2025年北京市各区数学一模填空第15题汇编：相似、四边形

2025年北京市各区数学一模填空第15题汇编：相似+四边形

I.（2025•海淀区一模）如图，点尸是正方形ABC。对角线8。上的一点，于点£连接A尸并延

长交BC于点F,连接PC.若尸C=，IU,尸E=l,则B/的长为

2.（2025•西城区一模）如图，在矩形ABCZ）中，点，尸分别在边BC,DC上,且若AB=2,

AD=4,BE=\,则月产的长为

3.（2025•朝阳区一模）如图，在矩形ABC。中，CELBD,垂足为点E.若A8=5,CE=3,则ABCE的

面积为______________________

4.（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新

图形如图所示，其中四边形ABCO是正方形.如果£T=1,四边形人8C。的面积为25,那么G”的长

AB

5.（2025•丰台区一模）如图，在矩形A8CO中，点E在8c上，OE_LAC于点尸.若A8=6,AQ=8,则

CE的长为_____________________

6.（2025•石景山区一模）如图，将△A8C沿8C边向右平移2个单位长度得到△£>£/.若BC=4,阴影部

分的面积为6,则△ABC的面枳为.

7.（2025•石景山区一模）如图，等边△A8C中，CD_LAB于点D,点E在BC上，CE的垂直平分线交CO

于点P,交BC于点F,连接PE.若A8=6,BE=2,则四边形BEPD的周长为.

☆8.（2025•门头沟区一模）如图，在正方形A8CO中，AC与8。相交于点0,N8OC的平分线分别交

BC、AC于M、N两点.若BM=a,则线段0/V的长为.

9.（2025•平谷区一模）在菱形48CO中，AQ=5,AE_L8C于点E,EC=2,连接8。交AE于点F,则

AF的长为_____________________

10.（2025•房山区一模）如图，正方形A8CO的边长为4,E为DC边上一点、,DE=3,连接过。作

A£的垂线交A£于点F,交BC于点G,则尸G的长为

☆II.（2025•燕山一模）如图，正方形A3CO的对角线相交于点O,点。又是正方形AIBIGO的一个顶

☆12.（2025•大兴区一模）如图，在Rl^ABC中，NACB=90°,AC=BC=5.当CO=2CE时，正方形

OEFG恰好有三个顶点落在RiZ^ABC的边上，则正方形QEFG的面积为.

13.（2025•顺义区一模）如图，在正方形ABCQ中，点E在8c上，连接AE交对角线8。于点F.若A3

=3,BE=l,则8/=______________________

14.（2025•东城区一模）如图，在。ABCQ中，点E在A4上，CE，8。交于点/，若AE：BE=2：1，且

BF=2，则DF=.

2025年一模填空15题（相似+四边形）汇编

参考答案与试题解析

一.填空题（共13小题）

1.（2025•海淀区一模）如图，点P是正方形ABC。对角线8。上的一点，PELAB于点E.连接AP并延

4

长交3c于点尸，连接PC.若PC="U,PE=1,则3尸的长为-

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

PEAE

【分析】由正方形的性质得出AP=PC=g'证明△APEs%m得出赤=而

则可得出答案.

【解答】解：•・•正方形48C。关于8。对称,

；.AP=PC=同,ZABD=45°,

：.AE=>JAP2-PE2=3,PE=BE=1,

VPEA.AB,ARLBC,

:・PE〃BC,

•••△APES/XA/B,

.PEAE

'BF-AB

*13

>•=，

BF4

4

-

3

4

故答案为：--

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

2.（2025•西城区一模）如图，在矩形ABCO中，点E,尸分别在边BC,DC上,且AEJLEE若4B=2,

3x^5

AD=4,BE=1,贝IJ石尸的长为——.

-2-

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质.

【分析】应用矩形的性质，勾股定理求得AE的长，再通过证明两组等角证得凡应用相

似三角形的性质得等式，即可求得E广的长.

【解答】解：•・•四边形A8CD是矩形，

・・・N8=NC=900,4c=4。=4,

*：BE=\,

：,EC=4-1=3,

在RtZXABE中，

AE=y/AB2+BE2=V22+l2=V5,

VAE1EF,

AZAEF=90°,

AZAEB+ZCEF=90°，

VZCEF+ZEFC=90°，

/AEB=/EFC,

;NB=NC,/AEB=/EFC,

•••△ABEsZ\Eb,

ABAE

••一，

ECEF

un2V5

3EF

解得EF=竽.

乜5gd3通

故答案为：—^―

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关

键.

3.（2025•朝阳区一模）如图，在矩形ABC。中，CE工BD,垂足为点£若AB=5,CE=3,则ABCE的

面积为一百一

AD

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【分析】利用勾股定理求出。£再利用相似三角形的性质求出BE可得结论.

【解答】解：•・•四边形A4C。是矩形，

,\AB=CD=5,NBCO=90°,

VCE1BD,

，NCE8=NC£D=90°,

:・DE=y/CD2-CE2=V52-32=4,

ZBCE+ZECD=90°,ZECD+ZCDE=90a,

:./BCE=NCDE,

:ACEBs^DEC,

FcB

---

DE=c

3E

-=-

43»

9

E-

B=4

11927

・•・ABCE的面积=今BE・EC=^x^x3=等.

乙乙*o

27

故答案为：—.

8

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

4.（2025•通州区一模）小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新

图形如图所示，其中四边形ABC。是正方形.如果£”=1,四边形A8CO的面积为25,那么G”的长

为7.

G

【考点】勾股定理.

【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以求得AE和。£的长，然后即可得到CG和，C的长，再

计算G”的长即可.

【解答】解：由已知可得，

△人8户0EF=\,AD1=25,

则OE=Ar=CH,AE=CG,

设AE=x,贝ijAF=x+1,

VZDEA=90°，

：,AE1+DE1=AD2,

即7+（x+I）2=25,

解得xi=3,X2=-4（不符合题意，舍去），

・・・AE=3,DE=AF=4,

・・・CG=3,HC=4,

I.GH=GC+HC=3+4=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.（2025•丰台区一模）如图，在矩形ABC。中，点E在8。上，OE_LAC于点尸.若A8=6,AD=8,则

底的长为」—.

【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质.

【分析】利用勾股定理先求出线段4C的长，再利用/⑺・C/）=AC・FZ）求出厂。长，利用勾股定理求出

CF=等.利用相似三角形的判定与性质求出CE长即可.

【解答】解：•・•在矩形ABC。中，48=6,4。=8,

/MC=V62+82=10,

'：AD*CD=AC*FD,

ADCD4824

：,FD=

AC

在RlZkC。/中，由勾股定理得：CF=）2一DF2=

VZB=ZEFC,NECF=NACB,

:.XABCSXEFC、

9

故答案为：

【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，热练掌握以上知识点是关键.

6.（2025•石景山区一模）如图，将△A8C沿8c边向右平移2个单位长度得到△。£立若BC=4,阴影部

分的面积为6,则△A8C的面积为24.

【考点】三角形的面积；平移的性质.

【分析】设AC与OE交于点G,根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算△A8C的面积即可.

【解答】解：如图，设AC与。£交于点G.

AD

BECF

•••将AABC沿8c边向右平移2个单位长度得到△。后人

:.BE=2,AB//DE,

：.CE=BC-BE=4-2=2,AGECs^ABC,

CE21

••--9

CB42

...上S^G必EC=,（一CE、）92,_即_---6--=一1，

S-BCCBS—BC4

.*.S/,4«C=24.

故答案为:24.

【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关

键.

7.（2025•石景山区一模）如图，等边△44C中，于点D,点E在3C上,C七的垂直平分线交CO

于点P，交BC于点、F,连接PE.若A3=6,BE=2,则四边形的周长为.

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质.

【分析】先利用等边三角形的性质可得NACB=60°,AB=BC=AC=6,从而可得BD=3,/BCD=

30°,然后在RtZSBCD中，利用含30度角的直角三角形可得CZ）=3g,再利用线段垂直平分线的性

质可得：PE=PC,最后利用四边形的周长公式进行计算，即可解答.

【解答】解：•••△48C是等边三角形，

AZACB=60°,AB=BC=AC=6,

*：CD1AB,

.•・8。=射3=3,ZBCD=|zACT=30°,

:・CD=6BD=3省,

TP尸是CE的垂直平分线，

:・PE=PC,

/.四边形BEPD的周长=8D+BE+PE+。尸

=3+2+PC+DP

=3+2+CQ

=5+3V3,

故答案为：5+3A/3.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题FI

的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

8.（2025•门头沟区一模）如图，在正方形44co中，AC与3。相交于点O,N3QC的平分线分别交8C、

lV2

AC于M、N两点.若BM=&,则线段ON的长为一.

-2-

【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质.

【分析】过M点作根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得CM

ONOD

长，由此得到正方形的边长，求出和〃。长，根据ON〃〃取得到前=而，，从而可求ON长.

【解答】解：过M点作“"LAB,

〈NHBM=45°,

:.BH=HM=号BM=\.

•••。”平分/8。&HMLBD,M8_LAB,

/.正方形边长CB=\+V2,

J正方形对角线80=2+或，0。=1+苧.

：,HD=BD-BH=2+V2-1=1+V2,

♦：0N〃HM,

tONOD

・'HM-DH'

.ONI+Y

AT=避’

：.0N=号.

故答案为：y.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导

出相关线段的长度.

9.（2025•平谷区一模）在菱形48CO中，AQ=5,AE_L8C于点E,EC=2,连接8。交AE于点F,则

"的长为-I-.

【考•点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质.

【分析】利用勾股定埋计算AE的长，由平行证明利用相似三角形的性质得等式求解

即可.

【解答】解：•・•四边形A8CO是菱形，

：,AB=AD=BC=5,

AD//BC,

VEC=2,

:・BE=5-2=3,

VAE1BC,

••・NAEB=90°,

由勾股定理得AE=y/AB2-BE2=VS2-32=4,

'JAD//BC,

:•△BEFS&DAF,

BEEF

•♦=,

ADAF

\*EF=AE-AF=4-AF,

34-AF

.•一=,

5AF

解得AF=I，

故答案为：|.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关

键.

10.（2025•房山区一模）如图，正方形/WCO的边长为4,E为。。边上一点，。七=3,连接AE,过。作

13

人石的垂线交八七于点下，交比于点G,则尸G的长为一.

—5—

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【分析］先证△AQE和△QCG全等得QG=AE,然后在RtAZDE中由勾股定理求出AE=5,则DG=5,

再根据由三角形的面枳求出DF,进而可得FG的长.

【解答】解：•・•四边形人BCO为正方形，且边长为4,

：.AB=CD=4,NA/)C=NC=90°，

A^ADF+^CDG=9Q°,

XVDF1AE,

AZADF+ZDAE=90°，

：.ZDAE=ZCDG,

在△4£>£和△QCG中，

(Z.DAE=Z.CDG

lAD=CD，

LADC=ZC=90°

.,.△ADE^ADCG(ASA),

：.DG=AE,

在RtZ\AOE中，AD=4,DE=3,

由勾股定理得：AE=y/AD24-DE2=5,

：,DG=AE=5,

由三角形的面积得：S“DE=；AE・DF=%D・DE,

:.AE・DF=AD・DE,

，5•。尸=4X3,

12

・・5=亏,

1213

:.FG=DG-DF=5-昔=昔,

故答案为：

【点评】此题主要考杳了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握

全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角；难点

是利用三角形的面积公式进行计算.

II.（2025•燕山一模）如图，正方形A3C。的对角线相交于点。点。又是正方形48ICI。的一个顶点，

且这两个正方形的边长都是2.正方形4阴。。绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积为1.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】由题求证故两个正方形重叠部分的面积等于三角形480的面积，得出结论.

【解答】解：•・•四边形A3C。为正方形，

••・NOA8=NO8尸=45°,OA=OB,

BOYAC,即NAOE+NEO8=90°,

又「四边形4加。0为正方形，

AZAiOCi=90°,即N8OF+/EO8=90°,

/.ZAOE=ZROF,

在△4OE和ABO尸中，

Z.AOE=Z.BOF

0A=0B,

Z-OAE=Z-OBF

：./\AOE^/\BOF（ASA）,

,**S两个正方形爪黄部分=SABOE^SABCF,

又,**S^AOE=S^BOF>

；・S两个正方形玳管部分x2x2=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，证明△人OEgZXBO/

是解答本题的关键.

12.（2025•大兴区一模）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=BC=5.当CD=2CEW，正方形

OEFG恰好有三个顶点落在RlZ\A8C的边上，则正方形。EFG的面积为5

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.

【分析】过点G作G"J_4c于点，，设CE=x,则CO=2x,利用正方形的性质，直角三角形的性质和

全等三角形的判定与性质得到DH=CE=x,GH=CD=2x,利用等腰直角三角形的性质求得