北师大九年级数学下册-第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）

第1章直角三角形的边角关系（单元重点综合测试〉

一、单选题

1.在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角力的三角函数值（）

A.都扩大到原来的3倍B.都缩小为原来的3倍

C.都保持原来的数值不变D.有的变大，有的缩小

2.在RtVMC中，ZJ=90°,AB=6,5C=1O,那么下列结论正确的是（）

44D.cosC=1

A.tanC=yB.cotC=yC.sinC=-

4

3.下列三角函数的值是走的是（）

2

A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°

4.如图，线段0/在第二象限，/点的坐标为（-4,4),。力与y轴的夹角为a,则cosa

C-TD-T

立,

AC=2百,tanB则他的长为（）

T，

A.2+25/3B.3+耶C.4D.5

6.在正方形网格中，AJ8C的位置如图所示，则COSN8的值为（）

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7.在RtZU8C中，ZC=9O°,CO是高，如果"%那么CO的长为（）

A.w-sinor-tanaB.sin<7cosa

C.“cosatanaD.wcosacota

8.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端/测得旗杆

顶端E的俯角a是45。，旗杆底端。到大楼前梯坎底边的距离。。是20米，梯坎坡长8。是

12米，梯坎坡度i=l：0则大楼48的高度为（）

（精确到0.1米，参考数据：0kl.41,VJ-1.73,V6-2.45）

CD

A.30.4B.36.4C.39.4D.45.4

9.如图，在RtZ\48C中，乙4c4=90。，。是边44上一点，过。作L4B交边8C于点E,

交4C的延长线于点R连接AE,如果tanNE4C=]SACEF=1,那么S/3C的值是（）

10.如图，在四边形48CO中，乙。48=乙8=60。，AD1CD,AC平分乙DAB,£为48边的中

点，连接。七交4c于凡若CO=1,则线段力厂的长度为（）

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D

二、填空题

11.(1)V2cos45°=;(2)sin600cos45°=.

12.已知a是锐角，tan(90。-a)-6=0,则。=°.

13.在RtZUBC中，ZC=90°,48=3,BC=2,则cosB的值是

14.如图，在R/ZU3C中，&CB=90。,CDLAB,tanzZ)C5=1,AC=}2f则5C=

15.如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在。处知N4)G=3()。，在£处测得

zJFG=60°,CE=8m,仪器高度CO=L5m,这棵树/出的高度为

16.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,斜边4?的垂直平分线分别交力84c于点DE.若

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17.如图，在菱形488中，乙460。，AB=6.折叠该菱形，使点2落在边上的点”处,

折痕分别与边44,力。交于点F.当点例与点3重合时，Eb的长为；当点例的

位置变化时，。厂长的最大值为.

18.如图，在矩形4BC。中，点E在边力3上，△3EC与△五EC关于直线EC对称，点B的

对称点歹在边彳。上，G为。。中点，连接BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=

BE,MG=T,则8N的长为—，sin乙4所的值为

三、解答题

19.计算：

(1)2sin60°-cos45°+tan45°

sin45。

(2i-------J(cos600-l)--2cos30°

l'cos60。VV)

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20.(1)在中，ZC=90°,BC=3,N〃=45。，求刈和/C的长;

(2)在W18C中，ZC=90。，a=286=2,解这个直角三角形.

4

21.如图，在V/6C中，ADJ.BC于D，BC=14,40=12,sinB=-f求tan4K3的值.

22.在V48c中，48=6,BC=4,为锐角且cosB=：.

(1)求N8的度数；

(2)求NC的正切值.

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23.在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图.

②

⑴如图①中，在45上找点C,使得力C：BC=2：3；

⑵在图②中作〃使得tan〃M8=g.（保留作图痕迹）

24.如图，在Rt△力8C中，ZC=90°,。是边上一点，AC=2,CD=\t设/C4D=a.

⑵若NB=NC4D,求8£＞的长.

25.如图，在放ZUCZ中，乙4c8=90。，点〃为边N8的中点，点E在线段4M上，EFLAC

于点F,连接CM,CE.己知乙4=50。，Z^CE=30°.

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⑴求证：CE=CM.

⑵若/8=4,求线段的长.

26.如图，正方形/6CZ）和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=\,CE=3,连接4尸交CG

于点K,〃是4/的中点，连接C".

⑴求ta叱6内的值;

（2）求CH的长.

27.如图，在河流的右岸边有一高楼川5,左岸边有一坡度i=l:2的山坡C/，点。与点8在同

一水平面上，b与/〃在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼45的高度，在坡底C处测

得楼顶A的仰角为45。，然后沿坡面b上行了20石米（即8=208米）到达点。处，此时在

。处测得楼顶A的仰角为26.7。.（参考数据：sin26.7。=0.45,cos26.7°«0.89,tan26.7°«0.50）

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(1)求点C到点。的水平距离CE的长;

(2)求楼的高度.

28.如图1,Rta/BC中，4=90。，D为4B上一点,NACD=NB.

(1)求证:AC2=AD-AB;

(2)如图2,过点4作4W于交BC于点、E,若段二，求瞿■的值；

DC2Mt

(31如图3,N为c。延长线上一点，连接力N、BN,若率=*,/NBD=24ACD,

则tan/ACN

BN3

的值为.

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29.如图1,已知线段a3,,4C,线段/C绕点N在直线上方旋转，连接"C,为边

在8c上方作RtVBOC,且/OBC=30。.

⑴若/8。。=90。，以川？为边在44上方作Rt△助E,且//必=90。,NEB4=30°,连接0E,用

等式表示线段4c与。E的数量关系是；

⑵如图2,在(1)的条件下，若DEJ./B,48=4,AC=2,求8c的长；

(3)如图3,若/8CO=90。，AB=4,AC=2f当力时，求此时tan/8。的值.

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第1章直角三角形的边角关系（单元重点综合测试）

一、单选题

1.在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角力的三角函数值（）

A.都扩大到原来的3倍B.都缩小为原来的3倍

C.都保持原来的数值不变D.有的变大，有的缩小

【答案】C

【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值.

【解析】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐

角A的三角函数值不变.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度

无关.

2.在RW川9C中，4=90。，48=6,8c=10,那么卜列结论止确的是（）

4434

A.tanC=—B.cotC=—C.sinC=—D.cosC=—

3545

【答案】D

【分析】先根据勾股定理解出AB,再逐项根据三角函数的定义判断即可.

【解析】根据勾股定理可得：AC=而二疥=8,

则丽。=丝=2；cotc=^^;smc=3=3；cosc=^=i;

AC4AB3BC5BC5

故选：D.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键.

3.下列三角函数的值是争勺是（）

A.cos30°B.tan30°C.cos60°D.sin45°

【答案】A

【分析】根据特殊角的三角函数值解答.

【解析】解—3。。邛…3。。邛…

in45°=—,

S2

观察四个选项，选项A符合题意,

故选:A.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关

键.

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4.如图，线段CU在第二象限，N点的坐标为（-4,4）,04与y轴的火角为明则cosa=

()

c.4D.f

【答案】B

【分析】先求出线段04的长，再利用直角三角形的边角间关系得结论.

【解析】解：以点的坐标为（-4,4）,

•••0A="2+4?=4&.

_4__V2

•••cosa=W2-T

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形和勾股定理，掌握勾股定理及直角三角形的

边角间关系是解决本题的关键.

5.如图，在V/18C中，4=30。，AC=20tanZ?=^,则的长为（）

2

A.2+26B.3+币C.4D.5

【答案】D

【分析】作于。，根据4=30。，AC=2&,算出C。和力。，再根据tan8=C^=@,

BD2

算出80,最后根据力8=力。+8。计算即可.

【解析】如下图.作CQ_L4?于。.

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B

在RtZ\/C。中，乙4=3()。，4C=2JJ,

6，AD=-j3CD=3,

在RlV8c。中，tan5=—=^,

BD2

BD2

BD=2f

AB=AD+BD=3+2=5,

故选：D.

【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关

键.

6.在正方形网格中，入48。的位置如图所示，则C0S43的值为（）

D.f

A.；B.孝C-T

【答案】B

【分析】作4n8a可得AD=BD=5,利用勾股定理求得力从再由余弦函数的定义求解可

得.

【解析】解：如图，作4OJL8C于点0,

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则力0=5,BD=5,

>-AB=VAD2+BD2—V52+52=5V2，

八BD572

；.coscB=—=—r==—,

AB5V22

故选：B.

【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于

邻边比斜边；正切等于对边比邻边.

7.在中，2c=90。，CD是高，如果/8=加，乙4=。，那么C。的长为（）

A.w-sina-tanaB.ZMsincrcosa

C.wcostr-tanorD.ZHCOS«cottz

【答案】B

【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC,再表示出CD即可求出结果.

【解析】解：根据题意作图如下：

由题意知：AB=m,乙4=a,

,AC=ABcosa,

CD=ICsina=ABcosasina,

艮［JCD=m-cosa•sina,

故选：B.

【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键.

8.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆比＞,从办公楼顶端力测得旗杆

顶端E的俯角a是45。，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是

12米，梯坎坡度/・=1：则大楼4B的高度为（）

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（精确到0.1米，参考数据；72^1.41,73^1.73,血《2.45）

CD

A.30.4B.36.4C.39.4D.45.4

【答案】C

【分析】延长48交0c于凡作EGU8于G,则GH=Z）E=15米，EG=DH,设B4=x米，

则CH=Cx米，在Rt^BCH+,BC=\2米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6

6米，得出BG、EG的长度，证明△力EG是等腰直角三角形，得出4G=EG=（66+20）

（米），即可得出大楼48的高度.

【解析】解：如图，延长4A交QC于凡作EG14?于G,

则G〃=OE=15米，EG=DH,

•・郴坎坡度i=l：石，

:.BH：CH=1：石，

设米，则CH=V5x米，

在对△8CH中，3C=12米，

由勾股定理得：N+（年）2=122,

解得：x=6,

:.BH=6米,CH=66米,

：.BG=GH-BH=\5-6=9（米），EG=DH=CH+CD=（6VJ+20）（米）,

vza=45°,

."/G=90。-45°=45°,

EG是等腰直角三角形，

:.AG=EG=（66+20）（米）.

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^AB=AG\Z?G=673+20+9«39.4（米）；

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用■坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出

BH,得出EG是解决问题的关键.

9.如图，在&△/以7中，乙4cB=90。，。是边48上一点，过。作。交边3c于点E,

交4c的延长线于点R连接如果tan㈤C=g,S^CEF=1,那么S4l8c的值是（）

【答案】C

【分析】根据tan/"C=L可得%="由\JEFCiBC，可得相似比为。，从而得到面积

3AC33

比为，进而求出答案.

【解析】・4C8=90。,

.••48力。+48=90。，

乂・；DF工AB,

山。”=90。，

.-.z^C+zF=90°,

又LECF=UCB=90°,

•••△£C77~A/4CB,

ECCF1

—=tanzE^C=-,

Vi

一।

又•:SaECF=1,

••S^ABC=9,

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性

质是解决问题的关键.

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10.如图，在四边形力88中，乙DAB=^B=60°,AD工CD,NC平分乙ZM8,七为48边的中

点，连接。七交4。于?若CD=1,则线段4b的长度为（）

C.1D・?

【答案】D

【分析】延长4）、BC交于点、G,将图形补充成等边三角形，利用△4C。和△"C都是含30。

角的直角三角形得出力C,力Z）,4B的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

CFFC

得出EC的长度，用等边三角形的性质推导EC〃力。，继而得出△EFC~Z\Q",—,

AFAD

最后结合CQ/C-力少利用这个比例式得到关于力尸的方程，解出即可.

【解析】..2。力3=43=60。，AC平分上D4B,

.•2。/。=/。3=30。,

"D工CD,CD=\f

•>AD=>/3»4c=2,

延长力。、BC交于点、G,如图,

G

•••，G=60°,

为等边三角形,

•”C平分4D48,

••C为G3的中点，且4ULG8,

fAC473

：.AB=-------=—,

cos3003

连接EC,

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•••£为N8边的中点，ACLGB

.・.EC=）B=述，

23

•••c为G5的中点,

'.EC//AD,

:AEFC〜ADFA,

CFECAC-AFEC

•，定一布‘Hn平一~AF~~~AD

（鸣

.•.”4尸（3）二2

AF一石下

：・AF=y.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，相似三角形的

判定与性质，利用判定△EFC~△。以并用其列出关于力/的方程是解题的关键.

二、填空题

11.（1）V2cos450=;（2）sin600cos450=.

【答案】1逅

44

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

【解析】解：（1）V2cos45°=V2x^^=I,

2

（2）sin600cos45°=B走怎,

224

故答案为：1,逅.

4

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数

值.

12.己知。是锐角，tan（90°-^）-73=0,贝lja=。.

【答案】30

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可.

【解析】解：tan（90。-a）-6=0,

tan（90°-«）=>/3=tan60°,

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.-.90°a=60。,

:.a=30°；

故答案为：30.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

13.在Rt△48c中,ZC=90°,18=3,BC=2,则cos8的值是

【答案】|

【分析】根据余弦的定义求解即可.

【解析】解：在RtARBC中，ZC=90°,46=3,8c=2,

nBC2

cosB==—.

AB3

【点睛】本题主要考查了余弦的定义，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边

与斜边的比值.

14.如图，在七—3c中，z^C5=90°,CD工AB,tan^DCB=4,AC=\2f贝U6C=.

c

ADB

【答案】9

【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到±88=41,根据正切的定义计算即可

【解析】解：•••乙”8=90。，

•••SB=90。,

-CDLAB,

:•乙BCD+LB=900,

,,LBCD=LA,

在七中，

3B(J

vtaivl=tanZ-BCD=-=，

4AC

：BC=-AC=-^\2=9.

44

故答案为：9.

【点睛】本题考查了解百角二角形：掌握正切的定义是解题的关键.

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15.如图，小红同学用仪器测量一棵大树48的高度，在。处知N/£>G=3（）。，在七处测得

m,这棵树/出的高度为.

【答案】（4b+1.5）米

【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含4G的代数式表示出厂G、DG,由于

DG-FG=DF,得到关于力G的方程，求解即可.

【解析】解：由题意，四边形。正、四边形尸E8G、四边形CQ8G均为矩形,

△ADG、V4R7均为直角三角形,

所以。=8G=L5米，CE=DF=E米.

J「

在RtV/OG中,•••tanZ.ADG=——,

DG

即°G=焉=b/G,

4G

在RtZk/『G中,vtanZJFG=—,

FG

即Q="G=@AG,

tan6003

又「DG-FG=DF=8,

,&G-争G=8,

即华4G=8,

/./G-4^3

・・・/l8=4G+GB=l.5+45万（米）,

故答案为：（4C+L5）米.

第19页共39页

R

【点睛】本题考查了解直角三角形.掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键.

16.如图，在中，NC=90。，斜边18的垂直平分线分别交48,4C于点。，E.若

4

JC=8,tanZ?=-,那么/E=.

【答案】y

【分析】连接初，设"=力£=一然后通过勾股定理求解.

【解析】解：连接“，

设砥长为x,

•••是力4的垂直平分线,

/.AE=BE=x,CE=AC-AE=8-x,

ACS4

vtan«D===—,

BCBC3

3

.-.^C=8x-=6,

4

在RtVBCE中，由勾股定理得：BC2+CE2=BE\

即6?+(8-工尸=x2,

第20页共39页

解得、=亍25.

故答案为：Y-

【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握垂直平分

线的性质，通过添加辅助线求解.

17.如图，在菱形46CQ中，乙4=60。，AB=6.折叠该菱形，使点4落在边8c上的点M处,

折痕分别与边48,力。交于点E,F.当点用与点8重合时，4'的长为；当点”的

位置变化时，。厂长的最大值为.

【答案】域6-36

【分析】当点”与点B重合时，川垂直平分N8,利用三角函数即可求得小的长；根据折

叠的性质可知，力QEW,若OF取最大值，则取最小值，即为边力。与3C的距离OG,即

可求

【解析】解：当点M与点〃重合时，由折叠的性质知垂直平分48,

:・AE=EB=:AB=3,

在△力石/中，4=60。，J£=3,

FF

tan60°=--,

AB

••・M=35

当/尸长取得最小值时，。尸长取得最大值，

由折叠的性质知E/垂直平分力M,JJIiJAF=FM,

・•/MJL8C时，EW长取得最小值，此时。厂长取得最大值，

过点D作DGLBC于点C,则四边形DGMF为矩形，

:.FM=DG,

在用△OGC中，4。=4/=60。，DC=AB=6,

.­.DG=DCsin60°=3V3,

.♦・/）厂长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3.

第21页共39页

故答案为；3VJ；6-3V3.

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题.

18.如图，在矩形48co中，点E在边力B上，△8EC与△厂EC关于直线EC对称，点3的

对称点口在边4。上，G为8中点，连接BG分别与"，CF交于•M,N两点.若BM=

BE,MG=\,则8N的长为—,sin//在的值为一.

【答案】2V2-1

【分析】连接8凡FM,由翻折及ME可得四边形BE/”/为菱形，再由菱形对角线的性

质可得BN=B4.先证明得再证明△EMV“Z\CGN可得*-器,

FMNM

进而求解.

【解析】解：:BM—BE,

，乙BEM=LBME,

-ABWCD,

:•乙BEM=LGCM,

又•••乙BME=cGMC,

:ZGCM=LGMC,

.•.MG=GC-1,

第22页共39页

•••G为8中点,

:CD=AB=2.

连接BP,FM,

AFD

由翻折可得BE=EF,

：.BM=EF,

■:乙BEM=LBME,

:.乙FEM=LBME,

・•・四边形8EFM为平行四边形，

.•・四边形8EFM为菱形，

o

vz£i?C=zEFC=90,EF\\BGf

“NF=90

•；BF平分乙4BN,

:.FA=FN,

；.Rl4ABF三R3NBF(HL),

:・BN=AB=2.

♦；FE=FM,FA=FN,々［〜BNF=900,

:.RHEF空Rt4NMF(HL),

:.AE=NM,

'&AE=NM=x,

贝I」BE=FM=2-x,NG=MG-NM=1-x,

第23页共39页

•.TA/HGC,

••△FMNFCGN,

CGGN

‘丽一两’

g|j_L=k£,

2-xx

解得x=2+&(舍)或x=2・

:.EF=BE=2-x=72,

；.si山FE=黑==72-1.

Ery/2

故答案为：2；A/2-1.

【点睛】本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的

判定及性质求解.

三、解答题

19.计算：

(1)2sin60°-cos450+tan45°

(2iSin45"-J(cos600-I)2-2cos30°

「cos6()。Y')

【答案】

Q、\五

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案;

（2）直接利用特殊角的三角函数值结合二次根式的性质化简，进而得出答案.

【解析】（1）解：原式-2乂也—①乂巫+1

222

=^3+1；

（2）解:

第24页共39页

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

20.（1）在V/8C中，ZC=90°,BC=3,ZZ?=45°,求福和/C的长；

（2）在打8c中，ZC=90。，咤266=2,解这个直角三角形.

【答案】（1）AB=30,AC=3；（2）c=4,4=60。，4=30。.

【分析】（1）利用NB=45。及其正切值,即可求出。8和4c的的长;

（2）利用勾股定理求出。的长，再利用正弦函数的定义即可求出直角三角形的另外两个角的

度数.

ArAC

【解析】（1）解：•••在Rt△/中，tan8=W，即ian45=等=l,

DC3

・・./C=3,

­-AB=>JAC2+BC2=V32+32=3>/2，

:.AB=3五,AC=3；

（2）解：在Rt△43c中，由勾股定理可知：C=V7+^=4,

...4a2仆仆

•sinA=-=-----=—,

c42

:"A=60°,N8=90。-60°=30°.

【点睛】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形，熟练掌握三角函数对应的各

边之比以及特殊角的三角形函数值，这是解决本题的关键.

4

21.如图，在Vj8C中，于D,8c=14,4)=12,S\nB=-f求tan4C8的值.

【分析】先解Rd/8/）求出48=15,则由勾股定理可得出）=9,即可求出。。=5,则

/snAD12

tanZ.ACB=----=—

CD5

【解析】解：•：ADJ.BC,

第25页共39页

4

在Rt△月8。中，sin^=y,40=12,

4D12

AB=----=—=15

sin44

5

BD=y/AB2-AD2=A/152-12:=9,

•」8C=14,

:.DC=BC-BD=T4-9=5,

AD12

:.tanN4cB==—.

CD5

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键.

22.在\A48C中，48=6,BC=4,为锐角且cosB=：.

(1)求N8的度数；

(2)求NC的正切值.

【答案】(1)60°,(2)3V5

【分析】(1)根据特殊角三角函数值直接求解即可；

(2)作力DL8C于。，求出40=3石，CD=1,由三角函数定义即可得出答案.

【解析】解：(1)为锐角且cos8=；,

.•28=60。；

(2)作/。L?C于。，如图所示：

cos5=—,

2

BD1

•••--=—,

AB2

,:AB=6,

:.BD=；AB=3,

"D=1AB?-BD1=邛，

•；BC=4,BD=3,

第26页共39页

♦•♦CD=BC-BD=1,

【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、三角函数定义等知识；熟练掌

握直用三角形的性质和特殊锐珀的三角函数值是解题的关键.

23.在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图.

AA

BB

②

⑴如图①中，在48上找点C,使得片C：BC=2：3；

（2）在图②中作4D45,使得tai叱。为5=措,（保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）取格点m，N,连接"N交48于点。，点。即为所求作：

（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解.

【解析】（1）如图，点C即为所求作.

第27页共39页

①

理由，AM〃BN,AM=ZBN=3,

:NAMC-BNC,

.AM2

理由，\-AB=yl\2+32=V10,

BD=+1?=y/l,，AD-V22+22-25/2，

J52=10,5D2+JD2=2+8=10,

.38。是直角三角形，且£U5O=90。，

W血8=8=军，

AD2V22

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题,正切的定义，掌握以上

知识是解题的关键.

24.如图，在RtZi/18C中，ZC=90°,。是8C边上一点，JC=2,C>=1,设Z.CAD=a.

第28页共39页

(l：浜sina、cosa、tana的值；

(2)若NB=NUD,求8。的长.

【答案】(l)sina=,cosa=~~ftana=g

⑵3

【分析】（1）根据勾股定理求得4）,进而根据三角函数的定义，即可求解;

AC

（2）根据tan8=m，求得8C,根据8。=8C—CO,即可求解.

LJL

【解析】m解：在RW4C。中，

:AC=2tDC=\f

-AD=y/AC2+CD2=>/5.

CD1V5AC2>/5tana，1

sina=—=-7==—,cosa=——=『=2」_,--•

ADV55ADV55AC2，

(2)在RiV"C中,

AC

taniD?=---

BC

即tana=_2_=L

~BC~^

..BC=4,

...BD=BC-CD=4-l=3.

【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

25.如图，在上ZUCB中，乙4。3=90。，点〃为边力B的中点，点E在线段4W上，EFLAC

于点F,连接CM,CE.己知乙4=50。，Z^CE=30°.

(1)求证：CE=CM.

第29页共39页

⑵若ZA4,求线段尸C的长.

【答案】(1)见解析

⑵石

【分析】(1)根据直角三角形的性质可得历C=W=MB,根据外角的性质可得

(MEC=LA+UCE,乙EMC=cB+乙MCB,根据等角对等边即可得证；

(2)根据C£=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出产C的长.

【解析】(1)证明：•••乙4。8=90。，点M为边48的中点，

，MC=MA=MB,

：/MCA=U,Z-MCB=Z.B,

•••乙4二50。，

.••，MO=50。,乙MCB=LB=40°,

工乙EMC=(MCB+乙B=80。,

vZz4C^=30°,

.-.zMEC=zJ+zJCE=80。,

，乙MEC=£EMC,

:CE=CM；

(2)现吊：•••45=4,

:£E=CM=；AB=2,

•；EFL4C,Z.ACE=30°f

•••FC=CE,cos30o=>/3.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌

握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键.

26.如图，正方形月6。。和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=1,CE=3,连接力/交CG

于点K,"是力产的中点，连接C”.

第30页共39页

⑴求tan乙GFK的值;

⑵求的长.

【答案】⑴；

Q'CH=亚

【分析】（1）由正方形的性质得H14>CZ>8C=1,CG=PG=CE=3,AD〃BC,GF〃BE,乙G=90。,

证出V/1QK：V尸GK,得出比例式求出GK=1OG=5，即可得出结果；

（2）由正方形的性质求出/8=8C=1,CE=EF=3,乙£=90。，延长4。交止于连接4C、

CF,求出4W=4,FM=2,乙i/F=90。，根据正方形性质求出乙4cb=90。，根据直隹三角形斜

边上的中线性质求出根据勾股定理求出4立即可得出结果.

【解析】（1）解：•.♦四边形48C。和四边形CEFG是正方形，

:.AD=CD=BC=\,CG=FG=CE=3,AD//BCyGF//BE,zG=90°,

:.DG=CG-CD=2,AD//GF,

:.MADK：YFGK,

.•.OK：GK=AD：GF=\：3,

.\GK=-DG=-

42f

3

,，,tanZGF/f=—=^=-;

FG32

(2)解：•••正方形48C。和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=l,CE=3,

：.AB=BC=\,CE=EF=3,5=90。,

延长4。交E/于M,连接4C、CF,如图所示：

则如W=8C+C£=1+3=4,EW=EF・AB=3-1=2,Z/1MQ90。,

•・,四边形力8c。和四边形GCEb是正方形，

，乙ACD=^GCF=45。,

第31页共39页

•••UC尸=90。，

•••〃为4b的中点，

:.CH=-AF,

2

在RtzMM/中，由勾股定理得：AF=而不存彳=用行=2#，

:.CH=-AF=>[5.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角

三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角

三角形斜边上的中线性质才能得出结果.

27.如图，在河流的右岸边有一高楼力4,左岸边有一坡度i=l:2的山坡6,点。与点6在同

一水平面上，b与43在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼45的高度，在坡底C处测

得楼顶A的仰角为45。，然后沿坡面CF上行了20后米（即8=20石米）到达点D处，此时在

。处测得楼顶A的仰角为26.7。.（参考数据：sin26.7°^0.45,cos26.7°»0.89,tan26.7°«0.50）

（1）求点。到点。的水平距离CE的长；

（2）求楼"的高度.

【答案】（1）40米；（2）楼48的高度为80米.

【分析】⑴由b的坡度1:2,3ELS可得先=，设。E=x,则"=2x,由勾股定理可

CE2

得CD={DE?+CE?=瓜,再列方程返工=2（）后解方程可得答案；

（2）如图，过D作DH上4B于”,先证明四边形。匹〃是矩形，可得

BH=DE=20,DH=BE=CE+BC=40+BC,设48=也证明8。=48=也可得

4H=m-20,DH=m+40,由乙仍"=26.7。，建立方程，再解方程检验即可得到答案.

【解析】解：（1）。厂的坡度，=1：2,DEICE,

DE1

/.——=—,

CE2

第32页共39页

设DE—x,贝l]CE—2x,

CD=>IDE2+CE2=

.•.信=20底

x=20,

CE=2x=40.

(2)如图，过。作。于〃，

•••DE1BE,AB1BE,

四边形QE8H是矩形，

/.BH=DE=20,DH=BE=CE+BC=M+BC,

设N8=m,

vZJC5=45°,AB工BE,

:.ZACB=ZBAC=45\

：.BC=AB=〃?，

-20,。〃=〃，+40,

由N4OH=26.7。，

・..tan26.7。=也，

DH

.•.0.5=叱型，

"i+40

解得:"=80.

经检验：，〃=80符合题意，

所以：建筑物的高为：80米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量

建筑物的高是解题的关键.

28.如图1,中，乙4=90。，。为48上一点，ZACD=ZB.

第33页共39页

⑴求证：AC2=AD-AB;

⑵如图2,过点4作于"，交BC于点、E,若浮求提的值；

BC2ME

若券=4,ZNBD=2ZACD,则tan/ziCN

⑶如图3,N为延长线上一点，连接力N、BN,

的值为

【答案】（1）见详解

(3)7

【分析】（1）证V/18csv力CQ,得出£=尤，即可得证结论；

ACAB

（2）根据角的关系得出△4EB为等腰三角形，根据（1）得出*=哆=倏=：,过点E作

BCABAC2

EF上AB交CD于点、F，可得出ZUMs△4QC,根据相似三角形的性质即可求解：

（3）过点B作8P1CN于点P,则4"=4%。=90。，先证明/P8。=/P8N,即有8。=m,

NP=DP,设BN=3a,即BD=BN=3a,再设4Q=x,则48=3a+x,根据

AC2=CD--AD2=ADAB，可得（百=%（工+3。），解得4=。或々=—|。（舍去），即有力。=%

贝IJ48=4a,AC=jADAB=2a,问题得解.

【解析】（1）•:NACD=NB,NDAC=NCAB,

ADACJfCAB,

DACA

•*.--=---•

ACAB

：.AC1=ADAB\

（2）过点E作交CO于点R

第34页共39页

vZ^WZ)=ZDJC=90°,

/DAM+AADM=AADM+ZACD=90°,

:.LDAM=Z1ACD,

•・•N4BC=/ACD,

ADAM=Z.ABC,

.•以力必为等腰三角形，

AE=BE,AF=BF=—AB,

2

CDI

•・•MABC^MACD,—=-,

DC2

CDACAD1

设CO=a,则8c=2a,/13=24C,

在RlZUBC