广东省广州市部分学校2026届九年级下学期中考二模数学试卷（含答案）

2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

一、单选题

1.我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其口超过标准质

量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）

A.+0.1gB.-0.3gC.+0.2gD.-0.4g

2.如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上的小正

方体的个数，则该几何体的主视图为（）

A.眄=3B.V2+V3=V5

C.5。吊一4。%=1D.(-3ab)2=9a2b2

5.将一次函数y=的图象向上平移用个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则加的值可

以为（）

A.1B.2C.3D.4

6.某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2,-1,,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概

率为（）

—<51----------1111H

-3-2-1012

A.；B.~C.1D.一

244

7.为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后力生产线比8生产线每小时多组装30块太阳能板,

且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每小时

组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（）

900600900600

A.B.

x~x-30x+30X

x+30X

C.600(x-30)=900.vD.

600900

8.如图，将出川9c绕点力顺时针旋转得到若8dC,NBAB'=43。,则/C的度数为（）

9.如图，A,4是。。上的两点，。为劣弧标的中点，ZJCfi=120°,若。4=2,则四边形。1。8的面积

C

A.£B.2gC.3GD.4x/3

10.已知非负实数x,歹满足力+卜一4=0和2x-y+N=0,则下列式子正确的是（）

A.x-z=4B.0<x<lC.5y-3z=8D.z>0

二、填空题

11.2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为.

A//4A//

12.如图，点。，E,尸分别在包48。的三边上，若DE〃AC,DF〃AB,—则工的值为_____

EB3FC

A

13.某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022〜2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社

团的人数的情况统计并作出如下统计图：

参加社团活动总人数参加科技社⑷人数

该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是年，其最高占比为%.

14.已知点?。（3,〃?）都在抛物线y=ad-&+1上，则/）=（用含〃的代数式表示）.

15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”的各圆周上数字之和

相同，同一网两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是

一个关于有理数的三阶幻圆模型，则。+〃的值为.

16.如图，8。是正方形48a）的对角线，点E,E分别是8C,边的中点，作点E关于CO的对称点G,

连接。E,AF,CG,DG,4少交班）于点尸，延长4r交QG于点。.则下列结论:①/lb=QG；②肝_LDE：

③BG=2BP；®AP=DQ,其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题

17.解方程：2（x+l）=5-3x.

18.如图，在口"CQ中，。为对角线4C的中点，过点。的直线分别交力Q,BC于点E,尸.求证：AE=CF.

-1心八x-y（2xy

19.已知尸=-x——乙」一.

XIX）

（1）比简。；

⑵若点（XJ）在函数y=x+3的图象上，求产的值.

20.某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成绩提升

及知识点掌握度评分，数据统计表如下：

个人成绩提升分组（X/分）频数知识点掌握度评分（分）

0<x<5388

5cx<10582

10<x<l5m75

15<x<20468

根据以上信息，解答下列问题：

（1）■•«=，成绩提升的中位数所在分组为:

（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升210分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组中间值）;

（3）AI系统提示：知识点掌握度280分，但成绩提升45分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一

条教学干预建议，并说明理由.

21.如图，已知包出C.

B

A

(1)尺规作图：任4AC和△43。关于力〃所在直线对称，请画出△力8。(保留作图痕迹，不用写作法)；

⑵在(1)的条件下，过点、B作BE〃AC交4D于点、E,若线段和OE的长是方程f一6》+5=0的两个

实数根，求4C的长.

22.某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建江如图所示的

平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线力=1x+b,需与一条洋流边界线必=«(x>0)交汇以采集水

样.无人机与洋流边界在交汇点43,2)相遇.

/K尔

O]

(1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k；

(2)一架无人机在4处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点尸投放浮标，求点P的坐标.

23.当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角4与折射角冬的正弦之比称为介质2

sin0,

相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率〃=登.当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定

sin

的.如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部8点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射

光线为C4,入射点为。点，MN为法线.测得=液体深度为16〃〃〃，ZACM=60°.

NQB

(1)求空气相对该液体的相对折射率；(注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液

面垂直，结果保留根号)

(2)另一-束光线BE经该液体折射，折射光线为石。，入射点为£点，也为法线,若折射角NOEP=45。，求

CE的长：

(3)若〃<1,当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，艮］不再出现折射光线.请利用三角函数的知

识来解释这一现象.

(1A

24.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为卜=口炉+&-2a>-.

(1)证明：该抛物线与X轴一定有两个交点；

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为48(点/在点8的左边)，与y轴交于点。.点E为x轴下方抛物线

上的一点，且2月99=90。.

①若点£的纵坐标为-1,求〃的值；

②作点£关十原点的对称点P,过点尸作x轴的垂线，交抛物线十点0.求证：P，A,Q,4四点共圆.

25.【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了•个有趣的问题:如图①，•根竖直悬挂的杆

在地面(直线/)上的哪个点产能让杆48看起来最长(也就是/4P8最大).这个最大视角问题是数学史

上100个著名的极值问题之一.利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图②，作。0过点4B且与

直线/相切于点C，当点P异于点C时，容易证明所以当点P与点。重合时，NAPB最

图①图②图③

【解决问题】

(1)请完成材料中4月C6>ZJPB的证明；

(2)材料中的最大视角问题，设力8=〃，点3到直线/的距离为从当尸8最大时，点P到48所在直线的

距离是多少？(用含a,b的代数式表示)

(3)如图③，E是射线4W上的一点，AB1AM,48=20，。是4E的中点.把C8绕点。顺时针旋转60。

得到CQ,连接。E.求当最大时，/C的长.

参考答案

1.A

【详解】V|+0.1|=0.1,|-0.3|=0.3,|+0.2|=0.2,|-0.4|=0.4,而0,1<0.2<0.3<0.4,

・••最接近标准的是+0.1g.

2.B

【详解】解：•••共3列，从左到右各列最高为2,3,1,

，主视图为B.

3.C

【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上，

.・.No+N/=90°,

.・.Z/?=90°-a=90o-55o=35°.

4.D

【详解】:衿开立方开不尽，，衿声3,故A选项不正确；

正和&不是同类二次根式，不能合并，故B选项不正确；

5。%-48%=/6工1，故C选项不正确;

(~3ab)-=9a2b2,故D选项正确.

5.D

【详解】解：将一次函数尸-的图7象向上平移用个单位长度，得到),=一2一>7〃?，

由题意知一次函数y=-2x-g+机的图象不经过第三象限，

7

:・m—>0,

2

故加的值可以为4,选项D符合条件.

6.A

【详解】解：•••从-2,-1,3,-3中任选一个数，有4种等可能的结果，其中-2,T是不等式组的整数解,

3,-3不是;

・••从-2,-1,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为

7.B

【详解】解：优化后，生产线组装9。。块太阳能板所用时间为篝

优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为缈,

X

根据题意可列方程沏既二号

故选:B.

8.C

【详解】解：由旋转的性质得/C4C'=/848'=43。,

VB'CLAC,

:.ZC=90°-ZCAC=90-43°=47°,

・•・ZC=ZC=47°.

9.B

【详解】解：如图，连接OC,力用交于点。,

•••C为劣弧标的中点，

:.AC=BC,

•：OA=OB,

垂直平分48,AD=BD,

•・•ZJCi?=120°,

・•・/ACO=NBCO=60。,

•：OA=OC=OB,

・•・也力。。和力0。为等边三角形，

・•・入10C=N80C=60。，OA=OB=BC=AC,

・•・四边形。4c8是菱形，

•；OA=2,

：.OC=OA=2,

2

•,AD=VOA2—OD2=V22—I2=VJ，

:.AB=2AD=2j3,

**4%边形01C8=5AB，℃=5*2Kx2=2A/J.

10.C

【详解】解：・・・3x+y-4=0,

:.v=4-3x,

•・•/,y为非负实数，

4

Av=4-3x>0,解得

J

4

A0<x<-,

3

已知2x-y+z=0,

将y=4-3x代入，得2K—（4—3X）+Z=0,

化简，得z=4-51.

逐一验证选项：

选项A,x-z=4,把z=4—5x代入，得x-（4-5x）=6x-4=4,解得x=g,

并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误；

选项B,0<x<l,

4

*/0<X<y,

，选项B错误：

选项C,5y-3z=8,

把？=4-3x,z=4-5x代入左边，

得5（4-3x）-3（4-5x）=20-15x-12+15x=8,

与右边相等，因此C正确：

选项D,z>0,当x=l时，z=4-5xl=-1<0,因此D错误.

11.3.28xlO6

【详解】解:328万=3280000=3.28xl06.

4F4

【详解】VDEWAC,芸=；

EB3

.AECD_4

・・丽一访―5'

♦:DF^AB,

.AF_BD

"~FC~~DC~~^'

13.202330

20

【详解】•・・2022年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为芸xl00%=10%,

200

2023年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为器x100%=30%,

2024年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为蕊xl00%=21%,

2025年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为1端20xl(X)%=24%.

・•・占比最高的年份是2023年,其最高占比为30%.

14.4a

【详解】解：•・•点P和点。的纵坐标都是巾，且两点都在抛物线云+1上,

・••点P和点0关于该抛物线的对祢轴对称.

-hb

•/抛物线的对称轴为直线x=-/==，

b1+3

----,

2a~~2

15.-4

【详解】解：•••“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同,

.・.°+(-6)+。+8=3+(-8)+7+(-4),

6T+Z?=-4»

故答案为：-4.

16.①②④

【详解】解：•.•四边形是正方形，

：.AD=CD=BC,NADF=NDCE=900,

••.点石，"分别是AC,C。边的中点,

DF=CE,

:.“DF&DCE(SAS),

AF=DE,

,・•点E,G关于C。对称，

:.DE=DG,

..4F=DG,

故①正确：

如下图所示，记4F交DE于点、H,

由①知A/IZ)/会AQCE,

：.ZAFD=ZDEC,

NCDE+ZDEC=180O-NDCE=90°,

ZAFD+ZCDE=90°,

NDHF=90。,

AFA.DE,

故②正确：

DFIIAB,

:.NFDP=4ABP,NDFP=NBAP,

:ADPFSABPA,

DFDP1

---=---=一,

ARPR7.

:.BP=±BD,

•••3。是正方形的对角线，

:.BD=g4B，

：.^P=-xx/2J^=—

33

•・・点E,G关于CO对称,

/.ZDCE=ZDCG=90°,CE=CG,

:.E,C,G三点共线,

•••点E是5C的中点,

BE—EC=CG,

33

:.BG='BC=±AB,

22

BP4及

BG9

/.^G=—

8

故③错误；

如下图所示，连接C『，

又DP=DP,

/.△Z4DP^AC£)P(SAS),

:.AP=CP,NDAP=NDCP,

由①知△/。/❷△。。七，

ZDAF=ZCDE,

,••点E,G关于CO对•称，

/.£CDE=NCDG,

NCDG=ADAF=NDCP,

又・：DF=CF,ZDFQ=ZCFP,

/.△DF^ACFP(ASA),

/.DQ=PC,

AOQ=AP,故④正确：

综1二所述，正确的结论序号为①②④.

【详解】解：去括号，得2x+2=5-3x,

移项，得2x+3x=5-2,

合并同类项，得5x=3,

系数化为1,得工=；.

18.见解析

【详解】证明：•・•四边形/4co是平行四边形,

AAD//BC,

4DAO=/BCO,ZAEO=NCFO,

・・・o为对角线力。的中点，

OA-OC,

・••在△/EO和△CFO中，

ZAEO=ZCFO

-ZEAO=ZFCOf

OA=OC

A△JF^^ACF(9(AAS),

Z.AE=CF.

19.⑴」一

x-y

(2)P=g

【详解】(1)解：P=-至士］

XXJ

_x-y^x2-2xy+y2

xx

_x-yx

x(x-N)2

1

x-y

(2)•・•点(》/)在函数y=x+3的图象上，

/.上一》=-3,

20.(1)8,10<x<15；

(2)达标；见解析

(3)建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源；见解析

【详解】⑴解：•••一共有20名学生，

;«=20-3-5-4=8,

总人数为20,中位数是第10和第11个数据的平均值，

••・前两组的累计频数为3+5=8,前三组的累计频数为3+5+8=16,

二成绩提升的中位数所在分组为1。<x<15；

(2)解：v(3x2.5+5x7.5+8x12.5+4x17.5)4-20=10.75(分)>10分，

.,.达标;

(3)解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.(答案不唯一，合理即可)

理由：该群体知识点掌握度已达88分(较高水平)，说明基础知识扎实，但成绩提升仅0<xW5分，表明可

能处于“高原期”一基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高阶的思维训练或

变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进•步提升.

21.⑴见解析

(2)AC=6.

【详解】(1)解：画出△480如解图所示：

(2)解：如图，过点B作BE〃AC交4D于点E,

Z.EBA=Z.BAC,

•・•SABC和AABD关于AB所在直线对称，

:・/BAE=/BAC,AC=AD,

・•・4EBA=NBAE,

：.BE=AE,

•・,线段BE和DE的长是方程f-6x+5=0的两个实数根，

/.BE+DE=6,

：.AD=AE+DE=BE+DE=6,

：,AC=AD=6.

22.（\]b=—,k=6

⑵P（2,3）

|Ir

【详解】（1）解：将力（3,2）分别代入5=*+1）和%、（彳＞0）,

^2=—x3+6,2=—,

23

解得8=k=6；

（2）解：如图，过点P,力分别作x轴，歹轴的垂线，两垂线交于点8,连接4P,则NP£4=90。,

•••一架无人机在力处采集水样后，转向沿西北方向航行,

；・/尸力8=90。-45。=45。，

・•・为等腰直角三角形，

；・PB=AB，

设P,t),则3-〃=5-2,

-5a+6=0,

解得。=2,%=3(舍去),

：.a=2、

・•・尸(2,3).

23.（1

19

(3)见解析

【详解】(1)解：在Rt△灰W中，NBNC=90。，

BC=y/CN2+BN2=V162+I22=20（mm）,

.SCN二处

BC205

33

sin4BCN

相对折射率〃=sinZACM-sin60°-sfj~5

2

即空气相对该液体的相对折射率为毡；

5

(2)解：由⑴可知，〃=乎，

.sinzLBEQ26

sinADEP5

速.45。=述xEM=组

AsinNBEQ=

5525BE

设BQ=&x,则8E=5x,

在Ra8£。中，BQ2+EQ2=BE2,EQ=CN=16,

即（八工）+162=（5x）">

2

二6x+256=25储，解得％=或x=一蛆叵（舍去）,

,19-19

・・・膛=6=小蛆叵=巫，

1919

:・CE=NQ=BN-BQ=\2一16个;

（3）解：由〃=si得n0.可得sinasi=n®W,

sin01n

当〃<sinq<l时，则sin%>l,而一个角的正弦不可能大于1,

・•・当入射角的正弦值大于相对折射率〃时，不存在折射角，也就不出现折射光线.

24.⑴见解析

(2)①〃=1；②见解析

【详解】(1)证明：b2-4ac=b2-4a(-2)=b2+Sa,

a>-,b2>0,

2

••・/+8a〉0，Wb2-4ac>0,

・•・该抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)①解：设力(x”0),^(x2,0)(x1<.r2),则占和力是方程ax?+bx-2=0的两个根,

・b2

••耳+X2=——，%占=——,

aa

设点£&s),

AE2=(^-r)2+s2=x：-2/Xj+r+52,

22222

BE=(x,-/)+s=x；-2tx2+t+5,

2

AB=(x1-x2)~=x；-2xix2+x；,

VZ.AEB=90°,

:・AE?+BE?=AB?，

2222

:.x：-2txx+t+s+xl-2tx2+/+5=x：-2X}X2+石，

整理，得/+52-1$+工2)+$%2=0，

/.t2+s2+/----=0,

aa

整理，得“2+数2+初一2=0@，

,:E（z,s）在抛物线y=ax?+队-2上，

**.at2+bt-2=s，将其代入①式，可得。/+5=0,

当s=-l时，代入可得。=1；

②证明:设点£（f,s）,4（石,0）,B（X2,0）,

由（2）①可得"+5=0,

.*.5=0（舍去）或$=~>

a

Ia）

如图，设直线尸。与x轴交于点M,连接力尸，EP,BQ,则M（T,0）,

/.AM=|x]-(-/)|=|-rt+1\,BM=|x2+/|,

=1=1,QM=\at2-bt-2\,

•・•抛物线与x轴交点为4(菁,0),BQ2,0),

:.y=ax2+bx-2=a(x-)(x一七),

当1=T时，等式变为4/-4一2=4（，+$）（，+七）,

2

QM=\at-6r-2|=|a(/+x1)(/+x2)|,

1

**•tanZPJjW=^L-a=—1——-

AM|,x)+/|a(,Vj+t)

匕i。"=瑞=|"忒+”=E1

・•・/P4B=NPQB,

:,P，A,0,8四点共圆.

25.⑴见解析

Q)Jab+b?

（3）2+272

【详解】（1）证明：与直线/相切于点C,

・••点C是O。与直线/的唯一公共点，

当点夕异于点C时，点。在圆外，

设工P与。。交于点。，连接8。，如图，

A

,:AB=AB，

・•・bACB=D4DB,

*/MADB=NDBP+N4PB>ZAPB,

/.^ACB>AAPB；

（2）解：由题意可知，当点P与点。重合时，N/1P8最大.

如图，设力8所在直线与/相交于点尸，连接