2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义：函数单调性的判断与应用（学生版+解析）

专题04函数单调性的判断与应用（一题多变）

■优质典例*展示

【典例展示】已知函数/=其中a>0.

（1）若2/（1）=/（T）,求。的值.

（2）证明：当且仅当。21时，函数/（另在区间口内））上为单调函数.

（3）若函数/（“在区间）,也）上是增函数，求。的取值范围.

【思路分析】

本例是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参

数范围综合考查.对于第（1）问，由题意建立。的方程，简单易解；第（2）问则必须扣住

单调性定义关键之处，即对差式/（%）-/（々）的恒等变形、判断.对于历痣口这

类代数式，“分子有理化”是明智之举.即将该式乘并除以后石+^获得正确的结

论.第（3）问的实质就是恒成立的状况下求。的取值范围，从一〃>°恒成

立出发，根据条目K

<1得解.

【精细解析】

（1）解：由"⑴=/（一1）,可得2&—2a=a+a，解得〃=*.

（2）证明：若。之1,任取（"为<.<#0

/(%)一/(%2)=J片+1一3一&+]+但=&+1-x2)

-t/(x,-x)=(x,-x)

+1+&+122

・・.0SK所，0</<所，工般甫生+1"

•・・aNl,・・・〃8）-/5）>0.，函数“X）在［0,田）上单调递减.

（3）解：任取Y$＜七,/（♦）-/（巧）=（%-七）

•・•〃”单调递增,

/、/、％+乂八

•••/（石）一/（9）＜0,又4一修＜。，那么[再2+]+（片+]_〃＞0恒成立.

内+X,1J?

而丁附+向"'Ao＜"-V

【题后反思】

本题是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参

数范围综合考查.其中第（2）问中紧扣函数单调性的定义，遵循“设-作差-变形-定号--结

论”的解题步骤，并就后石-J由这类代数式的变形，给出“分子有理化”的一般方法，

值得学习借鉴.第（3）问实质就是恒成立的条件下求参数的取值范围，具体因题而异，不能

拘泥于本题的解法，在后续的变式中将有所体现.

【追根溯源】

1.函数的单调性

函数的单调性是一个重要的概念模型.设函数/（"的定义域为。，若对于属于定义域。内

某个区间上的任意两个自变量为、勺,当X）时,都有/（5上〃七）（或“内）〉/（王）），

则,3在这个区间上是增（或减）函数.若函数〃力在某个区间是增函数或减函数，则

在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做/（力的单调区间.

2.复合函数的单调性特点

复合函数的单调性特点是：“同增异减''（内外层函数的单调性相同，复合函数为增函数；内

外层函数的单调性相异，复合函数为减函数：）.定义法是判断函数单调性的基本方法，变通

法或更合函数法是判断单调性的重要方法.

3.与函数单调性有关的问题

与函数单调性有关的问题类型较多，主要有由函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区

间内的单调性；通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调

性解（证明）不等式：比较数或式的大小；探讨函数的最值（值域）；根据函数的单调性求

参数（范围）等.

■一题多变*变一///

【变化角度】改变函数的表达形式，转化成二次函数在指定区间单调且恒为正数，利用二次

函数的图像和性质求参数范围.

已知函数/(x)=x+^+〃i(1«1,+8)且"?<1).

A

(1)用定义证明函数/(H)在［L+00)上为增函数.

3

(2)设函数g(x)=x/(R+2x+；,若［2,5］是g(x)的一个单调区间,且在该区间上g(/)>0

恒成立，求实数/”的取值范围.

【思路分析】第(1)问，遵循“设-作差-变形一定号-结论”的一般步骤，其中变形一步按“提

取公因式法”，将差式化为乘积的形式.第(2)问，计算可得

3

g(x)=2)x+/n+p关注其“图象开口方向、对称轴、给定

区间、函数单调性、函数值正负''等，分类列关于m的不等式组，求得参数范围.

【详解】(1)证明:设曲,

mmm

+—+m一占H------Fni二(内一看)1_

XlX2j

tn

>0

VI<x,<,AX,-x2<0,1--・•・/(xJv/(七).

中2

工函数/(X)在口,物)上为增函数.

()c32/3

⑵解：g(x)=x\x+—+m\+2x+—=+(m+2)x+m+—,

m+2

对称轴工=-,定义域x«2,5].

2

/〃+2,合m>-6,

———19

g(x)在［25］上单调递增且g(x)>0,有<2=<19=〃？>---

m>-----6

g(2)>06

，〃+2_m<-12,

--------->5,

(ii)g(x)在口5］上单调递减且g(x)>0,有・2=>\73n无解.

in>-----

g⑸>012

19

综上,in的取值范围为〃?>―

6

・一题多变•变二///

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，利用函数的单调性求参数的取值范围.

设函数“力是定义在(o,+8)上的增函数，且满足/3)=/(力+/()，).若/(3)=1,且

/(〃)>/(〃-1)+2,求实数a的取值范围.

【思路分析】本题要根据函数的单调性，从/(。)>/(。-1)+2出发，求实数a的取值范围,

实质也就是解此不等式，其变形重点在于将其化为两个函数值的不等关系，利用单调性转化

成关于a的具体不等式.由〃D，)=〃x)+〃y),及"3)=1,得到

2=2/(3)=/(3)+/(3)=/(9).从而将/(〃)>/(〃—1)+/(9)化为/(a)>/[9(a-l)].

【详解】V/(^)=/(x)+/(y),且"3)=1,・・・2=2f(3)=〃3)+〃3)=/(9).

又/(〃)>/(〃—1)+2,・・・〃。)>/(4-1)+〃9).

再由/3)=/(司+/3,可知

•・・/(x)是定义在(0,+")二的增函数,

a>0,

q,即a/C.

・•.9("1)>0,解得1<〃<二

IO/

,7

・一题多变•变三///

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，证明函数的单调性，并应用函数的单调性解不等

式.

/(X)的定义域为(0,+8),且对一切x>0,都有f；/W-/(.¥),当X>1时,有

(1)求〃1)的值.

(2)判断的单调性并证明.

(3)若"6)=1,解不等式f(x+3)-《§<2.

【思路分析】本题是抽象函数单调性的探究与应用.第(I)问是单调性的探究与证明，应

/、

用已知条件/闫=/(x)T(y),确定/(9)-/(4)=/%

>0,达到证明函数单调性的目的;

第(2)问则是应用函数的单调性解不等式.问题的关键在于将/(x+3)-/6卜2化为两个函

数值间的不等关系.应用已知条件可得〃36)=2.从而原不等式化为/，+3*</(36]，问

题得解.

【详解】(1)解：/(1)=/^=/(A)-/(X)=0.x>0.

⑵解:增函数.证明如下:设。"<七，则由小卜小)-小)，得小2)-〃N)=/佟.

匚“\xi7

■(\

,・,三>1,"三>0.・・・/(七)—〃与)>0,即“X)在(0,e)上是增函数.

'IxJ

(3)解："伯卜/闺=/(36)-〃6),"(36)=2.

原不等式化为/(/+30<〃36).•・•/(”在(0,转)上是增函数，

x+3>0,

A->0,解得0<犬<3旧-3.

%2

A-2+3x<36,

■一题多变"变

【变换角度】变更函数为分段函数，根据函数的单调性求参数的取值范围.

a\x>\,

若函数/(x)=《心4、c1是R上的单调函数，求实数4的取值范围.

[4-#+2,E

【思路分析】本题是分段函数，其在R上是单调函数，应从整体上考虑，这一点不能疏忽.

根据。是指数函数的底数,必须对。>1与0<〃<1两种情况分类讨论，以下解答即按此思路

给出.事实上，若0<avl,指数函数段为减函数，因此，一次函数段必须也为减函数，即

4-二<0,而这是不可能的.故本题还可以先判断出0<a<l与4-5<0不可能同时成立，而

使解题过程简化.

【详解】(i)当时，/(力在仙田)上是单调递增函数，同时必须满足

\解得44a<8.

4--^x1+2<«,

(ii)当0<a<l时，/(')在(1,+8)上是单调递减函数，此时应有

4——<0,

2

x1+2>

综合（i）和（ii）可知，4<«<8,取a的取值范围为［4,8）.

（2024・上海黄浦•二模）

1.设函数小）=一"：［+2,，:"'¥，若/*）>0恒成立，则实数〃的取值范围是（）

a¥--2x+3,0<x<4

（23-24高一下•黑龙江大庆•开学考试）

2.定义在（0,+8）上的函数y=.f（M满足：V%,/w（。，「），且川工占「‘"）",（<）<0成

立，且"4）=12,则不等式/（x）>3x的解集为（）

A.（12,-Ko）B.（012）C.（0,4）D.（4收）

（23-24高-上•湖南邵阳•阶段练习）

3.已知函数/"）="+』在R上单调递增，则实数〃?的取值范围为（）

(4+”?).r-9,xv1

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

（2000•广东•高考真题）

4.设函数f（x）=\jx2+1-ax»其中a>0.

⑴解不等式f（x）G;

（2）证明：当aNl时,函数，（力在区间。+8）上是单调函数.

（23-24高一上•北京•期中）

5.设函数/（x）是定义在（0,+8）上的增函数，/（2）=1,对任意〃?,〃40,+8）总有

/（〃加）=/（6）+/（〃）成立.

⑴求/⑴与/（4）的值:

⑵求使/⑻+/(4T)w1成立的。的取值范围.

6.已知/(x)定义在卜1』上且/(r)=—/(x),/(I)=l,当a,阻-川,〃+〃工0时,

有/(止小)>0.

a+h

(1)试判断函数/(x)在［-1』上是增函数还是减函数，并证明该结论.

(2)设求证：f(x)<3x.

⑶若〃172)+/(2-力<0,求x的取值范围.

专题04函数单调性的判断与应用（一题多变）

・优质典例•展示///

【典例展示】已知函数f（x）=&+l-3,其中4＞0.

（1）若2/⑴=/（—1）,求。的值.

（2）证明：当且仅当。并时，函数“力在区间［0,”）上为单调函数.

（3）若函数”X）在区间口,内）上是增函数，求。的取值范围.

【思路分析】

本例是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参

数范围综合考查.对于第3）问，由题意建立4的方程，简单易解；第（2）问则必须扣住

单调性定义关键之处，即对差式/（药）-/（占）的恒等变形、判断.对于后工-疡工这

类代数式，“分子有理化”是明智之举.即将该式乘并除以历1+斤］获得正确的结

X+X

论.第（3）问的实质就是恒成立的状况下求4的取值范围，从/,：j,恒成

J汇+1+J苍+1

立出发,根据＜rr,--＜1得解.

2Jq+1+JK+l

【精细解析】

（1）解：由可得20-2〃=&+a，解得〃=*.

（2）证明：若任取0W王＜勺＜侪

v—r

/(-i)/(-2)=Jx；+1—0土-Jx；+1+ax2=Jx；+1—J-弓+1—a(.r1—x2)

二篇+源扁:*r：

,----I----nX]+X,

..•0«王<收+1,0<x2<Vx^+l,[+启+[<1

・・・〃%）-〃％）＞0.・,・函数〃中在［0,心）上单调递减.

（3）解：任取Y$＜七,/（♦）-/（巧）=（%-七）

•・•〃”单调递增,

/、/、％+乂八

•••/（石）一/（9）＜0,又4一修＜。，那么[再2+]+（片+]_〃＞0恒成立.

内+X,1J?

而丁附+向"'Ao＜"-V

【题后反思】

本题是函数单调性研究中的常见题型，将函数单调性的判断与证明、已知函数的单调性求参

数范围综合考查.其中第（2）问中紧扣函数单调性的定义，遵循“设-作差-变形-定号--结

论”的解题步骤，并就后石-J由这类代数式的变形，给出“分子有理化”的一般方法，

值得学习借鉴.第（3）问实质就是恒成立的条件下求参数的取值范围，具体因题而异，不能

拘泥于本题的解法，在后续的变式中将有所体现.

【追根溯源】

1.函数的单调性

函数的单调性是一个重要的概念模型.设函数/（"的定义域为。，若对于属于定义域。内

某个区间上的任意两个自变量为、勺,当X）时,都有/（5上〃七）（或“内）〉/（王）），

则,3在这个区间上是增（或减）函数.若函数〃力在某个区间是增函数或减函数，则

在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做/（力的单调区间.

2.复合函数的单调性特点

复合函数的单调性特点是：“同增异减''（内外层函数的单调性相同，复合函数为增函数；内

外层函数的单调性相异，复合函数为减函数：）.定义法是判断函数单调性的基本方法，变通

法或更合函数法是判断单调性的重要方法.

3.与函数单调性有关的问题

与函数单调性有关的问题类型较多，主要有由函数单调性定义判断或证明某一函数在一个区

间内的单调性；通过图像或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调

性解（证明）不等式：比较数或式的大小；探讨函数的最值（值域）；根据函数的单调性求

参数（范围）等.

RU

■一题多变*变一///

【变化角度】改变函数的表达形式，转化成二次函数在指定区间单调且恒为正数，利用二次

函数的图像和性质求参数范围.

已知函数/(x)=x+^+〃i(1«1,+8)且"?<1).

A

(1)用定义证明函数/(工)在［L+00)上为增函数.

3

(2)设函数g(x)=x/(R+2x+；,若［2,5］是g(x)的一个单调区间,且在该区间上g(/)>0

恒成立，求实数/”的取值范围.

【思路分析】第(1)问，遵循“设-作差-变形一定号-结论”的一般步骤，其中变形一步按“提

取公因式法”，将差式化为乘积的形式.第(2)问，计算可得

3

g(x)=2)x+/n+p关注其“图象开口方向、对称轴、给定

区间、函数单调性、函数值正负''等，分类列关于m的不等式组，求得参数范围.

【详解】(1)证明:设曲,

mmm

+—+m一占H------Fni二(内一看)1_

XlX2j

tn

>0

VI<x,<,AX,-x2<0,1--・•・/(xJv/(七).

中2

工函数/(X)在口,物)上为增函数.

()c32/3

⑵解：g(x)=x\x+—+m\+2x+—=+(m+2)x+m+—,

m+2

对称轴工=-,定义域x«2,5].

2

/〃+2,合m>-6,

———19

g(x)在［25］上单调递增且g(x)>0,有<2=<19=〃？>---

m>-----6

g(2)>06

，〃+2_m<-12,

--------->5,

(ii)g(x)在口5］上单调递减且g(x)>0,有・2=>\73n无解.

in>-----

g⑸>012

19

综上,in的取值范围为〃?>―

6

FI1

・一题多变•变二///

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，利用函数的单调性求参数的取值范围.

设函数“力是定义在(o,+8)上的增函数，且满足/3)=/(力+/()，).若/(3)=1,且

/(〃)>/(〃-1)+2,求实数a的取值范围.

【思路分析】本题要根据函数的单调性，从/(。)>/(。-1)+2出发，求实数a的取值范围,

实质也就是解此不等式，其变形重点在于将其化为两个函数值的不等关系，利用单调性转化

成关于a的具体不等式.由〃D，)=〃x)+〃y),及"3)=1,得到

2=2/(3)=/(3)+/(3)=/(9).从而将/(〃)>/(〃—1)+/(9)化为/(a)>/[9(a-l)].

【详解】V/(^)=/(x)+/(y),且"3)=1,・・・2=2f(3)=〃3)+〃3)=/(9).

又/(〃)>/(〃—1)+2,・・・〃。)>/(4-1)+〃9).

再由/3)=/(司+/3,可知

•・・/(x)是定义在(0,+")二的增函数,

a>0,

q,即a/C.

・•.9("1)>0,解得1<〃<二

IO/

,7

・一题多变•变三///

【变换角度】变具体函数为抽象函数关系，证明函数的单调性，并应用函数的单调性解不等

式.

/(X)的定义域为(0,+8),且对一切x>0,都有f；/W-/(.¥),当X>1时,有

(1)求〃1)的值.

(2)判断的单调性并证明.

(3)若"6)=1,解不等式f(x+3)-《§<2.

【思路分析】本题是抽象函数单调性的探究与应用.第(I)问是单调性的探究与证明，应

/、

用已知条件/闫=/(x)T(y),确定/(9)-/(4)=/%

>0,达到证明函数单调性的目的;

第(2)问则是应用函数的单调性解不等式.问题的关键在于将/(x+3)-/6卜2化为两个函

数值间的不等关系.应用已知条件可得〃36)=2.从而原不等式化为/，+3*</(36]，问

题得解.

【详解】(1)解：/(1)=/^=/(A)-/(X)=0.x>0.

⑵解:增函数.证明如下:设。"<七，则由小卜小)-小)，得小2)-〃N)=/佟.

匚“\xi7

■(\

,・,三>1,"三>0.・・・/(七)—〃与)>0,即“X)在(0,e)上是增函数.

'IxJ

(3)解："伯卜/闺=/(36)-〃6),"(36)=2.

原不等式化为/(/+30<〃36).•・•/(”在(0,转)上是增函数，

x+3>0,

A->0,解得0<犬<3旧-3.

%2

A-2+3x<36,

■一题多变"变

【变换角度】变更函数为分段函数，根据函数的单调性求参数的取值范围.

a\x>\,

若函数/(x)=《心4、c1是R上的单调函数，求实数4的取值范围.

[4-#+2,E

【思路分析】本题是分段函数，其在R上是单调函数，应从整体上考虑，这一点不能疏忽.

根据。是指数函数的底数,必须对。>1与0<〃<1两种情况分类讨论，以下解答即按此思路

给出.事实上，若0<avl,指数函数段为减函数，因此，一次函数段必须也为减函数，即

4-二<0,而这是不可能的.故本题还可以先判断出0<a<l与4-5<0不可能同时成立，而

使解题过程简化.

【详解】(i)当时，/(力在仙田)上是单调递增函数，同时必须满足

\解得44a<8.

4--^x1+2<«,

(ii)当0<a<l时，/(')在(1,+8)上是单调递减函数，此时应有

4——<0,

2«>8,

即行无解•

I4--x1+2>tv,

I2J

综合（i）和（ii）可知，4<«<8,取a的取值范围为［4,8）.

・综合训练育///

（2024・上海黄浦•二模）

「设函数小卜加"3,。二乙’若小）>°恒成立'则实数〃的取值范围是（）

【答案】D

【分析】分TKxKO和0<x"两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.

【详解】当-4KxK0时，一丁+（江+2（）>0恒成立，即以>/一20恒成立，

当x=0时，上式成立；

of）on

当T<x<0,«<x--,明显函数y=x-3在［Y,0）上单调递增,

XX

20

所以3min=—二=1,眇以4<1；

23

当0<xW4时，aP—2x+3>0恒成立，即----r恒成立，

XX"

1「1、「1、_

令，=一旦了,+8,贝iJa〉2,—3/在了，+8上恒成立，

xL4）L4）

］「1、

又），=2，-3/开口向下，对称轴为/=4，+O°J

所以），二2-3产的最大值为2x1-3x|Tf=］.,

-3⑶3

所以

综上：实数。的取值范围是\,1）.

故选：D.

（23-24高一下•黑龙江大庆・开学考试）

2.定义在(0,+oo)上的函数y=/(x)满足：VN，we(O,y),且X尸%，/"")一'’伍)<0成

玉一修

立，旦/(4)=12,则不等式/*)>3%的解集为()

A.(12,田)B.(0,12)C.(0,4)D.(4,y)

【答案】C

【分析】令8。)=幺2，根据单调性的定义得到8")=△2在(()，”)上单调递减，结合

xx

g(4)=华=3,利用函数的单调性求解即可.

4

【详解】因为对任意的内,/w(0,+8),且工产与，都有旦2<0,

即对任意两个不相等的正实数玉，修，不妨设。<为<』，都有

受/⑻1V/㈤/(&)_/3)

玉工2<0

%一々

所以有&)>以2)，设函数g(x)=/L»,

X(X2X

则函数g(x)=地在(0,E)上单调递减，且g(4)=华=3.

x4

当x>0时，不等式等价于“2>3,即g(x)>g(4),解得0<%<4,

x

所以不等式/(X)>3x的解集为(0,4).

故选：C

(23-24高一上•湖南邵阳•阶段练习)

2in-3

XH------r>1

3.已知函数/(x)=x'一在R上单调递增，则实数〃?的取值范围为()

(4+m)x-9,x<l

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

【答案】B

【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单

调性求解.

-3

r+-2-m---r>I

【详解】因为函数/。)=X'一，在R上单调递增，

(4+/w).r-9,.r<1

当2〃L3<0时，由于丁=%和），=也口均在工21单调递增函数,

X

故/（x）=x+处口在上单调递增,

1+2m-3>4+zn-9

3

所以4+/n>0,解得一3K加<2,

2w-3<0

当2〃一3>0时，根据对勾函数的性质可知，若/（入）在上单调递增,

y/2m-3<l

a

则2〃?-3>0,解得K"V2,

I+2m-3>4+m-9

x,x>1

3

当2小一3=0时，w=-,此时/*)=«11八「显然满足/"）在R上单调递增,

—x-9,x<1

2

综匕—3W〃z<2.

故选：B

（2000・广东福考真题）

4.设函数/(x)=GTi-or，其中a>0.

⑴解不等式

（2）证明：当时，函数/5）在区间［0,+8）上是单调函数.

【答案】（1）答案见解析；

⑵证明见解析•.

(/-1卜+2〃20

【分析】（1）由题知GTTv1+ax>进而得xZO,将问题转化为再分

x>0

0<6/<1,4之1两种情况讨论求解即可；

（2）根据函数单调性的定义证明即可.

【详解】（1）解：/（x）=777i-ao/。）工1等价于gw1+«x

所以，1<1+ar,HPar>0,其中a>0

所以，x>0

（a2-l）x+2«>0

所以，原不等式等价于17,

A>0

2

\a-\)x+2a>0的解集为0，卢

所以，当0＜4＜1时，不等式

x>01-

(cr—1)x+2(i>0.

当时，不等式八)的解集为[0,+8).