

所以这组数据的80%分位数是笫7个数，即为8.

故选：D.

34.（2023春•通州区期末）某市6月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,

58,则这组数据的第70百分位数是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

【解答】解:10x0.7=7,

故从小到大排列:35,54,58,58,72,80,85,86,111,125,

取第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即笠笆=85.5.

2

故选：B.

35.（2023春•密云区期末）某校组织全体学生参加了.主题为“创新实践、快乐成长”的科技知识竞赛，随

机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每

组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示：则工的值为—；用样本估计总体，则全校学生

成绩的第45百分位数为一.

【解答】解：由(0.005+0.01+O.O15+x+O.O4)xlO=I,得x=0.03；

低于80分的频率为(0.005+0.01+0.015)x10=0.3,

低于90分的频率为(0.005+0.01+0.015+0.03)x10=0.6,

第45百分位数在［80,90)rt,设为〃，

则0.3+(〃-80)x0.03=0.45,解得〃=85,即第45百分位数为85.

故答案为：0.03；85.

36.(2022春•东城区期末)某校从高一年级学生中随机抽取6D名学生，将期中考试的数学成绩(均为整

数)分成六组.第一组为|40,50),第二组为［50,60),以此类推，第五组为［80,90),第六组为［90,

100］.得到如图所示的频率分布直方图.

(11)若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量20的样本，求在［70,90)分数段抽取的

人数.

【解答】解：(I)•.•(0.010+0.015+0.015+4+0.025+0.005)x10=1,

二.a=0.03，

众数在第四组,

因为前四组的频率为(0.010+0.150x2+0.03)x10=0.7<0.8,

前五组的频率为(0.010+0.150x24-0.03+0.025)x!0=0.95>0.5,

所以第80百分位数在第五组.

(11)在［70,90)分数段抽取的人数为20x(0.03+0.025)x10=11.

37.(2025春•丰台区期末)为了解某校学生口均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了200名学生，统

计了他们日均运动时长，并将所得数据分组整理，得到右侧的频率分布宜方图，给出下列四个结论：

①〃=0.4；

②这200名学生日均运动时长的平•均数小于中位数；

③估计该校学生日均运动时长的第85百分位数约为2；

④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为？.

A.①@B.③④C.①③④D.①②③④

【解答】解：已知为了解某校学生日均运动时长，某研究小组在该校随机抽取了200名学生，统计了他们

日均运动时长，

由寇可知：@(0.54-0.8+6/4-0.15+0.1+0.05)x0.5=l=>t/=0.4,正确；

②平均数为［0.5x5^12+0.8xl4^+0.4x^^+0.15x^^+0.1x^^+0.05x^^］x0.5=1.425,

日均运动时长在［0.5,1)的频率为：0.5x0.5=0.25,日均运动时长在［1,1.5)的频率为：0.8x0.5=0.4,

可知中位数一定落在［1,1.5),设中位数为力，W00-l)xO.8+O.25-0.5=>Z?-1.3125,

所以平均数大于中位数，错误；

③日均运动时长在［1.5,2)的频率为：0.4x0.5=0.2,可知第85百分位数落在［1.5,2),

设该数为x，M(A—1.5)x0.4+0.25+0.4=0,8=>x=1.875«2,正确；

④从该校随机抽取一名学生，估计该学生日均运动时长不低于1小时的概率为1-0.25=0.75=3,正确.

故选：C.

38.（2025春•大兴区期末）小明利用地图软件统计出他近期10。次早上从家到公司的导航过程中的红灯等

待时间，他将数据分成了［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95）,［95,105］（单位：秒）这5组,

并整理得到频率分布直方图，如图所示.

（I）求图中。的值；

（II）估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；

（III）根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次

时间/秒

【解答】解：（I）根据题意可知,组距为10,依题意可得（0.01+0.025+a+0.02+0.01）xl0=l,

解得a=0.035；

（H）易知［55,65）和［65,75）两区间的频率之和为（0.01+0.025）x10=0.35<0.6,

前三组［55,65）,［65,75）,［75,85）的频率之和为（0.01+0.025+0.035）x10=0.7>0.6,

因此第60百分位数位于区间［75,85）内，

设第60百分位数为4,所以上兰=06—035,

85-750.35

解得482.1；

（HI）根据题意可知,红灯等待时间低于85秒的频率为（0.01+0.025+0035）x10=0.7,

所以估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为10x0.7=7次.

39.（2025春•朝阳区期末）某学校为了解本学期学生平均每天的课外阅读时间（单位：分钟）情况，随机

抽取了50名学生进行调查，得到他们平均每天课外阅读时间的频率分布直方图如图.

（I）估计这50名学生平均每天课外阅读时间的第70百分位数；（结果保留一位小数）

（H）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.假设该学校学生平均每天课外阅读时间相互独立.从

该学校全体学生中随机抽取两人，试估计这两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在［30,50）内，另一人

平均每天课外阅读时间在［0，20）内的概率；

（III）用这50名学生的情况估计该校全体学生的情况.学校根据学生的课外阅读时间情况将学生分为“阅

读积极分子"和''阅读待提高者”.规定平均每天课外阅读时间不少于40分钟的学生为“阅读积极分子”，

少于40分钟的学生为“阅读待提高者”.现在有两种奖励方案；

方案一：给“阅读积极分子”每人奖励一本价值22元的书籍，“阅读待提高者”每人奖励一本价值8元的

书籍：

方案二：为了鼓励学生参与课外阅读活动，每人奖励一本价值15元的书籍.

已知该学校共有1000名学生，试通过计算比较哪种奖励方案的费用较低.

频率

W

0.030...........—

0.026...........

0.020...................

0.014--1-

0.010—

01020304050课外阅读时间/分钟

【解答】解：（I）根据题意可知，学生平均每天阅读时间的各区间的频率依次为：0.1,0.14,0.26,0.3,

0.2.

因此第70百分位数必在区间［30,40）内，设该数为工，

则有0.1+（）.14+（）.26+（x-30）x—=亚，

50x10100

解得x=业^«36.7：

3

（H）设随机抽取的两人分别为甲、乙，

设“甲平均每天课外阅读时间在［30,50）内”为事件A,

“甲平均每天课外阅读时间在［0,20）内”为事件&,

“乙平均每天课外阅读时间在［30,50）内”为事件,

“乙平均每天课外阅读时间在10,20）内”为事件Bz,

“两人中恰有一人平均每天课外阅读时间在［30,50）内，另一人平均每天课外阅读时间在［0，20）内”为

事件C，

由课外阅读时间在［30,50）内的频率为0.5,在［0,20）内的频率为0.24,

故P（A）与尸（£）可估计为0.5,尸（4）与尸（屋）可估计为0.24,

则P(C)=P(AB]+,

由AB］,A妫互斥，及4，相互独立，人,R相互独立,

可得尸（C）=P（A）P（与）+P（AJP（即

：,P（C）可估计为0.5x0.24+0.24x0.5=0.24；

（III）由题意可知，样本中“阅读积极分子”的频率为3=4，

505

故总体中“阅读积极分子”的人数可估计为4乂1000=200,

5

则“阅读待提高者”人数可估计为800,

方案一：奖励费用为200x22+800x8=10800元，

方案二：奖励费用为1000x15=15000元，

•••方案一所需费用较低.

40.（2024春•丰台区期末）某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛.将成绩（单位：分）

分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所不：

（I）估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数；

（H）为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于［50,70）和［70,90）的两组中，用比例分

配的分层随机抽样方法抽取5名学生.

⑺求这5名学生中位于［70,90）内的人数；

（"）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在［50，70）内的概率.

可得〃=0.01,

样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为。1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例为0.75+0.2=0.95，

因此第80百分位数一定位于［110,130）内,

0.8-0.75

所以110+20x=115,

0.95-0.75

即样本数据的第80百分位数约为115；

（II）⑺由题意可知，［50,70）分数段的人数为100x0.1=10（人），

［70,90）分数段的人数为100x0.15=15（人），

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，

则需在［70,90）内抽取x5=3人；

10+15

3）在［50,70）内抽取2人分别记为“，b,在［70,90）内抽取3人，分别记为人，,，z,

设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在［50,70）内”为事件A,

则样本空间为{"，ax,ay»az,bx,by,bz»孙，xz,yz］»共包含10个样本点，

而事件A={",ax,ay»az,bx»by,bz},包含7个样本点，

所以P（A）=1,

10

即抽取的这2名学生至少有1人成绩在［50,70）内的概率为5.

考点07众数、中位数、平均数

41.（2020春•朝阳区期末）如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练的学生人

数.通过图中的数据计算这五天参加乒乓球训练的学生的平均数和中位数后，教练发现图中星期五的数据

有误，实际有21人参加训练.则实际的平均数和中位数与由图中数据星期得到的平均数和中位数相比，下

B.平均数增加1,中位数有变化

C.平均数增加5,中位数没有变化

D.平均数增加5,中位数有变化

【解答】解：实际星期五的数据为21人，

比原来星期五的数据多了21-16=5人,

平均数应增加3=】.

5

原来从星期一至星期五的数据分别为20,26,16,22,16.按从小到大的顺序排列后，原来的中位数是20,

实际从星期一至星期五的数据分别为20,26,16,22,21.按从小到大的顺序排列后，实际的中位数是21.

故选：B.

42.（2023春•东城区期末）某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的

学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：

年级高一高二高三

抽样人数363430

平均身高Xyy

则该校高中学生的平均身高可估计为（）

x+y+z

A.3.6元+3.49+3.0彳B.

2

x+y+z

C.0.36x+0.34y+0.30zD.

【解答】解：由题意可知:抽取的总人数为100,各年级的频率依次为0.36,0.34,0.30,

所以该校高中学生的平均身高可估计为0.36元+0.345+0.305.

故选：C.

43.（2024春•北京校级期末）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：

甲组：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80；

乙组：17,22,32,43,45,49,b,56.

若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则

【解答】解：因为10x40%=4,甲组数据的第40百分位数为笫四个数和第五个数的平均数,

17+22+32+43+45+49+H56

乙组数据的平均数为

8

根据题意得空史17+22+32+43+45+49+0+56

解得：加+164=〃+264,

丁

所以4〃-。=100.

故答案为：100.

44.（2022秋•丰台区校级期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,%,7,8（x^7）,若该组数

据的中位数是众数的*倍，则该经数据的第60百分位数是

【解答】解：由题意可知，众数是4,

则中位数为4x2=5,

4

则土匕=5,解得x=6,

2

又6x6O%=3.6，

则第60百分位数是6.

故答案为：6.

45.（2024春•通州区期末）样本数据3,5,7,2,10,12的中位数是（）

A.7B.6C.5D.2

【解答】解：数据从小到大排列为：2,3,5,7,10,12,

所以中位数为"2=6.

2

故选：B.

46.（2025秋•海淀区期末）某学校全体学生参加一次关于人工智能使用常识测评，其成绩的颗率分布直方

图如图所示，假设同组中的数据是均匀分布的，则成绩的中位数约为一（填写整数）.

频率

旃

0.05――~~~~~―———

0.04---------------------------------------------

0.03---------------------------------------------

0.015--------------

0.005——

657左758385之95,数

【解答】解:因为（Q（X）5+0.015+0.03+0.04）x5=0.45<0.5,

0.45+0.05x5=0.7>0.5，

所以中位数位于［8。，85）组内，设为x,

所以0.45+3-80）x0.05=0.5,解得x=81.

故中位数约为81.

故答案为：81.

47.（2023秋•房山区期末）某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他

们的周平均锻炼时间（单位：小时）数据按照［3,5）,［5,7）,［7,9）,［9,11）,［11,13］分成5组，

制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求〃的值；

（II）用分层抽样的方法从［9,II）和［11,13］两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人，这2人不

在同一组的概率；

（HI）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数.

频率

【解答】解：（1）因为频率分方直方图所有矩形的面积之和为1,

所以（0.02+0.05+0.1+4+0.18）x2=l,

解得a=0.15：

（II）由频率分布宜方图可知［9,11）和［11,⑶两组的频数的比为：（）.1:0.（）5=2:1,

所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4,2,

记［9,11）中的4人为生，出，«4,［11,13］中的2人为。，瓦,

从这6人中随机选出2人，

aaaafaa

则样本空间。={4%，i3*i4a2a3，24»列“4，岫,哂,%乙，aj）2»03bi,a3b2,afy,a4b2♦

帅）,共15个样本点，

设事件A：选出的2人不在同一组，

贝！|A={qb1,她,她,02b2,岫，a3ba4b1»a4b2}»共8个样本点,

所以p（A）q；

（山）估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为（4x0.02+6x0.18+8x0.15+10x0.1+12x0.05）x2=7.92（小

时）.

48.（2023春•大兴区期末）某校举办知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如图，则根

据频率分布直方图，下列结论正确的是（）

频率

B.众数估计为70

C.平均数估计为68.5D.第85百分位数估计为85

【解答】解：对于A，设［40,50）和［80,90）组的频率为

则10x(0.015+0.025+0.035+0.005)+2。=I,

解得〃=0.1,