2027高考一轮数学总复习 指数函数与对数函数 第五节 函数的图像（导学案）解析版

高考一轮总复习导学案

专题四指数函数与对数函数05函数的图像

一、考情分析

本节内容是高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数

的基本性质，难度中等偏下，分值为5分

二、知识梳理

知识点一图像变换

1.平移变换

2.对称变换

①尸危）红幽与

②f）红幽驾=心

分\关于原点对称_"、

③>=於）--------->v=~/（-.r）;

④（。>（）且存1）关于‘一'对郅V=且存1）.

3,伸缩变换

①把函数），=/（X）图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的-倍得y=f{cox）（0<

VV

69<1）

②把函数>=/*）图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的,倍得）,=/（公t）

W

（①>1）

③把函数、=/（X）图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的W倍得y=of（x）

（切>1）

④把函数y=/(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的卬倍得y=W(x)(O<

ty<l)

4.翻折变换

保留x轴上方图象

①y=/&)将x轴下方图象翻折上去少=风口-

保留)，轴右边图象，并作其

②产危)’关于y轴对称的图象>尸典

【常用结论】

(1)若f(m+x)=/(〃LX)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=m对称.

(2)设函数y=/(x)定义在实数集上，则函数)，=/*-〃?)与尸〃机一幻(心0)的

图象关于直线工=相对称.

(3)若f(a+x)=f(b-x),对任意&恒成立，则产f(x)的图象关于直线工=等

对称.

(4)函数y=/(a+x)与函数)，=/S-x)的图象关于直线x=F对称.

(5)函数)，=/(%)与函数)=/(左-幻的图象关于直线x对称.

(6)函数y=/(x)与函数)，=2〃-/(2a-x)的图象关于点(a,/力中心对称.

(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值"上加下减

二类型归纳

(一)函数图像的识别与辨析

这是天津卷选择题中的固定题型，通常出现在第夕4题，分值5分，难度中等。

主要分为以下两种考查形式。

1.1由解析式判断图像

解题三步排除法：

1.定义域：观察选项中图像是否有明显断点或范围差异，排除定义域不符的选

项

2.奇偶性：判断函数奇偶性，利用对称性缩小选择范围

•奇函数关于原点对称，/(-%)=-/(%)

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•偶函数关于y轴对称，/（-%）=/（%）

3.特殊点与单调性：代入特殊值（如x=O,l,-D或分析极限趋势，进一步排

除

1.2由图像判断解析式

考查特点：给出函数图像，要求从四个解析式中选择最匹配的一个。

解题要点：综合运用奇偶性判别+特殊点函数值符号+单调性趋势。

（二）函数图像与零点问题

这是天津卷区分度最高的压轴考点，2021-2025年连续5年出现在第15题（填

空压轴），综合性强，难度较大。

核心方法：数形结合

（三）函数图像与不等式问题

利用困数图像解决不等式问题，核心是以形助数,直观观察函数值的大小关系。

（四）函数图像变换

天津卷中函数图像变换常与三角函数结合考查，尤其是参数3的求解问题。

（五）实际应用问题

将实际问题抽象为函数模型，通过图像分析变化规律，考查数学建模核心素养。

常见实际场景

•行程问题：距离一时间图像，分析速度变化（匀速、加速、减速）

•面积变化：动点在几何图形上运动时，面积随路程的变化

•优化问题：通过函数图像求最大值或最小值（如利润最大、用料最省）

三、类型应用

类型一由解析式判断图像

例1：（2026高三・全国•专题练习）在同一坐标系内，函数y=x"（a"0）和尸依-/

的图像可能是（）

【答案】c

【知识点】察函数图象的判断及应用、函数图像的识别

【详解】当。＞0时：

直线y=ar-L：斜率”0,y轴截距」＜（）,故直线过一、三、四象限.

a〃

累函数户C若Ovavl,在（0,2）递增且“上凸”,无此选项.

若。=2,），=/是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C.

若在（0,+8）递增且“下凸”，无此选项.

当avO时：

直线y=—斜率。＜0,y轴截距-工＞。，故直线过一、二、四象限，无此选

aci

项.

累函数.v=d：在（0，内）递减，对应选项A、D,但A中直线截距为负，D中直线

截距为负，均与〃＜。矛盾.

综上，只有选项C符合条件.

变式训练1-1：已知函数），=/（幻的图象如图所示，则其导函数），=/'0）图象可以

是（）

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【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系

【详解】由图象可知，在整个定义域内,），=/（、）始终单调递减，/⑶皿

在X从f到。的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数;

在大从（）到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数.

故只有C选项，导函数图象满足题意.

变式训练1-2：函数〃力=誓C的部分图象可能是（）

2+cosx

【答案】B

【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与

判断

【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C、D选项，再由/(刈＞。,

结合选项，即可求解.

【详解】由函数/")=拄出，可得其定义域为R,

2+COSA-

3

\3(-A)-(-A)33A-A/\

且R/(T)=2+COS(r)=一百£『一/⑴,

所以函数“力是R上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D项；

当X20时，令/(x)＞0,即即3］一丁＞0,

2+cos.v

可得/-3%=出2-3)v。,解得0＜》＜6，

即xe(O,G)时,/(x)＞0,所以B选项符合题意.

变式训练1-3：(2026•天津河北•二模)函数的大致图象为()

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别

【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.

【详解】“力定义域为R，且/(-力=益7=-/(4)，

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故/(%)为奇函数，可排除c；

I2

又“i)=£r=2可排除A、D；

4I4J

故函数/(力=式币的大致图象为B.

)

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、比较对数式的大小

【详解】函数，")=加闭+三■的定义域为任|工工0}.

33

由/(x)=WM卜正力=川乂|药=/(x)知/(X)是偶函数，图象关于y轴对称，排

除B、D；

当x>l时，/(x)=lnx+二■>()恒成立，A项不合题意，而C项均符合.

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别

【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.

【详解】定义域为{X|XH±1},/（一力=7（。'）J（cj'）=f（x）,

x*-1x-1

则是偶函数,排除A选项;

当x>0时，e2'>l,则钎一

e

当0<x<l时，r-l<0,则=*,：）〉o；

当x>l时，x2-l>0,则小）排陵CD选项.

变式训练1-6：（2026.四川.二模）函数/（对=严7的部分图象可能是（）

e+c

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析

式）、函数图像的识别

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【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可.

【详解】函数定义域为R,/㈠解sM：）铛7fX）,因此人工）是奇函

e+e7e+e

数，故排除A.

当尸弓时，==又―>l>c，所以。<1.故排除C.

[I2J------\^)

-e2+e2e2+e2

当工=兀时，〃兀）=£整=-占=。，故排除D.

函数/（司=S吗的部分图象可能是选项B.

e+e

类型二由图像判断解析式

例2：（2025・天津•高考真题）已知函数尸”6的图象如下,则/⑺的解析式可

能为（）

【答案】D

【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接

判断函数的单调性

【分析】先由函数奇偶性排除AB,再由xe（OJ）时函数值正负情况可得解.

YV

【详解】由图可知函数为偶函数，而函数/3=匚M和函数/（月=/7为奇函数,

故排除选项AB；

又当xe（0,l）时1一/>0,丫2_]<。，此时/（X）=±L>O,/（X）=J^L<O,

1-XX—1

由图可知当x«0,l）时,/W<0,故C不符合,D符合.

故选：D

变式训练2-1：函数），=/（力的部分图象如图所示，则/（"的解析式可能是（）

B・公）=黑

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数图象选择解析式

【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B,C选项，再由/⑴=2,排除A

选项，从而得出正确答案.

【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数”X）为奇函数，而B,C选项

中的函数为偶函数，不符合题意，排除;

又/⑴=2,对于A选项，当x=l时，/（1）=-2,不符合，排除;

对于D选项，当工=1时，/（1）=2,符合条件，所以D选项正确.

故选：D

变式训练2-2：（25-26高三下•天津•阶段检测）函数的部分图象如图所示,

则/。）的解析式可能是（）

xx

A.fW=B./*)=

2(1-|工|)2，+1)

/x2+1

C./(X)D.f(x)=

2(x2-I)2(x2-l)

【答案】A

【知识点】函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析

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式

【分析】由1取值情况判断B；由0<x<l时函数值情况判断C；由八。）的值判断

D；分析函数性质判断A.

【详解】对于B,函数八幻二五E的定义域为R，而给定图象对应函数中

B不是；

对于C,函数/@）=丁二，当O<X<1时，/（x）<o,此时图象在X下方，C不是；

2（工-1）

对于D,函数/。）=上3，/（（））=-1其图象过点（（）,-4），D不是；

2（工一1）ZZ

尤3

对于A,函数f（x）=kTT，定义域为（YO，T）5TD—）,

2（1-|x|）

/（-］）=需二=五言=二一/（工），函数/。）为奇函数，图象关于原点对称，

当0<工<1时，fM>0；当一1<工<0时，/（x）<0,A可能是.

变式训练23（2026・天津东丽•二模）已知函数y=/（x）的部分图象如图,则/（"

的解析式可能为（）

______qZT^-—x

1x

AxQ五八2£八2\x\

A.y=----rB.y=-----C.y=—----D.y='

e+e"x'ex+e~xe'+e-jr,eA+e-xy

【答案】A

【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断

【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得.

【详解】由图象可知，函数/'（"定义域为R,为奇函数，且了⑴>0,

对B：）,二二邑的定义域为［0,+叼，不符，故B错误；

e+e-

2

对C：X=-1时，y=-^-r>0,不符，故C错误；

e+e

2

对D：X=T时，y=F—r>°，不符，故D错误；

e+e

10

对A：x=l时，y=,Ti>，定义域为R,

故该函数为奇函数，符合题意，故A正确.

变式训练2・4：（2026・山东济南・二模）已知函数），=/（"的部分图象如图所示，则

/（"的解析式可能为1）

"黑

A.7(x)=B.

x+2x

/、4cosx/、4sinv

D.

【答案】D

【知识点】根据函数图象选择解析式、求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx的

函数的有偶性

【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中

图象可得答案.

【详解】对于A选项，对于函数〃”=怖—，由f+2x=x（f+2）/0可得XHO,

人,14人

即函数的定义域为卜打工。｝，与题中图象不符；

对于B选项，令〃回=苦=0,可得x=0,即函数〃X）=生只有一个零点,

与题中图象不符；

对于C选项，函数/W=警的定义域为R,

•X0•乙

/（-力=：邱？黑=/3,函数〃力=等为偶函数，与题中图象不符；

（-X）+2%+2X'+2

对于D选项，函数/（力=拳的定义域为R,

〃_力=含¥^=_鲁1=_/（可，函数^^为奇函数,

（-X）+21+2+2

令/"）=与粤=0得sinx=0,可得（人Z）,

当x«0㈤时，sinx＞0,则〃“=黑＞0,与题中图象相符.

变式训练2-5：（25-26高三•上海•二轮复习）已知函数＞=7%）的图像如图所示,

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则函数尸/（"的表达式可能为（).

C.D.

〃上1其—X=X具—1

【答案】D

【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断

【分析】先得到/W的定义域且〃”为偶函数，对四个选项一一判断，得到答

案.

【详解】由函数y=的图象可得函数“X）的定义域{削*±1},且“X）为偶函

数，

对于A,函数/3=才定义域3工工±1},且/（川=匚%=一百二一/（力，

所以函数〃同=巾为定义域上的奇函数，所以A不符合题意；

对于B,函数/（力=回、■定义域3工工±1},且/（一力=辛1=-"7=一/（力，

所以函数〃力=同、为定义域上的奇函数，所以B不符合题意；

对于C,由函数〃x）=以，当4＞1时，可得/（二）＜0与图象不符，所以C不符

1-X

合题意；

对于D,函数〃对=」工定义域为{/|x，±l},且〃-x）=上工=*，=/•（、），

X’-1（-X）-1x-I

所以函数/（司=」上为偶函数，

%—1

当xe（-co,-1）51,+8）时，〃"）＞。；当工«-1,0）5。,1）时，/（-r）＜0,

/（0）=0,所以D符合邈意.

故选：D.

变式训练2-6：（2024.天津.一模）如图是函数、f（R的部分图象，则”工）的解析式

sin5x

A.〃力=B.〃力普

2X-2~x

cos5x/、cos5x

C./(”=D.=

2-X-2X

【答案】B

【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx（型）

函数的值域和最值

【分析】根据x-＞（r时，函数值的正负可排除A；根据函数的奇偶性可排除C；

根据函数的定义域可排除D.

【详解】由图可知：〃刈的定义域为（,，O）U（O，K）,图象关于＞轴对称，则/（力

为偶函数.

对于A,当“TO,时,sin5.r>0,2r>2-\2v-2x>0,

此时/（”=普三＞0,与图不符，故A错误；

对于C,〃力=等三的定义域为（F，0）U（0，y）,

Z—2

cos(-5x)_cos5x

〃r)=工〃x),

2'-2-x2x-2-K

cos5x

则不是偶函数，故c错误;

2T—2,

对于D,/"）=黑三在x=O有意义，故D错误,

故选:B.

变式训练2-7：（2026.浙江宁波.三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式

可能为（）

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\OLZx

A.与B.—C.—D.（x2-l）ev

ee'x+1''

【答案】B

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数图象选择解析式、函

数图像的识别

【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；X-+8的图象

特征判断D；

【详解】图像中函数与x轴有两个交点（即两个零点），

选项A,又只有1个零点x=l,选项C,工没有零点，因此排除A、C.

ex+\

图像中XT+8时，函数值趋近于0,选项D（x2-l）ev,当XT”时，（/-巾一+8,

不符合趋势，排除D.

选项B：>=土-二，零点为x=±l（两个零点，一负一正，符合图像）；

e

x<T时，x2-l>U,y>0,且xtf时，y=（『-i）eTT+8,符合图像左半部分

趋势；

-Ivxvl时，x2-1<0,"0,x=0时丁=-1<（）,符合；

x>i时，y>o,求导得y=7、2x+i,可得工>1时函数先增后减，且XT+8时，

e

指数函数增长快于多项式，y-。，完全符合图像特征.

类型三图像变换

例3：（25-26高三上•内蒙古呼和浩特•期末）为了得到函数y=log2（2x+2）的图象，

只需将y=iog2、的图象上所有的点（）

A.向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的g倍（纵坐

标不变）

B.向右平移2个跑位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的;倍（纵坐

标不变）

C.向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐

标不变）

D.向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐

标不变）

【答案】A

【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变奏

【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论.

【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析

式为y=log《+2）,

再把所得各点的横坐标变为原来的5倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为

y=log2（2x+2）.

故选：A.

变式训练3-1：（25-26高三上・北京・月考）为了得到函数），=皿26的图象，只需

把函数y=lnx的图象上（）

A.所有点纵坐标伸长为原来的2倍

B.所有点纵坐标缩短为原来的g倍

C.所有点横坐标伸长为原来2的倍

D.所有点横坐标缩短为原来的g倍

【答案】D

【知识点】函数图象的变换

【分析】根据函数图象的变换得解.

【详解】函数v=1皿的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的g倍，

得到函数y=ln（2x）的图象，

故选：D

变式训练3-2：（2025・北京・高考真题）为了得到函数y=9'的图象，只需把函数

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y=3'的图象上所有点的（）

A.横坐标变为原来的g倍（纵坐标不变）B.横坐标变为原来的2倍（纵

坐标不变）

C.纵坐标变为原夹的3倍（横坐标不变）D.纵坐标变为原来的3倍（横

坐标不变）

【答案】A

【知识点】函数图象的变换

【分析】由'=歹=3%根据平移法则即可解出.

【详解】因为），=9'=3L所以将函数），=3、的图象上所有点的横坐标变成原来的

；倍,纵坐标不变，即可得到函数），=9、的图象，

故选：A.

变式训练33把函数/（力=。（，＞0,。*1）的图象G向右平移2个单位长度，再把

所得图象上所有点的纵坐标变为原来的;倍，得到图象G,若此时图象G恰与G

重合，贝I」。的值为（）

A.4B.2C.vD.

24

【答案】C

【知识点】指数幕的运算、函数图象的变换

【分析】首先根据平移变换求出图象g的函数解析式，然后根据图象重合列方程

解出。的值.

【详解】把函数/（"=优的图象G向右平移2个单位长度，

得到函数表达式为y

再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的《倍，

得到图象G的函数表达式为

4

因为图象G与6重合，所以

4

即为"=],解得/=!，a=!（a＞0）.

442

类型四函数图像的应用

例4：已知/（力是定义在R上的奇函数，且当xvO时，/（1）=犬+2》

;;：;5

r--r-T-r.

1__1_________

：--4：-：-：-3

：：：：2

--r-J-

>

423：4：5x

L..U.-J..4..L--It.-U.U..J

!-l

-5

⑴根据条件，画出函数/（八•）图像，并写出/（x）解析式和单调区间;

⑵若关于X的方程/（同=〃?有三个不等实根，请直接写出实数，"范围;

⑶写出不等式.4（x）2。的解集.

【答案】⑴图像见详解,小人之单调递增区间为㈠』），单调递

减区间为（y,T）和（1，田）;

(2)m€(-l,l)；

⑶[-2,2].

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由奇偶性求函数解析式、根据函数零

点的个数求参数范围、画出具体函数图象

【分析】（1）作出x＜（）时/（"的图像，然后结合奇函数的性质即可网出函数人力

的图像，再根据图像求函数的单调递增区间；利月函数是奇函数，求函数的解析

式；

（2）利用数形结合，转化为与〃的图像有3个交点，从而得解；

x>0x<0

(3)分＜,（力之0，。（力wo两种情况，数形结合可得出原不等式的解集.

第18页，共41页

【详解】(I)解：当x<0时，/(x)=*+2x的图像开口向上，对称轴为x=-1,顶

点为(T，T),

又因为/(x)是定义在R上的奇函数，其图像关于原点对称，所以图像如图，

结合图像可知，函数/(1)的单调递减区间为(y，-i)和(1,+e),单调递增区间为

(T'l)-

因为当x<()时，/(x)=f+2x,

所以当x>0时，-x<0,所以/(-x)=f-2人

因为/(6是定义在R上的奇函数，所以/(6=-八-力=-9+21,

2

所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=-x+2xf

又"0)=0,故/(%)的解析式为=

x~+2x,x<0

(2)解：因为/(力=加有3个不相等的实数根，等价于)，=/")与丁=〃，的图像有

3个交点，

结合(1)中y=/(x)的图像可知,当〃?e(T,l)时，y=f(x)与尸m的图像有3个

交点，

所以加«-1,1).

(3)解：当x?0时，#(x)>0<=>/(x)>0<z>-x2+lv>0,解得0WxW2；

当“<0时，工00/(木。09+2、40,解得-2。<0.

综上所述，不等式4a)20的解集为[-2,2].

变式训练4-1：设函数外力="+"而“<°,fi/H)=/(O),

—X+，XNU

V1

-5F-

4I--

-3L-

外

(1)求函数/(力的解析式;

(2)画出函数/(x)的图象，并指出函数/(x)的值域和单调区间;

(3)直接写出不等式MXx)<0的解集.

x2+4x+3,-4<x<0

【答案】⑴/3=

-x+3,x>0

(2)作图见解析，答案见解析

(3)[-4,-3)D(T，0)53,甸

【知识点】根据图像判断函数单调性、已知函数值求自变量或参数、函数图象的

应用、画出具体函数图象

【分析】(1)根据已知条件可得出关于。、。的方程组，解出力、。的值，即可得

出函数的解析式；

(2)根据函数/(力的解析式可作出函数〃工)的图象，结合图象可得出函数人力

的值域、增区间和减区间；

(3)分x«T，。)、x>0两种情况讨论，结合图象可得出不等式.矿(“〈()的解集.

【详解】(1)因为/3=卜2+?+：'；1<°,l./(-4)=/(0),/(-2)=-1.

I-x+3,x2U

16-4b+c=3b=4x2+4x+3,-44x<0

,解得，故/W=,

4-2/?+c=-lc=3-x+3,x>0

第20页，共41页

(2)图象如下:

函数/(*)的值域为(f3],单调递增区间是(-2,0),单调递减区间是(~4,-2)、

(0,+功.

(3)当xe[T0)时，由Mtv)<0可得〃力>0,由图可得~4Wx<—3或T<x<0,

当人)0时，由M*(x)<0可得〃x)<0,由图可得分>3.

综上所述，不等式对”：)<0的解集为[<-3)5-1,0)53,+8).

变式训练4-2：(2026高三・全国・专题练习)函数/(X)的图像如图所示，其中点。，

A,8,。的坐标分别为(0,0),:5,1}(0,4),(2,0),则下列说法不正确的是()

「J

：_________2「

O26%

A.f(x)的定义域是卜5,0L+6)

B./(x)的值域是[2,+oo)

C./(/(2))=4

D.只与％的一个值对应的丁值的范围是„卜(4、+功

【答案】B

【知识点】函数图象的应用

【详解】由图可知：/㈤的定义域是卜5,0]32,6),值域为[0,十功，故A正确，B

错误，

/(2)=0,/(/(2))=/(0|=4,C正确，

当〃>4和OKa<|时，此时>="=/("的图像只芍一个交点，

故只与工的一个值对应的)，值的范围是0,引(4,+8)。正确.

变式训练4-3：给定函数/(r)=-x+l,^(.r)=(x-l)2,xeR.

⑴画出函数〃x),g。)的图象;

(2)VXGR,用〃2(x)表示/(%),g(x)中的较小者，记为〃?(力=01访{/(])超3},请

分别用图象法和解析法表示函数〃z(x).

【答案】(1)图象见解析

-X+1,X<()

⑵图象见解析；/n(x)-(x-l)2,O<x<l.

-x+l,x>1

【知识点】一次函数的图像和性质、画出具体函数图象、二次函数的图象分析与

判断、图象法表示函数

【分析】(1)根据一次函数与二次函数的图象与性质，即可求解；

(2)根据题意，结合(1)中的函数的图象，进而求得函数〃?(力的解析式，画

出图象.

【详解】(1)解：由函数/'(')=—X+l，g*)=(X—1)2,

根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数/(X)和g(x)的图象，如图所

V=-X+1

(2)解：联立方程组•/田，整理得V—x=0,解得x=o或％=1,

卜=(1)

第22页，共41页

结合(1)中的图象，可得：

当Xv0时，m(力=min{/(x),g(x))=-x+l；

当04x<1时，m(x)=min{/(x),g(x)}=(x-1)2；

当x21时，w(-v)=min{/(x),g(x)}=—x+1,

-x+\,x<0

所以函数"7(X)的解析式为〃心)=«-1)2,0"<1.

-X+1,X>1

函数Ml)的图象，如图所示.

例5：(25・26高三上•贵州黔西南•阶段检测)已知函数/(X)=『：2'T，：4°,方

inx,x>0

程/(力-2=及恰有三个不同的实数解，则k的取值范围是()

A.[T,-3]B.[-4,-3)C.(T—3]D.(-1,-3)

【答案】C

【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、分段函数的性质及应用、根据

函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用

【分析】利用分段函数图象，即可得到判断.

【详解】作出函数“X)二卜：2x—l，y0图象：

lnx,x>0

因为/(T)=-2J(0)=—l,

方程/（"-2=及化为〃x）=2+k,方程/（力-2=4恰有三个不同的实数解,

等价于产/（x），）』2+A的图象有三个不同的交点.

所以由图可得，当2+丘（-2,-1],即丘（T-3]时符合题意，

故选：C

x>0,

变式训练5・1：（2026•河南焦作・一模）已知函数〃力=『J若方程〃工）=，

—，x<0>

x

恰有2个实根，则实数/的取值范围是（）

A.{0,1}B.{1}C.（e，2）D.（1，+8）

【答案】B

【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证

明已知函数的单调性

【分析】画出函数图象，数形结合得到答案.

2

2V、2（x+1\-2x-2x2（1+x）（l-x）

【详解】“。时，“X=今，则/3=/\2—=/J\'，

X+1（x2+l）（x2+l）

令r（H〉o得ovx<i,令ra）<o得x>i,

故/（x）=V~j■在xe（。」）上单调递增，在上单调递减，

又/（0）=0,x>0时，小）>0,故/（刈=舍4。,1],

当XV。时，当力=」单调递增,JgL/（x）=--g（0,+oo）,

XX

画出“X）的图象如下：

方程/（“）=，恰有2个实根，即产/⑴与）口有2个交点,

第24页，共41页

则f=l,则实数/的取值范围是{1}.

e"r<0

变式训练5-2：已知函数/(幻=；。、八，若函数g(x)=/(x)-&有三个不

-x+2x+2,x>0

同的零点不工2，占，则4+W+W的取值范围为()

A.[l-ln2,l)B.(l-ln3,I-ln2]

C.(2-ln3,2-ln2]D.[2-ln3,+a))

【答案】C

【知识点】指数函数图像应用、指数式与对数式的互化、根据函数零点的个数求

参数范围、函数图象的应用

【分析】由题意得丁=/(幻与)=&的图象有三个不同的交点为，与七，作出丁=/(幻

与丁=攵的图象，根据二次函数的对称性，可得吃+4=2,根据图象可得女的范围，

进而可得阳的范围，即可得答案.

【详解】因为函数g(*=/(x)-攵有三个不同的零点

所以g(x)=o,即>(X)=k有三个不同的根百，孙再,

则y=/")与y="的图象有三个不同的交点M,内，

作出)，=/*)与y=%的图象，如下图所示

当短0时，/(x)=*+2x+2为开口向下，对称轴为x=l的抛物线,

则超心关于、=1对称，所以土产印，即々+5=2,

由图象可得2«&<3,

令小=3,解得x=-ln3,令©一*=2,解得x=-ln2,

所以-1113Vx<-ln2,

则2-In3vN+占+S42-In2,

即为+勺+为的取值范围为（2-ln3,2-ln2].

类型五数学情境

例6：一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100

千米/小时，特快车的速度为15（）千米/小时，甲乙两地之间的距离为1（）0（）千米，

两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间

，（小时）之间的函数图象是（）

y（千米）

]000卜穴「

B

：_/（小时）-qm487（4%>）

E（千米）

_D-JvZL

）«小时）q410«力<时）

【答案】c

【知识点】根据实际问题作函数图象

【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0,排除B选项；

再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车

停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.

【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间a=1（KX）.（1（X）+15（））=4小时,

此时两车距离为0,快车行驶时间为4小时，故排除B选项；

相遇时，快车已经行驶的路程为l（X）x4=4（X）千米，

还需要行驶（1000-400）+100=6小时才能到达乙地，故排除A选项；

特快车相遇时已经行驶的路程为150x4=6（X）千米，

第26页，共41页

Q

只需要再行驶（1000-600）+150=］小时才能到达甲地，

所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故

排除D选项.

故选：C.

变式训练6-1：（19-20高一•全国•课后作业）下图中哪几个图象与下述三件事分

别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业

本再上学；

（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了

一些时间；

【答案】见解析.

【知识点】函数图象的应用、函数图像的识别

【解析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断.

【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0,对应（D）；

（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应

（A）；

（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）.

剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.

【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离

随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案.

变式训练6-2：如图所示，动点尸在边长为1的正方形的边上沿

运动，x表示动点尸由A点出发所经过的路程，V表示△AP。的面

积，则函数），=/（力的大致图像是（）.

【答案】A

【知识点】根据实际问题作函数图象

【分析】分xW。』，xe[L2],x«2,3]求出解析式，然后可知图象.

【详解】当时，y=|,是一条过原点的线段；

当xe[l,2]时，y=是一段平行于入•轴的线段；

当x42,3]时，好学，图象为一条线段.

故选：A.

变式训练6-3：小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀

第28页，共41页

速跑步，他从点4处出发，沿箭头方向经过点3、C、。返回到点4,共用时80秒，

他的同桌小陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为，（单

位：秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位：米），若）=/（，），则/⑺的图象

大致为（）

【答案】D

【知识点】根据实际问题作函数图象

【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的

选项.

【详解】由题图知，小李从点A到点8的过程中，y的值先增后减，

从点A到点。的过程中，的值先减后增，

从点。到点。的过程中，）'的值先增后减，从点。到点A的过程中，y的值元减

后增,

所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即丁的值）的增减性为：增、

减、增、减、增，D选项合乎题意，

故选：D.

变式训练6-4：如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从4点出发，沿花坛外

侧的小路顺时针方向匀速走了一圈（路线为"fBOfOQ,则小明到。点的直线

距离/与他从A点出发后运动的时间f之间的函数图象大致是（）

AB

【知识点】根据实际问题作函数图象

【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可.

【详解】小明沿"走时，与。点的直线距离保持不变，

沿30走时，随时间增加与点。的距离越来越小，

沿。人走时，随时间增加与点。的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.

故选：D

变式训练6-5：世界上海拔最高的天然"心形湖’’位于四川省康定，被誉为藏在川

西的“天空之心”.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此

抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，贝仁心形''

在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

•••

第30页，共41页

A.y=|A|V4-x2B.y=x^4-x2C.y=yj-x2+2xD.y=^-P+2|x|

【答案】D

【知识点】根据函数图象选择解析式

【分析】利用基本不等式可求得知A错误；由“«-2,0）时，

）,=4/匚7<0可知B错误;根据函数定义域可知C错误；根据），=尸由R、

图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性叮知D正确.

【详解】对于A,•.•），=|月67=旧匚可=当且仅当丁=4-12,

即.”土夜时取等号），

.•.y=W"7在（-2,2）上的最大值为2,与图象不符，A错误；

对于B,当“£（-2,0）时，）,=、/匚/<0,与图象不符，B错误；

对于C,由-Y+2x20得：0WxK2,）,=J-犬+2工不存在。e（-2,0）部分的图象,

C错误.

对于D,y=yj-x2+2\x\=^-（|x|-l）2+1,.,.当X=±l时，）'”=1；

又y={_9+2凶过点（-2⑼,（2,0）,（0,0）；

由一炉+2|降0得:刚力2”0,解得：-2<x<2,即函数定义域为［-2,2］：

又+2卜*|=J-x，+2卜1,

/.y=卜/+2区为定义在［-2,2］上的偶函数，图象关于丁轴对称；

当x«0,2］时，），=«7元=历了丁，则函数在（04）上单调递增，在（L2）上

单调递减；

综上所述：），=卜八2园与图象相符，D正确；

故选：D.

变式训练6-6：（2（）26・口东泰安.二模）2002年山西陶寺遗址的考古发掘中，出土

了5件漆木漏斗形器，被确认为沙漏计时器，经3。打印复原实验，每件沙漏装

满细沙后自动匀速下漏，全部漏完用时14.4分钟，100件漏完恰好为24小时.

如图，该漏斗形器L部为圆台，下部为圆锥，则装满沙子的漏斗形器中剩余沙子

的高度与时间/的函数的大致图象为（）

【答案】D

【知识点】函数图像的识别、锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算

【分析】根据给定条件，利用圆台、圆锥的结构特征，结合单位时间内漏出相同

体积的沙子，分析高度下降速度随时间变化的快慢即可判断得解.

【详解】依题意，细沙匀速下漏，单位时间漏出沙子的体积AV恒定，

随时间，的增大，高度卜逐渐减小，沙面面积S逐渐减小，

由圆台上部大下部小，得漏出AV的沙子，随时间，的增大，高度〃的变化量逐渐

增大，

因此〃的下降速度越来越快，对应图象变得越来越陡，排除选项BC；

第32页，共41页

又漏斗上部为圆台，下部为圆锥，两部分沙面面积S随〃的变化规律不同，

圆锥部分比圆台部分沙面面积S更小，S减小更快，因此〃的下降速度更快，图象

更陡，

且力下降速度在交界处会发生变化，图象在交界处不光滑，排除选项A,选项D

符合题意.

四、素养提升

1.(2023•天津•高考真题)已知函数/("的部分图象如下图所示，则/(x)的解析

5sinX

x1+1

r5e'+5eT5COST

■X2+2x2+1

【答案】D

【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函

数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、

C中函数在(0,+8)上的函数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于了轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

由涔弓=一喏且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；

当x>0时善二22>0、5(et/e，)>0,即A、C中(0,+8)上函数值为正，排除；

丁+2X2+2

故选：D

2.(25-26高三・全国•一轮复习)已知图甲中的图象对应的函数y=〃x),则图乙

中的图象对应的函数可能是()

1Kill

MTUK

甲乙

A.y=/（H）B.y=|/（x）|C.k/（TH）D.y=-/（H）

【答案】CD

【知识点】函数图像的识别