周期变化-2025-2026学年高一数学下册课时狂练【教师版】

高一下•数学课时狂练

1.1周期变化

一、选择题

L若函数f(%)=tan(3x+9(3>0)的最小正周期为"，则下列结论正确的是()

4

A.f(2)>f(0)>/(--)

B.f(0)>f(2)>/(--)

C.f(O)>/(一»>/⑵

D./(--)>f(0)>f(2)

5

【答案】c

【知识点】函数的周期性

【解析】因为函数/■(%)=1211(幻工+》(3>0)的最小正周期为〃，所以(=%即3=1,所以

/(x)=tan(x+-),令一三+忆兀V%+上V*+kzr,k£Z,即一如+kzrVxV工+kzr,kWZ,当k=

424244

1时，汴xv.,/㈤在(.涔)上单调递增，又由f(0)=〃初/(_卞=/(一升7r)=/(£),

又由所以/(0)>/(2).

2,定义在R上的函数f(x)满足/(x+2)+/(x)=3,且f(1)=0,贝疗(2023)=

()

A.-3B.OC.lD.3

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】因为/Q+2)+/(%)=3,所以f(x+4)+f(x+2)=3,所以/'0+4)=/(%),即/(%)

是以4为周期的函数，所以/•：2023)=/(3)=3-/(1)=3.

3•探索下图所呈现的规律，判断2015至2017箭头的方向是()

0347811j2

LTLTLn一

125691013

A.।­►B.—JC.I~

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】观察题图可知：每增加4个数字就重复相同的位置，即周期为4,而2015=4x503+3,

则2015至2017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.

4,下列现象不是周期现象的是()

A.”春去春又回”B.钟表的分针每小时转一圈

C.”哈雷彗星”的运行时间D.某同学每天上数学课的时间

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】对于A:每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B:分针每隔

一小时转一圆，是周期现象：对于C:天体的运行具有周期性，所以“哈雷号星”的运行时间是周期

现象；对于D:某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是

周期现象.

5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0WXV2时，/(%)=%3-%,则

函数y=f(x)在区间[0,6]上的图像与x轴的交点个数为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】当0工》<2时，f(x)=x3-x,与x轴有两个交点(0,0),(1,0),因为/(%)是R上最小正周

期为2的周期函数，所以当2<4和4WXV6时分别有两个交点，另外当x=6时也有一个交

点，所以与x轴的交点个数为7个.

6若函数f(x)对于任意的％WR都有f(x+3)=-f(x+l),且f(1)=2013,则f[f(2013)

+2]+1=()

A.-2013B.-2012C.2012D.2013

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】由/(工+3)=-/(工+1)可知函数/(%)周期7=4,当x=0时可知，f(3)=-f(1)=

-2013,f(2013)=f(1)=2013,因此(2013)4-2]+1=/(2015)+l=f(3)+

1=-2012.

7.已知函数/(%)的定义域为R,满足f(%+2)=-〃%),当04%时，/(%)=%,贝lj

f(8.5)等于()

A.-0.5B.0.5C.-1.5D.1.5

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】因为f(%+2)=所以/•(%+4)=—fO+2)=—(—/■(%))=f(£),所以函数的周

期T=4,所以f(8.5)=f(8+0.5)=/(0.5)=0.5.

8,定义在R上的函数f(x)满f(x+6尸f(x)足.当一34工工一1时，/(x)=-(x+2)2,当

-1<%<3时，f(x)=x；则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2012)=()

A.335B.338C.1678D.2012

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】因为定义在R上的函数f(X)满足/'(x+6)=/(欠)，周期为6,当一34工工一1时，

/(X)=-(x+2)2,当一1=时，/(%)=%,因此可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)

+f(6)=l+2-l+0-l+0=l,故f(1)+/(2)+...+/(2012)=335x1+［/(1)+/(2)］=

338.

9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0,2］上是增函数，则()

A.f(2)<f(5)<f(8)B.f(5)<f(8)<f(2)

C.f(5)<f(2)<f(8)D.f(8)<f(5)<f(2)

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】Vf(x)满足f(x-4)=f(x),r.f(x-8)=f(x),工函数是以8为周期的周期函数,则f(-

5)=f(3)=-f(-l)=f(1)义・・・f(x)在R上是奇函数，f(0)=0,得f(0)=0,又・・・f(x)在区间

［0,2］上是增函数，f(x)在R上是奇函数，.・.f(x)在区间［-2,2］上是增函数，即/(8)<

f(5)<f(2).

10.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当24x43时，f(x)=5—2x,则

代)=()

A.--B.--C.-D.-

2442

【答案】A

【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性

【解析】因为函数/■(>)是定义在R上周期为2的偶函数，所以/(一=/0=/(：+2)=/•(£),

又因为当2—W3时，/,(%)=5-2%,所以/(*)=5-2x/=一/则/'(一习=一点

11.己知函数/(%)是定义在R上的奇函数，/(%)=/,(%+5),且/(一1)=1,则f(2025)

+f(2026)=()

A.-lB.OC.lD.2

【答案】A

【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性

【解析】因为函数，(丫)是定义在R上的奇函数，/(-1)=1,所以/(。)==-/(D,

所以/•(1)=-1,又/(%)=/(工+5),所以函数/(%)是周期为5的周期函数，M/(2025)+

f(2026)=r(405x5)+r(405x5+l)=f(0)+/(1)=-1.

12.下列函数中最小正周期为7T,且在区间(04)上单调递增的是()

A.y=sinxB.y=|sinx|C.y=cosxD.y=|cosx|

【答案】B

【知识点】函数单调性的性质；函数的周期性

【解析】AC、函数y=sin%、y=cosx的最小正周期为T=午=2兀工7T,故AC不符合；B、函数

y二|sin%|周期为T=7T,且在((),］)上单调递增，故B符合；D、函数y=|cosx|周期为T="，且

在(0；)上单调递减，故D不符合.

=

13.在数列｛。八｝中，已知%=1,an+1+=3(nGN*),则a202i()

A.1B.2C.3D.2021

【答案】A

【知识点】函数的周期性

［解析】因为的=1,an+1+=3(nGN")，所以的=2,a3=1,a4=2f...所以数列

a

｛an｝是以2为周期的周期数列，故a202i=i+ioiox2=%=1.

14.已知/(%)在R上是奇函数,且/。+4)=/Q),当x€(0,2)时，f(x)=2x2,则

/(7)=()

A.-2B.2C.-98D.98

【答案】A

【知识点】函数的周期性

【解析】・・)。+4)x)是以4为周期的周期函数，由于r(x)为奇函数，，/(7)

=/(7-4X2)=/(-I)=-f(1),而/(I)=2,即f(7)=-2.

15.数列｛斯｝满足的=［，an+1=1--,则a2oi9等于()

A.iB-1C.2D.3

2

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】由题意可得：。2=1=—1,。3=1=2,。4=1-=-=,故数列｛。八｝

a2«32

是周期为3的周期数列,则七oi9=r373X3=。3=2.

16.将函数/。)=2$而(3%+0)的图象向左平移5个单位，若所得图象与原图象重合，则

3的值不可能为()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】由题意知，三为函数y=/(x)的周期，则码=?(k£Z),：.e=4k(kEZ),所以，

2co2

a是4的倍数，6不是4的倍数.

17.下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是()

A.y=cos2xB.y=sin2xC.y=sin2x+cos2xD.y=tan2x

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】A中，由于函数y=cos2x是偶函数，所以A不正确.B中，由于函数y=sin2x是奇函

教，且周期为7T,所以B符合题意.C中，由于y=sin2x+cos2x=夜sin(2x+：)是非#非偶函

数，所以C不正确.D中，由于函数丫=tan2x是奇函数，但周期为所以D不正确.

18.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x£［3,5］时，f(x)=2-|x-4|,

则下列不等式一定成立的是()

A.f(cos—)>f(sin—)

33

B.f(sin1)<f(cos1)

C.f(sin-)<f(cos-)

66

D.f(cos2)>f(sin2)

【答案】B

【知识点】函数的周期性

e

【解析】•“(x+2)=f(x),・••函数的周期为2,•・•当xG［3,5］时，f(x)=2-|x-4|,..Xe［l,

2］时，f(x)=x,故函数f(x)在［1,2］上是增函数，xG(2,3］时，f(x)=4-x,故函数f(x)

在［2,3］上是减函数，又定义在R上的f(x)满足f(x)=f(x+2),故函数的周期是2,所以函

数f(x)在(-1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，观察四个选项：A选项中f(cos?)

=f(-1)=f(11,f(sin芬)=f(V)=f(2+1)=2-故A不对；B选项中0<cosl

2233222

<sinl<l,故B为真命题；C选项中sin匕VcosCVI,故C为假命题；D选项中f(cos2)=2-

66

cos2>2>f(sin2)=2-sin2,综上，选项B是正确的.

19.若函数f(x)是以］为周期的函数，且f(9=1,则f喘r)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知识点】函数的周期性

【解析】•.•函数f(x)是以三为周期的函数，且f(£)=1,；.f(工ri)=f(4X-+-)=f

231626

(邛)=f(手=f(2)=］.

6623

20.定义在R上的函数f(x)是周期为6的奇函数,若f⑵>1,f(4”等，则m

的取值范围是()

2

A.m<-B.mV2且mW-1

33

22

C.-l<m<-D.m<-1或m>-

33

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】依题意f(x)=f(x-6),：.f(4)=f(4-6)=f(-2),•.•西数f(x)为方函数,

⑷=-f(2),,・旺(2)>「・,(4)=等<一

21.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+3),如图表示该函数在区间(-2,

1］上的图象，则f(2011)+f(2012)等于()

X

A.3B.2C.lD.0

【答案】A

【知识点】函数的周期性

【解析】•・•定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+3),・•・函数f(x)的周期是3,・・・f

(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=f(1)+f(-1),由用象可知f(1)=1,f(-1)=2,Af

(2011)+f(2012)=f(1)+f(-1)=1+2=3.

22.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()

A.432I234AB.23】L2i

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】对于D,xG(-1,I)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数.

23.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数.对于命题:

①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、

g(x)、h(x)均是以T为周期的函数；

②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h

(x)均是增函数，

下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为直命题，②为假命题D.①为假命题，②为直命题

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】对于①，Vf(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T),f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T),

h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T),前两式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T),

结合第三式可得：g(x)=g(x+T),h(x)=h(x+T)，同理可得：f(x)=f(x+T),所以①

是真命题.对于②，举反例说明：f(x)=2x,g(x)=-x,h(x)=3x;f(x)+g(x)=x,f(x)

+h(x)=5x,g(x)+h(x)=2x都是定义域R上的增函数，但g(x)=-x不是增函数，所以②

是假命题.

24.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,xElO,2)时，f(x)=3八x・1,

则f(2015)的值为()

A.8B.OC.2D.-2

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】:函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,.・.f(x+4)=-f(x+2)=f(x),，f(2015)=f

(503X4+3)=f(3)=-f(1),VxG[0,2)时，f(x)=3Ax-1,Af(1)=3-3=2.则f(2015)

=-2.

25.定义在R上的函数/(x)满足f(x+3)=-/(x),当一3<x<一1时，f(x)=-(x+2)2,

当一1时，/(》)=七则/(1)+/(2)+/(3)+•••+/(2013)=()

A.338B.337C.1678D.2013

【答案】B

【知识点】函数的周期性

【解析】因为，定义在R上的函数/(%)满足/。+3)=-/(%),所以，f(x4-6)=/[(x+3)4-

3]=-/(x+3)=/(x),f(x)是周期为6的周期函数.又当一3Mx<-1时，f(x)=-(x+2)2,当

一1Wx<3时，f(x)=工所以，f(1)=1J(2)=2J(3)=-1J(4)=0,/(5)=

-1J(6)=0,2013=6x335+3,故f(1)+/(2)+f(3)+•••+/(2013)=

335(1+2—1+0—1+0)+1+2-1=337.

26.对于仟意实数x,符号［x］表示不超过x的最大整数，例如［-1.5］=-2,［2.5］=2,定义函数

｛x｝=x—［幻，则给出下列四个命题：①函数｛x｝的定义域是R,值域为［0,1］；②方程

｛灯=］有无数个解；③函数｛x｝是周期函数；④函数｛x｝是增函数.其中正确的序号是

()

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】,・,函数｛x｝的定义域为R,又・・・｛x+l｝=(x+l)-［x+l］=x-［x］=｛x｝,・•・函数｛x｝=x-［x］是周期为1

的函数，J③是正确的，当OWxVl时，｛x｝=x-［x］=x-O=x,・••函数｛x｝的值域为［0,1),・••①错误，

当时，｛x)=1,又•・•函数｛x｝=x-［x］是周期为1的函数，，x3+k时(k£Z),｛x｝=；,・'.②是正

确的，•・•函数｛X｝是周期为1的函数，.•,函数｛X｝不是单调函数，，④错误.

27.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(-2,1］上的图像,

则/(2013)+/(2014)=()

A.3B.2C.lD.0

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】/(2013)=/(3X671)=/(0)=0,/(2014)=/(3x671+1)=/(1)=1,

所以f(2013)+f(2014)=1.

28.定义在R上的函数f(x)满足f(%)=[+2)=/(%)，g(%)=2

IX,XE|-1,U)

则方程/(%)=g(x)在区间［-3,7］上的所有实根之和最接近下列哪个数()

A.10B.8C.7D.6

【答案】A

【知识点】函数的周期性

【解析】易知g(%)=邑的图象关于点(2,0)对称,则f(x)=g(x)的根也关于点(2,0)对称，设

/(%)=gQ)图像交点的横坐标为％1，%2，%3，%4，%5，再根据函数图象，可以发现与+%>2X2,

X2+X4>2X2,则/+%2+丫3+%4+>5>9,故选A.

1XGQ

29.设函数。(冷OXWQ则下列结论错误的是()

A.D(x)的值域为｛0,1｝B.D(x)是偶函数

C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数

【答案】C

【知识点】函数的周期性

XGQ

所

【解析】因为，D(x)Xe0以函数的值域为｛0」｝;因为，不是有理数或无理数时，一工

依然为有理数或无理数，所以，函数值不变，即D(x)是隔函数：因为，OQ十1)=

LX+1GQir1X6Q

——

=《

仇+1WQ—O—£Q

XkIX1为其一个周期，故C错.

3。.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=l对称，若函数

/,(%)=VJ(0<%<1),则/(-5.5)()

A.—B.1.5C--D.-1.5

22

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】因为函数/(X)是定义在R上的奇函数所以可得r(-%)=-/'(%).又因为它的图像关于直线

x=l对称所以可得/'(%)=r(2-x).由上面两式可得一/'(-%)=/(2-x).由此可递推得/(2-%)=

-f(-x)=/(-2-x).所以函数f(x)周期为4.所以/(-5.5)=/'(-1.5)=-/(1.5)=-f(2-

0.5)=—/(0.5)=--y.

31.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(-2,1］上的

【知识点】函数的周期性

【解析】/(2013)=/(3x671)=/(0)=0,/(2014)=/(3x671+1)=/(1)=1,

所以f(2013)+/(2014)=1.

32.已知定义在R上的函数f(x)满足/(%)=且/(-2)=/(-1)=-1,f(0)

=2,则/(1)+/(2)+/(3)+•••+/(2013)=()

A.-2B.-lC.OD.1

【答案】C

【知识点】函数的周期性

【解析】•・・f(x)=-f(x+|),・・・f(x)=f(x+3),・・・f(X)是周期为3的周期函数，・・・f(-2)=f(-

1)=-1,f(0)=2,・・・f(1)=f(-2)=-l,f(2)=f(-1)=1,f(3)=f(0)=2,・・・f(1)+f(2)+f(3)

+...+f(2013)=671X[f(1)+f(2)+f(3)]=671X(-1-1+2)=0.

33.设函数/(x)的定义域为RJQ+l)是偶函数，/(x+2)是奇函数，且当x€[1,2]时，

f(x)=ax2+h,若f(0)+f(3)=4,则/'(?)=()

A.-3B.--C.~D.3

33

【答案】B

【知识点】函数的奇偶性；函教的周期性

【解析】•・•/■(%+1)是偶函数，・・・f(r+1)=f(x+1),二/(x)=f(2-x).v/(x+2)是奇函数,

：.f(2)=4a+b=0,且/(r+2)=-/(x+2),.,./(x)=-/(x+2)=/(x+4)"/(0)=

f(2)=0J(3)=-f(1)=(0)+f(3)=-b=4.由：二:，解得

Q=〃=-热.•.当xjl,2]时，/(%)=#-泽・・・/田=/0/(|)=公()—六

_7

"3,

34.下列函数是周期为7T的偶函数是()

A.y=sinxB.y=|sinx|C.y=tanxD.y=cosx

【答案】B

【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性

【解析】对于函数丁=sinx,sin(-x)=-sinx,是奇函数，周期T=2TT,A错误；对于函数＞=

|sinx|,|sin(—x)|=|-sinx|=|sinx|,是偶函数，|sin(x+TT)|=|-sinx|=|sinx|,周期是TT,B

正确；对于函数丁=tanx,tan(—x)=-tanx,是奇函数，周期丁二"，C错误；对于函数y=cos》,

cos(—%)=cosx,是偶函数，周期7=2TT,D错误.

35.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数

学模型是函数y=Asinwc声音的音调、响度、音长和音色等要素都与正弦函数及其参数有

关.比如：振幅会影响响度，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；频率会影响音

调，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.平常我们听到的每个音都是由纯音合成的，

可用函数/(x)=sinx+|sin2x+|sin3x+^sin4x+…来描述.设某声音甲的函数模型为

/(%)=sin%+|sin2x+|sin3x,纯音乙的函数模型是g(%)=：sin2x,结合上述材料进行

分析，下列说法正确的是()

A.函数/(x)=sinx+|sin2x+|sin3x+；sin4xH-----h^^sin2024x的图象关于y轴对

称

B.函数/(x)=sinx+|sin2x+装也》在区间[一,一勺上单调递减

C.声音甲的响度一定比纯音乙的响度小

D.声音甲一定比纯音乙更低沉

【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性：函数的周期性

【解析】A、f(―x)=—sinx-]sin2x-]sin3x--------^^sin2024%=—/(%),为奇函教，图象关

于原点对称,A错误;B、%W[—]一勺,2%W[*,_勺,3%W[心,一勺,y=s\nx,y=|sin2x,y=

bl/5oZ4/

工sin3x都在该区间上单调递增，所以/(x)单调递增，B错误；C、/(^)=sin1sin-sin/r=

«5J4At3

唱,"甲振幅更大，响度更大，C错误；D、f(x)周期2九，g(x)周期7T,/(%)频率小，更低沉,

D正确.

36.已知函数/(%)是定义域为R的奇函数，/•(%+2)+/(%)=0.当0工/41时,/(x)=2x,

则/(211)=()

A.-2B.-lC.OD.2

【答案】A

【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性

【解析】由题意，得/'(%)=-f(x+2)=/。+4)=-/(一叉)，所以f(x)的周期是4,所以

f(211)=/(-1)=-f(1)=-2.

37.已知函数f(%)对都有/(%)=/(%+6)+/(3),若y=/(x+2)的图象关于直

线X=-2对称，且对V/,%2€[0,3],当％1。小时，都有。2-%1)•[/(X2)-/(%1)]<0,

则下列结论正确的是()

A/(2)=0B./(x)是奇函数

C/(x)是周期为4的周期函数D./(2023)>/(-2024)

【答案】D

【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】B、因为函数丫=f(x+2)的图象关于直线久=一2对称,所以y=/(行的图象关于直线

%=0对称，且定义域为R,所以/•(>)是偶函数，B错误；C、对Vx6R都有/■(%)=/(%+6)+

f(3),取％=—3得/•(-3)=f(3)+f(3),又/'(x)是偶函数，所以/•(-3)=f(3),即

f(3)=0,则f(%)=f(x+6),周期为6,C错误；D、f(2023)=f(1),/(-2024)=

f(2024)=/(2),由题意f(x)在［0,3］上单调递减，所以f(1)>/(2),即/(2023)>

/(-2024),D正确；A、fQ)在［0,3］上单调递减，f(3)=0,则f(2)>0,A错误.

38.筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，

已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m,

设筒车上某个盛水筒P,以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达

最高点的时间(单位：s)为()

水面

A.7D.10

【答案】D

【知识点】函数的周期性

【解析】过O做OQ垂直水面，Pi为最高点，如图所示一，由题意停OQ=

3,OP=6,所以cos4POQ=当=工，则乙POQ=Z所以/POP1=史,所以盛水筒P出水后第一

次到达最高点要旋转?，即为7个周期，又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，所以盛水

筒P出水后第一次到达最高点用时gx30=10秒.

二、多项选择题

39.若函数/(x)是定义在/?上的奇函数，且满足/(x)=f(4-x),当xw［-2,0)时，/(%)=

-%2,则()

A/(8)=0

B/(x)在［-6,-2］上单调递增

C.fW=-/(x-4)

D.x/(x)=1在［-6,6］上的实数根之和为0

【答案】A,C,D

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】A、由奇函数得/•(0)=0,由f(x)=f(4-x)令无=0得r(0)=f(4)=0,则

f(8)=/(-4)=-f(4)=0,A正确；B、由/(x)=八4一%)得/(一乃=/(4+x),即/(4+

x)=-/(x),故/(8+x)=—/(4+x)=/(%),周期为8,图象关于％=2对称，作出图象可知在

「一6,-2］上单调递减，B错误；C、由奇函数和f(x)=f(4-x)得r(x)=-八%-4),C正确；D、

%/(%)=1即/'(%)=1,作y=/(第)和y=［图象，两者均为寄函数，交点横坐标之和为0.D正确.

40.已知函数y=/(x+1)的图象关于直线％=1对称，且VxCR,有/(x)+/(-乃=2,

当％6［0,2］时，/(x)=sinx+1,则下列说法错误的是()

A/Q)=f(x+8)B/(x)的最大值为1+sin2

C.f(2022)=1+sin2D.y=/(x+2)-1为奇函数

【答案】B,C,D

【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】函数y=/(%+1)的图象关于直线x=1对称，则y=f(x)关于直线第=2对称，则有

f(2-x)=f(2+x),则/(-%)=/(%+4),又/(%)+/(-%)=2,则/•Q+4)+/Q)=2,/(x+

8)+f(%+4)=2,两式相减得fQr+8)=f(%),A正确；T6［0,2］时，/(x)=sinx+l,最大值

为/()=2>l+sin2,B错误；)(2022)=f(253X8-2)=f(-2)=2-f(2)=2-1-

sin2=1-sin2,C错误；因为/(2-x)=/(2+x),则/(x+2)-1=/(-%+2)-1,是偶函数,

D错误.

41.己知函数/'(%)=sinxcos2%,则下列关于函数f(%)的结论中，正确的是()

A.最大值为1B.图象关于直线x=对称

C.既是奇函数乂是周期函数D.图象关于点(午,0)中心对称

【答案】A,B,C

【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性

【解析】A、因为一1Msinx<1,-1<cos2xV1,所以一1<sinxcos2x<1,当％=一三时，值为

4

1,最大值为1,A正确；B、/(-^+x)=cosxcos2x,/(-^-%)=cosxcos2x,故关于直线％=

一(对称,B正确；C、/(-%)=-sinxcos2x=-/(%),为奇函数，f(x+2TT)=sin(x4-

2TT)COS(2X4-4TT)=sinxcos2x=/(x),周期为2TT,C正确；D、/(y-%)+f(x)=COSACOS2X+

sinxcos2x=cos2x(sinx4-cosx)不一定为0,D错误.

42.已知函数/(%)的定义域为R,/(%+1)-1为奇函数，/(%)为偶函数,且当工€[0,1]时,

/(x)=—X2+2,贝lj()

A.鹉4/(。=2024

B./Q0的图象关于点(3,0)成中心对称

C.当%6[5,7]时，/(x)=(%-6)2

D.方程/(%)=/(%-2)的解为％=2k+l,keZ

【答案】A,C,D

【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】A、由/'(x+D—l为奇函数得/(I一％)—1=一/(1+乃+1,即/'(l-x)+f(l+x)=2,

/-(x+2)+/(-X)=2,又/'(乃为偶函数，^/(%+2)+/(x)=2,所以/'(x+4)=2—/Q+2)=

/(X),周期为4,f(0)=2,f(1)=1"(2)=0,/(3)=1,E言Ff(i)=506x(1+0+

1+2)=2024,A正确；B、由/'。+2)+/'(—％)=2得对称中心为(1,1),又周期为4,则图象关

于点(3,1)成中心对称，B错误；C、当工时，/(%)=-%2+2,当工€[1,3]时，/(%)=

(r-2)2,当工€[5,7]时，/(X)=/(X-4)=(x-6)2,C正确；D、由周期性、对称性可知方程

f(x)=/。-2)的解为全体奇数，D正确.

43.已知函数y=f(x)的定义域为R且具有下列性质：

①y=f(x)是奇函数；

②f(x+2)+f(4-x)=f(3)；

2

③当x£(0,3),f(x)=-^x+函数g(x)=log12|x|.

下列结论正确的是()

A.3是函数y=f(x)的周期

B.函数y=f(x)在G，£)上单调递增

C.函数y=g(x)与函数y=f(x)的图像的交点有8个

D.函数y=f(x)与函数y=log_ax(a>0,a^l)的图像在区间(0,15)的交点有5

个，则实数a>孑

【答案】B,C

【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系

【解析】A、令丫=1得/(3)+f(3)=f(?),即/(?)=0,0>J/(r+2)+/(4-r)=O,

即/(x+3)+/(3-x)=0,又奇•函数得/(3-x)=-f(x-3),所以/(x+3)=/(%—3),周期为

6,A错误；B、C、作出/Xx)与g(x)图象，可得/1(%)在弓中)上单调递增，两图象有8个交点，B、

C正确；D、若在(0,15)有5个交点，由图可知Q>孑或0<Q〈卷，D错误.

44.已知f(x)是定义域为R的偶函数，/自+1)为奇函数，当工€[-1,0]时，/(%i=3x-i,

则()

A.当[0,1]时，/(%)=3-x--

3

B.当％G[1,2]时，/(%)=-3%+2+：

O

(2/0)在(3,4]上单调递增

D./(2026)=

【答案】A,C,D

【知识点】函数的奇偶性；函教的周期性；指数函数的单调性与特殊点

【解析】A、当％6[0,1]时，-xe[-1,0],/(-x)=3-x-1=/(x),A正确；B、由/停+1)为奇

即数得fQ+l)=—/(一%+1),即/■(%)=-/(-x+2),当工€[1,2]时，-%+2G[0,l],/(-x+

2)=3-<-x+2)-1=3X-2--=-/(x),所以/(x)=-34-2+3B错误；C、由/'(%)=f(—x),

/(-x)=-/(-x+2)^f(x)=-f(x+2),即/(x+4)=f(x),周期4,当xW时f(x)=

3*一工单调递增，则(3,4]上单调递增，C正确；D、f(2026)=f(2)=-3°+D正确.

333

45.y=f(x)定义域为R,y=f(%+2)为偶函数，f(2)=1且/(%)=g(2x)-g(4-2x),

则下列说法正确的是()

A.y=/(x)的图象关于(1,0)对称B.y=f(x)的图象关于x=2对称

C.4为y=/(©的周期D.E跄"(£)=0

【答案】A,B,C

【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】A、由/(x)=g(2x)-g(4-2x)得/(2-x)=g(4—2%)-g(2x)=—/■(%),所以/(x)+

/(2-x)=0.关于(1,0)对称，A正确：B、y=f(x+2)为偶函数，所以f(%+2)=f(-%+2).

图象关于％=2对称，B正确；C、由/(x)=-/(2-0=一/(2+%)得/(%+4)=/(%),周期4,

C正确：D、令x=1得f(1)=0,f(3)=f(1)=0,f(0)=-f(2)=-1,

=S[f(1)+f(2)+/(3)+f(4)]+/(1)+f(2)=5(0+1+0-1)+0+

1=1,D错误.

46.关于函数/(%)=|sinx|+|cos2x|(xeR),如下结论中正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期是三

B.函数/(x)的图象关于直线x=]对称

C.函数/•(%)的值域是(0,2]

D.函数f(x)在&力上单调递减

【答案】B,D

【知识点】函数的值域；函数妁单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】A、/Q+彳)=|cosx|+|cos2x|H/(%),周期不是A错误；B,f(n—x)=|sinx|+

|cos2x|=/(%),图象关于对称，B正确；C、/(%4-yr)=/(%),周期为江，当％W[。,5时，

值域为停,2],所以值域为[4,2],C错误;D、当x£(7，4)时，f(x)=sinx—cos2x=2sin2%4-

sinx-1,令t=sinx递减，y=2/+t-1在tw笠，1)上递增，复合得/(%)递减，D正确.

47.已知定义在R上的函数/(%)在区间上单调递增,且满足f(4一%)=/(%),/(2-

%)=一/0)，则()

A.E松"(Q=oB./C0.9)+f(1.2)<0

C./(2.5)>/(log280)D./(sinl)</(inJ)

【答案】B,C,D

【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性

【解析】由/'(4一%)=f(x)得关于％=2对称，由/'(2—％)=—/(%)得关于(1,0)对称，从而周期为

%

2-

-2/1034%x

/-1

4,且为偶函数，在上递增，大致图象如图.由对称性得f(1)+

f(2)+f(3)+f(4)=0,£理if(k)=0+0+/(1)+/(2)=f(2)工0,A错误：

/(0.9)+/