平面向量压轴60题12类考点专练（原卷版）-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

平面向量精选【压轴60题12类考点】

（期中复习专项训练）

真题实战•百填通关

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题型一向■加减法则的几何应用（共5小题）

1.在△/!&:中，|荔|=|瑟|=|刀+就卜则△/3C是（）三角形.

A.等腰B.等腰直角C.等腰或直角D.等边

2.如图所示，已知O,E,尸分别是a相。的边力8,BC,C4的中点，则下列等式中不正确的是（）

A.FD+DA=FAB.FD+DE+EF=0

C.DE+DA=ECD.DA+DE=~FD

3.如图，在正六边形力5COE"中，AC=（）

1/16

A.2AB+AFB.AB-2AFC.2AB+2AFD.AB+2AF

4.已知点。是△48C内部一点，并且满足％+2万+1=0，△/0C的面积为S，力。。的面积为S2,

S.

则”=（）

A.2B.3C.1D.；

5.如图，。必点P在由射线OM、线段。8及48的延长线围成的区域（含边界）运动，且

题型二向量的线性运算几何应用（共5小题）

6.在正方形力8CQ中，厂是边CO上靠近。点的三等分点，连接8/交力。于点£,若

jE=m~AB+n7C(mjieR),则/一〃的值为.

Rr

7.已知。为△力8c内切圆的圆心，旦2刀+3万+3反=0，则=7=

AC

8.正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以R2凡s,r为顶点的多边形为正五

)

B.CQ+TP=2

c.ES-AP=^-DRD.万+丽=

22

2/16

31

9.在△NAC中，点b为线段4C上任一点（不含端点），若丽=3x瓦1+），或，则一+一的最小值为（）

'xy

A.IB.4C.9D.16

10.正五角星是一个非常优美的；l何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以

。，。，凡工厂为顶点的多边形为正五边形，且万=与1方，设丽-疗=4而（2eR）,则4=（）

题型三三角形的心的向■表示（共5小题）

11.下列命题为假命题的是（）

A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量

B.若£与3同向,且⑷9Aa>b

C.4、〃为实数，若花=〃,则［与坂共线

D.〃是△/18C所在平面上的任意一点，且满足而二而十以而十/），2G（0,+OO）,则直线4〃一定

通过△/18C的重心

12.已知点。是△力8C所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）

A.若方+赤+区=6，则。为△力8C的重心

B.若向卜画=|因,则。为ZU8C的内心

C.若。为△力8c的重心，力。是8c边上的中线，贝IJ370=1万

D.若次+而=互，则△襁c

13.己知分别为△力8c的外心和重心，N为平面内△X8C一点，且满足丽=万5+赤+近，则下列

说法正确的是（）

A.GA+GB+GC=0

B.N为匕ABC内心

3/16

C.OG=-GN

2

D.对于△力8c平面内任意一点产，总有所=，方+方+定）

14.已知点。，尸在ZUBC所在平面内，满方+赤+反=0，。力卜陷二附1,则点。尸依次是△力3C的

（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

15.已知力，B,。是平面上不共线的三点，。是△/5C的重心，动点尸满足丽〈刀+：砺+2工、

八2右7

则点P一定不是（）

A.48边中线的中点

B.48边中线的三等分点（非重心）

C.ZUBC的重心

D.力8边的中点

题型四向■夹角的计算（共5小题）

16.已知向量,，©2为单位向量，（q-2电），弓，则q,e2的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

17.已知无5为两个互相垂直的电位向量，则下列说法正确的是（）

A.\a+b\=\

B.k+

C.若E=2G+B,则cos<乙］>=—

5

D.若cos<£/>=；,则口-a的最小值为等

18.已知同=4,|同=3,且伽+研21—3坂）=61,求d与5的夹角6=.

19.设点P在△力8C所在平面内，且点G、H、0、/分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列

结论正确的是（）

A.++

B.若2Tz5+3而+4而=0，则cos//H8=-，

______________________1

C.若|丽=|函=|11=1且4/+3砺+2双=0，则

4

4/16

f'■■""、

D.若就T—r鬲3卜的'则△由为等腰三角形

20.设向量G、5满足同=1,问=2,且。、万的夹角为60。，若向量々-2B与向量而+B的夹角为钝角,

则实数t的取值范围是.

题型五垂直关系的向■表示（共5小题）

21.己知正三角形月6。的边长为2,设施=2），京W，则下列结论正确的是（）

A.\a+b=1B.albC.（4a+B）_l_BD.ab=-\

22.已知同=2逐，忖=6,且（2G+E）M，-3B）,则0与B的夹角为.

23.关于向量仇役］，下列命题正确的是（）

A.^ci-b^>a-bB.存在向量痴,1,使得（小小=建•可

C.归+（即-同D.若,石=0,则同=0或忖=0

24.给出下列命题，不正确的有（）

A.-伍不与^垂直B.若方为非零向品，则卷与万同向

C.若d//B，b//c>则方〃0D.己知见,〃为实数，若强=",则G与B共线

25,下列说法正确的是（）

A.aA.b=>a-b=0

ah

B.向量坂在1方向上投影数量为同

C.数量积的几何意义为3的长度同与B在G方向上的投影数量|5|cos〈Z石〉的乘积

D.在△居《中，万.而<0，则ZUBC的形状是钝角三角形

题型六平面向一共线定理的考察（共5小题）

26.如图，设赤=%彳万，充二歹正,（.丫〉0,），>0）,线段DE与BC交于点尸，且而=:前,通过计算得

一1一4—14

到：4^二二"1七+二x/Q,则一十一的最小值为（）

55xy

5/16

A

27.已知4、8、。三点共线(该直线不过原点。)，且用=加丽+2〃阮则3的最小

mn

值为.

28.在△NBC中，点。在8c上，且函=2万，过点。的直线分别交直线力民力C于不同的两点“川，若

AB=tnAM>AC=nAN，〃？>0，〃>0，则()

A.2而+〃=3B.4//+/的最小值为9

C.'+网的最小值为2D.的最小值为±2

mn3，〃十2〃十I8

29.如图，在△力AC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交射线ZC于不同的两点M,N.设

AB=mAM»AC=nAN»则下列选项错误的是()

A.m+n=2B.nin<1C.m2+n2^2D.—+—<1

mn

30.如图所示，△“AC中G为重心，尸。过G点，AP=niAB，AQ=nAC,则'+'=（）

mn

题型七由向■线性运算，解决最值和范围问题(共5小题)

31.在△48。中，益二(2相,〃?+5),次二(cosa,sina),(mwR,aeR),若对任意的实数

6/16

|荔T刀上|荔-万卜亘成立，则4c边的最小值是.

32.如图，矩形/出C£＞中，/"=3,4。=4,A/、N分别为线段：8C、CO上的点，且满足

，＞：=xAM+yAN»则的最小值为.

2+C7V7="1?*x+y

N

33.在直角梯形48co中，ABLAD,AB//DC.AD=DC=\,AB=2,动点P在以点C为圆心，且与直

34.如图，在直角梯形48CQ中，AD〃BC,AB人BC,力。=1,4（1=2/是线段48上的动点，则|定+4万|

的最小值为.

35.在矩形48CQ中，44=1,力。=2,动点尸在以点力为圆心的单位圆上.若

万=2方+〃而（A/cR）,则4+〃的最大值为（）

Cb

B.V5

题型八由向■共线.求参数（共5小题）

36,下列说法正确的是（〉

A.在中，丽=2反，E为力C的中点，则怎=-］方J配

B.在△/AC中，而与就满足•而=0,则△力8c是等腰三角形

C.已知1=（1,-3）,5=（左川,若♦与5的夹角是钝角,则无＜3

D.在边长为6的正方形力4CQ中，点石在边4C上，且8E=2EC,点厂是CO中点，则

7/16

AE-JF=（）

37.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数正,6的图形，图中四边形力3CO的对角线相交于点

O,若前=砺,则2=（）

A.1B.J2C.-D.5

2

38.设向量«=（T,T）,丽=（2«,3）,1=（一瓦0）其中其为坐标原点,a>0,b>0,若4设C三点共线,

1?

则一+三的最小值为________.

ab

39,下列说法正确的是（）

A.与向量I=方向相同的单位向量的坐标为

\JJ/

T

B.仇否为非零向量，则向量G在向量B上的投影向量为普

|力『

c.7江为非零向量，且相互不共线，则伍酢-伍yM=O

D.若。=（2,3）与丐=（苣一6）共线，则工二一4

40.已知。为坐标原点，向量5=（1,3）,砺=（2,4）,反=（3,7）,若〃且〃〃法w0,写出一组使表

示句量小万，〃历，火区的有向线段的终点落到同一直线上的有序实数组（叫〃，4）为.（写出满足条

件的一组答案即可〉

题型八由向■共线.求参数（共5小题）

41.下列命题中是真命题的是（）

A.在四边形4BCQ中，若而+国=6,且X.丽=0,则四边形力8co是菱形

B.若点G为△力4。的外心，则钿+痂+玄=。

C.向量4=（2,-3）,e2-1，-iI■［能作为平面内的一组基底

8/16

D.若。为△/8C所在平面内任一点，且满足（方-反）.（丽+炭-2丽=0,则△48C为等腰三角形

42.在凸四边形/出CO中，AB=BC=2,N/8C=120'，且△48为等边三角形，若点E在四边形力8CQ

上运动，则丽•丽的最小值是（）

A.-4B.-3C.-1D.3

43.如图，四边形O/18C是边长为1的正方形，0Q=3,点尸为△86内（含边界）的动点，设

而=。反+夕丽（a,"R）,则“q的最大值是（）

J•

44.在直角梯形力BCO中，AB1AD,AD//BC,4B=BC=2AD=2,E,b分别为8C,C。的中点,

以力为圆心，力。为半径的圆交月8于G,点尸在弧0G上运动（如图）.若而=彳在+〃而，其中

则?的取值范围是（）

。

AGB

A.[14]B.[网C.性尤D.[网

一2——

45.在△44。中，AB=3,AC=2,/44C=60。，点P是内一点（含边界），AP=-AB+AAC,

3

则"I的最大值为（）

A.毡B.号C.巫D.迺

3333

题型+用基底表示向■求算问题（共5小题）

46.如图，在△力8c中，己知”=2,AC=5,Zfi/lC=60°,BC,4C边上的两条中线4必，8N相交于

点P.

9/16

B

M

ANC

⑴求中线4W的长；

(2)求/MPV的余弦值.

(3)设存=/1而，求/的值，并用向量方法证明.

47.已知在中，N为"中点，丽=；沅，画=2,匹卜4.

⑴若/民4。=60。，求力M的长；

⑵设而和正的夹角为0，若cos9=J,求cosN4VC；

4

—1——1—

(3)若线段NC上一动点尸满足力尸=54。+*力5,试确定点P的位置..

48.在△45C中，点。在边48上，点E在边力。上，且满足而=29，~AE=3EC.设BE与CD交于

点P，连接加?并延长交8c于点E.设方=3，AC=b.

(1)用。，6表示丽，BE:

(2)若AP=xa+yb,求xy；

(3)若点G在线段/P上，且满足万〃而，求|就|:|乔|的值.

49.如图，在梯形48。。中，AB=2DC,NB4D=90°,AB=AD=2,f为线段8c的中点，记酢E,

(2)求荏与而夹角的余弦值.

50.如图1所示，在△力“。中，点。在线段8c上，满足3而=历，G是线段48上的点，线段CG与线段

10/16

力。交于点o.

(2)若3而=2痂，且满足而=/而，

①求实数/的值；

②如图2,过点。的直线与边力用力。分别交于点瓦尸，设荏=%而，JF=//JC,(2>0,//>0),

求％+〃的最小值.

题型十一向量与几何最值问题(共5小题)

51.如图，瓦厂分别是菱形48CD的边CO和8c上的动点，且48=2,/。彳8=60二

⑴若瓦尸分别是CD8C的中点，求©?.就：

⑵若反尸分别是CD8C的中点，G是线段族上的任意一点，求万.瓦的最大值:

⑶若瓦尸分别为线段OC和8c上的动点，且DE=CF,求|2万+雨的取值范围.

52.(1)为圆。的一条弦，且|/1邳=2,求刘.瓦的值.

(2)如图，正方形48C。的边长为6,点七是8c边上的中点，点尸是边CO上靠近C的三等分点，求亚.赤.

(3)如图，在平面四边形"CD中，AB1BC,NBCD=60°,ZJDC=150°,BE=3EC

3£=JJ,若点尸为边力。的动点，求丽.丽的最小值

11/16

A

F

BEC

(4)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法.

53.(1)已知向量［值满足同=*2卜2,且I与1的夹角为若［-2.与热+.的夹角为钝角，求

实数兄的取值范围；

(2)已知向量5=(2,-2),6=(49，求I在月上的投影向量的坐标；

(3)如图，半圆的直径力8=8,。为圆心，C为半圆上不同于48的任意一点，若尸为半径0。上的动点，

求(西+丽),正的最小值.

54.在平面直角坐标系中，已知点彳、〃的坐标分别为(1,0),(-1,0),|OC|=1,且N4OC=',其中。为

坐标原点.

(1)若夕=,，设。为线段。片上的动点，求|无+历|的最小值；

(2)若。£。/,向量所=胫，向量万=(1-cos0,sine-2cos。)，求而万的最小值.

55.在中，已知.48=2,JC=1,而.冠=7，CP=2CB(0<2<I),。为线段C/1延长线上的一

点，且而=/就(/<0).

(1)当f=-l且/l=g,设PQ与48交于点、M,求线段CM的长；

(2)若为下0+3万，求/的最大值.

题型十二用向■解决夹角问题(共5小题)

56.如图所示，在ZU4C中，ZBAC=\20°,4？=力。=3,点O在线段8C上，且。C=28O.求:

12/16

(1/0的长；

(2)/。4c的大小.

57.如图，正方形48CO中，£是力8的中点，尸是8c边上靠近点8的三等分点，力尸与交于点M.

⑵求4A〃的余弦值；

(3)求。历：ME和4”：MF.

58.如图所示，矩形48CZ)的顶点4与坐标原点重合，B,。分别在x,y轴正半轴上，AB=4,AD=2,

(1)若£>£」/C,求的长;

(2)若后为48的中点，4c与。E的交点为"，求cos/CME.

59.如图，在△18。中，//=3,力。=2,/4/1。=：,。是8c边的中点，"1力优力。与CE交于点尸.

(1)求CE和4。的长度;

13/16

（2）求cos/CFO.

60.已知梯形力灰刀中，AB//CD,AB=2CD,£为叱的中点，F为BD与AE的交点,

AD=2.AB+JJAE.

（1）求4和〃的值；

⑵若48=2/，BC=6,Z.ABC=45°,求成与丽所成角的余弦值.

考题猜想•高分必团

I.已知正方形48CO的边长为2,点E在线段4c上，则赤.砺的最大值为（）

A.4B.2C.YD.7