2026年高考数学一轮复习讲义：培优点7 阿波罗尼斯圆与蒙日圆（附答案）

培优点7阿波罗尼斯圆与蒙日圆

【重点解读】在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及阿波罗尼斯圆、蒙日圆，这些问

题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.

题型一阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点4一“，0),B3())(〃>())的距离之比为正数如¥1)的点的轨

迹是以C(含Q,0)为圆心，I聋引为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

例1(1)设A,《是平面上两点，则满足震=攵(其中攵为常数，Q0且AW1)的点。的轨迹是一个圆，

已知A(限0),8(当，0),且仁VL则点尸所在圆M的方程为.

(2)已知在△A8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinA=2sin8,〃CQS8+反QS4=2,贝^△48。

面积的最大值为.

思维升华阿波罗尼斯圆的逆用

当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个

圆，便可以求出定点的坐标.

跟踪训练1(1)如图，在等腰中，已知依用=|AC|,B(—l,0),4C边的中点为0(2,0),则点C

的轨迹所包围的图形的面积等于.

(2)已知点P是圆(x—4)2+。-4)2=8上的动点，A(6,-1),。为坐标原点，则|PO|+21P用的最小值

为.

题型二蒙日圆

在椭圆4=13»>。)上，任意两条相互垂直的切线的交点拓在同一个圆上，它的圆心是隔圆的中心，

半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，即/+)?="+/落这个圆叫蒙日圆.

例2（1）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的

交点必在••个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：痣+?=1（々＞0）的蒙日圆的

方程为f+），2=%则。等于（）

A.1B.2C.3D.4

（2）（多选）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为4,离心率为e=5P为椭圆C的蒙日圆上任一点，则

以下说法正确的是（）

A.过点尸作椭圆C的两条切线PA,PB,则有尸

B.过点尸作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,O为原点，直线OP,A8的斜率分别为垢巴心8，

.._4

k（）P・kAB=~"

•5

C.过点尸作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则的取值范围为4y]

D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,。为原点，则SZMOB的最大值为百

思维升华（1）设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点4,。为原点.

性质IPAA.PI3.

性质2kOp-kAB=—%

性质3必小=一提，心用山田二一*垂径定理的推广）.

性质42。平分椭圆的切点弦AB.

性质5延长PA，相分别交蒙日圆。于点C,D,则CO〃A8.

性质65少0月的最大值为胃,SZMOB的最小值为：：2,

性质7SfPB的最大值为a2“+b卜2»SzxAPB的最小值为a2-ib2

（2）蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

双曲线《一卷=1（〃汕＞0）的两条互相垂直的切线抬，P8交点尸的轨迹是蒙日圆：f+丁—（只有当

〃时才有蒙日圆）.

（3）抛物线），2=2px（7»O）的两条互相垂直的切线抬，交点月的轨迹是该抛物线的准线：x=一“可以看作

半径无穷大的圆）.

跟踪训练2（多选）已知椭圆C=+4=1,。为原点，则下列说法中正确的是（）

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A.椭圆。的蒙日圆方程为产+），2=9

B.过直线/：1+2），-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,当NMPN为直角时，直

线0P的斜率为一：

C.若户为蒙日圆上一点，则P0平分椭圆的切点弦MN

D.若P为蒙日圆上一点，O,夕到MN的距离分别为4,必，则,/&=蔡

答案精析

例1（1*+），2=3

解析设P。，），），由题意可得，船二企，

\PB\

即|〃川二心|"阴，

2

则（X-遥）2+）2=2+y2,

整理得f+）,2=3.

嫉

解析依题意，由sinA=2sinB,

得|BC|二2|AC|,acosB+bcosA

a2+cz-b2b2+c2-a2.

=---------b--------=c=2.

即|AB|=2,以A8边所在的直线为.v轴，线段A8的垂直平分线为），轴建立平面直角坐标系，

设A(1,0),8(/,O),C(x,y),xWO,

由18cl=2|AC1,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为

(X-丁+V*-XW0，

边AB上的高的最大值为

所以《又力弘卜.二亍

跟踪训练1(1)4兀

解析因为凶身=汝。=2H。],所以点4的轨迹是阿波罗尼斯圆，

易知其方程为(片3)2+3，2=4()，#0).

设C(<,y),由AC边的中点为。(2,0),知A(4-x,-y),

所以C的轨迹方程为(4*3尸+(-)，)2=4(yW0),

即(x-iy+y^dG/o),

故所求的面积为4兀

⑵1()

解析假设4(〃?,〃)，

使得|PO|=2|尸"，设P(x,y),

贝IJ/+y2=2j(x-7n)2+(y一•2,

从而可得婷-8〃a+4〃?2+3广8町，+4卷0,从而可知圆心坐标为(等，y),

由题意得圆3f-8〃a+4〃『+3尸82¥+4〃2=0与圆(x-4)2+(v-4>=8是同一个圆，

所以手=4,詈4,

解得用=〃=3,即A<3,3).

所以|PO|+21PAi

=2(\PA]+\PA\)^2\A'A\

=27(6-3)2+(-1-3)2=10,

当A,尸，4三点共线且尸在线段44，上时，等号成立.

即|PO|+21PAi的最小值为10.

例2(1)A匚•椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为

(乃TW,O),(O,VH),则两条切线分别是石，产正，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为

P(V2+a,y/a),而P在蒙日圆上，“2+Q)2+(VH)2=4,解得a=L]

(2)ACD[由题意知椭圆C：合力=1(〃>/»0)的长轴长为4,离心率为e=^,故a=2,?二，

所以c=l,/=〃2七2=3,

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则椭圆方程为++1,蒙日圆的方程为1户7.

对于A,由蒙日圆的定义知PAJ_P8,A正确；

对于B,设P(x\,yi),A(X2,>,2),

B(X3,y3),

则PA的方程为手券=1,

P8的方程为手呼=1,

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两切线过点P,

故干+竽=],牛磬=]

即点A,8在直线华亭=1上，

43

因为两点确定一条直线，

故直线AA的方程为牛+”=1,

则以产-争，而如产在，

4yl*1

故攵OP•心8=3,B错误；

4

对于C,当点P在X轴上时，则y=0,X产夕或即=-夕，

则直线A8的方程为下土苧，

联立94=1,得产土券，

所以,易得点P到直线A8的距离为子,

贝JI&*„乂9;;

当点尸不在x轴上时，由于直线4B的方程为平+¥=1,

43

Y2,,2

联立.收=1,

W(3xi+4yf)X2-24XIX+48-16yf=0,

J=(-24xi)2-4(3xf+4*)(48-16yf)

=64yf(3%i+4yf-12)>0,

必

则及十冷二24

3x|+4yf

48-16*

X2X3=3x?+4yf

故|A8|=J1+k嘉•JQ2+%3万一4%2%3

8|yilj3xJ+4yf-12

3xf+4yf

3*+4比

又点P到直线AB的距离

(Qv?4-1AA/?

故S^Pli=^AB\dx

19好+16阅3好+4*-12

3Xj+4y^

|3xf+4yf-12|

卜*+16*

(3x*4资-12)J3M+4y”12

3*+4y,

又洸+弁=7,

故令=J3*+4*-12=依+9，，£（3,4],

则S△"芸二焉.

令刖彳塔，

显然■）在（3,4]上单调递减,

故产邛在(3,4］上单调递增，

则S^APB>-^—=^2,

=

(S^PA')max=/7(T4^)V7»

综上所述，S&AM的取值范围为［，母，C正确；

对于D,由C的分析可知，当点尸在x轴上时，H8I=竽，点。到直线4"的距离为"，

则山尾X竽X乎旁;

当点P不在工轴上时，|A8|=

2(9x?-»-16yfJ3xf+4yfi2

3*+4*

而点。到直线A8的距离

故S^OB=^AB\d2

_J9H+16押/旺+4尤-12

3*+4*

|-12|

卜好+16比

121x；+4y；-12

3*+4川

又好+弁=7,

故令+4赤_12=,赤+9,f£(3,4］,

则Sw号善,

而什甘22m=4百,

当且仅当z=y,即r=2V3e(3,4］时，等号成立，

故SAAO/?=^T2~4^=y^，

又六百，

所以SZMOS的最大值为V5,D正确J

跟踪训练2ACD|由蒙日圆的定义，易得椭圆C：的蒙日圆方程为x2+V=9,A正确；

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依题意，点尸是直线/与蒙日圆的交点，则FzP1-S；

解得?(一般名)或「(3,0)，直线8的斜率为q或0,B错误；

当点P在坐标轴上时，