2024年高考数学试题分类汇编：直线与圆

2024高考真题汇编

专题06直线与国

1.（全国甲卷数学（理））已知〃是4，c的等差中项，直线依+分+c=0与圆/+»,2+4）,-1二0交于A,B两点,

则|A8|的最小值为（）

A.2B.3C.4D.2石

【答案】C

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为。也。成等差数列，所以力=a+c,c=2b-a,代入直线方程依+外+。=0得

x-l=0,x=\

ax+by+2b-a=O,gpt/(x-l)+Z?(y+2)=0,令《得《

y+2=0y=-2，

故直线恒过设P（L-2）,圆化为标准方程得：C:x2+（y+2）2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PCJLA4时,，最小,

1Pq=1,|4C|=W=亚,此时|A8|=2\AP\=2y]AC2-PC2==4.

2.（新高考北京卷）求圆V+）,2一2r+6尸（）的圆心到工_），+2=。的距离（）

A.2GB.2C.3&D.8

【答案】C

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得/+丁―2x+6y=（）,即（X-】『+（），+3）2=1O,

1

则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为I*，=3近，

故选：c.

3.1新课标全国I【卷)(多选题)抛物线C)尸=4%的准线为/,P为C上的动点，过夕作(DA:f+(),_4)2=1

的一条切线，。为切点，过户作/的垂线，垂足为8,则()

A./与QA相切

B.当尸，A,4三点共线时，PQ[=而

C.当|P4|=2时，PA1AB

D.满足IPAHP0的点尸有且仅有2个

【答案】ABD

【分析】A选项，抛物线准线为户-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，RA8三点共线时•，先求

出尸的坐标，进而得出切线长：C选项，根据|冏=2先算出尸的坐标，然后验证加勤=-1是否成立；D选

项，根据抛物线的定义，归臼=|杯1,于是问题转化成|刑=归日的2点的存在性问题，此时考察所的中垂

线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线)，=4x的准线为4-1,

A的圆心(0,4)到直线4—1的距离显然是1,等于圆的半径，

故推线/和0A相切，A选项正确；

B选项，R41三点共线时，即PA_L/,则p的纵坐标力=4,

由年=4辱，得至「7=4,故P(4,4),

此时切线长|P0=J|PA『f2="2-T=后,B选项正确；

C选项,当附=2时,x〃=l.此时城=4即.=4.故尸(1⑵或P(〜2).

当P(1,2)B寸，4(0,4),8(7,2),%=口=-2,kAfi=-^-=2t

0—1。一(一1)

不满足^PA^AB=一1；

当P(l,—2)时，A(0,4),4(—1,2),^=^^=-6,砥"=^^=6,

0-1u-(-J)

不满足

于是P4_LA3不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义,附=|叫这里产（L0）,

于是|%=|网时P点的存在性问题转化成归川=|P月时P点的存在性问题,

(\\11

A(0,4),尸(1,0),AF中点不,2,AF中垂线的斜率为一1一=Q

\2/KAF4

于是A尸的中垂线方程为：y=三空，与抛物线丁=4x联立可得），2-16,，+30=0,

O

A=162-4X30=I36>0»即AF的中垂线和抛物线有两个交点,

即存在两个尸点，使得|刑=|产目，D选项正确.

方法二：（设点直接求解）

设P，由可得"（1"），又4。，4）,又

■

根据两点间的距离公式，，匹+（—4）2=0+1，整理得产一16，+30=0,

V164

A=162-4X30=136>0»则关于i的方程有两个解，

即存在两个这样的。点，D选项正确.

故选：ABD

4.（新高考天津卷）（X-讲+）尸=25的圆心与抛物线丁=2px（p>0）的焦点尸重合，A为两曲线的交点,

则原点到直线AF的距离为.

4

【答案】-/0.8

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及■的方程，从而可求原点到

直线人厂的距离.

【详解】圆@一1）2+），2=25的圆心为尸（1,0）,故]=1即〃=2,

由]（：-1）+丁=25可得/+21—24=0,故X=4或X=-6（舍），

|y=4x

故A（4,±4）,故直线41・'：），=±《（工一1）即4X一3），一4=0或41+3>-4=0,

故原点到直线AF的距离为“=性,，

55

故答案为：!4

2024高考模拟试题汇编

一、单选题

1.（2024.河南•一模）直线x+y+4=0分别与x釉，）'轴交于A,。两点，点。在圆£+（），一21=2上，

则面枳的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[8,16]D.卜夜,8a]

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出线段长，再求出圆心到直线的距离，进而求得圆上的点到直线距

离的范围即可求出三角形面积范围.

【详解】依题意，直线x+y+4=0交工轴于4-4,0），交了轴于仇。，-4）,则|A用二4上，

|0+2+4|

圆d+（）,_2）2=2的圆心（0,2）到直线AB的距离4=3夜，而圆的半径为四,

于是圆f+（）』2『=2上的点尸到直线的距离4的范围为[2a,4&],

所以,的面积S神二g|4B&«816].

故选：C

2.（2024・安徽•三模）直线/："+y-2=0与圆C：（x-l『+（y-2）2=l的公共点的个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】根据已知百线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.

【详解】由宜线/：奴+k2=0,可得直线/过定点（0,2）,

又由圆C：可得点（0,2）在圆。上，

因为直线/的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.

故选：C.

3.（2024.河南•一模）直线/:x+j=l,圆。：/+）,2-21-2），-2=0.则直线/被圆。所截得的弦长为（）

A.2B.2GC.2sD.V14

【答案】D

【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾

股定理即可求解.

【详解】圆C的标准方程为（X—1）2+（）-1）2=4,

由此可知圆C的半径为〃=2,圆心坐标为

所以圆心C（l/）到直线/：x+y=l的距离为1=以=1=兰，

所以直线被圆截得的弦长为2彳二彳=21二’等、=714.

故选:D.

4.（2024・湖北•二模）直线），=辰与圆（x-l）2+（y-1）2=1交于M、儿两点,0为坐标原点，则OM.ON=（）

1k2

A.——rB.C.1D.2

2

1+公\+k

【答案】C

【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出王公，凹力，根据向量数量积可求答案.

y=kx,、

{/NN1，得1+公卜2"伏+l）x+l=0,

则A〉（），即4代+1）2—4（公+1）＞0,所以攵＞0,

设材（内，）,1），'（4，%），则：^r'2=.,2,^11^2=k'xx=--,

1十人‘}2I'K

OM•ON=KW+=（1+抬）,~r-=L

fx.十1

故选:C

5.（2024・山东•三模）已知圆。与两坐标轴及直线x+），-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为

（）

A.1+&『+（），-&『=&B.（X-闾，卜+上『=2

C.1―⑹2=&D.1+&『+"甸2=2

【答案】D

【分析】设出圆的标准方程，利用条件列方程组求解即可.

【详解】由题意设所求的圆方程为（x—〃『=/（。（0力）0）,

abr

\\=\\=b=-a=\[2

则由+b-2|解得

r=V2

,V2

所以圆C的方程为卜+夜『+（），-&『=2.

故选：D

6.（2024・广东・二模）已知P是过0（0,0）,M（T3）,%（-3,-1）三点的圆上的动点，则|叫的最大值为（）

A.75B.2后C.5D.20

【答案】B

【分析】由向量的坐标运算可得。/%《》＜=（），即得0，加「加2是以为直径的圆上的三点，从而可求

得结果.

【详解】依题意，OM=（-1,3）,0%=（-3,-1）,贝IJOM|・0M2=TX（_3）+3X（T）=O,

因此线段是圆0MM2的直径，且|/%〃2|=2石，而点。是该圆上的点，

所以|PQ的最大值为2石.

故选：B

7.（2024•山东•二模）已知圆C:f+y2=l,&4,〃）,8（4,-初若圆C上有且仅有一点。使04_L尸8,则正

实数。的取值为（）

A.2或4B.2或3C.4或5D.3或5

【答案】D

【分析】根据题意可知：点P的物迹为以48的中点“（4,0）为圆心，半径R=。的圆，结合两圆的位置关系

分析求解.

【详解】由题意可知：圆C：./+y2=i的圆心为C（0,0）,半径厂=1,且

因为P4_L心，可知点P的轨迹为以线段A〃的中点M（4,0）为圆心，半径A=a的圆，

又因为点P在圆。:/+>2=1上，

可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则\CM\=r+R或|CM|=卜-/，

即4=1+a或4=|1-4，解得a=3或a=5.

故选：D.

8.（2024・湖南•一模）已知抛物线方程为:丁=16.一焦点为尸.圆的方程为（x-5p=1,设?为抛物

线上的点，。为圆上的一点，则仍户|+归0的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|尸耳二|尸N|,从而得到

\PF]+\PQ\=\PN\+\PQ\,P、Q、N三点共线时和最小；再由。在圆上，|QV1minTMN|f得到最小值.

【详解】

由抛物线方程为V=l6x,得到焦点F(4,0),准线方程为X=T,过点P做准线的垂线，垂足为N,

因为点夕在抛物线上，所以|P/|=|PN|,

所以|比|+归。=|取|+归。，当。点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小,

乂因为。在圆上运动，由圆的方程为(x—5『+()，-1);1得圆心半径r=l,所以

1例而闫利一r=8,

故选：C.

二、多选题

9.(2024・湖南•三模)已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线/:(/〃+l)x+2)，-l+，〃=0("?eR),则()

A.直线/恒过定点(-1,1)

B.当〃?=0时，圆。上恰有三个点到直线/的距离等于1

C,直线/与圆。可能相切

D.若圆。与圆F+y2—2x+8)，+a=0恰有三条公切线，则a=8

【答案】AD

【分析】本题先根据直线/的方程判断出宜线/恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A

和选项C的问题；根据圆心到直线，(加=0)的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D

的条件可得两圆外切，由此可求得参数。的值.

【详解】由直线/:(m+l)x+2)，-l+〃?=0("?eR),得"?(x+l)+x+2y-l=0,

x+l=0x=-\

因为meR则满足解得.

x+2y-l=0)'=l

所以直线恒过定点(-U),故选项A正确.

因为当根=()时，直线/为：x+2y-l=0,

则圆心C(-2,0)到直线/的距离为刃」7：0一忆咨

Vl2+225

则此时直线/与圆相交所得劣弧的顶点到直线I的距离％=2-竽e(0,1),

所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故选项B错误.

因为直线/过定点(-U),又(一1+2丫+12<4,

所以定点在圆内，则直线/与圆c-•定相交，故选项C错误.

由圆的方程x2+y2-2x+8y+a=0可得，(x-1)2+(y+4)2=17-«,

所以圆心为(LT),半径为V17^,

因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，

则J(l+2f+(0+4)2=5=2+J17-〃,解得a=8,故选项D正确.

故选：AD.

10.(2024.山东•一模)已知直线/：阮一丁-2&+3=0,圆C:Y-2x+y2-8.y+13=。，则下列说法正确的是

()

A.圆心。的坐标为(1,4)

B,直线/与圆。始终有两个交点

C.当攵=2B寸，直线/与圆C相交于M,N两点，则3cMN的面积为当叵

10

D.点。到直线/的距离最大时，k=\

【答案】ABD

【分析】对于A,对圆的方程配方后可求出圆心判断，对于B,先求出过定点(2,3),再判断点(2,3)与圆的

位置关系，从而可得结论，对于C,先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，从而可求出.CMN的面积，

对于D,由于直线过定点a2,3),则当直线与CQ垂直时，圆心到直线的距离最大，从而可求出k的值.

【详解】对于A：f-2X十/一8V+13=()配方得(x-lf+G，-4『=4,所以圆心C(L4),半径R=2,所以

A正确；

对于B：由6-y-2k+3=0,得于x-2)+(3—y)=0,则直线>-y-22+3=0过定点(2,3),

因为（2-1）2+（3-4『=2<4,所以点（2,3）在圆。内,

所以直线丘一）』24+3=0与圆。始终有两个交点，所以B正确;

对于C：设圆心C到直线2x-y-l=0的距离为"，则”」2；4刃二二二些,弦长

V4+Ix/55

|M；V|=2yjR2-d2=2^4-^|=,

所以面积S=3MNM=1Xm应、芷=3叵，所以C不正确.

2112555

对干D：由题意得直线过定点尸（2,3）,故当直线与6垂直时，圆心到直线的距离最大，由于&仃=七二7

1-2

故得k=l,所以D正确.

故选：ABD.

11.（2024.江苏•一模）设”，〃为实数，已知圆。：x2+y2=9,点/«〃）在圆。外，以线段。。为直径作

圆M,与圆O相交于4,B两点.下列说法中正确的是（）

A.当勿=。8=4时，点Q的轨迹方程为Y+y2=5

B.当。=-4,〃=一3时，直线AA的方程为4x+3y+9=0

7

C.当〃=^,〃=一3时，cosZAO13=一一

25

D.若圆O上总存在两个点到点Q的距离为I,则9</+从<16

【答案】BCD

【分析】根据Q2为一M的直径，所以AO_LA。，可求。。，得。点轨迹，判断A的真假；根据两圆公共弦

的直线方程的求法，判断B的真假；利用二倍角公式，求cosZAOB,判断C的真假；利用点与圆的位置

关系，判断D的真假.

。。=5,所以点0的轨迹方程为/+）尸=25故A错误;

对B：如图:

当T,〃二一3时，0〃的方程为：（4+2），（），+1）=曰即/+,2+4（+3），=0,

所以直线A8的方程为（丁+/）一（产+），2+4%+3），）=9-0=4工+3），+9=0.

故B正确；

3

当〃=T,人=一3时，在RiAOB。中，cosNAOQ],

所以cos乙BOA=2cos2NBOQ-l=2x(|l-1=-^.

故C正确；

对D：因为。点在。0外，所以。。>3,又圆。上总存在两个点到点。的距离为1,

所以。Q>4,所以3<OQ<4,即9</+/<16.

故D正确.

故选:BCD

12.（2024・广东•一模）已知圆。：/+），2-2%-2），-3=0,则（）

A.圆C的圆心坐标为（-1,-1）

B.圆C的周长为2百兀

C.圆M:（x+3）-+（），+l）-=5与圆。外切

D.圆C截y轴所得的弦长为3

【答案】BC

【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC,对于D求出圆C上横坐标为0

的点的纵坐标即可判断.

【详解】对于AB,圆C的方程可化为(x-l)2+(y—l)2=5,

可得圆心的坐标为(1.1),半径为石，则周长为26兀，可知A错误，B正确；

对于C,由M(-3.T),=J16+4=26为两圆半径之和,可知C正确；

对于D,令工=0,可得＞2-2)，-3=0,解得了=-1或3,

可得圆C截轴所得的弦长为4,可知D错误.

故选:BC.

13.(2024.河北.三模)已知人(0,6),5[()，¥)动点?(内，)满足照=应闸，则下列结论正确的是()

A.点P的轨迹围成的图形面积为兀

B•照的最小值为1-日

C.是P的任意两个位置点，则方

D.过点(g,£|的直线与点〃的轨迹交于点则MN的最小值为加

【答案】ABD

【分析】由|尸4|=拒|咫得Y+y=l,计算面积可判断A；结合图象可知,当分仇尸共线的时候|叫取值

最小值，可判断B；过4向圆引切线，用两条切线夹角来可判断C；分别用斜率存在和不在两种情况写出过

点的直线方程，然后由圆的几何性质求|MN|,进而结合基本不等式可得|MN|的最小值，即可判断

D.

【详解】由|%|=应|阳得：/十卜一&『=2/+广孝，即f+),2=],

XZ

点P的轨迹为圆心0(0.0),半径r=l的圆.

对于A：面枳为兀,二兀，故A正确；

对于B：点/，在圆内，由图知|阴+|。耳之0已当OU共线的时候等号成立，

所以忸P|最小值为1一日，故B正确，

对于C：因为|。4|=正，r=l,所以过4向圆引切线，切线长等于1,则两条切线夹角为故C不正确.

对干D：斜率不存在时，过点的直线方程为x=此时|MN|=G；

\乙乙）1

斜率存在时，过点的直线方程为y-；=即h-），-9+J=0,

11

A+

2-2-

则圆心到该直线的距离/

42-24+1

由圆的几何性质，=—4-

\+k2

N丘,当且仅当:=4即々=-1时取等号,

K

综上所述,MN的最小值为正，故D正确.

故选：ABD.

14.（2024.山西•三模）已知EF是以C（l,2）为圆心，夜为半径的圆上任意两点，且满足C£_Lb,P是EF

的中点，若存在关于（3,0）对称的A4两点，满足RVP8=0,则线段48长度的可能值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】BCD

【分析】由己知得出尸点轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，得出|PQ|的范围，再结合直角三角形斜边中线

等于斜边一半即可得出|AB|范围，进而判断出答案.

【详解】因为CE_LC£|CE|=|b=J5,

所以但曰=^|CE|2+|CF|2=2,

因为「是所中点，所以|CP|=g帜r1=1,

所以p点轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

设（3,0）为点。，则|cq=&i三"运二铲="^=2及，

所以附近2&-1,2&+1],

又PAPB=。，48两点关于点0（3,0）对称，

所以&R记为直角三角形，且。为斜边48中点，则M即=2|也,

所以|4.引4夜—2,4夜+2],

15.（2024・浙江・二模）对于任意的两点A（XQ，J,4（々,%），定义A8间的折线距离或"=|%-司+'-对，

反折线距离上=氏-％|+卜-川，。表示坐标原点.下列说法正确的是（）

A.d,、B+之"枇.

B.若“＜储，则（Xf）（Kf）20.

C.若A3斜率为A,却.

D.若存在四个点P（M），）使得心L1,且/+（）,_,）2=/卜＞0）,则r的取值范围（正

乙）

【答案】ABD

【分析】对于A,直接使用绝对值不等式即可证明；对于B,在使用绝对值不等式的同时考虑到绝对值不等

式取等的条件（即|〃+4=时+回，卜+同之心一耳,加之。两两等价，对两个不等式两边同时平方即得结论），

即可判断；对于C,举出一个反例即可否定；对于D,先将问题转化为方程组的解的个数问题，然后利用解

析几何工具直观理解，猜出答案，最后再严格论证结果即可.

【详解】对于A,设C（W，）J，我们有

%+=人一七|+|，一%|+卜2一七|十帆一％|

=（k一/1+1电一室1）+（1%-%|+|%一丫3|）

之|（百一七）+（工2一天）|+|（乂-）’2）+（为一%）|

=hF|+|yf|=“,

故A正确：

对于B,若dAB<iAB,则如>心=归一七|+|y-%I之|（百一修）+（y-%）|=la-％）+（）1一s）|，

这意味着|%-力|+|,一工2|二四一为|+同一,|=的>|（内一%）+（,-々）|.

从而由|百一4|+|凹-再I>|（N-%）+（y-/）|，知（内一〉2）（无一天）<°，

即（为一％）（，一1）>。，所以|（%-%）+（凹-再）|=昆-力+加一引.

故■71）+（%-々）|=〔371）+（）'「々）|=|）'2—内|+|乂—q=如.

而乙8T%一q+E之|（）1一%）一（芯一七）|=|（乂一七）一（丫2T2）|.

故卜，一％）+（%一工2）|=*>0"]-七）].

从而由|（y一司）+（必—七）|>|（,一王）一（必一工2）|，知（Xf）（）'2-七）之。，故B正确；

对于C,考虑A（LO）,B（O.I）,此时*=一1,所以防前卜用=0・

但4讨二|1一0|+|0-||=2>0,故C错误；

|x|+|y|=l[Ll+Iy|=1

对干D,条件等价于关于x，y的方程组I）、22,即Ic有四个解.

x'+（y-r）=r[x+y=2ry

如下图所示，该方程组可以直观地理解为正方形W+3=i和圆9+）尸=2号有四个公共点，直观的理解即为

圆/1）,2=2?与矩形上方的两条边所在的直线均相交,

且交点都在边的内部，而当「=〃-1时，圆与上方的两条边相切，

当，=3时，圆与上方的边的交点恰落在端点上，故可猜测取值范围是

下面再使用二次方程工具严格证明此结论（也可以使用距离公式等其它方法证明）.

若（X,丁）满足原方程组，则＞=匕工＞0,故W+＞=1.

2r

而/+（y_r『=工2=2x2-2（l-r）|x|+（l-r）2,

故242―2（1--）闪+1-2r=0,同时还有W=1T）'|41.

由于当工确定后，）'只有唯一可能的取值1TM，而方程组有四个解，

所以使得相应的）'存在的x至少有四个.

根据前面的讨论，这样的工必满足2/一2（1-。国+1-2尸=0,且«区1,

所以方程2?-2（1--）国+1-2r=0必定在［-1』上有四个解.

这表明关于，的方程2/2-2（1-少+1-2-=0在（0,1］上一定有两个解，

所以首先有判别式为正数，结合

A=4（l-r）2-8（l-2r）=4（l-2r+r2-2+4r）=4（r2+2r-l）,

就有忘—1.

同时，由于两根都在（05内，故两根乘积为正数，故1-2r＞0,即

这就证明了夜-1＜一＜!.

2

最后，当血-时，原方程组的确存在四组不同的解：

I-r+Vr2+2r-ll-r+Vr2+2r-l

x=---------x=----------

22

l+r-Vr2+2r-l*l+r-Vr2+2r-l

v=----------------------y=---------

22

\-r->jr2+2r-\

x=-----------------

22

l+r+Vr2+2r-ll+r+J，+2—1

V=----------2----------尸--------2----------

所以〃的取值范围是（拒T；）D正确.

故选：ABD.

三、填空题

16.（2024.广东•一模）已知点P,Q分别是抛物线C：V=4x和圆七：一+）,2一］0%+21=0上的动点，若抛物

线C的焦点为尸，则2|PQ|+|。用的最小值为

【答案】46

【分析】根据题意，将2|P9+|Q可转化为2（闸+；时的形式，寻求定点M,使得&F|=|QM恒成立,

再通过转化求2\PQ\+\QF\的最小值.

【详解】由抛物线。：）尸=4%，可得焦点坐标为尸（1,0）,

又由圆E:/+J-］°x+21=0,可化为"一5）2+9=4,

可得圆心坐标为七（5,0）,半径厂=2,

设定点M&0）,满足;|QF|=|QW|成立，且。（如为），

即+N：=gJ（x（）-1）~+先恒成立，

其中（.。-5）2+呼=4,代入两边平方可得：

（4-/）^=16-/2,解得：［=4,必（4,0）,

所以定点“满足;|QF|=|QM|恒成立，

可得2|PQ|+|QF|=2（|PQ|+|QM|）,

如图所示，当且仅当M,P,0在一条直线上时,

此时归。+|。必取得最小值1PM，

即2|PQ|+|QF|=2(/Q|+|QM|"21PM,

设P(x,y),满足y2=4x,

所以21PQ|+1QF|221尸M|=2^(x-4)2+y2，

2\PQ\+\QF\>2j(x-41+4x=2&-2『+12>2x/12=473,

当、=2时，等号成立.

所以2|PQ|+|QF|的最小值为4G.

故答案为：4\/3

【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化距离2|PQ|+|QF|=2(|PQ|+|QM|),再转化求得点M的坐标.

17.(2024・湖南•三模)已知圆O:/+V=4,圆C与x轴相切于点尸(2,0),与丁轴正半轴交于A,B两点,

且|40=3,则圆。和圆。的公共弦所在的直线方程为.

【答案】4x+5y-8=0

【分析】根据相切和弦长求出圆C的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程.

【详解】由圆。与4轴相切于点尸(2,0),可设圆。的方程为(％-2)2+。一力2=从,

由园=3,则，/=22+图=0'所以圆°的方程为-2)2+(*j.,

圆C与圆。的方程相减得©+5y-8=0,即为两圆的相交弦所在直线方程.

故答案为：4x+5y-8=0

18.(2024・河北张家口・三模)圆&:(1-1)2+9=1与圆。2：(彳-5)2+。-3)2=36的公切线的方程为_______

【答案】4X+3)，+I=()

【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆G，C?化为一般式，两式相减可得.

【详解】圆G的圆心为（1,0）,半径为1,圆a的圆心为（5,3）,半径为6,

因为|CC|=J（5-l）2+（3-0）2=5=6-1,所以两圆内切，只有一条公切线，

将圆G，G化为一般式得：

2

G:+y2-2工=