2025-2026学年山西省晋中市太谷区八年级（下）期末数学试卷（含部分答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省晋中市太谷区八年级（下）期末数学试卷一、选择题1.2025年12月，《电动自行车安全技术规范》实施过渡期正式结束，旧标车型全面禁售，以下四个电动自行车品牌的图标中，是中心对称图形的是(

)A.新蕾 B.速珂 C.爱玛 D.雅迪2.2025年夏至太谷区最低气温17℃，最高气温33℃.若用t表示当日气温(单位：℃)，则当天我区气温t(℃)满足的不等关系为(

)A.t>17 B.t<33 C.17<t<33 D.17≤t≤333.下面是两位同学在讨论一个不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是(

)A.3x≤−9 B.3x≤9 C.−3x≥−9 D.−3x>−94.下列由左到右的变形，属于因式分解的是(

)A.(m+2n)(m−2n)=m2−4n2 B.x25.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB=CD，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(

)A.AB//CD

B.∠BCA=∠DAC

C.∠BCD+∠ABC=180°

D.AD=BC6.下列分式中，最简分式的是(

)A.123xy B.2−aa−2 C.x27.如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位得到三角形DEF，连接AD.则下列结论：

①AC//DF；

②AC=DF；

③∠EDF=90°；

④四边形ACFD的面积等于四边形ABED的面积．

其中正确结论的个数有(

)A.1 B.2 C.3 D.48.如图，在△ABC中，BC>AC>AB，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于12DC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F.若BD=6，DF=4，△ADE的周长是15，则△ABC的周长为(

)A.21 B.23 C.25 D.299.如图1，跳绳时小红按照老师教的方法调节绳长：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲90°.将绳拉直，此时绳长为合适长度.将双脚抽象看作一点，得到图2，则适合的绳长为(

)A.2.2m B.2.4m C.2.6m D.3.4m10.实验室的一个容器内盛有130克食盐水，其中含盐15克.如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的2倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程2×15130=15130−xA.加入的食盐量 B.减少的食盐量 C.增加的水量 D.蒸发掉的水量二、填空题11.若分式xx−2的值为0.则x=

．12.如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A(4,0)，B(0,−6)，则不等式kx+b<0的解集为

．

13.如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.小文同学以图1中的四边形ABCD为“基本图形”无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则∠BAD的度数为

．14.随着Deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者.同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的智能机器人单价为15万元，乙种型号的智能机器人单价为10万元，图书馆经过统筹安排，准备用不超过120万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套(两种型号均有)，那么图书馆最多能购进

套甲种型号的智能机器人．15.如图，在四边形ABCD中，DC//AB，∠ADC=90°，对角线CA平分∠BCD，且AD=6，CD=4，点E是线段BC上一点，连接AE，若AE=AB，则BC的长为

．三、解答题16.按要求完成下列小题：(1)因式分解：2(2)解不等式组：2(x−1)−x≥−317.先化简(1−aa+2)÷4a2−4，再从018.解分式方程：1x−2+3=1−x19.如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上．

(1)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；

(2)请画出△ABC以点D20.【问题情境】如图，实验中学“几何之美”社团绘制了一个平行四边形ABCD.将一把刻度尺(DF//BE)如图放置，刻度尺有一边分别经过平行四边形ABCD的顶点D、B，另一边分别交CD，AB于点E，F.连接AE，CF分别与DF，BE相交于点M，N(1)求证：DE=BF．

【图形判定】(2)求证：四边形AFCE是平行四边形21.阅读与思考

下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．差直角三角形

【研究背景】

在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形．

【定义对象】

有两个内角的差为90°的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在△ABC中，∠A−∠C=90°，则△ABC是一个差直角三角形．

由定义可知，差直角三角形一定是__▲_【定义运用】

定义——性质：

问题1：已知差直角三角形ABC中，AB=AC，则∠C的度数为_▲___°．

定义——判定：

问题2：如图2，已知▱ABCD中，AC是对角线，AC⊥AB，点E是AD边上一点，BE交AC于点F.若FB=FC，求证：△ABE是差直角三角形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，(依据：__▲__)

∴∠1=∠4，∠2=∠3．

∵FB=FC，

∴…．任务：(1)“定义对象”部分“▲”处为

(填“锐角”“直角”或“钝角”)；“定义运用”部分问题1的“▲”处为

；问题2的“▲”处为

(2)补全上述报告中问题2的推理过程(3)如图3，已知△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点E在BC边上，若△ABE是差直角三角形，则BE的长为

22.山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣(yǒu)”趣系列鸮(xiāo)卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个(1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元(2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？23.综合与探究

问题情境：

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别是边BA，AC上的一点，且BD=AE，将线段DA绕点D逆时针旋转90°得到线段DA′，点A的对应点为A′，连接BA′，DE．

猜想证明：(1)猜想线段A′B与DE的数量关系，并说明理由．

独立思考：(2)如图2，连接AA′，过点A作AF⊥DE于点F，延长AF交BC于点G，判断四边形AA′BG的形状，并说明理由．

拓展延伸：(3)在(2)的条件下，若BD=3，∠GAC=30°时，请直接写出BG的长

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】0

12.【答案】x<4

13.【答案】144°

14.【答案】4

15.【答案】13216.【答案】【小题1】原式=2x(【小题2】2(x−1)−x≥−3①1+2x3>x−1②，

解不等式①得x≥−1；

解不等式②得

x<4；

17.【答案】a−22，当a=0时，值为−1；当a=−1时，值为−318.【答案】解：去分母得：1+3(x−2)=x−1，

去括号得：1+3x−6=x−1，

移项合并得：2x=4，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，分式方程无解．

19.【答案】△A1B1C1即为所求作；

△A20.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD/​/AB，即DE/​/BF

∵DF/​/BE

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DE=BF【小题2】证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD/​/AB，CD=AB，即CE/​/AF

∵DE=BF

∴CD−DE=AB−BF

∴CE=AF

∴四边形AFCE是平行四边形

21.【答案】【小题1】钝角30平行四边形的定义【小题2】理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，(依据：平行四边形的定义)，

∴∠1=∠4，∠2=∠3．

∵FB=FC，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

∴∠BAE−∠AEB=∠BAC+∠1−∠2=∠BAC=90°，

∴∠BAE−∠AEB=90°，

∴△ABE是差直角三角形【小题3】4

22.【答案】【小题1】设每个鸟尊毛绒玩具的进价为x元，

由题意可得：1200x−15002x=15，

解得：x=30，

经检验，x=30是原分式方程的解且符合题意；

∴2x=60，

∴【小题2】设购进鸮卣毛毡背包m个，

由题意可得：1500−60m30≤12m，

解得：m≥20，

23.【答案】【小题1】A′B=DE，

理由如下：由旋转性质得DA′=DA，∠A′DA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠A′DB=∠DAE，

在△A′DB与△DAE中：

DA′=AD∠A′DB=∠DAEBD=AE，

∴△A′DB≌△DAE(SAS)，【小题2】四边形AA′BG为平行四边形，

理由如下：∵DA′=DA，∠A′DA=90°，

∴△A′DA为等腰直角三角形，∠DAA′=45°．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∴∠DAA′=∠ABC，

∴AA′//BG．

由(1)△A′DB≌△DAE，得∠DA′B=∠ADE．

∵AF⊥DE，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

又∠DA′B+∠A′BD=90°，

∴∠DAF=∠A′BD，

∴A′B//AG．

∵AA′//BG，A′B//AG，

∴四边形AA′BG两组对边分别平行，为平行四边形【小题3】已知BD=3，BD=AE，

∴AE=3，

又∠BAC=90°，∠GAC=30°，

∴∠BAG=90°−30°=60°．

由(2)四边形AA′BG是平行四边形，

∴BG=AA′．

因为△A′DA是等腰直角三角形，AA′=2AD，

故BG=2AD，

设AD=x，则AB=AC=AD+BD=x+3，EC=AC−AE=x+3−3=x，

即EC=AD=x，

过G作GH⊥AC于H，设GH=m，

在Rt△GHC中，∠C=45°，

∴CH=GH=