2026年高考数学一轮培优练习（新高考）离散型随机变量及其分布列、数字特征（学生版+解析）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•北京、2024•新课标H卷

2024•新课标I卷、2023•全国甲卷

理解取有限个值的离散型随机变量

离散型随机变量及其2023•新课标I卷、2022•浙江

及其分布列的概念；理解并会求离散型随

分布列、数字特征2022•全国甲卷、2022•北京

机变量的数字特征。

2021•新高考全国H卷、2021•北京

2021•浙江、2021•新高考全国I卷

【知识梳理】

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点。，都有—的实数XQ)与之对应，我们称X为随

机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为由，刈，…，羽，称X取每一个值的概率P(X=M)=P"i

=1,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量分布列的性质

(l)pBO,i=1,2,…，n.

(2)pi+p2H-----\-pn=_.

4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

•••

XX}X1

•••

PPi〃2P，，

(1)均值(数学期望)

n

称E(X)==S”2为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了

i=1

随机变量取值的.

(2)方差

称O(X)=3—E(X))2pi+a2—E(X))2p2+-+(x“一E(X))2p”=2为随机变量X的方差，并

i=1

称75而为随机变量X的,记为KX),它们都可以度量随机变量取值与其均值的.

5.均值(数学期望)与方差的性质

(1)£(“X+b)=.

(2)。《戊+3=(a,人为常数).

点拨】

1.若X是随机变量，Y=aX+b,a、〃是常数，则丫也是随机变量.

2.E(X+X2)=E(XD+E(X2)；

D(X)=E(X2)-(E(X))2.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(I)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()

(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随现变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小.()

2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得。分，共下三局用。表示甲的得分，则｛^=3｝表示

()

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

3.已知随机变量X的分布列如表，则E(5X+4)等于()

X124

P0.4a().3

A.lB.2.2

C.llD.15

4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,匕分布列分别为

X0123

P0.40.3().20.1

Y012

P0.30.50.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.

点拨】

1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.

(2)随矶变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小.

(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.

2.(l)E(M+X2)=E(X))+E(X2).

(2)D(X)=E(T)-(£(X))2.

(3)若X"X?相互独立，则E(XX2)=E(X)正(Xz).

【必练核心题型】

题型一分布列的性质

【典例】1.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P(Xva)=0.8时，实数〃的取值范围是()

A.[l,2)B.[l,2]

C.(l,2]D.(l,2)

【典例】2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=^1(^=1,2,3,4,5),则尸(X24)等于()

A福B最

噫

【变式训练】已知随机变量C的分布列如表：

-202

Pabc

其中a,b,c成等差数列，则P（曰=2）的值是（）

32

C.-D.1

43

题型二离散型随机变量的分布列及数字特征

命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征

【典例】1.（多选）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是（）

X-213

P2a0.25a

A.a=0.25

B.E(X)=1

C.D(X)=4.5

D.P(0.5vX<3.5)=().5

【知识拓展】

均值、方差的大小比较、最值（范围）问题

关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几

个角度进行考杳：（1）均值、方差及概率的大小比较；（2）均值、方差的增减性分析；（3）均值、方差的最值；（4）

解均值、方差的不等式求字母的范围.

【典例】1.设随机变量X的分布列如下（其中Ovp<l）,。（如表示X的方差，则当〃从0增大到1时（）

X012

1P

P1-P

222

A.Q（>）增大B.Q（X）减小

C.Q（X）先减后增D.Q（X）先增后减

【典例】2.（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验可得0<〃<2,随机

变量X的分布列为

X0a2

11

Pb

26

下列结论正确的是()

A./?=1

B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为搭

16

CWOmin二1

D.当D(X)最小时，石(%)=1

命题点2均值与方差的性质应用

【典例】2.(多选)已知随机变量X的分布列为

X-1012

Pabc0.25

旦0b,c成等差数列，下列结论正确的是()

\.D(bX+\)=—D(X)

16

B.P(|X|=l)=0.5

C.若E(aX)=O.O8,贝I」a=O.l

D.a—c可能等于0.1

【变式训练】(多选)已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是()

X-2-112

12

Pmn

99

A./n+n=-3

B.P(X<2)=5

C.若m=3,y=3X+2,则E(y)=2

D.D(X2)=2

题型三均值与方差中的决策问题

【典例】1.数学多选题的得分规明是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分,

部分选对的按比【典例】得分，有选错的得。分，小明根据人量的多选题统计得到：多选题正确的选项

共有四个的概率为0,正确选项共有两个的概率为p(0</Xl).

(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A,B,C,D四个选项中任选一个选

项，策略二：在A,B,C,D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的数

学期望；

(2)若有一个多选题，小明发现A正确，B,C,D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：除

选A外再从B,C,D中任选一个，策略二：除选A外再从B,C,D中任选两个，在p=；的条件下,

判断小明选择哪个策略更好.

【变式训练】(2021•新高考全国【)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加

比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若

回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类问题中

的每个问题回答正确得20分，否则得()分；8类问题中的每个问题回答正确得8()分，否则得。分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确问答8类问题的概率为0.6,且能正确问答问题的

概率与回答次序无关.

⑴若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分,投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分

亡的所有可能取值的和是（）

A.8B.10

C.12D.14

2.设随机变量X的分布列为P（X=i）=（，2,3,则。等于（）

7

A.3B.；

3

C.2D.：

9

3.已知随机变量X的分布列为

X-101

1

Pmn

3

若P（XW0）W，且2X+Y=1,则D（r）等于（）

A，18B.-

18

C空

喈9

4.已知随机变量X的概率分布列为P（X=〃）=asin舟（〃=1,2）,其中。是常数，则E&X）等于（）

AtB2

C.2D.|

5.一袋中装有5个白球和3个红球,现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，

若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量3则PQW2）等于（）

AAB,^

1456

「3723

C•羡D0

6.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商

品。，E,『的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：

商品DEF

猜对的概率0.80.50.3

获得的奖金/元100200300

规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最

大（）

A.FDEB.FED

C.DEFD.EDF

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.已知离散型随机变量X的分布列为

X0125

Pa2。+0.2a+0.22a

则下列说法正确的是（）

A.a=0.1B.D(X)=1.84

C.E（X）=2D.E(2X+6)=9

8.己知随机变量X的分布列为

X-101

PPiP2P2

下列结论正确的是（）

A.若pi=2〃2，则pi=：

B.若pi=p2,则P(|X|=l)=w

C.若E(X)=j则P2=]

D.pf-p2(PW2WO)的最小值为一白

16

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.随机变量4的分布列如表所示：

5*

g234

paba

根据随机变量^的分布列，计算出£（。=,若。©=%则〃的数值应是.

10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如表所示:

降水量XX<300300^X<700700WX<900X2900

工期延误天数Y02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延

误天数丫的均值为.

四、解答题（共28分）

11.（13分）（2025・重庆模拟）甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，

其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6,乙先行时他嬴下该局的概率

为0.5.

⑴求比赛只进行了三局就结束的概率；（5分）

（2）已却甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.（8分）

12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阉兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工

从一个装有4个标有面值的闸的袋中一次性随机摸出2个闸，闸上所标的面值之和为该员工获得的奖励金

额.

(1)若袋中所装的4个阉中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：

①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；(3分)

②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分)

(2)公司对奖励金额的预算是人均1()()0元，并规定袋中的4个阉只能由标有面值200元和800元的两种陶

或标有面值400元和600元的两种阉组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所

获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个闸的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分)

【尖子拔高训练】每小题5分，共10分

13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是()

X123456

P2P2P3内P5〃6

A.P(X24)=1—P(XW3)

B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5

C.当/%=表(〃=1,2,3,4,5)时,〃6="

1

D.数列｛〃“｝的通项公式可以为p〃=,r、(〃=1,2,3,4,5,6)

14.设族格，羽随机变量4的分布列如表所示，则风软)

123

1

P

河2。2

A.有最大值条A小值T

B.有最大值最小值:

44

C.有最大值无最小值

4

D.无最大值，有最小值:

4

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

【考情分析•探规律】

考点考情分析(2021-2024)命题趋势

2024•北京、2024•新课标H卷

2024•新课标I卷、2023•全国甲卷

理解取有限个值的离散型随机变量

离散型随机变量及其2023•新课标I卷、2022•浙江

及其分布列的概念；理解并会求离散型随

分布列、数字特征2022•全国甲卷、2022.北京

机变量的数字特征。

2021•新高考全国II卷、2021•北京

2021•浙江、2021•新高考全国I卷

【知识梳理】

।.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点”，都有唯一的实数机加与之对应,我们称X为随

机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为汨，处，…，M，称X取每一个值方的概率P(X=x,)=pj,i

=1,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量分布列的性质

(l)Pi20,i=1,2,…，n.

(2)/?I+/72H-------Hp“=L

4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

XX]X2•••

•••

PPiP2P"

⑴均值(数学期望)

n

称日X)=x如+即小+…十X"册=Z冲力为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了

i=1

随机变量取值的平均水平.

(2)方差

称Q(X)=(XLE(X))2pi+8—E(X))2p2+-+(x“一E(X))2p〃=2(M—E(X))20为随机变量X的方差,并

i=1

称回盯为随机变量X的显隹差，记为o(X),它们都可以度黄随机变量取值与其均值的倜离理度.

5.均值(数学期望)与方差的性质

(\)E(aX-\-b)=aE(X)+b.

2

(2)D(ciX-\-h)=aD(X)(at为常数).

点拨】

1.若X是随机变量，Y=aX+b,a、〃是常数，则丫也是随机变量.

2.E(X+X2)=E(XD+E(X2)；

D(X)=E(X2)-(E(X))2.

【随堂训练】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(I)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()

(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随现变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小.()

【答案】(1)J(2)X(3)V(4)J

【解析】对于(2),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1,故不正确.

2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得()分，共下三局.用小表示中的得分，则｛《=3｝表示

()

A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局

C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故｛。=3｝表示两种情况，即甲赢

一局输两局或甲、乙平局三次.

3.已知随机变量X的分布列如表，则E(5X+4)等于()

X124

P0.4a0.3

A.1R2.2

C.llD.15

【答案】D

【解析】依题意，0.4+。+0.3=1,解得。=0.3,

则E(X)=1X0.4+2X0.3+4X0.3=2.2,

所以E(5X+4)=5E(X)+4=5X2.2+4=I5.

4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,X,分布列分别为

X0123

p0.4().3().2().1

Y012

P0.30.50.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.

【答案】乙

【解析】E(X)=OXOJ+lXO.3+2XO.2+3XO.l=lr£(7)=()X().3+1X0.5+2X().2=0.9,

•；E(Y)<E(X),・•・乙技术较好.

点拨】

1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.

(2)随矶变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小.

(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.

2.(1)E(X+X2)=E(Xi)+E(X2).

(2)DW=£(X2)-(E(X))2.

(3)若Xi,X?相互独立，则E(XX2)=E(X)E(X2).

【必练核心题型】

题型一分布列的性质

【典例】1.若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当P(Xva)=0.8时，实数。的取值范围是()

A.[l,2)B.[l,2]

C.(1,2]D.(l,2)

【答案】C

【解析】由随机变量X的分布列知,P(X<1)=().5,P(Xv2)=0.8,故当P(Xv〃)=0.8时-，实数。的取值范围

是(1,2].

【典例】2.设随机变量X的分布列为夕。=幻=借伏=1,2,3,4,5),则P(X24)等于()

噫D.||

【答案】A

m

【解析】)

RX3=舟=(2fc-l)(2k+l)

•・•£P(X=k)=l,

k=1

A-X(l--+i-i+---+i--4-i--')

2k33557799117

=/(1/)=*】•

则〃?=£,

,,­尸(犬沁)=总X(A、+A5=春

【解题技巧】离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1"可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.

【变式训练】已知随机变量4的分布列如表:

4-20?

Pabc

其中a,b,c成等差数列，则P(|4=2)的值是()

A.|B.；

32

C.-D.1

43

【答案】A

【解析】因为a,b,C成等差数列，所以方=管，

根据随机变量分布列的性质得〃+方+c=1,

所以卑2=1,即

所以P(同=2)=2。=2)+户e=-2)=宗

题型二离散型随机变量的分布列及数字特征

命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征

【典例】1.(多选)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是()

X-213

P2a().25a

A.«=0.25

B.E(X)=1

C.D(X)=4.5

D.P(0.5<X<3.5)=0.5

【答案】ACD

【解析】由题意2a+0.25+a=l,得a=0.25,

所以E(X)=-2X0.5+1X0.25+3X0.25=0,

D(X)=(-2-0)2X0.5+(l-0)2X0.25+(3-0)2X0.25=4.5,

P(0.5<X<3.5)=尸(X=l)+P(X=3)=0.25+0.25=0.5.

【知识拓展】

均值、方差的大小比较、最值(范围)问题

关于随机变最的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从卜.列几

个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)

解均值、方差的不等式求字母的范围.

【典例】1.设随机变量X的分布列如下(其中0<内1),O(X)表示X的方差，则当〃从。增大到1时()

X012

l-P1P

P

222

A.D(㈤增大B.D(X)减小

C.0(%)先减后增D.O(X)先增后减

【答案】D

［解析】由分布列可得E(X)=Ox—+lx1+2x^=1+p,

2、222

则o(x)=-g+p)+1Q+p-i)+f(1+p-2)=・p2+p+：=.(p_g+i,

因为C<P<I,所以/)(X)先增后减.

[典例】2.(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0,〃，2,根据以往销售经验可得0＜。＜2,随机

变量X的分布列为

X0a2

11

pb

26

下列结论正确的是()

A.Z?=；

B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为搐

16

C.D(A)min=\

D.当D(X)最小时，E(X)=；

【答案】ABC

【解析】由题意：+〃+；=1,•“二：,故选项A正确：该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为

263

32

CgxG)xj)故选项B正确；随机变量x的均值E(X)=0x：+G4+2x：=：m+1),可知方差。(埼:

\2/\2/162363

22221

1°-1(°+1)]+[a_g(a+1)]xg+2-：(a+1)]x:=^x(2fr-2a+5)=2(a-g，当a=：时，

D(X)min=p故选项C正确；当Q(X)最小时，〃=%此时风X)=30+1)=/故选项D错误.

命题点2均值与方差的性质应用

【典例】2.(多选)已知随机变量X的分布列为

X-1012

Pabc0.25

且&b,c成等差数列，下列结论正确的是()

A.D(bX+\)=—D(X)

16

B.P(|X|=l)=0.5

C.若凤aX)=0.08,则a=0.1

D.a-c可能等于0.1

【答案】ABD

【解析】依题意，a+b+c=3b=0.75,解得b=0.25,a+c=0.5.

O(；X+1)=2Q(X),A正确；

\4/16

P(|X|=l)=P(X=-l)+P(X=l)=a+c=0.5,B正确；

E(X)=—〃+c+0.5=l—2m则E(qX)=aE(X)=a(1—2〃)=0.08,解得a=0.1或a=0.4,C错误;

当4=0.3,c=0.2时，a~c=0A,D正确.

【解题技巧】求离散型随机变量。的均值与方差的步骤

(1)理解。的意义，写出j的所有可能取值.

(2)求〈取每个值的概率.

(3)写出j的分布列.

(4)由均值、方差的定义求以?，以)

【变式训练】(多选)己知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是()

X-2-112

12

Pmn

99

AA.m-Irn=-2

3

B.P(X<2)=g

C.若H=3X+2,则E(K)=2

D.D(X2)=2

【答案】ABD

【解析】因为g+/n+〃+：=1,所以故A正确;

P(X<2)=1—P(X22)=1—故B正确；

因为〃所以〃所以E(X)=-2xH(-l)xS+lxq+2X：=|,所以风K)=E(3X+2)=3E(X)+2

=4,故C错误：

P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=〃Z+〃=3,P(X2=4)=P(X=-2)+P(X=2),

33

则X2的分布列为

*14

21

P

33

所以凤羚=1义:+4乂22,则以：¥)=[x(l—2尸+9(4—2)2=2,故D正确.

DJOO

题型三均值与方差中的决策问题

【典例】1.数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分,

部分选对的按比【典例】得分，有选错的得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项

共有四个的概率为0,正确选项共有两个的概率为p(0<p<\).

(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A,B,C,D四个选项中任选一个选

项，策略二：在A,B,C,D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的数

学期望；

(2)若有一个多选题，小明发现A正确，B,C,D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：除

选A外再从B,C,D中任选一个，策略二：除选A外再从B,C,D中任选两个，在〃=[的条件下，

判断小明选择哪个策略更好.

【解析】

(1)设小明分别采用策略一和策略一的得分分别为X2，

X的可能取值为0,2,3,

尸(X=0)=pX；+(l_p)X；=一，

P(M=2)=(l_p)X；l，

44

P(Xi=3)=pXj=1,

・・・E(M)=0X业+2XU+3XP=?；

4422

X2的可能取值为0,4,6,

P(X2=0)=〃X：+(]—〃)X：=孑，

ooo

P(X2=4)=(1_p)X[=

OL

P(X2=6)=pX；=p

oo

・・・E(X2)=0X^^+4X3+6XB=2—p,

626

・•・小明分别采取策略一和策略二的得分的数学期望分别为：和2-p.

(2)设小明选择策略一和策略二的得分分别为K，匕，

匕的可能取值为0,4,6,

P(X=O)=洛+汉=也

P(H=4)=*32=31

432

P(yI=6)=ix1=i,

4312

c11e

AE(yi)=0X^+4Xi+6X^=宗

丫2的可能取值为0,6,

p(y2=o)=；4-；x?=2,

.,.E（y）=0X-4-6xi=-,

2442

•.•瓜片)>瓜匕)，

・••小明选择策略一更好.

【解题技巧】随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了班机变量，是生产实际中用于方案取舍的重

要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

【变式训练】(2021.新高考全国I)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加

比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若

回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中

的每个问题问答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题问答正确得80分，否则得。分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为().8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的

概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【解析】

(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100,

P(X=0)=l—0.8=02

P(X=20)=0.8X(|-0.6)=032,

P(X=100)=0.8X0,6=0.48,

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

⑵当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)=()X0,2+20X0.32+1(X)X0.48=54.4.

当小明先回答B类问题时，记丫为小明的累计得分，则丫的所有可能取值为()，8(),100,

P(y=0)=l-0.6=().4,

P(y=80)=0.6X(l-0.8)=0.12,

P(r=100)=0.6X0.8=0.48,

所以y的分布列为

Y080100

P0.40.120.48

£(r)=0X0.44-80X0.124-100X0.48=57.6.

因为57.6>54.4,即E(y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答8类问题.

【限时训练】（限时：60分钟）

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分

《的所有可能取值的和是（）

A.8B.10

C.12D.14

【答案】C

【解析】选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得。分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，

得6分，故总得分的所有可能取值为。，2,4,6,所以总得分的所有可能取值的和为12.

2.设随机变量X的分布列为P（X=i）=（，i=l,2,3,则。等于（）

A.3B.Z

C.2D.|

【答案】A

【解析】根据题意，随机变量X的分布列为P（X=i）=；,i=l,2,3,则有;+。+。=1,解得。=3.

Za2a2a2a

3.已知随机变量X的分布列为

X-]01

1

Pntn

3

若P（XW0）=。且2X+Y=1,则D（y）等于（）

.29

A-nB系

【答案】C

【解析】由P（XW0）=（

得=3〃=l-P(XW0)=3

2362

则E(x)=-ix=+ox[+ix2=3

3626

D(X)=£(X2)-(E(X))2

=ix2+ox—(丁=巨

66\6736

由2x+y=i,得y=i-2x,

所以0(/)=40(3=学

4.已知随机变量X的概率分布列为P(X=〃)=〃sin舟(〃=1,2),其中。是常数，则%X)等于()

AA-2nB-4

33

C.2D.|

【答案】C

【解析】由P(X=〃)=asin-\(zi=l,2),