第4章 图形与坐标（单元重点综合测试）解析版

第4章图形与坐标（单元重点综合测试）

（考试时间：120分钟;满分：120分）

姓名班级考号

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2023秋•萧山区月考）在平面直角坐标系中，点力（-2022,2023）位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据直角坐标系中每个象限内点的坐标特征辨别即可.

【解答】解：•・"（-2022,2023）,

・•・点力横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限.

故选：B.

2.（3分）（2023秋•余姚市校级期中）点尸（3,-5）关于x轴对称点的坐标是（）

A.（3,-5）B.（-3,5）C.（-5,-3）D.（3,5）

【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案.

【解答】解：点尸（3,-5）关于x轴对称点的坐标是（3,5）.

故选：D.

3.（3分）（2023•拱堂区校级开学）如图，如果点8的位置用数对表示为（2,1）,那么下面描述不正确的

A.线段。，绕O点顺时针旋转180°,A,〃两点重合

B.点8在点力东偏北45°方向上

C.点力的位置用数对表示为（4,3）

D.点A向正南方向移动2cm,再向正西方向移动2cm,点、A到达点B的位置

【分析】根据题意逐•判断即可.

【解答】解：A.线段绕O点顺时针旋转180。，力、4两点重合，故本选项不符合题意;

B.点E在点力西偏南45°方向上，故本选项符合题意；

C.点力的位置用数对表示为（4,3）,故本选项不符合题意；

D.点A向正南方向移动2cm,再向正西方向移动2c〃?，点A到达点B的位置，故本选项不符合题意.

故选：B.

4.（3分）（2023秋•西湖区校级期中）在直角坐标平面内，点/的坐标为（1,0）,点4的坐标为（。，0）,

圆力的半径为2.若点8在圆上，则。值为（）

A.2或3B.-1或3C.-3或1D.-3或2

【分析】根据力的坐标和圆4的半径以及两点之间的距离即可求出答案.

【解答】解：:彳（1,0）,4的半径是2,

：.AB=2,

・・・|a-ll=2,

解得。=-1或3.

故选:B.

5.（3分）（2024春•丽水期末）在直角坐标系中,点力（1,〃）和点8（b,-5）关干原点成中心对称.

则a-b的值为（）

A.-4B.4C.-6D.6

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P

（x,y）关于原点。的对称点是户（-x,・y）,进而得出答案.

【解答】解：•・•点力（1,。）和点4（4-5）关于原点成中心对称，

a=5,b=-L

a-b=5+\=6.

故选：D.

6.（3分）（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则〃点

的坐标为（）

A.（5,-3）B.（-5,3）C.（3,-5）D.（-3,5）

【分析】首先确定点的横纵坐标的正负弓，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标.

【解答】解：•••点尸位于第二象限，

・•・点的横坐标为负数，纵坐标为正数，

•・•点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，

・•・点的坐标为（・3,5）.

故选：D.

7.（3分）（2023秋•蛛州市期末）若aVO,b>0,则点1,b+1）在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可.

【解答】解：..ZVO,b>0,

：.a-KO,b+\>0,

・••点（a-1,b+\）在第二象限，

故选:B.

8.（3分）（2023秋•上城区校级期中）如图,已知点4（1,1）,8（4,1）,则线段48上任意一点的坐标

可表示为（）

...，一_」・一」..

।《।।।

।।।।

.L3-

A.(1,y)(lWyW4)B.(x,1)(1WXW4)

C.(1,y)(l<y<4)D.(x,1)(l<x<4)

【分析】根据/、〃两点纵坐标相等，可确定力8与x轴平行，即可求解.

【解答】解：•・•点力的坐标为（1，1），点8的坐标为（4,1）,力、8两点纵坐标都为1,

:、ABHx轴，

・•・线段48上任意一点的坐标可表示为（x,1）（1WXW4）.

故选:B.

9.（3分）（2024春•海曙区校级期末）如图，在中，从顶点力的坐标为（2.0）,以4B

为边向△480的外侧作正方形48c将组成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转45°,则第2024次

旋转结束时，点。的坐标为（）

C.(-1,2-W2)D.(3,1)

【分析】由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解.

【解答】解：•••360°+45°=8,

・•・经过8次旋转后图形回到原位置.

720244-8=253,

・•・旋转2024次后恰好回到原来图形位置,

过点。作。E_Lx轴十点£.

由题意可得彳。=2,△48。是等腰直角三角形,

：•AB=2y-A0=V2-/初0=45°・

乙

•・•四边形/8CQ是正方形，

AAD=AB=V2»/84。=90°，

AZDAE=45a,

・••在Rt"Z)E中，DE=AE=^AD=1*

：,OE=AO+AE=3,

・••点。的坐标为（3,1）.

故选：D.

10.（3分）（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标是（0,2）,以O4为边

在y轴右侧作等边△0441，过点小作x轴的垂线，垂足为0,以Q小为边在右侧作等边△。［小力2,

再过点42作X轴的垂线，垂足为。2，以。242为边在右侧作等边AO24243,…，按此规律继续作下去,

【分析】根据点力的坐标是（0,2）,以04为边在右侧作等边三角形。4小，过点小作x轴的垂线，垂

足为点5，得点小的纵坐标是2乂身艮据以0小为边在右测作等边三角形5小42,过点A2作x轴的

垂线，垂足为点。2,得点42的纵坐标是2X（1）2此类推，得点血024的纵坐标是（工）2°23,得到问

22

题答案.

【解答】解：:点力的坐标是（0，2）,以。/为边在右侧作等边三角形。力小，过点小作x轴的垂线,

垂足为点。|，

a

/.ZA}OOi=90-60°=30°,。小=04=2,

J小O|=4小=2X_k,点小纵坐标是2X_lx_k,

2222

•・•以O/|为边在右侧作等边三角形小山，过点生作x轴的垂线，垂足为点。2，

••・N/hQO）=90°-60°=30°,0|42=小。1=2X工，

--2

・"2O2=LM2=2X」LX』，点儿的纵坐标是2义工乂工，即2X（A）2,

222222

•・•以O2A2为边在右侧作等边三角形。242小，

同理，得点前的纵坐标是2X（1）3,

2

按此规律继续作下去，得：点42024的纵坐标是2X（1）2024=（1）2023,

22

故选：A.

填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）（2023秋•衢江区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜.其中棋盘、棋子都缜含着

中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为（・2,1）,“土”所在位置的坐标为（0,-2）,“相”

所在位置的坐标为（3,-2）,则“马”所在位置的坐标为（・2,・2）

•-T*T-T-T""I"*"I"""I"-",

---1----1----1----1----:

■」

:额:…：

【分析】根据题意建立平面直用坐标系，根据坐标系，即可求解.

【解答】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示，

・•・“马'’所在位置的坐标为（-2,-2）,

故答案为：（-2,-2）.

12.（3分）（2023春♦路桥区期末）已知点尸（3,1）,点。在第四象限，若直线尸。垂直于x轴，则点。

的坐标可以是（3,-1）（答案不唯一）.（写出一个即可）

【分析】根据垂直于x轴的直线上的所有点的横坐标相等，即可解答.

【解答】解：已知点P（3,1）,点0在第四象限，若直线P。垂直于x轴，则点。的坐标可以是（3,-

1）,

故答案为：（3,-1）（答案不唯一）.

13.（3分）（2023春•椒江区期末）点力（3-a,2a-4）在x轴上，则点力的坐标是（1，（））.

【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0可计算出a的值，再代入横坐标计算，从而求出点力的坐标.

【解答】解：•・•点/（3-a,2〃-4）在x轴上，

/.2a-4=0,

:.a=2,

••・3・。=3・2=1,

・•・点力的坐标是（1,0）,

故答案为：（1,0）.

14.（3分）（2023秋•上城区期末）已知歹轴负半轴上的点M（1-a,b-到原点的距离为2,则n=

1,b=-1.

【分析】根据在y轴负半轴上的点的坐标特征：横坐标是0,纵坐标的绝对值是到原点的距离，进行解

答即可.

【解答】解：•・•点M在y轴上，

:.1-4=0,

又•・•点M在y轴的负半轴上，到原点的距离为2,

••b-1=-2,

解得。=1，

5=-1,

故答案为：1，-1.

15.（3分）（2023春•椒江区月考）在平面直角坐标系中，P（1.1）,点。在第二象限，轴，若尸。

=5,则点。的坐标为（-4,I）.

【分析】先根据PQ〃x轴可知P、。两点纵坐标相同，再由PQ=5可得出。点的横坐标.

【解答】解：•"（1,1）,P0〃x轴，

・・・0两点纵坐标为1,

•・•点。在第二象限，P0=5,

・••点。的坐标为（・4,1）.

故答案为：（-4,1）.

16.（3分）（2023春•华容区期中）如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对〔，〃，〃）表示

冽排从左到右第〃个数.如（4,3）表示9,则（15,4）表示109.

1

23

456

78910

【分析】每排数据的个数等于排号数，则可计算出前14排共有105个数，然后再往后数4个数即可.

【解答】解：前14排共有1+2+3+…+14=105个数，

所以第15排的第4个数为109,即（15,4）表示109.

故答案为109.

17.（3分）（2023•诸暨市模拟）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点/到x轴、y轴距离的较大

值，称为点片的“长距”，当点。的“长距”等于点。的“长距”时，称P,0两点为“等距点”，若P

（-I,4）,Q（什3,4八3）两点为“等距点”，则A的值为■或1.

4

【分析】根据题意可得：|什3|=4或|4k-3|=4,然后分两种情况进行计算，即可解答.

【解答】解：•・•尸（-1,4）,Q33,必・3）两点为“等距点”,

••平+3|=4或|44・3|=4,

当|4+3|=4时，

・・/+3=±4,

解得：k=\或〃=-7,

当左=1时，叶3=4,4k-3=1,点Q（4,1）的“长距”等于4；

当左=-7时，A叶3=-4,软-3=-31,点0（-4,-31）的“长距”等于31,不符合题意，舍去：

当|软・3|=4时，

・・.4八3=±4,

解得：―上或k=-―,

44

当上=义卜j,什3=」且，锹-3=4,点。（空，4）的“长距”等于22,不符合题意，舍去：

4444

当人=-4付，63=红，4〃-3=-4,点。（红，-4）的“长距”等于4；

444

综上所述：A的值为-工或I,

4

故答案为：-工或1.

4

18.（3分）（2023秋•拱壁区月考）如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段C。（点。在点C右侧）在

工轴上移动，A（0,2）,B（0,3）,连接力C,BD,则力C+B。的最小值为_729_•

【分析】将线段08向左平移到CE的位置，作点4关于原点的对称点4',连接CH,EA1.再作点

,4关于x轴的对称点⑷，则@（0,-2）,进而得出4C+8Q的最小值为力宏，即可求解答案.

【解答】解：如图，将线段向左平移到CE的位置，作点力关于原点的对称点H,连接CR,

EA）.

+CE>EA',

EA'=^22+52=/^29,

:.AC+BD的最小值为鱼

故答案为：V29.

三.解答题（共7小题，满分66分）

19.（8分）（2023春•台州期中）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方

向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为1：1000（）而且取实际长度10（）米为图中的1个单位长度，解答

下面的问题:

(1)请写出西门、中心广场、音乐台的坐标.

(2)若一个点的坐标是（100，-300）,描述它的位置.

(3)若东门的坐标是（400.0）,请在图中描出坐标系.

(4)若望春亭的坐标是（300,-100）,它是以谁为坐标原点呢？

【分析】（1）确定坐标系后，根据各象限内点尸（。，〃）的坐标特征，即第•象限：a>0,b>0；第二

象限：QVO,b>0；第三象限："VO,b<0；第四象限：a>0,b<0,即可作答.

（2）根据题意和该点的坐标（100,-300）,即可解答.

（3）根据东门的坐标是（400,0）,先找到原点的位置，即原点在东门向左4个单位的位置，该点为中

心广场，再描出坐标系即可.

（4）望春亭的坐标是（30（）,-100）,所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置.

【解答】解：（I）以公园的湖心亭为原点，即以湖心亭为点。即为平面直角坐标系原点，

以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，

所以根据图片可知，西门在第三象限，其坐标为（・200,-200）,

中心广场在第四象限，其坐标为（300,-200）,

音乐台在第一象限，其坐标为（30（）,200）.

（2）根据题意可知，以湖心亭为点0即为平面直角坐标系原点，以正东、正北方向为大轴、y轴正方向

建立平面百角坐标系.

所以一个点的坐标是（100，-300）,则该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置.

（3）若东门的坐标是（400,0）,原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，据此作图如下：

（4）因为望春亭的坐标是（300,-100）,所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位

置，

即这个点为西门.

20.（8分）（2024•宁波模拟）已如力为平面直角坐标系内一力-且点4的坐标为（2,2）,将点力向下平

移3个单位长度至点B.

（1）求点8的坐标：

（2）分别求出点力关于x轴的对称点的坐标，点4关于），轴的对称点的坐标.

【分析】（1）根据平移的性质求解即可；

（2）根据轴参对称的性质“关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴

的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数”求解即可.

【解答】解：（1）•・•点噌的坐标为（2,2）,

・•・点力向下平移3个单位长度至点8的坐标为（2,2-3）,

・••点8的坐标为（2,-1）；

（2）点、A（2,2）关于x轴的对称点的坐标为（2,-2）,

点4（2,-1）关于y轴的对称点的坐标为（-2,-I）.

21.（8分）（2024春•临海市期末）如图，在平面百角坐标系中，二角形力〃。的顶点坐标分另।.为力（4,5）.

B（4,1）,C（1,2）,将三角形力8。进行平移，使点/与坐标原点O重合，得到三角形。8C,其中

B）,C分别为点8,C的对应点.（1）画出三角形。后。；

（2）若点尸（〃?，〃）为三角形ABC内一点,则平移后点P的对应点P'的坐标是（m-4,〃-5）.

（3）求三角形48C的面积.

【分析】（1）根据平移的性质作图即可；

（2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案；

（3）利用三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：（1）•・•点4与坐标原点O重合，

・•・将点力、B、C分别向左平移4个单位长度、向下平移5个单位得到其对应点,

如图，△"夕。即为所求:

(2)若点、P(〃]，〃)为三角形月内一点，则平移后点P的对应点?'的坐标是(〃?-4,〃-5)；

故答案为：3〃-4,〃-5)；

(3)△力4C的面积为3X4X_L=6.

2

22.(8分)(2023秋•慈溪市校级期中)在平面直角坐标系xQv中，对于P,0两点给出如下定义：若点P

到x、y轴的距离中的最大值等于点0到x、y轴的距离中的最大值，则称P,0两点为“等距点”.如图

中的P，。两点即为“等距点”.

备期图

(1)已知点/的坐标为(-3,1),在点E(0,3),尸(3,-3),G(2,-5)中，为点力的“等距点”

的是E、F；

(2)若力(-1,-k-3),T](4,软-3)两点为“等距点”，求〃的值.

【分析】(1)根据等距点的定义即可解决:

（2）分两种情况，根据等距点的定义，列式建立方程解决即可.

【解答】解：（1）・・•力（-3,I）到x、y轴的距离中最大值为3,

・••与4点是“等距点”的点是£、F.

故答案为：E、F；

（2）7|（-1,-k-3）,72（4,4h3）两点为“等距点”，

①|4k-3|W4时•，则-k-3=4或，-2-3=-4.解得"=-7（舍去）或左=1.

②若|4k-3l>4时,则|4k-3l=|-k-3l，解得：1=2或后=0（舍去）.

根据“等距点”的定义知，左=1或左=2符合题意.

即及的值是1或2.

23.（10分）（2023秋•上虞区期末）继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系.把平面

内一条数轴x绕原点。逆时针旋转角6（0°<0<90°）得到另一条数轴乃x轴和y轴构成一个极坐标

系.规定：i寸点尸作），轴的平行线.交x轴干点儿过点Q作x轴的平行线,交y轴干点儿若点力在x

轴上对应的实数为m点8在y轴上对应的实数为6则称有序实数对（a,b）为点P的极坐标.如图,

在8=60°的极坐标系中，解答下列问题：

（I）若点尸的极坐标为（8,b）,且实数。在歹轴上所对应的点到x轴的距离为以行，试求力的值.

（2）若点〃的极坐标为（4,5）,点N与点"关于y轴对称，求点N的极坐标.

【分析】（1）过点P作PE〃x轴交y轴于点E,过点E作E//L•轴于点〃，得到OE=|〃，EH=4立，

NEOH=60。，然后解直角三角形即可；

（2）如图作ND〃x轴交y轴于。，作NC〃歹轴交x釉于C，MN交歹轴于K,利用全等三角形的性质,

平行四边形的性质求出OC、OD即可.

【解答】解：（1）过点产作PE〃x轴交y轴于点区过点夕乍轴于点”，

•・•点产的极坐标为（8,b）,且实数。在歹轴上所对应的点到x轴的距离为*/E，

-\OE=\b\fEH=4愿，

V9=60°,

，/EOH=6U°,

・・・在RCEO"中,|b|=QE=3inZEQH=sin60-=8-

（2）如图，作NO〃x轴交y轴于。，作NC〃丁轴交x轴于C,A/N交j，轴于K,作轴交y轴于

5,作M4〃y轴交x轴于4,

，四边形OAMB和四边形OC/VD是平行四边形,

：.BM=OA,MA=OB,ND=CO,NC=DO,

•・・NQ〃工轴，轴，

:.ND〃BM,

・•・/DNK=/BMK,ZNDK=/MBK,

•・•点"的极坐标为（4,5）,点N与点/关于y轴对称,

:・NK=MK,MNtBD,BM=0A=4,MA=OB=5,

在△NQK和△MBK中，

fZDNK=ZBMK

NNDK=NMBK，

INK=MK

:ANDKQ^MBK（AAS）,

:,DN=BM=4,DK=BK,

：・CO=ND=A,

•・・MNJ_8O,轴，6=60°,

:・ZMKB=90°,NMBK=60°,

在RtZ\KSM中，BK=BM-COSZMBK=4XCOS600=4*=2,

:・DK=BK=2,

・•・DO=OB+BK+DK=5+2+2=9,

・••点N的极坐标为（・4,9）.

24.(12分)(2023春•路桥区期末)在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),若点。的坐标为(〃x+y,

叶砂)，则称点。是点P的“阶智慧点”(。为常数，且。W0).例如：点尸(1,4)的“2阶智慧点”

为点。(2X1+4,1+2X4),即点。(6,9).