数列的求和 高频考点梳理 专项练 2026届高考数学复习备考

数列的求和高频考点梳理

专题练2026届高考数学复习备考

一、单选题

1.已知函数“X)满足/a+l)-/("=2x-l,且〃0)=1,设数列｛4｝满足/=/(〃)，见数列｛/｝

的前〃项和的表达式为()

A.n2-2n+2B.n2-n+l

〃(/1)(2〃-1)〃(〃+D.

Lz■l_x・••丁"1

62

2.已知数列｛%｝满足6=1,%-凡川=24,凡&,则数列的前8项和为()

3.已知函数/(无)=/-〃江的图象在点X=1处的切线/与直线X+3)，-2=0垂直，记数列、点[的前

〃项和为S”，则$2025的值为().

2022八20232024〜2025

A.-------B.■D.-------

2023202420252026

、S.n+1/=11

4.已知等差数列｛%｝的前〃科为S.,q-3,=,则4T=()

&2995,.

3399297200

A.-rB.—C.—D.一

50100200303

1

5.在数列｛%｝中，《=2,且“3—=2%+|—24+〃+1,则数歹।卜■的前2025项和为(

[k-02j

2025八20252。26c2025

A.——B.♦D.——

■2026•1013•2025*1012

6.已知数列｛叫的各项均为正数，q=1,(%.+/)(。，川-知)=1,若因表示不超过X的最大整数,记

数列｛&]｝的前〃项和为Q,当Q=ioo时，〃的值为()

A.28B.29C.30D.31

二、多选题

7.在等差数列｛%｝中，/+生=-12,%+%=2,记数列应｝的前〃项和为S“，下列选项正确的是

()

A.%=-9B.S”取最小值时，〃=6

C

C.数列才是递增数列D.数列｛㈤｝的前10项和为50

8.记S,为数列｛%｝的前”项和，S.=24+l,则()

A.(1\=-1B.—

C.数列｛'｝为等比数列D.数列｛△｝的前〃项和为/“，则。＞-4

/可

9.对于山0』，/（可满足〃x）+/（i）=l,小）=2噌）且对于任意0＜"2,恒有

/（再―则（）

b

a-zQH-＞击卜皿。•/伊』卜”儒卜;

三、填空题

10.已知数列｛4｝的前〃项和为s“，4=1,。向+4=2",则%=（用数字作答）.

11.^1X2+2X22+3X23+-.-4-99X2W=74X2,00+^,则4+8=.

12.设数列｛?｝满足q=l,且%+「%=〃+1,则数列的前10项和为.

13.已知数列｛%｝满足q=1,且。用+%=〃-1009（〃eN'）,该数列的前〃项和为S”，则S2O25=.

四、解答题

14.记S”为正项数列｛q｝的前〃项和，已知2s“二4+为

⑴求数列血｝的通项公式；

」一，〃为奇数，、

（2）设数列bn=。名.2，求数列｛2｝的前2〃项和T：n.

4+1,〃为偶数

15.已知数列｛4｝满足4=1吗=6,且对任意的〃22,〃eZ,都有〃向十%=2q十3.

⑴设“二♦-%，求数列出｝的通项公式；

⑵数列国表示不超过x的最大整数，求仁｝的前350项和40.

16.已知数列｛q｝中，%=2,j=2q+3x2叫令“喙

⑴求数列低｝的通项公式；

⑵求数列｛4｝的前〃项和S”.

17.已知等差数列｛〃"｝满足为+%=22,1+2%=%,数列也｝满足此亡力也.2，b1=2b,,4=8.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

,、

⑵求数列」一的前〃项和S”:

（3）求数列｛%a｝的前〃项和乙

18.已知数列"｝的首项q=l,4+a的=4x3".

⑴求证：｛%-3"｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的前〃项和Sn；

⑶令”二一「不，求数列也｝的最大项.

q-2x(7)

19.设｛%｝是等差数列，也｝是等比数列，且％="=%-b2=a3f/I.

⑴求｛%｝与｛4｝的通项公式；

⑵设｛%｝的前n项和为S”，求证：(5+]+见+]也=黑也向-S,也；

⑶求京4+i-(-1)%]4.

★=1

参考答案

题号123456789

答案CADABCACDACDACD

1.C

【分析】利用累加法计算数列通项再求和即可.

【详解】由题意可知=2〃一1,则凡一=2〃-3,…-4=1,

累加可得-3+…+1=业士罗入=(〃一1)2,

K/(l)-/(O)=-l=a1-l,即％=0,满足上式，

所以练=(77-1)\

所以｛4｝的前〃项和的表达式为£>="〃一52〃7).

6

故选：C

2.A

【分析】对已知等式进行变形，可得数列｛'｝的特征，由此求出句的表达式，再利用裂项相消法求

出前8项和.

【详解】依题意，q户0,由%-%川=勿/山两边同时除以4M”，得到一匚-'=2,

an+\an

则数歹|J｛'｝是以'=1为首项，2为公差的等差数列，，=1+2(〃-1)=2〃-1,即。=▲，

用442n-1

e“11,11、

因此的川=(2,一)(2〃+广2&d,

所以数列｛。必+1｝的前8项和4=；[(1一;)+(：-()+…+([_[)]=；(1-1)=,.

故选：A

3.D

11

【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得〃?=-1,据此可得不〕二不一，再由裂项求和法

即得答案.

【详解】由题意r(x)=2x-/〃，则在点x=l处的切线斜率为/'(1)=2-”

直线x+3y-2=0斜率为一§,则(2-〃•(一=T,解得〃?=--I,

/、，111111

函数〃x)=x+x，数列[小)]通项/(〃)=〃、〃-〃〃+i，

因此门?译+…+上二二二；=匚，所以现=2025

2026

故选：D

4.A

【分析】先根据已知q=3,鼠=一，结合等差数列公式计算可得勺=3〃,

进而得由S。，再应用裂项相消计算即可.

【详解】由等差数列｛为｝,可得前〃项和为S.=".+%）=〃（3+%）,

22

又因为a=卓4,所以所以％,

42"22

即得所以.后41-七），

"2S”3〃（〃+1）31〃n+1J

故选：A.

5.B

【分析】先把-<=2/讨-2a.+〃+1变形成-1）2Tq।_1f=〃+1,利用累加法求数列

｛（）｝的通项公式,

4-12再用裂项求和法求数列.的前〃项和，把〃=2025代入即可.

【详解】由03-4=2%,「2%+〃+1,可得（47一1『一（凡一1『=〃+1,

所以（。2—1）--（“1-if=1+1»

以上各式相加得：（/一1）2-（q一1）2=2+3+—+〃,

所以（凡一1）2=1+2+3+…+〃=,

而（卬-1『=1也符合该式，故（％一1）2=当口.

设［油尸］的前〃项和为2,则s”=2（T+9；+…+，匕

从而同

故选：B

6.C

【分析】由已知条件可得，数列｛《：｝是首项为1,公差为1的等差数列，即可得根据［?］取

值分析可得。“的值.

【详解】因片可得,：｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以Y=1+(〃-1)x1=〃，因为数列｛q｝的各项均为正数，

所以。。二M，因为〃eN*,

当1K〃<4时，当4<〃<9时，［6］=2,

当9«〃<16时，［«］=3,当16<〃<25时，［6］=4,

当25《〃<36时，［。］=5,当36«〃<49时，［右］=6,

当49。<64时，［。］=7,

贝1」［《］+［“2］+-+,3。］=lx3+2x5+3x7+4x9+5x6=10().

说明当0=100时，〃的值为30.

故选：C.

7.ACD

【分析】利用等差数列的通项公式求出｛q｝判断AD,利用等差数列的前〃项和公式判断BC

【详解】对于A,设等差数列｛%｝的公差为d,则由题意知片解得匕:1故A正

2%+1(W=2［d=2

确；

对于B,。”=一9+2(〃-1)=2〃-11,S"="-9-〃-10〃=(〃—5『一25,

则当〃=5时,*取最小值-25,故B错误；

对于C,所以数列二是递增数列，故C正确；

nn

对于D,数列｛|巴|｝的前10项和为卜9|+卜7|+|/+|-3|+|-|+1+3+5+7+9=5(,故D正确，

故选：ACD

8.ACD

【分析】利用给定的递推公式求出q判断A：求出数列｛%｝的通项公式，并结合错位相减法，再逐一

判断选项BCD.

【详解】对于A,数列｛/｝中，S.=2%+1,则q=S=2q+l,解得q=-l,A正确;

当〃22时，则%=2凡-2%_］,即勺=2%,

数列｛4｝是首项为-1，公比为2的等比数列，%=%2』=-2"」，

w

对于B,a„+1=-2"<-2-'=an,B错误；

1

对于C,'=-白，则卓=；，因此数列｛'｝为等比数列，C正确；

anz2

两式相减得----Jr+；-----自:一2+詈

~2

因此］=-4+景>一4,D正确.

故选：ACD

9.ACD

【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可；

1门、1

【详解】A选项：因为/(x)+/(l-x)=l,所以取x=3得，/弓=-,A选项正确;

B选项：令，=/(0)+/-…+/⑴，则/=/1⑴+/(搭>…+〃0)，

\1\J\JJ\IV)

两式相加得力=［/(0)+/(1)卜［/(焉)+/(:副+-+O]=ioi,

解得”半，B选项错误：

C选项：因为小)=2巾］,所以取x=0得,

/(0)=0,由/(x)+/(l-x)=l,

取x=0得，/(0)+/(1)=1,解得/(1)=1,

因为〃力=2/停)，所以/0)="3,卜;」修卜51/修卜-C选项正确;

D选项：因为《力；，944且£—

510025

所以g|J-</f—

D选项正确.

J1125)7UOOjI25J8110(4

故选；ACD.

【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可.

10.1365

【分析】写出前11项的和，由等比数列的求和公式求解即可.

6

【详解】因为的+%=2。，%+%=2',a6+a7=2,…，

所以S“=l+22+24+…+2。=]2d)=1t4x1023=136：

"1-43

故答案为：1365

11.100

【分析】利用错位相减求和法求解.

【详解】设S=lx2+2x22+3x2'+…+99x2",

则2S=1X22+2X23+3X24+-H-98X299+99X2,00.

所以S=2S-S=-2-2?-23-24----2"+99x2100=_99X2100=98x2100+2=/4>2,00+.

1-2

所以力=98,8=2.

所以<+8=100.

故答案为：100

【分析】利用“累加求和”可得&｝的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出.

【详解】因为数列｛%｝满足q=1,且。川+

所以当“22时，可=(%一Q"_J+…+(%一4)+4=〃+…+2+]="〃+)

当〃=1时，上式也成立,

=2.一

所以〃一竽1,所吟二品

Vnn+1

则目的前〃项和I卜升篇＞2(1一篇=鲁,

所以数列，的前10项和为上.

11

故答案为：—.

13.4049

【分析】由题意写出求和的式子，利用分组求和与等差数列的求和公式，可得答案.

【详解】S2025=+%+%++…+^2024+^2025

4+(“2+生)+(“4+a5)+…+1〃2024+“2025)

=1+(2-1009)+(4-1009)+...+(2024-1009)

=1+(-1007)+(-1005)+...+1015

=i+1012x(-1007+1015)=i+i0i2x4=4049>

2

故答案为:4049.

14.⑴%=〃

⑵肃+/+2〃

【分析】（1）应用q=5,-Si计算得出数列为等差数列，再结合等差数列通项公式求解:

（2）应用分组求和结合裂项相消及等差数列求和公式计算求解.

【详解】（1）2'=4+。”（。.>0）,当〃=1时，％=1,

当“22时2sM=4/+%

两式相减得2a”=U一+4一%，得0=一吃一凡一%=（%+%）（凡一*T），

因为勺>0,所以《+。2>0,

二1(〃之2),

••.{4}为等差数列，g=l+(〃—l)=〃；

*

‘二7'，〃为奇数

(2)b„=<a„anx2+

勺+1=〃+1,〃为偶数

T、“=」一+3+」一+5+…+T-----TT--------+2//+1

“1x33x5(2，?一1)(2〃+1)

/\

=-----+------+•••+----------------r+(3+5+・・・+2〃+1)

(1x33x5⑵?-1)(2〃+1)Jv7

if,11111]〃(3+2〃+1)

2(335伽1)(2/?I1)J2

n

+n2+In

2〃+l

15.(1)^=3n-2

(2)681

【分析1(1)利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得;

(2)先分析的整数部分，再分区间求和可得.

［详解］⑴由J+%=2%+3可得an+l-an=an-an_x+3,"之2,

又，向-%，所以即也｝是以3为公差的等差数列，

又％=1,%=6,得济=。2一，62=43一。2=6一%，

所以6-2一-1)=3,解得％=2,故々=%一1=1,

所以"=1+3(〃-1)=3〃-2.

(2)由(1)可得"=10,如=10。也34=1。00,

又%=［她/

(),1<«<3

1,4</?<33

所以%=

2,34W〃W333

3,3344〃W350

所以7^=0x3+1x30+2x300+3x17=681.

16.⑴〃“=3”-2

⑵t=(3〃-5)-2”“+10

【分析】(1)由题意可得a.「a=3,根据等差数列通项公式求法计算即可;

(2)由(1)可得4=(3〃-2)2,根据错位相减法计算即可求解.

【详解】⑴由J=2a”+3x2,得爵=祭+3,

令〃勺，得%-，=3,

因为q=2,所以A=j=1,

乙

所以数列｛〃｝是以1为首项，3为公差的等差数列，即么=3〃-2.

(2)由(1)可得知=(3〃-2)♦2",

5”=%+%+%+...+/

=1X2+4X22+7X23+---+（3/?-2）-2\

234W+,

2S/r=1X2+4X2+7X2+---4-（3W-2）-2,

两式相减可得一S“=1X2+3X2'+3X23+…+3x2”—（3〃一2）-2川，

..……3X22X（1-2W-1）

彳七简可得一邑_2+---------i---------（3/j-2）2rt+,--10+3x2w41-Q〃_2）2向，

1—2

所以'=（3〃-5）-2用+10.

rt

17.⑴%=3〃-1，bn=2-'

⑵S"=2（3H+2）

（3）（=4+（3〃-4）2〃

【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得由已知可得｛“｝是等比数列.，计

算可求得a；

（2）利用裂项相消法可求得数列J」一的前〃项和s〃；

（3）利用错位相减法可求得数列｛对〃｝的前飞项和Tn.

【详解】（1）由。3+=⑦4=22,得4=11•

因为1+2生=%，所以%=5,

则公差为3=3,所以%=2,

所以an=3/?-1.

因为死产她+2,所以鲁*=3,则也｝是等比数列.

设其公比为9,因为％=纥，4=如3=8,所以。=2,4=1,则"=2"，

111（11、

（2）因为-----=77—1\八£―，

a*“+i（3〃-1）（3"+2）313〃-13n+2J

什…1C1111111（11n

所以….一1%+2）飞匕文+2.J=4戈+，'

(3)因为〃也=(3〃-1)2"-，所以7；=2x1+5x2+8x22+…+(3〃-l)x2i,

所以27；=2x2+5x22+8x2,+…+(3〃—l)x2",

两式相减得Y=2+33+2?+23+…+2")—(3〃—1)x2"=-4+(4-3〃)x2",

所以7；=4+(3〃-4)2”.

18.(1)证明见解析

⑵S,=丁］+(-1)

⑶4=1

【分析】(1)依题意可得4r结合等比数列的定义即可证明;

(2)由(1)可得%=3"+(-1)晨2,利用分组求和得解：

(3)由(2)可得"—(，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.

【详解】⑴因为a.+j=4x3”，所以。向一3"”=一(%-3”)，

又q=1,所以q-3=-2,

所以｛4-3”｝是以—2为首项，-1为公比的等比数列.

(2)由(1)可得%-3"=2x(-1)",所以a.=3"+(-l)"x2,

所以S”=31+32+…+3”+2x[(-『+(-了+…+

1-3222v7

irn3

(3)由(2)可得4=---、/I\”=词，

。“一2x(-1)3

则b.b;如乙—〃(2〃、3〃-