2025-2026学年江苏省盐城市某中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省盐城市阜宁中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若l+2i=iz（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.iB.1C.-iD.-1

2.下列命题：

①“Q=1”是“复数言（awR）为纯虚数”的充要条件；

②四条首尾相连的线段确定一个平面；

③一个平面可以将空间分成两部分；

@直线绕定点运动形成锥面：

翻•一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥.

正确的有（）项.

A.0B.1C.2D.3

3.如图，一个矩形边长为1和4,绕它的长为4的边旋转一周后所得的一开口容器（下表面密封），P是BC

中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒,

则它所需经过的最短路程为()

A.V7T2+36

B.V7124-16

C.T4n'2+36

D.、47r2+1

4.如图，某海滨城市力附近海面上有一台风，在城市4测得该台风中心位于方位角为150。，距离为2504km

的海面P处，并以25km"的速度沿北偏西60。的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区

域.则（）小时后该城市开始受到台风侵袭.

A.5

B.10

C.15

D.20

5.已知+tan[a—=6,tanatan(^-/?)=3,则COS(4Q+4/7)=()

A79R7949

A-8iB-8iCC8TD嗜

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6.在△48。中，内角4B,。的利边分别为a,b,c,且/+c2一/二4加，合俘当二^^,则角力

1-，2cosA1+cos2C

的大小为（）

A—R-Q—n—

12D-12j12u'4

7.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、

八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点。为该正八边形的中心，设|雨|=1，下列

结论中正确的个数是（）

(T^B-~0E=-y[2\

②砺-屈=苧|丽卜

4

加在南上的投影向量为-苧或其中方为与前同向的单位向量）;

©苦点:P为正八边形边上的一个动点，则肝宿的最大值为4.

A.4B.3C.2D.1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

8.若的三个内角4B,C的正弦值为sin4,sinBts讥C,则（）

A.sinA,sinB,s»C一定能构成三角形的三条边

B•为焉盛一定能构成三角形的三条边

C.siMA,sin2F,sin2c一定能构成三角形的三条边

D.VsinA,VsinB,7sin。一定能构成三角形的三条边

9.如图，空间四边形48CD中，E,F分别是边力8,BC的中点，G,H分别在线段DC,DA上，且满足DG=/IDC,

DH=^DA,九（0,1）,则下列说法正确的是（）

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A

A.当4=〃寸，四边形EFG”是矩形

B.当又=〃二削寸，四边形"GH是梯形

C.当义丰〃时，四边形EFG”是空间四边形

D.当；1不〃时，直线E，，FG,8D相交于一点

10.已知函数/(%)=sin(2x--sin4x+cos4%,则下列关于函数/'(>)的说法正确的是()

A.函数/⑴在音,句上单调递增

B.函数f(x)的图象可以由y=s)2%图象向左平移得个单位长度得到

D.若函数y=/(x)+J在［。,句上至少有11个零点，则匕-a的最小值为57r

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

11.在斜△ABC内，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若小+/=2026/,则寨+缁=_.

12.在正方体。"。-4/£。1中,E为。％的中点,则AC】与CE所成角的余弦值为一.

13.已知函数/(%)=sin2|sina)x-1>0),xER.若/(%)在区间(^^)内没有零点，则㈤的取值范围

是—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.(本小题13分)

已知复数z=m-i(me/?),且(1+3i)为纯虚数(z是z的共轨复数).

(1)求实数m的值；

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(2)设好数为=若，求|z小

(3)复数Z2=当竺在复平面内对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

15.(本小题15分)

记UBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知黑产品.

(1)若＜?=手求8；

a2+b2

(2)求:的最小值.

16.(本小题15分)

如图，已知在平面四边形中，AB=2,BC=6,CD=DA=4.

⑴若8。平分〃8C,求80的长;

(2)设4840=a,乙BCD=p

=120°,求四边形48CD的面积;

②当四边形4BCD面积最大时，求证：a+^=180°.

17.(本小题17分)

如图，己知三棱锥4-BCD,三角形48D为等边三角形，BD=AC,BCLCD.

(1)若点。为BD的中点，证明：AO10C；

(2)当BC=CD时，求异面直线4B与CD所成角的余弦值；

(3)当异面直线48与CD所成角的余弦值为)时，求需的值.

aLL/

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18.(本小题17分)

在三角形力RC中，角4,B,C所对的边分别为Q,b,c.

(1)在斜三角形ABC中：

(i)若sizM=2026sinBsinC,cosA=2026cosBcosC,求£。几力+tanB+tanC的值.

(ii)着2sin2B+3s出2c=2sinAsir.BsinC+si/A,求£。“4的值.

(2)若(a—sin22F)2=(sin225+sin2B)■(s\n22B—si九28),求c的取值范围.

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参考答案

l.r

2.D

3.4

4.B

5.4

6.B

l.C

8/0

9.BC

10.ABD

11-^―

,2025

2任

15

13.(0,初既

14.(1)因为z=7九一i,则z=m+i,

所以*-(1+3i)=(m+0•(1+3Q=(m-3)+(3m+l)i,又W•(1+3i)为纯虚数,

所以m=3；

m+4i3+4i(3+4i)(l-i)3-3i+4i+47+i1,7.

2==

(>1=-7T?=oTocTo--2—=—=2+2G

所以|Z1I=J3+4=苧:

(3)因为[2025=j506x4+l=〃

gr-..I_a+i2025_a+i_(a+i)(3+i)_3a4-ai+3i-1_3a-1a+3.

所吹为=~~~=3^=(3-t)(3+i)=10=10+~10~lt

202r(3Q-1>°

因为复数Z2="竺在复平面内对应的点在第一象限，则L乙，

w>°

解得a>4，所以实数Q的取值范围为(9,+8).

D<3

[V械\co$4_sin2B.cos'_2sinBcosB_sinB

'()'i+sM4-l+cos28'1+sinA~2cos2B~cosB'

化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB,

•••cos(8+A)=sinB,

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二一cosC=sinB,C=—,

sinB=I，

•••0<8<£.♦.=7.

36

(2)由(1)可得：一cosC=>0,cosC<0,CG

.••C为钝角，B,力都为锐角，B=C-^.

sinA=sin(B+0=sin(2C—^)=—cos2C,

M+岳_sin2i4+sin2F_cos22c+cos2C_(1-2s讥2c)2+(1-sin20_2+4sin4C—5sin2C

c2~sin2csin2csin2csin2C

2

=——7—+4s出92c-5

sinzC

22k-5=42-5,当且仅当sinC=表时取等号.

的最小值为4，1-5.

16.解:(1)因为BD平分乙4BC,可得cos乙480=cos4。8C,

由余弦定理,J信2X/1BXB。=2XBCXBD

22+8。2-42_62+BD2-42

解得

2x2x8。=2x6x8。B/)2=28,

所■•以=2，7：

(2)®ttAABD中，由余弦定理得BZ>2=AB2+AD2-2ABxADcosa,

所以=22+42-2X2X4cosl20。=28,解得8。=2x<7,

8c2+c炉-8万_62+42-(2/7)2_1

在408/)中,nJ得cos0=

-2xBCxCD—-2x6x4-2J

因为0。＜夕＜180。，所以夕=60。

由四边形48c。面积S=S4BAD+S^BCD»

所以S=xADsina+；CBxCDsinB

=ix2x4sinl20°+1x6x4s配60。=8/3;

乙乙

劭正明：在△4BD中，可得8。2=2?+4?—2x2x4cosa,

在^CBC中，可得BO?=62+42-2X6X4COS£,

所以224-42-2x2x4cosa=62+42-2x6x4co邛,

整理得csa-3c"/?=-2,(*)

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设四边形力BCD的面积为S,

则S=S^ABD+SMBD=xADsina+；CB义CDsinp=4sina+12sinp,

即sina+3s出0=・，(**)

由(*)(**)得：(sina+3sinpy+(cosa-3cos/?)2=4+(^)2,

整理得10-6cos(a+/?)=4+(：)2,

即(。)2=6—6cos(a+/?),

因为0。VaV180°,0°</?<180°,

所以0。<«+/?V360。，则-1<cos(a+p)<1,

当且仅当a+p=180。时，cos(a+p)min=-1,

此时《¥取最大值12,即S有最大值80，

所以当四边形面积最大时a+0=180°.

17.解：(1)证明：设BO=4C=2,取BO中点0,连接040C,二。0二1,

•••△ABD为等边三角形,。为BD中点，

BD=AD=AC=2,AO1BD,

•在△BCD中，。为中点，BCLCD,

0C=^BD=1,

♦在△AOZ)中，AD=2,0D=1,

:.AO=V-3»

•••在△40C中，AO=y/3,OC=l,AC=2^

AO1OC.

(2)设BD=4C=2,取8。中点。，连接040C,•­-0D=1,

取4。中点E,F,连接。尸，EF,OE,山⑴得OF="C=1,RD=AB=AC=2,

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在△4CD,△48。中，•:E,F,0为AD,AC,8。中点,

:.GE//AB,EF//CDROE=^AB=1,EF=^CD,

故异面直线4B与CD所成角为。E与EF所成的角NOE凡

在△BC。中，BC=CD,BD=2,BCLCD,

:.EF=*D=号,

在△雨中，3颉=笠凝*字

故异面直线48与CD所成角的余弦值为甲.

4

(3)设EF=x,BD=AC=2,

••・异面直线48与CD所成角的余弦值为:

。£2+£尸2一。尸2_工

由(2)可知

cosZ.OEF=-2x.OEx.EF——彳'

%=故CD=1,

在△8C0中，CD=1,80=2,BC1CD,

BC=G故落=/3.

18.解：(l)(i)因为sizM=2026sEBsinC,cosA=2026cosBcosC,

2026sE8sinC

则两式相除，得晦=BPtanA=tanBtanC,

2026W、6CO3C'

两式相减，得cos71-sinA=202()(cosBcosC-sinBsinC),

即cosA-sinA=2026cos(8+C)=2026cos(nr-A)=-2026cos4,

整理2027cos4=sim4,故£am4=2027,

在斜三角形中，由tan(fi+C)=叱=tan(7r-A)=-taml可得恒等式tan/l+tanB+tanC=

tanAtanBtanC^

将tcuM=tanBtanC^KtanA+tanB+tanC=tanA-tanA=tan2zl,

因此tan/+tanB+tanC=20272；

(〃)由正弦定理「7二/^=-7=2/?,得sirb4=^,sinB=卷,sinC=

''sinAstnBsinC2R2P.2R

代入原式得2(4)2+3(劫2=2(劫点)(劫+(劫2,

化简得2b2+3。2二甲+。2,

A

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又因为三角形面积公式S=^bcsinA,且华=2bcsinA,

所以2b2+3c2=2bcsinA+a2,

因为Q2=-I-c2-2hccosA,代入2川+3c2=2bcsinA+b2+c2-2bccosA,

整理〃+2c2=2bc(sinA-cosA),

两边同除以be，得2•"=2(sim4-cosA)=2，^sin(/l-今)，

令亡=”0!/liJt+|=2/2sin(zl-^),

由均值不等式得t+