广东省深圳市南山区2025-2026学年度高一年级第一学期期末检测数学试题（解析版）

广东省深圳市南山区2025-2026学年度高一年级第一学期

期末检测数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.命题“Vx£(f,0),工+!<0”的否定是()

A.VXG[0,+O?),—<0B.0),x+—>0

XX

C.3XG[0,+OO),X+-<0D.Hr,x+—>0

XX

【答案】D

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以对于命题“心£(一8,0),x+：<0",

其否定是将V改成结论进行否定，即命题“大£(-8,0),x+->0-

故选：D.

2.已知集合4={-2,-1,0},集合8=卜卜+1,1卜则=()

A.{一2}B.{-1}C.{-2,-1}D.{-1,0}

【答案】B

【解析】11+1但1,解得xNO或入4-2,则3={x|xZ0或x?2|,

则48={划-2<工<0},则A「aB={7}.

故选：B.

2

3.己知函数/(x)为奇函数，当x>0时，/(x)=-+lnr,则()

X

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】・・,函数〃工)为奇函数，.,./(-1)=一〃1),

2

又当3>0时,/(x)=-+lnr,/./(-1)=-/(1)=-T+,n,

故选:B.

4.设向量0=(1,X),向量〃=(2—x,3x),若a_L(3a—〃)，则尤二()

A.—1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因为向量a=(l,x),向量1=(2,3x),所以3〃-8=(1+x,0),

因为a_L（3〃_〃），所以a.（3a_/?）=lx（l+x）+xxO=O,解得彳=_].

故选:A.

5.设a=2*，〃=cosl,c=log053,则。，b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.h<a<c

【答案】B

【解析】:指数函数y=2]在R上单调递增，.•.〃=2忑>2|=2,即。>2,

又0<1〈工，余弦函数)'=cosx在上单调递减，

2\27

TI

cos—=0<Z?=cosl<cos0=1,即Ovbvl,

对数函数y=logosX在(0,+8)上单调递减，

c=log053<log05l=0,故cvO.

:.c<b<a.

故选：B.

6.已知〃,Z?ER,且出7>0,贝广。>夕'是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】-b+—=（«-/?）+

若a>b,则a—〃>0,又ab>0,则1H--->0,

ab

因此。+工一/?+-=（〃一力）1+—>0,故〃+；>/>+一,

若。+—>〃+—，则1+—

bab）I。ab;

由于H?〉0,则1+—>0,故。一b>0,WOa>b,

ab

故“a>〃”是“。+->匕+—”的充要条件，

ba

故选：C.

7.已知函数/(x)满足/(1+1)=/。)+/(戈+2),且"0)=1,/(4)=2,则

/(50)=()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C

【解析】在f(x+l)=f(x)+〃x+2)中,将x替换为x+1,

可得/(』+2)=f(x+l)+/(x+3),故〃x)=-/(x+3),

因此/(x)=-/(x+3)=-[-/(X+6)]=/(X+6),

因此〃力是以6为周期的周期函数,故〃50)=〃2),

在〃x)=_/(x+3)中令工=1,则/⑴=_〃4)=_2,

在/(x+l)=/(x)+.f(y+2)中令x=0,

则〃1)="0)+”2),故〃2)=-3,可得/(50)=-3.

故选：C.

8.已知函数"x)=Gsin3x+acos3x的部分图象如图所示，/")的最大值为2,巨

VXGR,/(zw-x)4-/(m+x)=0,则实数用的值可以为()

【答案】A

【解析】因为函数/(x)=6sin3x+acos3x=J(>/5)+a2cos(3x+。)，

其最大值为2,所以=2,解得。=±1.

由图像可知，/(0)<0,所以/(0)=0+acos0=av0,所以〃=一1.

所以/(x)=A/5sin3x-cos3x=2sin3x--^J.

因为VrwR,f(mr)+/(m+x)=O,所以〃x)关于点(〃?,0)中心对称，

7EITkit

所以令3x——=E,〃EZ,所以X=—+—,kwZ,

6183

Sirir771

当％=-1时，X=--A正确；当〃=0时，X=—；当攵=1时，X=—.

181818

故选:A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

3

9.已知aw（O,兀），且cosa=-一，则（）

人.43

A.sin«=—B.tana=——

54

.（兀13…a」

C.sina+—=-

I2j525

【答案】AD

【解析】对于A：若。日：0,兀)，则sina>0,

故sina=Vl-cos2a=Jl--=—»故A正确:

V255

4

.4esina«4…口

对于B：由A可知,sina=-,则tana=----=^-=~-,故B错误;

5cosa_£3

-5

.713

对于C：sma+—=cosa=一一，故C错误;

2）5

-97

对于D：cos2«=2cos2a-l=2x----1=----,故D正确.

2525

故选：AD.

10.在VA3c中，已知45=4,AC=2,N8AC=——，若CD=2DB，则（）

3

A.S八co=3S八8八B.3AD=2AB+AC

C.C4是A8在AC上的投影向量D.ABBC=-S

【答案】BC

CD

【解析】对于A,由CO=2O4，则有。。二2。3,即一-=2,

DB

所以可得sAe=2S*/）,故A错误；

对于B,因CO=2£>8，AD-AC=2（AB-AD）,

展开则有4Q—AC=248—2A。，移项整理可得3AD=2A8+AC，故B正确;

AC

对于C,由投影向量求法可知A4在AC上的投影向量为ABcosZ^C

因为A8=4，AC=2,ZBAC=—

3

4C

代入上式可求得AB在AC上的投影向量为4xx--=-AC=CA,故C正确;

2

对于D，A6.6C=A6（AC-A8）=

=AB|-|AC|-COSZ^C-|/4B|-=4x2x-----42=-20^-8,故D错误.

<2J

故选：BC.

1

11.已知函数/（x）是定义在（O,+8）上的函数g（x）=的反函数，且“X）和g（x）的

7

图象交点的横坐标为小,若函数〃（X）=T+〃，的图象与“X）和g（x）的图象交点的横坐

标分别为七，X2,则（）

A./（力的定义域为（。/）B./（A-1+x2）+log2/??=0

C.x0>—D.f晨"）了（电）可以等于加_i

22

【答案】ABD

【解析】因为函数/（X）是定义在（0,+8）上的函数g3=5=（g）》的反函数，

所以/（X）=log产,又因为0cg（x）=（；）“<（1）°=1,

2/，

所以/（X）的定义域为（0」），故A正确;

如图，作出符合题意的图形,

函数"（X）=T+m的图象与/（工）和g（X）的图象交点的横坐标分别为X，%，

所以玉与乙的中点是y二*与力a）=-x+加的交点的横坐标，

y—x/??ivi

解方程组《,得工二一，所以内+x,=2x-=〃"

y=-x+m2~2

所以/（3+/）=log］（X+%）=I%加=_log2m,

22

所以/1（七+%）+1。殳桃=0.故R正确：

又因为/（力和g（"的图象交点的横坐标为与，所以咋产0=（；）",

2乙

-lOg2/=（；）",即10g2Xo+（；＞%=0.

令（p（x）=log2X+（g尸，因为0（母）=log2（4）+（；产

-11更1I更

=10g202）+（3）2=--+（-）2,

乙乙乙

I11交

由y=Q）”为减函数,所以（与＜（与2,

222

又因为0（g）=log2（；）+（；A=T+乎＜°，且。（幻在g，等］上连缜

根据零点存在性定理，存在与U（；,，），使得log2~，+（g）"=°，

所以不＜孝，故C错误;

对于D：若强［4用1卜〃I,化简得叫如正产？

,1、内(1(］、桁-2

即一+一=_,2~x,+2X,-W=22-ZM»即2〃f+2%=22.

令〃=2须，因为。<玉<1,得1<〃<2.则方程变为冬-+〃=4,〃2一4〃+2川=0,

所以方程2"'=-u2+4〃在（1,2）有解，2M,=一面一4〃）二4一（〃一2『，

因为函数丁=4一（〃一2）2在（1,2）上单调递增，所以3<4-（〃-2）2<4,

所以3<2"'<4，得log23</〃<2,

2

故当加£（log23,2）时方程2M=-M+4〃在（1,2）有解.

所以一屋”屋切可以等于6一［，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若基函数/（力二/的图象过点（2,：）,则实数。的值为.

O

【答案】-3

【解析】由幕函数/（"二/的图象过点（2,：）,可得解得a=-3.

88

故答案为：一3.

13.若x,y>0,且尤+2），二D，则2x+y的最小值为.

【答案】9

12

【解析】由>。且x+2.y=肛可得一+—=1,

），x

./_（12）2x..2y__l2x2y八

所以（2x+y）x—+-=—+4+1+—>5+2J------=9,

（yx）yx\yx

x+2y=xy^

当且仅当，幺=2z即工=>=3时取等号，

故答案为：9.

14.若平面向量Q,b满足4一方=a,W=2,则当（3。+/?）・（4+2/7）最小时，a

；记3a+〃与a+%的夹角为。，则tan夕的最大值为.

【答案】1；立

3

【解析】因为平面向量〃，人满足。一力=同，

所以等式两边平方得(。-力『=/,展开化简得〃2一2〃电=().

因为b=2,所以=2.

所以(3C+〃),(C+%)=3a2+2Z?+7a/=3d2+22,

设向量的夹角为。时，=\a\bcosa=2,

所以|d=—,所以(3a+〃)・(a+2b)=3〃2+22=22+^^

cosa')''cos'a

由于(3a+/，・(4+2Z?)取最小值时，cosa取最大值，

所以此时cosa=l,所以同=1.

(3a+〃«a+b)_3a2+22

因为COS0=_inv~=।=/。•

|3a+州a+2.J9d~+16x4T+24

2

所以sin。=V1-cos26=Jl-3a2+22

、\l9a2+16x

W+I6)d+24)一(3,|2+227

一])(9M+16)G+24)，

f(9«2+16)x(^2+24)-(3f/2+22)2

所以-sin。N(9d+16)x(/+24)

[an(/=-=-----------------------------------------------

cos。3a"+22

y]9a2+]6xyJa2+24

_加2+16卜(々2+24)—Qa")'J。而7y

3a2+22-3a2+22

令*肝“»则tan**'令,=GS°)'

八10/10/10

tan(J=-------------------=------------=------------

则3(r+1)+223/+253/+25.

2510_10_\/3

由基本不等式，当夕=二即产=上时,tan。取得最大值

t32>/^25-105/3-3

故答案为：I；蛇.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合A=<0，，3={x|3+.

(1)当。=2时，求Al3；

(2)若A8=8,求实数。的取值范围.

X—6

解：(1)先解集合A：-----<0=>(x-l)(x-6)<0=>1<x<6,

x-1

所以A={x[l<xv6}；

当〃=2时，集合8={x|3KxW6}：

则A.2?={x|1<x<6}

(2)由A08=8得3qA；

情形一：8为空集时，此时.3>。+4=。<-1；

3£。+4

情形二：B不为空集时，则此时需满足</

综合上述两种情形可得，实数。的取值范围为：。<2.

16.已知函数/(/)=sin(©x+0)3>O,O<e<n)的最小正周期为兀，且

/(二]=◎

I4J2

(1)求/(八)的解析式；

(2)设函数g(x)=/(x)+/(x—弓)，求g(x)在区间0,|上的值域.

解：(1)/(x)=sin®x+0)(G>O,O<°<：n)的最小正周期为兀，故刃=?=2,

'兀、.兀

=sin——+(p

I2+

5兀

结合0<。<兀，故。=二

6

因此/")二

71."兀5兀'

(2)g("=/(x)+/X--=-sin|2.r+—+sin2x—4

6I6I6)6;

.C兀6.c1rc

=sin|2x+—+sin2x+———sm2x+—cos2x+cos2x

I6I2J22

5/^3,兀I

——sin2x+—cos2x=\J3cos2x+—,

22I6j

，、兀,,_71兀7兀

由于0,—,故2X+：E

2666

故cos(2x+：€-1,，故6COS2x+—G，故g（*）£一+三

2I6j2

17.已知偶函数〃x）=W+Zzx+c,且关于“的不等式〃x）＜0的解集为（c,—c）.

（1）求不等式/（x）vx+l的解集；

⑵设函数g（x）=八；/：）且Vx'wR，8（%）之蠢+2引，求实数

X+2,JIXI＜X+I,

攵的取值范围.

解：（1）因为/（x）=f+〃x+c,关于％的不等式/（工）＜0的解集为（G—c）,

-c+c=-b

所以＜。=一。2,所以。=一1,〃=0,

c＜-c

所以/（耳=12_],

所以不等式〃力vx+1为d—lc+l，

即9一工一2=（工一2）（工+1）＜0,解得一1＜xv2,

所以解集为（T2）；

X2,X=(-OO,-1]J[2,+OC)

(2)函数g(%)=・

x+2,xe(-1,2)

又因为V』,巧GR,娓+2应-1,

所以\/”网(.而小22日，

XG(^O,-1]U[2,4-CO),^(.V)=X2>1,XG(-1,2),^(X)=X+2>1,

所以g(x)min=L所以1=e°2e丘2x『l恒成立'

所以叱+2/-1w0,々eR恒成立，

当々=0时，2.G-1«0,3£R不恒成立，不符合题意:

△《

所以k=。4+4&0"以小1,则实数"勺取值范围是&1.

18.某地计划在如图所示的矩形公园A8CZ）举办花展，其中八B=1000m,

BC=500m,A8的中点。为游客中心，为方便市民观赏，现欲规划建造两条观赏绿道

0例和ON,使得点M，N分别在边界A。，3c上，且NMON=——.

3

（1）设NAOM=a,求观赏绿道总长度关于。的函数解析式和定义域;

（2）为节约建造成本，求观赏绿道总长度L（a）的最小值.

解：（1）因为乙4QM=a,AMON=—

3

7T|。心当,|。叫二、

所以NBON二上一。cosaI71)

3cosl--aI

5(X)cosa+cos(--a

所以L(a)=+|QN|=送'500____<_________3

7

71(n[

cos--acosacos--a

13(3)

500|cosa+乎sina5005/Jsin(a+1)

125/31/.c、\[3..

-cosa+——cosasina—(1+cos2a)+——sin2a

224、,4

50()6sina+-\50()6sina+-\

I3J=________I3J

1~~i~~7~~滔一./~~吟i

-----cos2a+—sina+---

42I3)I3；4

71兀

因为44OM+N3ON=一，所以0«。工一，

33

又因为点M在边界AO上，旦AD=AO=500,

所以工，又点N在边界BC上，且40=30=500,

4

所以0«四一夕《四，解得色，

34123

所以工，所以其定义域为［&IaKevfl；

124I124J

5()()V3sinf^+-j

(2)由(1)知：L(a)=----7——'、：乙

.2(兀［1

sinIa+—3j——4

A•\兀1E、l兀''兀"一5兀,兀/7兀

令r=sin«+—,因为一<a<—所以一<a+—<一,

I3)124t12312

.7兀.5兀.n兀a3

sin——=sin——=sin--b—

121264J2224

+>/2

所以"sin~T~

/._50()73/_50()73约旦」上递增.

则/(')=<一T=—T，易知y=/J在

t---t---4f4

44/

所以当/=1时，…一卷取得最大值(，/(f)取得最小值普巨,

712000上

所以当r=l,即。=一时,L(a)取得最小值

6—

19.对于函数尸(工)，若存在与,使得产(毛)=为，则称与为产(司的不动点.已知定义在

x-sinr+a(a>0).

(1)讨论)(x)的不动点个数；

/\

(2)已知当XW0,1时，不等式x>sinr恒成立.

I2)

(i)证明："力为单调递增函数；

23

(ii)若方程/(/(x))=x有实数解与,证明：/国)-^-

解：(1)令/(x)=x-sinx+a=x,g|la=sinx,

当工£（一］,］时，sin^e（-l,l）,

当Ovavl时，此时。=$inx只有一个交点，此