2026年高考数学复习：重难突破（九）最小整数与最大整数问题（四类重难点题型）原卷版+解析

重难专攻(九)最小整数与最大整数问题

目录•重难点题型分布

重难点题型一整数问题之参变分离

1、(2025・高三•黑龙江大庆•期末)设函数/(力=谢'一火+。-若不等式/(刈＜0有且只有三个整

数蟀，则实数”的取值范围是

2、(2025•而二•全国•阶段练习〉已知函数.〃x)=a(/-*3)_xlnx,若不等式/(刈＜0仅有1个整数解，则实

数。的取值范围为.

3、已知函数/(x)=hi+1-〃”有两个零点⑷尻且存在唯一的整数小Ka力),则实数机的取值范围是()

X

ln2eln3ee'0*

A.B.C.D.

(°i)4

2

4、4知函数/(x)=xlnx,g(x)=-x+(a+\2)x+2af若不等式g(x)的解集中恰有两个整数,则实

数。的取值范围是

1,(\

5.已知函数/(x)=一r+lnx-2+—x,(。/0).

aka)

(I)当时，求函数/(“在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)令尸(X)=4(X)-X2,若尸(X)<1-2如在xe(L”)恒成立，求整数。的最大值.(参考数据：ln3

ln^<-).

4

6、已知函数/(x)=(x—2-1)，(其中。为自然对数的底数).

(1)当)二一1时,求函数〃力的极值;

(2)若函数g(x)=/(x)+3在工£((),共)有唯一零点，求实数k的取值范围;

(3)若不等式/(x)>3x对任意的xtR恒成立，求整数攵的最大值.

重难点题型二整数问题之直接限制法

1、(2025•高二•广东中山•阶段练习)若关于x的不等式(◎-2”*之工-2(々>0)有且只有三个整数解，则实

数”的取值范围是()

A,卜与B.卜汩C.[U2)D,[⑹

2、(四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题)关于x的不等式Inx-o?+at>0(«>0)的整数

解个数为〃(，蚱N)时，设S”为数列0”的前〃项和,则与仪广()

'7[ln(n+2)

人I„100「25卜101

A.~B.---C.—D.---

210151102

3、设函数/(幻二；/一m+i)x+i+|nx,其中。>o,若存在唯一的正整数/使得/(/)<0,则。的取值范

围是()

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,2+ln2)D.

I/2-

4、设函数“r)=$3—3f+(8-g—5-%若存在唯一的正整数使得/(与)<0,则〃的取值范围是

()

」GaB.(鬲]C,心》D.(抬]

5.已知函数f(x)=x-\,g(x)=(CLX-1)ex.

(I)记〃(x)=x-“°,试判断函数力(x)的极值点的情况;

ex

(II)若4@)>g(x)有且仅有两个整数解，求〃的取值范围.

6、已知函数f(x)=e'(2x-l)-at+a(〃eR),e为自然对数的底数.

(1)当a=l时，

①求函数/(x)在x=-g处的切线方程；

②求函数/*)的单调区间；

(2)若有且只有唯一整数%,满足/(与)<0,求实数〃的取值范围.

重难点题型三整数问题之虚设零点

■(■•・(■•■•・・・■■■•■•・(・•・•・•・・・・•■・■•・•・•・•・•・・・•・■•・(・a・•・(・•・•・•・(■・・•・•・(■・■•・•・•・•・•■・■(・(・・・•・■(・•・(・•■・■(・•■(■■■■・■・■・・(・•・•・•・•・(・•・(・•・(■・■•・•・•・•

1、设函数〃x)=，(2x-1)-⑪+a,其中a<l,若存在唯一的整数小，使得〃％)<。，则。的取值范围是

()

A.B.卜持0C.艮TD.

[2eJL2e4J|_2e4J\_2e)

2.(2025・广东广州•模拟预测)已知。20,若关于“的不等式(1-奴)有整数解，则0的取值范围

为.

3、已知函数/(x)=xhix+依-3攵，求：

(1)当4=1时，求曲线八幻在点(1，/⑴)处的切线方程;

(2)当x>3时，总有义工)>1,求整数k的最小值.

4.(2021•山西•晋中市新一双语学校模拟预测(文))已知函数/(x)=〃Hg("=hu+L

(1)若函数f(力与g(x)有公共点,求「的取值范围;

(2)若不等式”x)>g(x)+l恒成立，求整数机的最小值.

重难点题型四整数问题之必要性探路法

■(・t・(・(・(■(■■■,■•・•・(■・■•・(・(・(■・・(・I・•・(・•・•・・■(・(・(・•■・■(・•・•・•・(・(・•■・■(・(・,・•■・■(・•・・■(・(・•・•・(・•・•・•・(・(・•・(・•・,■・・•・t・•・(・•■・■,・(・•・(・(・•・•■•■I

l、(2021♦北京•北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习)已知/(x)=sinx,g(x)=lnx,/z(x)=x2-ar-1.

(1)若xe[O,l],证明：/(x)>g(x+l)；

(2)对任意xe[O,l]都有/(r)+〃(x)-g(x)>0,求整数。的最大值.

2.（2021•山西•晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数/（x）=〃—g（x）=hiT+L

（1）若函数”力与g（”有公共点，求利的取值范围;

（2）若不等式/（x）＞g（K）+l恒成立，求整数机的最小值.

重难专攻(九)最小整数与最大整数问题

'目录•重难点题型分布

重难点题型一整数问题之参变分离

■•■,・(■,・(■(■(・■■•■■・(・•・•■•■■・■■,■(・■■•・•・■■・・•・•・■■(■•・(・(■•■(・■■(■(■・•・■■(■•・■・■■(■•■・・(・(・,・•・,・,・•・•・(・•・•■,・■■•■•・■■(■•■,■•・■・■■•■•■•・■■■■■■■■(■•

1、(2025・高三•黑龙江大庆•期末)设函数/(x)=oxe，-ar+aY、a>0),若不等式〃力<。有且只有三个整

数解，则实数〃的取值范围是.

【解析】由函数〃x)=aw*—aTa-e'(a＞0),若不等式〃x)＜。，即cixex-ax+a-ev＜0，

因为。＞0,可化为—AX-?',令。(丸)=工一千^,可得l(x)=e；：-2,

令夕(x)=e、x-2,可得d(H=e'+l＞。，所以。(力在R上单调递增，

又由0(0)＜。，0。)＞0,所以存在唯一的七«0,1)使得。(％)=0,

当％时，°(力＜0,可得〃(x)〈0,所以〃(x)单调递减，

当工＞/时，(p(x)＞0t可得“(x)＞0,所以力⑴单调递增，且%£(0,1),

17

又因为/?(0)=1,a(l)=l/(-l)=2e-l,/?(2)=2-T，/z(3)=3--,

112

所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有2-/<—«3-丁,

解得昌即实数的取值范围是3c3-2,2e2-l

故答案为:

次3-2'2/-17

2、(2025・高三•全国•阶段练习)已知函数=-/)-xlnx,若不等式/(%)<0仅有1个整数解，则实

数”的取值范围为.

,ln3m2、

【答案】r学

【解析】函数/*)的定义域为(。,内).

要使不等式/(x)v0仅有I个整数解，使需a(V-F)_]nx<0仅有1个整数解

即不等式。*-1)<W仅有1个整数解，

x~

设8")=与，则g'(x)J—2「人,

XX

当％c(0,孤)时，gV)>0,g(x)为增函数,

当xe(A,+oc)时，fiXx)<0,g(x)为减函数,

又g(l)=0,当Ovxvl时,g(x)<o,当x>l时，g(x)>0,

设y=a(x-l),则直线y=a(x-l)恒过点(1,0),

在同一直角坐标系中，作出函数8。)与直线y=a(x-D的图象，如图所示,

由图象可知，心。，要使不等式下>心一)有I个整数解,

a(2-l)<g(2)In3In2国1…蚓回加也廿国立.Jn3ln2

则c1、、zo\1解得TT,av—即头数"的取值氾围为［不d-)・

口(3-1)之g(3)184184

In31112

故答案为:〔$丁)

3、已知函数”工)=hr+l-〃X有两个零点b,且存在唯一的整数与w(。力)，则实数〃，的取值范围是

x

()

A・〔(八叼e)B-「ln2eJ1)。・［「丁ln3e句e)D-l(八°ln-2Je)

【分析】本题可知〃，二*1，沟造函数力。)=譬1,利用导数研究函数力(幻的单调性及极值，又当

厂X-

x=,时，/心：)=()；当XT+0O时，〃(X)TO,作出函数仪幻的大致图象，利用数形结合思想即可求解.

e

【解析】由题意/(x)Jnx+>"£=()，得机=空出.

XX

lnx+1x-2x(\nx+\)l-2(lnx+l)-(21nx+l)

设力(x)=——,求导得/?'(x)=

7—

令力8)=0,解得x-eT当OuveT时，h\x)>0,〃(幻单调递增;

当i〉eW时，旗工)<0,力(X)单调递减.故当户「时，函数取得极大值，且

又当人=［时，，力(幻=0；当XT+B时，/?(%)—0,且力(x)>0.

e

作出函数/?(X)的大致图象，如图所示.

In2+1In2e

又加1)=1,h(2)=

44

使得)'=m与h(x)=吗史的图象有两个交点,

因为存在唯一的整数而w(«。)，

In

由图可知力(2)«加〈力⑴,即二二故选民

4

4、已知函数/(x)=#nx,^x)=-x2+(a+\2)x+2a,若不等式/(幻4以幻的解集中恰有两个整数，则实

数。的取值范围是

ln2-l()41n2-161

【答案】2，-3)

【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到a."，""7",构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性

x+2

及极值，结合题意求得满足条件的a的范围.

【详解】由用联，一/+1,+]2)工+2〃，可得。…蛔£【生，

x+2

设Hnr+r*—1⑵7r,则,”f/(x\)=r-+21-―nA•+-5x-—22.

''x+2(X+2)

2

令((x)=f+21nr+5x-22(x>0),则d(%)=2x+-+5>。，所以*(x)在(O,+<»)上单调递增.

X

由于0(2)vO,0(3)>0,所以电«2,3),0小)=0,所以力(力在(0,%)单调递减：在(6•—)单调递

增.

要使不等式/(”,,g(x)的解集中恰有两个整数，即。/(力的解集中恰有两个整数，

必须解集中的两个整数为2和3.所以⑴，。/⑵，〃..网3),。</?(4),

仙心ln2-10/41n2-16

解得一—<a<——•

【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存

在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题.

5.已知函数/(幻=5”2+11一(2+：卜，(。工0).

(1)当a=g时，求函数“X)在点(1J⑴)处的切线方程；

,、4

(2)令尸")=4(x)-x2,若F(_x)<l-2以在x«l,xo)恒成立，求整数”的最大值.(参考数据：In3<家

ln^<—).

4

【答案】(1)x-y-3=0；(2)3.

【分析】

(1)(1)当时，得至lj〃x)=2f+lnx—4x,求得/'(力=4工+，-4,得出/'(1)=1,且/⑴=—2,

2x

结合直线的点斜式方程，即可求解.

(2)把尸。)<1-2依在(1,内)转化为。〈二在不«1,”)恒成立，令人")=谷，利用导数求得函数

InxInx

的颔单调性，零点的存在定理得到力⑴在(1，%)上递减，在(/,+<»)上递增，从而求得，〈力。)而、二%,即可

求得整数〃的最大值.

【详解】

(1)(1)当。=■!•时，可得f(x)=2f+]nx-4x,则r(x)=4x+'-4,

2x

可得/'⑴=1，且/(D=2+lnl-4=-2,即函数〃力在点(1,-2)处的切线的斜率k=T,

所以切线方程为2)=工-1,即,1-)，-3=0,

函数”力在点(1J⑴)处的切线方程4-y-3=0

(2)由产(x)=afM-X1=aInx-(2a+l)x,

因为尸(x)<1-%x在(I，*0)恒成立，即ahix-(2a+l)xv1-2or在(1,+oc)恒成立，

即”二在xe(l,E)恒成立，令力。)=罟,x>l,可得

InxInx〃(x)=一丁行----

in-x

令心:)=lnx—1―可得0%)在(l,x)上单调递增,且£(3)<0"(4)>0,

x

所以存在小€(3,4),使得=从而〃。)在(1,与)上单调递减，在(%,+<»)上单调递增,

._..^+1_x+1_

所以〃(X)min=?(/)=同=0"=/£('),因为在(],何恒成立，所以"/?*),=%,

~±lInx

与

所以整数”的最大值为3.

6、已知困数/(x)=(x—幺—1)夕‘(其中e为自然对数的底数).

(1)当％=—1时，求函数/(力的极值；

(2)若函数8(力=((力+]在长0)有唯一零点,求实数七的取值范围;

(3)若不等式/(x)>3x对任意的xtR恒成立，求整数&的最大值.

【答案】

(1)极小值为-g,无极大值；

⑵{2}U[/_1,同；

(3)-2.

【分析】

(1)利用导数可确定/(“单调性，由极值定义可求得结果；

(2)利用导数可确定g(x)的单调性：当kWO时，可知g(0)<0,解不等式可知无满足题意的值；当〃>()时，

根据g(Hmin=g(k)，分别在g(A)>°，g(A)=O和g(%)<0三分情况下，根据g(x)在xe(0,m)有唯一零

点可构造不等式求得结果；

(3)将恒成立不等式化为大〈”—1一宗，令"x)=x-1-1得”("=°、—3,令/〃(力=-+34-3可确

定迟£(；，3)，使得“7(%)=0，由此可得，7(X)min="(丫。)，进而得到〃(q)的范围，从而得到上

(1)

当士=_1时，f(x)=xe\则r")=(x+l)",

.,.当—1)时，/(x)<0；当XG(-1,”)时，/(x)>0；

・••/(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,内)上单调递增，

.••/(”的极小值为/(—1)=一］，无极大值.

e

x

,「g(x)=(x-，：.g\x)=(x-k)et

.,.当时，g'(x)vO：兰时，g'(x)>0；

・•.g(x)在(YO,Z)上单调递减，在代收)上单调递增；

①当心0时,g(x)在(0,+8)上单调递增,若g(x)在(0,y)上有唯一零点,则g(0)<0,

即一〃一l+HvO,解得:k>e2-\>0(舍)；

②当％>0时,g(x)在(0,A)上单调递减,在化+oo)匕单调递增；

当g(%)>0,即0<A<2时，g(x"n=g伙)>0,则g(x)在(0，y)上无零点，不合题意:

当g(左)=0,即〃=2时.g(x)在(O.y)上有唯一零点x=2.满足题意:

当g仕)<。即2>2时,由g(攵+1)=/>0得：g(A)g(A+l)vO,

••.g(x)在(匕4+1)上有唯一零点,此时需g(0)=-0l+/《0,即

综上所述：当左=2或々2/一］时，g(x)在(0,+8)上有唯一零点，

即实数攵的取值范围为{2}U(yT,y).

(3)

若f(x)>3x对xeR恒成立，即对xeR恒成立，则女<1一1一》，

令力⑴…1—手，则小卜]_早£J+；3,

令〃?(工)=—+3工一3,则/”(x)=d+3>0,.,."[(x)在R上单调递增，

='"(；)="一'<0，:与不£(；,：),使得用(%)=0,

即婷+3%—3=(),

则当工时，"(x)vO；当工£(天,”)时，〃'(x)>0；

.•/(X)在(YO，A))上单调递减，在(天,收)上单调递增，

•••力⑴*=〃(%)=3-1-容=.%-1-3：；1=小7+^^=/-1+1

C-JD人O久I)1%—1

•♦•4</?a)，・.•整数攵的最大值为-2.

【点睛】

方法点睛：求解木题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间

的大小关系比较问题，即若〃2/(可恒成立，则。2/⑴2；茬〃《/(》)恒成立，则心/()«

重难点题型二整数问题之直接限制法

1、(2025•高二,广东中山•阶段练习)若关于x的不等式(⑪-2”，工-2(">0)有且只有三个整数解，则实

数。的取值范围是()

A..彳[C.[he2)D.[1,巧

【答案】A

【解析】设/(x)=W(〃>0)，g(x)=x-2,即/(x)Ng(x)有且只有三个整数解,

e

-口a+2,2,

则:3=/八、，且----=1+—>1,

（。>0）aa

当工<土匚=1+2时/(耳>0,/(X)单调递增,

当工>g=i+2时/何<0,“6单调递减，

aa

由于g(0)=—2,g(l)=—l,g(2)=0,g(3)=l,

〃0)=1=一2,〃1)=—,〃2)=等,八3)=浮,

由于g(x)为单调递增函数,g(0)=〃0)-2,

要使/（xRg（x）有且只有三个整数解，这三个整数解必然是0,1,2,

川）=^>-1

e

?/7_?2+e-‘

所以《〃2)=>0,解得1K。<

e-—

3。一2,

必丁<1

故选:A.

2、（四川省达州市2025届高三第二次诊断性测试数学试题）关于工的不等式Inx-aF+如>oe>0）的整数

解个数为〃(〃eN")时，。叩力%),设个为数列J'"”的前”项和,则兀产()

')ln(/z+2)।

1c100-25、101

A.：B.—C.—D.—

210151102

【答案】C

【解析】ln.v-ax12+ax>0(。>0)=>lar>ax2-ax(a>0),x>。，

设f(x)=lnx,x>0,g(x)=oT-ar,x>0,

显然/⑴=4)=。，f(x)=-,g,(x)=2ax-a

Xf

其中〃x)=lnx在(1,0)处的切线斜率为r⑴=1,

8卜）=以2-奴在（1,0）处的切线斜率为g'（l）=2«—a=a,

若心1，x>l时，/'（x）=hix的图象在£（*）="2-办的上方，不等式无解,

则Inx-aP+点＞0(〃＞0)的整数解个数为o,不合要求,

所以。＜"1,

In2>4。-2a.,In3hi2

当〃=1时,需满足＜解得丁

In3W9"3ao2

ln3>9a-6〃In4,In3

当〃=2时,需满足——

In4V16〃一4i12o

当lnx-ar2+av＞0(。＞0)的整数解个数为〃之1时，

In(/?+1)>(72+1)'«-(//+1)«,ln(n+2)In(/:+1)

需满足,»解得7----77-----7Wa<-------♦,

ln(〃+2)W(〃+2)Z-(〃+2”(n+\)(n+2)n(n+\)

ln(/z+2)

所以Pn=

(〃+l)(〃+2)

"""'ln(〃+2)(//+l)(n+2)〃+ln+2"

11111I11

所以S.~

2334〃+ln+22n+2

25

故S”.)=-------

100210257

故选：C

3、设函数/(x)=；x2-m+i)x+|+]n.j其中。＞0,若存在唯一的正整数.%使得/(/)＜0,则。的取值范

围是()

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,2+In2)D.

【分析】先根据函数解析式可得求出r(x)后就0＜。41,分别讨论.前者可得/。)为

(0*)上的增函数，结合/囚＜0,可判断出从而得到〃的取值范围；后者可得到与题设矛盾

[”2)20,

的结果两者结合可得实数〃的取值范围.

J\^)vu.

【解析】因为/(x)=g.--m+l)x+l+lnx,故d)J__\__a

2e2ee

因为a>0,-^---<0,<0,又外幻/3+1»+],

若OvaWl,则△=(“+1)2-440,故f-(a+1)x+l2()恒成立且不恒为零，

所以/'(力>。恒成立且不恒为零，故/(x)在(0,+8)上为增函数.

因为存在唯一的正整数/使得/(与)<。，故解得〃,生詈.

若"1,则/⑴=g-a<0,/(2)=l+ln2-2^<ln2-l<0,

与题设矛盾，故舍去故选D.

4、设函数/(工)=+3_3/+(8_0)工_5-。，若存在唯一的正整数%,使得/(%)<。，则〃的取值范围是

()

A•(烷】B.(昌C.(若D.(常

【答案】A

【分析】设函数g(x)=gV—3f+8x—5,〃(幻=。*+1),求得，(幻=/-6工+8,求得g(“得到单调性，且

g⑴,g(2),g(3),g(4)的值，结合图象，列出不等式组，即可求解.

[详解】设函数&*)=3丁一3/+8%一5,〃*)=。(工+1),

可得g'(x)=f-6X+8=(X-2)(X-4).

当工V2时，g'")>0,g(x)单调递增;

当2c<4时，g'(x)vO,g(x)单调递减；

当工>4时，？*)>(),g(x)单调递增，

且g⑴=1,g(2)=；,g(3)=Lg(4)=(,

图象如图,函数人(%)经过数L0),要使存在唯一的正整数%,

使得/缶)<0,即g(A)<h(x)有唯一正整数解,

2a<-

g⑴叫1)3

g(2)>h(2)3a4—11

所以只要〃>0并且><即3,解得白

4a<1156

g(4)</?(4)

U1

5a>-

3

故选：A.

(I)记力(幻=八一以上,试判断函数〃(x)的极值点的情况；

e

(II)若V(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求。的取值范围.

【解答】解：(/)力(x)=x-四=］一±1,/«幻='+：-2

exexe

令Mx)=e』-2在R上单调递增,

又〃(0)=-1,u(1)=^-1>0.

.•.存在唯一4w(0,1),使得〃(%)=0,即存(题)=0.

xe(TO,玉))，h,(x)<0,此时函数h(x)单调递减.xe(x0,+oo),h'(x)>0，函数人(外单调递增.

.•.K=/为极小值点，无极大值点.

(II)5(x)>g(x)化为：即

①当4,0时，由不等式有整数解，

/.h(x)在xeZ时,h(x).A,

.♦.欣(X)vl有无穷多整数解.

②当0<4<1时，■，又_L>1,h(0)=h(1)=1.

A(2)..—2

穴等式有两个整数解为0，1.即，解得：一^”。<1.

12e~-\

、a

③当a.l时，h(x)„-,又L,1，

aa

，A(x)在xeZ时小于或等于1,.不等式ah(x)<1无整数解.

综上可得：-4—„a<[.

2e"-\

6、已知函数/(x)=e"(2x—1)-依+4(acR),e为自然对数的底数.

(1)当〃=1时，

①求函数/*)在％=-;处的切线方程；

②求函数了(冷的单调区间；

(2)若有且只有唯一整数与，满足/(.%)<(),求实数”的取值范围.

x

【解答】解：(1)当°=1时,f(x)=e(2x-\)-x+\t:.f(x)=e\2x+\)-\,

I1-13

①；/(-5)=-1，又•••/(-5)=-262+

乙乙乙

1,.131--

二.函数/(x)在x=_§处的切线方程为：y-(-2e2+-)=-l(x+-),即：y+x+2e2-1=0；

②r(幻=eX(2x+l)-l,

由于((0)=0,当xe(0,+oo)时，>I,2x+l>l,/./,(x)>0；当xe(-8,0)时,0<^<1,2r+lvl,

r(X)<o，

函数、f(x)在(30,0)上单调递减.在(0,吩)卜.单调递增；

(2)由/(x)v0得e*(2x-l)<g-l),

当犬=1时，不等式显然不成立：当R>1时，a>e(2x~i)；当xvl时，<。’(21)

x-1.r-1

设g⑴二生12ex(2x2-3x)_exx(2x-3)

2=2

x-1(x-1)(x-1)

・•・函数g(x)在(-00,0)和(A+8)上为增函数，在(0,1)和(13上为减函数,

22

3-

，当x>l时，a>g(-)=4e2,当xv1时，4Vg(0)=1,

2

①当avl时，x0e(-oo,l),由/(毛)<0得，g(x0)<a,又g(x)在区间(YO,0)上单调递增,在区间(0,1)上单

调递减，且g(0)=l>4.

33

月(一1，，a»即a..:—,/.—,,iz<1,

2e2e

3qq

②当"4"时，由/(七)<()得，g(^)<a,又g(x)在区间(1Q)上单调递减，在区间弓，+oo)

上单调递增，且8(京=4/<〃，

，卜⑵"，解得：3/<凡至，

g(3)..〃2

综上所述，a的取值范围为［之，1)U(3/,—］.

2e2

■・■,■・■・・・■・■・■■・■・・・•■■・■・■・■■・■・■・・・・•■•■■・■•■・■・■・■・■■・■・■・■・・,■■・■・■•・・■・■・■・■■・■・■■・■・■・・•■・・・・・・・・・■・■・■■•■・■・・・・・・・・・・・■・■・■■・■■・■・■・・•・・・•■・■・■・■・■■・■•■•■■・■・

重难点题型三整数问题之虚设零点

1、设函数/(x)=，(2x—D—依+外其中。<1,若存在唯一的整数使得/(厮)<0,则。的取值范围是

()

、「31n」3「331n「3八

A.——,1B.~~,"7C.~»*TD.—»1

\_2e)2e4)|_2e4)\_2e)

【答案】D

【分析】设g(x)=e'(2x-l),)，=。(公1),问题转化为存在唯•的整数与使得满足求导

可得出函数y=g(x)的极值，数形结合可得-a>g(0)=_［且g(-l)=--2-2%由此可得出实数。的取值

e

范围.

【详解】设g(x)=F(2x-l),y=a(x-\),

由题意知，函数y=g(x)在直线)'=奴-々卜方的图象中只有一人点的横坐标为整数，

当时，g'(x)<0；当时，g'(x)>0.

所以，函数)，=g(x)的最小值为=-2e2又g(o)=一］,g(i)=e>0

直线)，="一。恒过定点(LO)且斜率为。，

33

故一a〉g(zO)=_l且g(_l)=_：2_a_a,解得以《“〈I,故选)

【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.

2.(2025・广东广州•模拟预测)已知。20,若关于％的不等式(1-面-内>。(1-6有整数解，则”的取值范围

为.

【答案】0<«<1

【解析】不等式(1一公)。'〉。(1一工)，即4卜一色)<1,

设3)=，-学，小)=|一三

设«x)=e'+%-2,r(x)=e'+l>0,所以f(x)单调递增,且，(0)=T,/(l)=e-l>0,

所以存在不«0,1),使/(%)=0,即/?'(%)=().

当工6(-8,厮)时，//(A*)<0,〃(1)在(-8田)上单调递减,

当工6(为,+。)时，〃'(r)>0,〃(可在(%,+8)上单调递增,

所以力(力2万(小)=生二包型,

飞铲-3+1_3(2-3)一%+1_%(1-%)+1

因为物=2-$，所以力(力之人5)=.一.—.>u

当了40时,〃(x)N〃(0)=l,当时,/7(x)>/2(l)=l,

不等式(1一词e、>a(l-x)有整数解，即〃卜-有整数解，

若此1时，即因为函数〃(“在(Y°，。］上单调递减，在［L+8)上单调递增，

所以xeZ时，//(x)>rnin{/2(0),/?(l)}=l>l,所以〃(x)<［无整数解，不符合题意,

当04avl时,因为九(0)=/z(l)=1<L

显然0,1是。/(同<1的两个整数解，符合题意，

综上可知，0<6Z<1.

故答案为：0«。<1

3、已知函数/(x)=xlnx+履一32,求：

(I)当1=1时,求曲线f(x)在点0,/⑴)处的切线方程：

(2)当x>3时，总有求整数k的最小值.

【答案】

(1)2x-y-4=0

(2)-3

【分析】

(I)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.

(1)

当上=1时，/(x)=xinx+x-3

/.f(x)=lnx+2

.•.r(i)=2/(i)=-2

・••IM在点(1J⑴)处的切线方程为y+2=23-1)即2x--4=0

(2)

由题意,/(-V)>1,即xlnx+a--3A>1,BP^(x-3)>l-xlnx,

e,1-xlnx'一“」

又工>3,：.k>-------恒成H.

x-3

//、l-xlnx，/、31nj-x+2

令g(x)=-二，Y(x)=/、,五

x-3(x-3)

令力(x)=31n.r-x+2,则/(工)=U3—x<0恒成立.

x

/J(A)在(3,-KO)上递减,

•.•A(8)=3ln8-6>0,//(9)=3ln9-7<0

叫,w(8.9)使力(％)=0,即31n%-%+2=0,则In，

.•.当xe(8,.%)时，gf(x)>0,当/£(/,+8)时，g'(x)<0

I_r/-2

../、1-xInx03x+l10

•••g(x)m”=8(%)=------0----0=----------—=一一0w(一刀，-3)

x0-3・0-333

因为人>g(x)wHMeZ,.,.八一3,即整数女的最小值为-3

【点睛】

方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。

4.(2021•山西•晋中市新一双语学校模拟预测(文))已知函数/(x)=〃e',g(x)=hu：+L

(1)若函数”力与g(x)有公共点,求利的取值范围:

(2)若不等式/(x)>g(x)+l恒成立，求整数泄的最小值.

【答案】(1)(2)最小值为1.

e

【分析】

⑴由/(x)=g。)，可得m=妈=，函数/(X)与g(x)有公共点，即加=也耍有解，设世刃=更尹,

eee

求导数，求出函数力(x)的值域即可.

(2)不等式〃x)>g(x)+l恒成立,即mex—Inx—1>0恒成立，当x=1时，ntc>Ini+2成立,解得m>—,

C

故〃721.再验证〃7=1时，不等式成立即可得出答案.

【详解】

解：(1)令/("=g(x)，即〃£=lnx+l,则吁吗L

e

函数/(%)与g(x)有公共点，即〃：=也尹有解.

.,/lav+1mil——lnr-1

令M”x二一则小人——

令上(工)=—lnv-1

•X

当工>1时，--l<(),lnx>0,所以及(x)<0,当Ovxvl时，--l>0Jn.r<0,所以刈力>0

所以在(o/)上单调递增，在(i,*o)上单调递减,

所以力(力43)=：且当Xf0时，

所以〃

e

(2)不等式f(x)>g(x)+l恒成立,即,向-1>0恒成立.

2

则工=1时,〃型>lnl+2成立，解得1>一,

e

由题意求满足条件的整数用最小值，下面验证〃?=1是否满足题章.

当〃?=1时，令m(x)=e'-lnx-2j〃'(x)=e'-1，且加(力在(0,”)上单调递增.

.X

又呜卜0,可知存在唯一的正数天6忤1),使得〃2(%)=0,

即*--!­=(),

则在(。，小)上单调递减，在《，田)上单调递增.所以切(幻而n=〃?(与)=c"-lav0-2=—+x0-2>0,

xo

即当m=1时，不等式/(x)>g(£i+i成立.

故整数机的最小值为1.

【点睛】

关键点睛：本题考杳根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关

键是先根据x=l时，不等式〃/e>lnl+2成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证m=1满足条

件，从而得出答案.属于中档题.

重难点题型四整数问题之必要性探路法

1、(2021•北京・北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习)已知/(x)=sinx,g(x)=\nx,h(x)=x2-ax-\.

⑴若xe[0,l],证明：f(x)>g(x+\)-

⑵对任意工£[0』都有e,3+Mx)-g(x)>0,求整数〃的最大值.

【答案】(1)证明见解析：(2)2.

【分析】

(1)利用二次求导求得存在唯一零点飞«0,1),使得尸(而)=0,尸(x)>0在(0,1)上恒成立上可以证明产(力

在定义域上的单调性，可知尸(x”()，便可证明结论.

(2)先判断整数可知)市+d一⑪一1-lnx卜/nx