2025-2026学年广东省深圳某中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025・2026学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）已知直线小2r八1=0与％：x+竹-3=0垂直，则实数上的值为（）

A.2B.-2C.XD.-工

22

2.（5分）与圆C：/+（y+2）2=4和圆。：（x+5）2+（jH-2）2=9都相切的直线有（）条.

A.IB.2C.3D.4

3.（5分）若黑（-1,2,-1），b=（b3,-2）»则（；+E）・（ZV）=（）

A.20B.-20C.-8D.8

4.（5分）如图，正三棱柱ABC-m8cl的各棱长都为2,E、产分别为48、小。的中点，若点=Z，

1-1——*11—*•1—1―♦•—1—1―♦•

A.-a-H—b+cB.---a-H—b+cC.—a-r-b+cD--a-yb+c

5.（5分）已知｛劭｝是公差不为0的等差数列，。］=-2,若的，虫。6成等比数列，则砒=（）

A.-20B.-18C.16D.18

6.（5分）已知点力（2,3）,8（3,-1）,若直线/过点尸（0,1）且与线段相交，则直线/的斜率左

的取值范围是（）

A.k4-1■或左B.卜<-1"或0★女力

C.-1<k40或心

।D.

7.（5分）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的教列，中国古代许多著名的数学家对推导高

阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学

家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图

是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第1（）层小球的

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个数为（)

A.45B.55C.65D.75

8.（5分）已知圆C：（x-2）2+（JH-1）2=9.若。为直线〃7：2.尸"5=0上的动点，M是圆。上的动点，

定点N（2,4）,则I0M+I0M的最小值（）

A.V69+3B.V65+3C.V65-3D.V69-3

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要

求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

（多选）9.（6分）已知圆C（工-q）2+（厂1）2=4”的半径为2,则下列说法正确的是（）

A.a=I

B.点（1,4）在圆C的外部

C.直线y=3与圆C相切

D.当直线〃?x+y-2=0平分圆。的周长时，m=-\

（多选）1（）.（6分）如图，棱长为1的正方体力8co-小&GG中，E,b分别为。8当中点，M,N

分别为线段力E，CC1（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）

A.C\FLABX

B.直线。厂与底面为68所成角的正切值为当

C.三棱锥C「MNF的体积最大值为春

D.线段A/N的长度最小值为1

（多选）11.（6分）已知数列｛内｝满足。|+2及+…+2入"=〃・2〃,则下列说法正确的是（）

A.a〃=〃+l

R.｛〃〃｝的前〃项和为

2

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C.{(-1)〃%}的前CO项和为50

D.{|。“・5|}的前30项和为357

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)已知向量之=⑵3x,4)，b=(0,1,2)，c=(L0,0)，若之，总展共面，则x

13.(5分)若圆C：Q-6)2+(尹5)2=9上有四个不同的点到直线/：3x+4y+c=0的距离为1,则实数c

的取值范围为.

14.(5分)在数列｛〃“｝中，牝=5,an+i=4an-3,若对任意的“WN*,k(an-1)22〃-5恒成立，则实数

k的最小值.

四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知等差数列｛%｝的前〃项和为&,且$3=9,即=2。2+3.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若b=——i——，数列｛5｝的前〃项和为G，求证：T<工.

n公・ano

anan+l/

16.(15分)已知圆C的圆心在直线y=x上，且过点(3,()),(2,-I).

(1)求圆。的方程；

(2)已知直线/经过(0,3)：并且被圆。截得的弦长为2,求直线/的方程.

17.(15分)如图，在直四棱柱/14CO-4SG5中，侧棱的长为3,底面44。。是边长为2的正方

形，£■是棱8c的中点.

(1)求证：8"〃平面C\DE-.

(2)求平面C0E与平面48CQ的夹角的余弦值.

18.(17分)已知动点M与两个顶点O((),0),A(-3,0)的距离之比为工，动点M的轨迹为曲线C.

2

(1)求C的轨迹方程；

(2)已知8(1,0),过直线x=-3上的动点P(・3,p)(p>0)分别作圆的两条切线P0,PR(Q,

第3页(共15页)

R为切点），PB与QR交于1N.

（/）证明直线。火的方程为4i-〃y=。，并判断直线。火是否过定点；

（/7）是否存在点P,使的面积最大？若存在，求出点P坐标和△48N面积最大值；若不存在,

请说明理由.

19.（17分）若｛%｝是递增数列,数列｛斯｝满足对任意的〃WN”,存在〃正N*,使得则称｛斯｝

是｛0｝的“分割数列”.

（1）设Cn=4〃-1,斯=2〃7,证明:数列｛%｝是数列｛%｝的“分割数列”；

（2）设％=〃-2,凡是数列｛Cn｝的前〃项和，判断数列｛S〃｝是否是数列｛0｝的“分割数列”，并说明理

由；

（3）设｛%｝是首项为。，公比为g的递增等比数列，7；是｛C1｝的前〃项和，若数列｛〃｝是｛0｝的“分割

数列”，求实数。与9的取值范围.

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2025・2026学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

二.多选题(共3小题)

题号91011

答案ABCBCDACD

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.【答案】A

【解答】解：直线小2x・y+l=0与七%+处・3=0垂直，

当女=0时，得5x=3,此时/|与6不垂直：

当〃K0时，若1山2,贝U2X(-工)=一1，解得22.

k

故选：A.

2.【答案】C

【解答】解：因为圆C：f+()升2)2=4和圆O：(x+5)2+(y+2)2=9的圆心坐标、半径分别为((),

-2),2；(-5,-2),3.

所以圆心距为J(-5)2+(-2-(-2)产=5=2+3,

所以两个圆的关系是外切，

所以两圆的公切线有3条.

故选：C.

3.【答案】C

22

【解答】解：(a+b)•(a-b)=a-b=l+4+l-1-9-4=-8*

故选：C.

4.【答案】B

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【解答】解:已知正三棱柱力的各校长都相等，E、E分别为4?、小G的中点且忌=1，

AC=b»AAI=C，

则EF二EA+AA]+A|F=-ya+c+^-b=--a+^-b+c

故选：B.

5.【答案】C

【解答】解：｛劭｝是公差不为。的等差数列，目=-2,的，。4,生成等比数列，

设公差为"，贝"a2=分2，即(-2+3J)2=(-2+2d)(-2+5d),

d4d3d6

整理得屋-2d=(),

解得d=2或d=0(舍)，

••ci\Q=ci\^~9d=-2+9X2=16.

故选：c.

6.【答案】D

【解答】解：A(2,3),B(3,-1),P(0,I),

直线/过点尸(0，1)且与线段48相交，

则直线/的斜率A的取值范围是-1<k<l-

故选：D.

7.【答案】B

【解答】解：设三角垛从上往下各层球的个数为许，

则。［=1,。2=1+2=3,a3=1+2+3=6,44=1+2+3+4=10,

...»“10=1+2+3+4+...+10=工X10X11=55.

故选:B.

8.【答案】C

【解答】解：圆C：(x・2)2-3+1)2=9的圆心为。⑵-1),半径l=3.

设N'(①b)为点N(2,4)关于直线机的对称点，

则线段NM的中点(生2,也)在直线机上，可得3+2)-且4+5=0…①,

222

直线MV'1%可得起犷=-2,即生也二一工…②.

22-a2

第6页(共15页)

所以|MQ=V(2+2)2+(-1-6

根据圆的性质与轴对■称的性质，可知|QM+|QN1=IQM+IQN'|2|MC\-r=V65-3.

当且仅当。、M、。共线时，IQM+IQY达到最小值旅-3.

故选：C.

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要

求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】ABC

【解答】解：根据题意得44=4,解得a=l,/正确：

由选项月可知，C：(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C(l,1),半径为2.

因为(1-1)2+(4-1)2>4.所以点(1,4)在圆C的外部，8正确;

因为圆心为(1,1),圆心到直线y=3的距离为2,又因为半径为2,因此直线y=3与圆相切，。正确;

若直线加什)，・2=0平分圆。的周长，则直线加什)，・2=0过圆心C(l,1),则〃?+1・2=。，解得加=

1,。错误.

故选；ABC.

10.【答案】BCD

【解答】解：如图所示，以点。为坐标原点，3/1为x轴，QC为)，轴，为z轴，

则力(1,0,0),小(1,0,I),由(1,1,I)Ci(0,1,1),E(0,0,1)，F(1,1,1)，

22

对于力选项：FC^=(-1,0,1)，AB^=(0,1,1)，

则可•画］工0，

第7页(共15页)

故A错误；

对于B选项：平面/8CO的法向量为=（0,Q,1）,

设直线FCi与底面ABCD所成的角为0,

西，研

则sin8=|cos〈.FCi,AA./'|=,

西I•网I

故tan8

故8正确；

对于C选项：因为直线4E〃/平面CiNF,

所以点M到平面CiNF的距离等于点A到平面C\NF的距离，也就是线段AB的长度.

故匕-廊=k.而=界纪*98，*（；1吟（：刖＜/当且仅当点N位于点。处时等号成立,

所以VC「MNF的最大值为春

故C正确；

对于。选项：设AM二人AE，0＜入力，ci5=|-1CCfOWpWl,

则—，0,。），N（0,1，a）

乙

则许2=（1-入）2+1+（3--四）2〉1，当且仅当人=1,pi&等号成立，

22

所以线段的长度的最小值为1,

故。正确.

故选：BCD.

11.【答案】ACD

【解答】解：由4]+2仍+…+2""%=〃・2〃，可得41=2,

第8页（共15页）

当〃22时，可得田+2。2+…+2〃一2斯_]=

相减可得2入1即=“・2〃-(w-l)*2Ml=(〃+1)・2”一1,

即有斯=〃+1(符合首项)，故力正确；

｛斯｝的前〃项和为工？(2+〃+1)=n(n+3),故8错误：

22

｛(-1)〃斯｝的前100项和为(-2+3)+(-4+5)+...+(-100+101)=50,故C正确;

｛|。〃・5|｝的前30项和为3+2+1+0+(1+2+3+...+26)=6+^X26X27=357,故。正确.

2

故选：ACD.

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】2.

3

【解答】解：由题意得，存在〃使得a=inb+nc,即(2：3x,4)=m(0»1,2)+〃11,0,0),

2=n

故，3x=m»解得m=2,x--

4=2m

故答案为：2.

3

13,【答案】(-8,12).

【解答】解：若圆CG-6)2+(>5)2=9上有四个不同的点到直线/：3工+4产c=0的距离为1,

则圆心到直线/的距离

C(6,-5)^=J3X6Z4X5+C]<2>

5

BP|c-2|<10,解得-8VcV12,

则实数c的取值范围为(・8,12).

故答案为：(-8,12).

14.【答案】X.

64

【解答】解：由。〃+1=4斯-3,得a„+\-1=4(a“-1),

即―Stl----=4,又-1=4,

an-1

故数列｛斯・1｝是以4为首项，4为公比的等比数列，

可得an-』％

不等式k(^,-1)22〃-5,可化为k>斑

第9页(共15页)

令f(n)用立，

4n

当时，/(〃)<0：

当〃23时，/(/?)>0,

又f(n+l)-f(n)--贮二-咤<0，

4n+14n4n1

故当〃23时，/(〃)单调递减，

故f(nXf(3)

64

综上，f(n)《£，

64

所以k〉」j故〃最小值为-L.

6464

故答案为：X.

64

四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)由等差数列｛即｝的前〃项和为S”且S3=9,华=2。2+3,

可设公差为小则3田+3d=9,即〃i+d=3,

乂。|+4d=2(田+d)+3,即〃i+3=2d,

解得“1=1,(7=2,

所以斯=1+(；?-1)X2=2M-1；

11,11

⑵证明：无)，

(2n-l)・(2n+l)22n-l2n+l

=11

则T=bi+b0+…+b~X(———)+^-X(---)(-----------)+-^-()，

n12n21323522n-32n-l22n-l2n+l

化简得T」x'------」)」(1—

n213352n-l2n+l22n+l

因为〃wN”,所以o〈一故T＜工.

2n+ln2

16.【答案】(1)(x-1)2+(y-l)2=5；

(2)y=3或4x-3y+9=().

【解答】解：(1)设圆心坐标为C(加，/〃),

因圆C过点力(3,0),B(2,-1),故有|C4|=|C8|,

即J(m-3)2+m2=7(m-2)2+(m+1)

解得m=1,则C(l,1),圆的半径为遥,

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故圆C的方程为：(X-1)2+(y-1)2=5.

(2)如图，

直线/经过的点力(0,3)恰好在圆C上，

因直线/被圆C截得的弦长为2,故其斜率一定存在，

设直线/为/：厂3=去，即/：履-尹3=0,

过点。作。从LQE,垂足为万则〃E=1,又|CE|=粕，故得C〃=2,

即点。到直线/的距离为」J+2|=2,解得〃=()或k=4，

Vk2+13

即直线/的方程为：y=3或4J-3y+9=0.

17.【答案】见试题解答内容

【解答】ft?：(1)证明：由直四棱柱性质可知，在点。处有。力、DC,两两互相垂宜，

则以。为原点，分别以。力、DC、。切所在直线为工、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

因为侧棱力小=3,底面48C7)是边长为2的正方形，

所以。(0,0,0),B(2,2,0),Ci(0,2,3),5(0,0,3),

因为E是棱4C的中点，所以月(1,2,0),

则西=(0，2,3),DE=(1，2,0),西=(-2,-2,3)，

设平面GOE的一个法向量为1=(x,y,z)，

第11页(共15页)

n*DE=x+2y=0

则-------令y=-3,则x=6,z=2,所以］=(6,-3,2)，

n・DCi=2y+3z=0

显然。西二-12+6+6=0,则西，

又6。径平面CQE,所以85〃平面C\DE.

（2）由（1）知平面GQE的一个法向量为三=（6,-3,2），

而平面48。的一个法向量为\=（0,0,1），设平面G。七与平面力4。夹角为。，

贝UcosB=|cos<m,n>|=-5§

ImlIni1X77

所以平面CTDE与平面ABCD夹角的余弦值为2.

7

18.【答案】(1)(x-1)2+/=4.

(2)(/)过定点(0,U),证明如下，

因为尸。3_。8,PRtRB,所以点。、&在以P8为直径的圆G上，

可求得圆G的方程为（x+1）2+（了且）2=1^一②，

24

所以直线QR为圆Q与圆C的公共弦所在的直线，

由①-②，整理得4x-〃y=0,即直线。尺的方程为4.办=0,故直线0R恒过定点（（）.0）；

3）存在，尸（-3,±4）,面积最大为1.

,J，+y2」

【解答】解：⑴设―“由题意得嘿

J(x+3)2+y22

（/）证明：因为PQ_L08,PRLRB,所以点。、R在以尸8为直径的圆。上,

2

可求得圆C］的方程为（x+l）2+（y-L）2=W乙②，

24

所以直线QR为圆C1与圆C的公共弦所在的直线，

第12页（共15页）

由①-②，整理得4x・〃，=0,即直线”的方程为4「0，=0,故直线0R恒过定点(0.0)；

(a)当p=o时，点N、。重合，

当“W0时，因为NB1QR,点、N、O在宜线QR上，所以NB_LNO,

综上，点N在以8。为直径的圆上，I同方程为(>-工)2+丫2=工，因为

X

SAABN4lAB|X|yNl=2|yNH

又|八|</

所以当ly'」1寸，△力8N的面积最大为1,此时N(l,±L)，

222

又由RN,8三点共线，得kpB=kNB，即-E=±1,p=±4，

4

所以存在点尸，使△48N的面积最大为1,此时尸点坐标为(・3,±4).

19.【答案】(1)取m=2〃+L有am=4〃+1,

使得CnVam〈c〃+i，

因此数列｛斯｝是数列｛%｝的“分割数列”:

(2)数列｛S〃｝不是数列｛7｝的“分割数列”,理由如下:

若｛&｝是数列｛%｝的“分割数列”，

则V〃WN*,存在m使得n-2^Sm<n-1,

因此S〃犀Z,

但由题意得Sn皿用'，

故V〃正N*,smezf矛盾;

综上所述，数列｛&｝不是数列｛d｝的“分割数列”；

(3)aE(0,+8),洞2,+—).

【解答】证明：(1)取小=2〃+1,有。加=4〃+1,

使得/Va,”Vc〃+]>

因此数列｛斯｝是数列｛Cj的“分割数列”；

解：(2)数列⑸｝不是数列佃