2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷01【天津专用测试范围：人教A版必修第二册第6~8章】（全解全析）

高一数学下学期期中模拟卷01（天津专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

第一部分（选择题共45分）

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知z=i（3+£）,则|z-4i|=（）.

A.1B.y/2C.百D.2

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可.

［详解］因为z=i（3+JJi）=3i一班，

所以t_用=旧_6_/=卜75_1=^（-V3）2+（-I）2=2.

故选：D

2.设向量。=（3,1）,5=（叽2）,若［5+2a）J.（书-2a）,则负数加二（）

A.-3B.-4C.-5D.-6

【答案】D

【分析】由向量数量积的运算律及向量垂直的表示得片一4片;0,再由向量模长的坐标运算求参数值.

【详解】由题设（3+2£）-（3-2片）=晨一4/=0，则〃/+4—4x（9+l）=0,

所以旭2=36,则负数加二一6.

故选：D

3.在△力8c中，角。所对的边分别为且力=2,4=：,△力8c的面积又收=6,则"c=

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】利用二角形的面积公式和余弦定理计算易得.

1/19

【详解】由题意，S/8c=：acsing=J5,可得"=4；

由余弦定理，b2=a2+c2-2accos^,

代入条件，可得4=(a+c)‘-3QC=(Q+C)2—12,解得a+c=4.

故选：B.

4.一个菱形的功长为4,一个内角为60。，将菱形水平放置并日使较长的对角线成横向,则此菱形的百观图

的面积为()

A.8旧B.473C.2>/6D.瓜

【答案】C

【分析】求出菱形面积，根据直观图和原图面积之间的关系，即可得答案.

【详解】如图，菱形力4c。，/胡0=60',

则△/出。为正三角形，故8。=4,4。=46，

故菱形面积为S=』4CxAO='x4x4G=8j5,

22

根据直观图面积与原图面积的关系式S'巫S,

4

可得此菱形的直观图的面积为S'=^X8K=2",

4

故选：C

5.空间中有两个不同的平面见尸和两条不同的直线用，〃，则下列命题正确的是()

A.若aJ•4〃】《Laym±n,贝ij〃JL/

B.若aJ_4〃7_La,〃_L/,则m_L〃

C.若a_L4，〃_L〃，则〃IIa

D.若nua,nup,mup,m"a,则a/"

【答案】B

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】选项A,若a_L/7,w_La,〃?J_〃，则〃与〃可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错;

2/19

选项B,若民〃?■La,“，/,则直线叽〃的方向向量分别是平面a,尸的法向量两平面垂直,

即为它们的法向量垂直,则加_L〃，B正确；

选项C,若门上0,且则〃//a或〃ua,C错：

选项D,若〃ua,〃//尸,〃?up,小〃a,则可能有a//〃，也可能a,6相交,D错.

故选：B.

6.下列选项中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共而的是（）

【答案】D

【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.

【详解】在A图中，分别连接尸S,。凡力民8,

由正方体可得四边形45C。为矩形，则/8//CQ,

因为P,S为中点，故PSHAB,则PS〃0R,所以P3,七。四点共面.

在B图中，设E,尸为所在棱的中点，分别连接PS,SR,RF,FQ,EQ,PE,

Q

3/19

由A的讨论可得尸S〃£R,故P,S.E,R四点共面，

同理可得ER〃。已故PS//。尸，同理可得EP//RF,SR//EQ

故尸e平面尸RS,平面尸RS,所以RS,凡六点共面.

在C图中，由P,。为中点可得尸0〃49,同理RS///14,

故PQ//RS,所以产,工凡。四点共面.

在D图中，尸QRS为异面直线，四点不共面.

7.已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（）

A.1:3B.2:1C.1:1D.1:2

【答案】A

【分析】利用圆锥的性质得到R"cos26,厂二心⑶道，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出

表面积，结合题意建立方程，得到cos26=；,最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可.

【详解】如图，设母线长为/，底面半径为A,母线与底面所成角为2。，内切球半径小连接04,

rrmDBR

则ASBA=20,可得cos2。=——=—故R=I•cos20,

SBI

因为oo=oc,08=08,N0DB=N0CB,

4/19

所以△OQAgAOCB,故NOBD=")BC=e,

则tan夕=-2=—,可得厂=A•tan0,

BDR

由圆锥表面积公式得%全=7t(/cos2^)2+n(/cos2^)./

=7t/2cos22^4-7t/2cos2^=TI/2COS2^(1+cos2^),

氏1为7=RtanO,所以r=/cos26tan。，

由球的表面积公式得S内切球=4九(/cos2Otan02=4/cos22Otan20,

因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以/全=2S内加，

可得8北『•cos22。♦tan*=m2cos20(1+cos26),

1一cos20

由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得taY6=驾i

COS-。1+C0S2.l+cos2〃

~2~

/1_ccs2/9、

整理得8cos2。・tan*=(l+cos2J),即8cos26•-----------=(l+cos2^),

(l+cos28J

化简得9cos220-6cos2。+1=0,解得cos219=

得到*=吟=3=8$20=：=1:3,故A正确.

与nRlI3

故选：A.

8.在直三棱柱43。-/4G中，AB=AC=2,AA]=3,=60°,则异面直线与4G所成角的余弦

值为()

A.3B,1

513

C.-D.—

52

【答案】B

【分析】延长。到点。，使4。=/。=2,连接4。、4。,可得/84。(或其补角)就是异面直线48与4G

所成的角.

【详解】延长C4到点。，使4Z)=XC=2,连接4。、BD,

因为力。//4G且AD=A{CX,所以四边形//QG4是平行四边形，因此4Q///G

5/19

所以，NBAQ(或其补角)就是异面直线48与4G所成的角，

在J8C中，AB=AC=2,ZBAC=60,所以/UBC是等边三角形，BC=2,

直三棱柱中，AtA=3,则：A[B=[4B,+4大=。2'+3,=JTJ

22:

Afi=AC{=y/AC+AA；=V2+3=V13,

在△力2力中.4r)=2,AR=2,Z/?/4D=180°-60°=120\

由余弦定理：

BD2=AB2+AD2-2-ABADcos[20=22+22-2x2x2x(-^)=l2,

所以BD=2y/3

在△4田。中，AB=AQ=屈,BD=273,

由余弦定理:

A.B1+A.D1-BD~13+13-12=14=7

cosZBAD=

}2A.BA.D2xV13xVi3-26-13

____~TRAr

9.已知力、8、C是平面上不共线的三个点，若48+力。=丸7=1——+=j——，义£（0,+/），则△48C

p/?|cosZ?JC|cosC^

一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出（前+就）•而=0,推导出|前卜|衣即可得出结论.

刘+%AB~BC

【详解】因为祀）•8e=义BC=A

cosBI词cosA祀IcosC,

6/19

/\

I而H元卜osB|c3|.|c^|cosC'

BABCCACB

=A=2=0,

|j^|cosB|//C|COSC^I司cos8/lc|cosC）

即（万+码.元=（而+码.（就-万）=1狗2T可=0,故同=|祠,

所以△力4c为等腰三角形.

故选：B.

第二部分（非选择题共105分）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.若l+JJi是关于x的实系数方程/+区+4=0的一个复数根，贝9力=

【答案】-2

【分析】将1+6i代入实系数方程，结合复数运算知识可得答案.

【详解】因1+Ei是关于x的实系数方程/+入+4=0的一个复数根,

则（1+石i『+b（l+后）+4=0=2+2后=一（1+6,，则力=-：，%=-2

故答案为：-2

11.在ZVIBC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,C,已知4=26,

（siM-sin8）（6+2jJ）=c（sin8+sinC）,则△48C外接圆的面积为.

【答案】471

【分析】利用正弦定理角化边可得/+/—/=—秘，再利用余弦定理求得cos4=-利用平方和关系求

得siM=",从而利用正弦定理可得R=2,即可解答.

2

【详解】由（siM-sin削b+2网=c（sin6+sinC）,及。=26，根据正弦定理得

（a+a）=c（b+c）,即2=一比，

由余弦定理得cos/='+T=也=—■!■,又力«0,兀），

2bc2bc2

2

&sin^=V1-cosJ=AP-f--=—»

7/19

oR=__=7、=4

设△X8C外接圆的半径为R,根据正弦定理得"八siM一正一，

T

解得火=2,

则LABC外接圆的面积为兀N=4兀.

故答案为：47r

12.已知四棱锥的底而是边K为、5的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧

棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

【答案】三.

4

【分析】根据极锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.

【详解】由题意四棱锥的底面是逅长为正的正方形，侧棱长均为右，借助勾股定理，可知匹棱锥的高为

g=2,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为上，一个底面的圆心

为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1,故圆柱的体积为乃'(4]11=工.

4

【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.

13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为々=2,r2=4,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧

【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果.

【详解】连接如图所示.

8/19

=BM=4,

所以N。。力=/40屈,/02。8=/8。必,因为N0Q4+N4OW+N0j08+N80M=7i.

所以/4OM+NBOM=-.

2

因为OWJ.4E,所以△0M4〜/M0.

LLi.BM-1iL

所以工厂而,所以。M=析丽=2后,

所以圆台的内切球半径为2五，所以圆台的内切球的表面积为S=47TXOM2=32TI.

故答案为：32K.

14.若£与B是平面内的两个非零向量，忖-2闸=「+4,】一］在［上的投影向量为g1，且当reR时,

min

【答案】2

【分析】由忖-2万卜B+E|,得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系,再求忸-可，即可求

IImin

出问.

【详解】v|«-2^|=|j4-^|,|a-2^|=k+同,

卜[2—41・B+4,『=B『+2八5+M?，即万石=W_,

2

•.•”石在4上的投影向量为go,

(a-b\ai,_

则：下?—二g整理得：同一=2|引2—2不6,化简得：ab

同22

耳耳雨明,

9/19

由=|fl|•|^I•cos(a,=|5|2cos=号-可得cos(I,=5,

因()<G出卜;r,则=

由忸一=r2|a|2-2ta-b+=t2|a|2-2^|a|2-cosy+15|2

=/|蕾一忖+睚硝/一+1),

令夕=+1=+-,

“I2)4

.」=；时，为m=（，・•.忸-%=涧=㈣一=3,

.•洞2=4,解得：同=2.

15.在△//?<?中，BC—1,XA—60>力方=]AR,CE=—CD,i^AB=ci,AC=b,用1,Z>表示/£*=

;若而=轲,则万.万的最大值为.

【答案】-a+-b—

4224

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为C7）的中点进行求解.；空2：用乙方表示出茄，结合上一空

答案，于是万.万可由方石表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

____\AE+ED=AD

【详解】空1：因为E为C。的中点，则£。+£。=0,可得___

AE+EC=AC

两式相加，可得到2m=而+抚，

BP2AE=-a+bf贝I」荏=，£+_1$；

242

空2：因为游=；就，则2而+正=6，可得AF+FC=AC

~AF+~FB=~AB

得到万+元+2（万+而）=就-2而,

—2一1-

即3万=2"+B，即"=铲+产

-*2一丁丁2

于是荏.#=坂2a+5a-b+2b

=x,AC=yt

10/19

’・一—一1/12-*-•r22力迅2/+平+2/,

则力七.4/二五0a+5a-b+2br2+5^cos60+

在△48C中，根据余弦定理：BC2=J2+y2-2xycos60=x'+y2-xy=\,

------1(

于是力心力厂=五［2个+*

由/+）'-孙=1和基本不等式，x2+y2-xy=\>2xy-xy-xy,

故9G,当且仅当x=y=i取得等号,

则x=y=i时，乐.万有最大值二.

24

1一1-13

故答案为：—«+—/?；—-.

4224

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（14分）

已知复数2=(〃?-3)(加-2)+(〃?-2＞是纯虚数，其中i为虚数单位，”R.

(1)求〃?的值；

(2)求Z+Z?+Z3+Z4+…+的值;

(3)若复数均满足区-z|=1,求|z2-l|的最大值.

【答案】(1)3

(2)i

(3)72+1

【分析】(1)根据条件，得'，，即可求解.；

W-2工0

(2)利用虚数单位的性质，即可求解：

(3)设Z2=q+bi(4,beR),根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解.

【详解】(1)因为复数z=W-3)(〃L2)+(〃.2)i是纯虚数,

11/19

|(w-3)(w-2)=0

则r八，解得m=3,所以加的值为3.

|〃?-2wO

(2)由(1)知2=匕又『"=1,产"=i,i"+2=—l,i4"+3=—i,

则z4n+,+z4n+2+z4n+3+z4n+4=0(〃€N),

所以Z+z2+z3+z4+-+zM5=z20”=i2O25=i.

(3)设Z2=a+bi(4,beR),由(1)知2="

又匕一z|=l,即卜+传一1川=1,所以表2+伍_])2=],即/+(〃—炉=1,

所以&=“+g7力£1<)对应的点2(〃/)在以〃(0,1)为圆心，1为半径的圆上,

又卜2-1|=|。-1+同=也-1)2+〃,其表示点Z(a,6)到点加(1,0)的距离，

又|PM|=47T=&,所以区-1|的最大值为a+L

17.(15分)

已知向量7万满足同=巾|=,且。与B的夹角为150。.

⑴求a-34；

(2)若[G+求实数犬的值；

(3)若向量(y+2”+仍与.+不平行,求实数y的值.

【答案】(1)7

(2).r=±73

(3)y=2或一1

【分析】(1)由向量数量积的运算结合模长的运算可得；

(2)利用垂直的向量表示和数量积的运算律可得；

(3)利用向量共线的条件列方程组可得.

【详解】⑴由题意可得〉5=|胴侬150。=-1,

所以|2万-3,=47—1273+9$=4+18+27=49,

所以忸-34=7.

12/19

(2)因为［G+B)-L(xM-5),所以［5+不一B)=Onx%~-E"=0,

解得x=土石.

(3)因为向量(y+2)3+而与曲+3平行,

所以存在实数义使得(y+2)1+yB=4(yM+B),

所以＞",即2=0解得y=2或—1.

y=A

18.(15分)

如图，某运动员从力市出发沿海归一条笔直的公路以每小时5km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，

在4市南偏东方向距力市25km,且与海岸距离为15km的海上£处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上

这位运动员.

4—q____?北

，

(I)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

【答案】⑴3km/h

(2)90\

【分析】(1)构造三角形，利用余弦定理求解速度满足的•元二次函数，利用•元二次函数的最值求解出最

小的速度；

(2)构造三角形利用余弦定理求解角度.

【详解】(1)设小艇以vkm/h|K速度从8处出发，沿4c方向，加后与运动员在。处相遇，过8作力。的

垂线8力，则80=15,40=20,在△Z8C中，AB=25,AC=5t,BC=vtt贝ij

sinZBAC=-^=—,coszf^JC=-.

AB55

由余弦定理，得8C?=力炉+AB2-2AB-ACcosNBAC，

4

即v2t2=(5/)2+252-2X25X5/X-.

她期r2625200*"/I4丫八

整理得v~=-p-----—F25=6251一元J+9.

13/19

当！=±,即时，d取得最小值9,即%m=3(km/h),

/254

所以小艇至少以3km/h的速度行驶才能追上这位运动员.

B

(2)当v=3km/h时.

251252575

在△力4c中，AB=25,AC=5x—=—j—,5C=^x-^-=-^-»

,,,252+闵］闿

由余弦定理，得cosN48C='夕+比"-/C=——⑴、#=(),

2ABBC2x25x2^

4

所以/48C=9(T,

所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与月6所成的角为90二

19.(15分)

如图所示，已知正方体/出C。-44GA的体枳为64,点M为线段CG的中点，过点4M的立面a与直线

8c平行.

(1)求平面。与正方体力4。。-的表面形成的截面图形的面积：

(2)求证：平面448_L平面a；

(3)点E是侧面8CGM内的动点，满足4E〃平面a,当线段彳田最短时，求四面体44A的外接球的表面

机

【答案】(1)18

(2)证明见解析

4

14/19

【分析】（1）根据题意，求得正方体的棱长，取4C的中点N,得到梯形时取。为所求截面图形，结合梯

形的面积公式，即可求解：

（2）根据题意，分别证得4A和C。，4A，结合线面垂直的判定定理，证得力"1平面4片C。，

进而证得平面44C。，平面a.

（3）分别取阴,4G的中点P,。.证得4。〃平面a和0。〃平面a,记得平面4也〃平面a，得到点石

在线段尸0上，且点£为线段的中点时，4E最短，连接尸加交QN于点〃，得到四面体以4A的外接

球的球心在上，结合球的截面圆的形状，列出方程组，求得「的值，即可求解.

【详解】（1）解：取6C的中点N,连接MN,NA,AD「DM,易知MNUBC、,

所以梯形"N4"为所求械面图形，

如图所示，设正方体力88-44GA的棱长为。，

因为正方体力次第-48cA的体积为64,可得力=64,解得。=4,

贝的WN=2应，AN=MD、=2加,ADi=472,

（2）因为为正方形，可得力〃_L4。；

又因为。。_1平面力。D/,平面4。。/,所以CO_L4"：

因为con4O=。，且CDAQu平面44CO,所以_L平面48c。；

因为力3u平面a,所以平面4&CO1平面a.

（3）如图所示，分别取网中G的中点尸,0,连接4尸，尸。,40,

在正方体力4CQ-44G。中，可得4Q//4N,

15/19

因为平面a,且力Nu平面。，则4。//平面a,

同理可证：P。//平面。，

又因为4QcPQ=。，且40PQu平面4P。，所以平面4"?，"平面a,

因为力£〃平面a,且点E是侧面3CG4内的动点，则点E在线段00上,

又因为40-2指，故当点E为线段也的中点时，4K最短，

设4。口＜。］二尺，在直角△4力。中，点/?为A/I/。的外心，

连接PM交。N于点〃，则AHJL平面44。,

则四面体£442的外接球的球心在RH上,

设四面体EAg的外接球的球心为点O,则ODQE长即外接球半径r；

设OR=h,则。"=4一/7,因为。/?=2&，EH=五，

在直角具木。中，,=(2&『+川=/，+8,

在直角4OEH中，r2=(4-A)2+(V2)2=/?2-8/7+18,

联立方程组，…，解得心，,弋,

产=/广_8〃+18416

故外接球的表面积为S=4兀r=4兀x等=孕.

164

20.(16分)

已知△力4c的内角力，B,。的对边分别为。，b,c.且满足cosC+2cos8cos停+4)=0.

(1)求角4;

(2)已知"BC的外接圆的圆心为0,半径R=6.

16/19

(i)作角4的平分线交力C于。，80=2,求△45C的面枳;

(ii)若()B=m()A+n()C\m,〃eR),求机+〃的取值范围.

【答案】(1)8=1

⑵⑴苧；(ii)[-2,1)

【分析】(1)在△月〃。中，由二角形内角和定理及诱导公式可得cos(JIB)I2cos5cos^ijj-0,结合

两角和的余弦公式整理化简可得sin^sinB-限osB)=0,进而sin8=V5cos8,即可求解.

(2)(i)由(1)知〃=由正弦定理一々=2/?可得b的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得

3smB

正oc=a+c.结合余弦定理求出时的值即可求解；

2

(ii)由(1)知4%由△力8c的外接圆的性质可知4OC=2B=?,ZB0C=2A,4O8=2C.根据向

量数量积的运算可得

------------2--------cos2“C=ni——1n

08-OA=mOA+nOC-OA2故/+/=8S2"8s25根据三角恒等

________________2,化帝整理得

OBOC=mOAOC+nOC'cos2J=--m+n

2

变换及角。的范围即可求解.

【详解】(I)在A/IAC中，•••cosC+2cos8cos('1+4)=0,/.cos(7t-/I-5)+2cos5cosy+J=0,

/\/।jz>

••.-cos(/+8)+2cosBcos—+A=0,即一(cos/cosE-sin/sin8)+2cosB-cos力----sinA=0,

即-(cosAcosB-s\nAsin8)+cosBcosA-VJcosZ?sinA=0,

•••sin力sin8—GcosBsin4=0,即sin力卜吊4一后cos8)=0.

sinB

sinJ>0,sinB-A/JCOSZ?cosB#0,•••tanB==VJ.

cosB

V56(O,7t),5=y.

(2)(i)由(1)知8.由正弦定理一二=2R可得/,=2/?sinB=2x&x正=