2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷02【江苏专用测试范围：苏教版必修第二册第9~12章】（全解全析）

高一数学下学期期中模拟卷02(江苏专用)

全解全析

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知不=(x-lK),8=(2,1),若G与B共线,则一石=()

A.-5B.-1

【答案】A

【解析】由)与B共线，可得：(x—l)xl—2x=0,解得：x=-l,

所以万=(一2,-1),则万.B=-2x2-lxl=-5.

2.已知复数2=兽，则亍=()

2-1

A.1+i

55

【答案】C

所以"H

3.已知角。的终边经过点以-2,1),则ian2a=()

24「4

A.-B.--C.-

【答案】B

【解析】因为角。的终边经过点尸(-2,1),iana=-；,

4

所以tan2a=

ITan"a3,

4.设△ABC的内角力，B,C的对边分别为“，b,c,若a=2,c=2y/3,8sA=叵,则方=()

A.2或4R.3D.272

1/13

【答案】A

［解析】因为a=2,c=2G,cos力=—,

2

由余弦定理可得/=y+c?-2bccosA，即4=〃+12-6b，

可得从_68+8=0,解得6=2或b=4.

故选：A.

5.（新考法）如图，设。丫,0卜是平面内相交成60。角的两条数轴，II分别是与X轴，y轴正方向同向的

单位向量.若向量丽=痴+应，则有序实数对（XJ）叫做向量方在坐标系xQv中的坐标.若在该坐标系宜方

中,04=(2,1),05=(-4,5),则无丽=()

A.-3B.-2C.-1D.0

【答案】D

【解析】由平面向量数量积的定义可得4%=同。e|-cos60=1

2=5，

由题意可知O/=2ex+e2,OB=-4e(+5e2,

2

所以OAOB=(2q+6+56)=-8q+6qq+5e2=-8+3+5=0.

6.如图所示，三个边长为近的正方形相连，若NABD=a,“D=0,贝Ijtan/84C=()

________

BCD

A.-；氏；C.~D-1

【答案】B

【解析】由图知tana==g=!，tan"=M=:，

DD3CD2

2/13

_L_!

/r,…、tanfi-tana2-31

则tan/.BAC=tan(/?-a)=-----------==

1+tanptanal+lxl7

23

故选：B

7.在△/4C中，已知/tan4=/tanJ,则△/4C的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】...在AlBC中,a2tanB=Z>2tanJ,

二由正弦定理，得sin'sin8=sin*siM

cosBcos/i

sin力_sinZ?

乂sin/HO,sin8工0,

cosBcos/

sirUcosJ=sin5cos5,B|J—sin2J=-sin2B,即sin24;sin28,

22

因为0<48<Ti.O<A+B<nf

A=B^.2A+2B=TI,即4或4+8=:，

2

•."BC为等腰三角形或直角一角形.

故选:D

8.已知A/IA。是边长为2的等边三角形，。为平面/8C内一点，则可•（而十斤）的最小值为

34

A.—2B.—C.—D.-1

23

【答案】B

【解析】而+定=2而（。为8c的中点），

则源.（而+元）=2苏•布，要使成.而最小,

则涉，而的方向相反，即点尸在线段4。上,

3/13

则（2网.［而L=-2|同.叵I，即求同J囹的最大值,

因为网+附=|西=2x曰=5

所以同.匹卜'回㈣;便丫3

224

当且仅当网=户斗，即尸是4Q的中点时，取等号.

故（2万•两—3=——3

\/min42

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对复数z=1芭i,下列说法正确的是（）

2i

A.国=1B.在复平面内对•应的点为

z=^li

C.化为三角形式为cosf-isin：D.+

6622

【答案】ACD

印邛在复平面内对应的点为母J2

【解析】4-=1,故A正确,

22>

B错误,

-G+L,故D正确.

z=—

22

实部生c吟虚部十一呜该复数三角形式应为吟-isi吟故C正确.

n

10.函数/(x)=2sinx+一，则关于的下列说法中正确的是（）

4

B图像关于点身J中心对称

A.最小正周期为兀

C.在区间0,9上单调递减D..为偶函数

【答案】AD

71=2sin1x+：7171=2sin[x+?

【解析】/（x）=2sinx+—cosx—COSx+----

4J4J42

4/13

1~COS2jXHj/、

J,（.兀），

=2cx-------k-----4--=1-cos2x+—=1+sin2x

2I2）

・•・函数/（X）的最小正周期r=g=几，故A正确;

当了=丁时，/停1=1+川2'勾=1+*,所以函数图象不关于点仔，11中心对称，故B错误;

6\6）16,2）

当xe（0,g）时，2XG（0,|兀），

当2x=g,即x=g时，/（XL-/彳=2,故/（力在区间上不单调,故C错误;

24\^/\*/

1+sin2x~—=1-cos2x为偶函数,故D正确.

故选：AD.

11.在△48。中，48=6,AC=4f。为。边上及内部的一动点，设彩二2万+〃太，则下列说法

正确的是（）

A.若。为△4BC的重心，则2+2〃=1

B.若。为△/18C的外心，则加.前=10

C.若。为△NBC的内心,BC=2下,则为+〃=

4

D.若。为ZUB。的垂心,△，"。为锐角三角形，则而与2」空+3^^共线

cosBcosC

【答案】ACD

【解析】

对干A,取8c的中点为。，由重心可得芯=g布,

由中线向量可得：而=g（而+万），所以有言=；（而+衣）=；而+：就,

又因为怒=4标+4%，所以％=；,〃=；,则％+2〃=1,故A正确；

对于B,取48的中点为M,取/C的中点为N,分别作中垂线，交于外心。,

5/13

由石灰二而.（衣一而卜而就-割荔=（而+珂•衣-（万7+诟）•刘

=丽•衣一而•存=2x4-3x6=-10，故B错误:

对「C,当。为△ABC的内心，延长40交8c「7,根据角平分线定理有:

AOABACAOABACAB+AC6+4q

利用等比性质有:---===-------=—产=V5

~OT~~BT~~CT0TBTCTBT+CT2V5

所以有礼"舍T万’乂由角平分线定理得：竟二笔1=1

贝1」2»7=3元=2（17一7»）=2（7?—万）=万=,工方+1充,

所以而VLX2—VLX3—

V5+lU5)V5+I5+V5+15

又因为力。=4/B+〃/C，所以2=(X2，JLI—X—,

V5+15V5+15

„,加243旧5->/5〃-十力

n2+〃=-j=—x—I—■=—X—=-p=—=-----,故C正确：

V5+15V5+1575+14

对于D,由而•£巫+3次］=2近且+3三

、cosBcosCJcosBcosC

园♦润cos(7T叫|5C|.|jc|cosC.—..一,

=2J~!-!~---------+3J-~!-----=-125C+125C=0

cos4cosCIlli

一(~7D万、

所以SCI.2--+3--，又由。为垂心得：BCIAOf

【cos4cosCj

z—•—\

__ARAC

所以力。〃2f+3今；，故D正确：

Icos8cosCj

6/13

故迄ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若复数(l+〃i)(2+i)是纯虚数，则实数.

【答案】2

【解析】因(l+ai)(2+i)=2-4+(l+2〃)i.

要使其为纯虚数，需使2-。=0且1+2。工0,解得。=2.

故答案为：2

13.如图，已知正方形48CO的边长为2,且“为力。边中点，BF与AC交于点、E,则砺•能=

DC

A

4

【答案】y

【解析】在正方形相C。中，因为产为力。中点，所以ZUEFSCM,且空=线

FEFA

=押中双砌苧+捽

贝lj赤册=BC]BC=-BABC+-BCBC

)33

=-BC2=1X22=4

3

14.如图所示，在平面直角坐标系中，△。。8的外接圆与V轴交于4(0,&),ZOCB=60°,NCO8=45°,

则。C=.

7/13

【答案】V3+1

【解析】连接力4,因为工轴上^轴，所以/4。8=90%因此/1B是AOCB外接圆的直径,

根据同弧所对圆周角相等，得/OAB=NOCB=601,

已知/(0,0)，即。4=&,

在Rt"O8中：OB=OA-tan/0/8=&tan6O3=网，

在LOCB中，由内角和得：NOBC=180-NCOB-/OCB=180-45°-60,=75"，

OCOB

根据正弦定理

sin"8csin/OCB

,sinZ(9C5=sin60=—,08=#,

sin4OBC=sin75°=sin(450+30)=八+应

42

=6+1.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知复数4=a+2i,z,=2-i,

(1)当。=-1时，求Z/Z2的值;

(2)若4+4是纯虚数，求。的，直；

(3)若五在复平面内对应的点在第二象限，求实数。的取值范围.

z?

【解析】(1)当〃二一1时，z,-^=(-l+2i)(2+i)=-4+3i.(3分)

(2)因为4+z?=4+2+i为纯虚数，所以〃+2=0,所以。二一2.(7分)

8/13

五=aVh=(〃+2i)(2+i)=2a-2+(a+4)i

(3)2-i-(2-i)(2+i)~5"（9分）

亳二,kJ在第二象限,

则、，解得T<a<l,

故实数。的取值范围是（T/）.（13分）

16.（15分）

已知a,Ac分别为△48C三个内角4,B,C的对边，且6cosN—-^asin8=0.

3

⑴求力：

?A

（2）若c=3,且△48C的面积为把，求ZU8C•的周长.

2

【解析】（1）因为〃cos/1-立asin4=0,由正弦定理得sin4cos4一且sin/sin4=0，

33

因为4w（0,九），可得sin5>0所以cos力-立sin4=0，（4分）

3

若cos4=0,则sin/=0,不合题意，故cos/wO,所以tan4=JJ，

又因为4e（0,兀），所以力=1.（7分）

（2）因为△44C的面积为生，可得_Lbcsin/=地，可得庆=6,

222

又因为c=3,所以6=2,由余弦定理力=/+°2—2加cosH,（10分）

可得。2=4+9—2x2x3x'=7,所以"日

2

所以△N8C的周长为。+力+。=6+5.（15分）

17.（15分）

（新情境）荆州古城“策马三国，新春灯会嘉年华”正在火热筹备中，核心区域为边长为100米的正方形

三国文化灯街区按功能划分为三大板块：扇形4WN区域打造三国非遗灯展，以力G为半径的弧A/N

悬挂关羽、张飞主题花灯，是灯会核心打卡点；矩形ECFG区域布置三国文创市集，售卖荆州特产与三国

周边；其余区域规划为策马巡游通道与游客休憩区.其中心F分别在8C,C。边的灯杆上，G落在弧MN

的花灯轨道上，4"=8（）米，设矩形EWG的面积为S（单位：立方米）.

9/13

（1）若=请写出S（单位：平方米）关于。的函数关系式，并注明。的取值范围;

（2）为保障“策马巡游”通道的宽度，需让文创市集面积最小化，求S的最小值.

【解析】（1）延长“交力B于〃，则GH=80sin6,AH=80cos。，

则GE=〃8=（100-80cose）,FG=（100-80sinB）,

.•.5=（100-80cos<9）（100-80sin<9）=400［25-20（sin<9+cos/9）+16sin^cos<9］［。<。〈卷.（6分）

（2）由（1）得：S=400［25-20（sine+cose）+16sinecose］（0<e<］）,

f2_i

令/=sin6+cos。，则sinOcosO=-------,（10分）

2

丁1=sin°+cos0=0sin（0+：）［o<।<（<,41

.1.5=40025-20/+⑹丁6=3200。-：）+1800,（12分）

vl</<V2，，当时，Smm=1800,

即当sin时，矩形"G面积的最小值为18。。平方米.（15分）

18.

记ZU8C的内角力、B、C所对的边分别是。、b、C,直线/与UBC的边位、4c交于D、E两点.

10/13

A

E

第(1)问图第(2)问图

(1)已知力。=54从力C=24E,BF=；BC,记前=三,BA=n

①用，〃、n表不AF、DE；

②若B=60°,Q=2C,则力/、。七有什么关系？用向量方法证明你的结论;

(2)记乙=用向量方法证明:QCOS(B-6)+反os(4+，)=ccos〃.

【解析】(I)①因为而=!而，祝=2荏，

所以。，七分别为力&/C的中点，故诙=；前，

—1—1—

因为夙7=机，所以OE=58C=5”；

又因为砺=1元，BA=n

4

则方=旃一加=1而一0=LG-G.(5分)

44

@AF1.DE,证明如下:

因为《=60,a=2c,则"?•口=-|/?|cos6(T=accos60=2c?x；=c?,

所以AF-DE=I-zn-/?I-iw=-m--m-n=~a2--c2=-x(2c)2--c2=0,

UJ282828v72

且赤、瓦均为非零向:最，则而1瓦，即"■LQE：(1()分)

(2)在。中，而+就+5=。，

-DE

设单位向量&=同,

则e・(/J8+8C+C4)=e•48+e・BC+e.C4=0,(*)(14分)

又根据数量积的定义得，3前二|既］8s(8")=acos(8-。),

e-=cos(7t-6/)=-ccos^,eCA=|cj|cos(/f+^)=/?cos(/4+^),

代入(*)式得，-ccos6+acos(5-6)+bcos(/+e)=0,(16分)

11/13

所以acos（3-e）+6cos（/+e）=ccos，.（17分）

19.（17分）

已知锐角三角形48c中，角4、B、C的对边分别为。、b、c,且满足也T=sii?4二sin2c

sinCsin5

A^C.

（1）求证：B=2C；

（2）求」大+：的取值范围；

cosCb

（3）若。=2,求三角形力8c面积的取值范围.

【解析】（I）由皿■—]=sin%-sin及正弦定理可得g_1;土C,即伫£=£=:,

sinCsitrBcb2cb2

因为4HC,则〃HC,所以,=等，即/=/+",

cb-

由余弦定理可得c?+nc=〃2=/+d-2occos8,所以4c=/-2occos8，（2分）

所以<?=4-2CCOS3,由正弦定理可得sinC=sinJ-2cosZ?sinC

=sin（4+C）-2cosZ?sinC=sinBcosC+cos4sinC-2cosBsinC

=sinBcosC-cosBsinC=sin（8-C）,

因为△/IBC为锐角三角形，故0<C<^,所以一5<8一。<5,

又困数y=sinx在上单调递增，且sinC=sin（6-C）,故°=B-C,即6=2C.（5分）

\乙乙）

（2）-!—+-=sinA_1sin（2?+C）_1sinBcosC+cosBsinC

+----=-----+-----------=-----+----------------------

cosChcosCsinBcosCsinBcosCsinB

sin2CcosC+cos2CsinC12sinCcos2C+cos2CsinC

4-------------------------------------------------=-----------+----------------------------------------------------

cosCsin2CcosC2sinCcosC

1+8SC+28S2J=2cosC+—!—,（7分）

cosC2cosC2cosC

0<C<-

2

因为a/iBC为锐角三角形，故〈0<5=2C<^,解得

204

0<J=7t-3C<-

2

nit

又因为“*3CXC,可得C吟,故角C的取值范围是,（8分）

所以?<cosC<当，故也<2cosC<VJ,

12/13

令/=2cosCe（&,VJ）,/（/）=/+j,

任取4、，2右（&，6）且乙“，

则/&）-/&）=，1+；-G+；=（，1-2）-J—；=（/