2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二十五章 一元二次方程单元检测（一） 含答案

第二十五章一元二次方程单元检测（一）

（本试卷共23小题满分120分芍试时长90分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题"一并交回。

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本题共1。小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.，-l=0B./+x=1C.2x+l=0D.x+^-=1

2.已知x=2是一元二次方程式2-〃=0的一个根,则a的值为（）

A.-4B.4C.-2D.0

3方程x（x-l）=0的根是（）

A.z=0B.x=1

C.xt=0,x2=1D.xt=0tx2=-l

4.若方程（x-4）2=〃有实数解,则a的取值范围是（）

A.a<0B.a<0C.a>0D.a>0

5.一元二次方程X2-6X-1=0经配方后正确的是（）

A.（«-3）2=lB.（X-3）2=10C.（X-6）2=1D.（X-6）2=10

6.如果关于x的一元二次方程扇-3工+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是（）

9999

K.k^—B/三一7且4六0且4产0D.AW---

4444

7.已知方程的两根分别为X1和x2,则修+4的值等于（）

A.3B.-3C.1.5D.-1.5

8.《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过

去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？'，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门

的宽度二匕竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门.试问门的宽、高和

竿长各是多少?如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是（）

A.(x-4yr+(x-2

C.(X-4)2+CV-2)2=ZV2D.(X-4)2+22=V2

（第8题）（第10题）

9.对于实数a,b,定义新运算：加4M2_4若关于x的方程1»x=k有两个相等的实数根,则k的值是（）

A.4B.-4C.-D.-7

44

10如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点E,以点B为圆心,AB为半径作

弧与BD交于点F.设AB二a,AD=b,则方程:/+2ax=//的一个正根是（）

A.DF的长B.BE的长C.EF的长D.BD的长

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.已知一元二次方程3/〃尸（）的一个根为I,则m=.

12方程（3/1）（2厂1）=『+2化为一般形式且二次项系数为正数，则

13.某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场.若有x支球队参赛，则可列

方程—.

14如图，是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图

所示，要使种植花草的面积为532〃月那么小道进出口的宽度应为m.

（第14题）

15.定义：关于x的一元二次方程：的（工-〃。2+〃=0（的、m、n是常数，的,0）与42cLM2+片❶缶?、

m、n是常数，和）称为“同族二次方程二例如：2（x-31+4=0与3（X-3）2+4=0是“同族二次方程;如果关于x的

一元二次方程：2。-1）2+1=0与加十公+5=0®、b是常数，a利）是洞族二次方程”.那么代数式or2-加十2030的最小

三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（每小题5分，共10分）

选择适当的方法解下列方程：

⑴小+21=0;

(2)3.r2-6x-2=0.

17.（8分）

某种品牌的手机经过7、8月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元.若每次下降的百分率相同，

请解答：

（1）求每次下降的百分率；

（2）若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机9月份售价为多少元？

18.（8分）

下面是小明同学解一元二次方程强2+8.广3=0的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解：二次项系数化为1,得/+*1=0.口［第一步

配方，得-1=0,□［第二步

（"*）-i=o,□□......................................第三步

（x+T=］□□第四步

由比可得x+*=±l.口口第五步

解得XI=-gK2=-J.口□第六步

（1镇空

①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______依据的数学公式是一；

②第一步开始出现错误，错误的原因是—.

(2)请你写出该方程的正确求解过程.

19.（8分）

根据以下素材，完成探索任务.

探索果园土地规划和销售利润问期

具农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是

果园的平面图.其中AB=200HLBC=300m.准备在它的

四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x

素材1

m,左右两条纵向道路的宽度都为xm,中间分种植

水果.出于货车通行等因素的考虑，左右两条纵向道

路宽度x不超过12m,且不小于5m.

该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经

市场调杳，草莓培育一年可产果.若每平方米的草莓

销售平均利润为1()0元，每月可销售5000nV的草

素材2

莓.受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降

价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多

(图2)

销售5(M)m2草莓,果园每月的承包费为2万元.

问题解决

(1)若中间种植的面积是

任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.

44800所5求x的值；

（2）若农户预期一个月的总利

解决果园种植的预期利润问题.（总利润:销售利润-承包润为55.2万元，则从购买草莓客

任务2

费）户的角度考虑，每平方米草莓平

均利润应该降价多少元？

20（8分）

已知关于X的一元二次方程F-2sLD"加2—3=0.

（1诺方程有两个实数根，求m的取值范围；

（2府⑴的条件下，若方程的两个实数根分别为：；qK2,若以修用为对角线的长的菱形边长是求m的值

21（8分）

某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元,投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本，按照物价部

门规定,销售利润率不高于70%.,市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）

符合一次函数关系，如图所示.

（1球出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2垓公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（第21题）

22.（12分）

如图在矩形ABCD中人13:165人E65动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以3cnVs的速度沿AB边向

点B运动，点Q以2cnVs的速度沿CD边向D移动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动,设点P,Q的

运动时间为t（s）.

⑴当四边形PBCQ的面积为33c阳2时，求i的值；

⑵当点P和点Q的距离是10cm时，求t的值；

⑶当以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值.

（第22题）

23.（13分）

阅读材料：

材料1法国数学家弗朗索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的织别与订正》中建立了方程根与系数的关系，

提出一元二次方程加+加工“=0（火0,%4ac20）的两根X1，x2有如下的关系（韦达定理）：町+必=-缄1口》2=：；

材料2如果实数m、n满足〃72fLi=O,〃2_〃_[=o且,则可利用根的定义构造一元二次方程1=0,然

后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题.

请根据上述材料解决下面问题：

（1）若实数a.b满足:丁+3。一5=0,川+38-5=00#8）,分另」求Ia+b,ab的值；

⑵若Xi,x2是方程，-6.什叶3=0两个不等实数根,且满足5X1=、2+6,求k的值：

⑶已知实数m、n、【满足"尸—4加=7+。]?2f=：（7+。,且m<0<m求。，+1）（4〃?+8+。的取值范围.

一、选择题：1.A；2.B；3.C；4.D；5.B；6.C；7.B；8.A；9.D；1O.A.

二、填空题：11.2；12.5X2-X-3=0；13.4^(X-1)=66；14.1；15.2026.

三、解答题：

16.解：(1)，+24-4=0,

#+2x+l=5,即：(/1)2=5,...................................2分

x+l=±-;5,.....................................................3分

x1=75-1,..................................................4分

x2=->/5-1；.....................................................5分

(2)3X2-6X-2=0,

a=3,6=-6,c=-2,

A：—加=(-6)2-4X3X(-2)=60>0,

.•.方程有两个不相等的实数根，..............................6分

-b±Vb2-4ac-(-6)±5/606±2«/l53±-/T5八

「a―2—=-2X—=~=.............8分

3+布3-下

-10分

・••町二-3，町3

17.解：（1）设每次下降的百分率为%............................1分

依题意，得：2500（1-,尸=1600,................................................................2分

解得:叼=0.2=20%,上=1.8（不合题意，舍去）...................4分

答:每次下降的百分率为20%；................................................................5分

（2）1600x（1-20%）=1280（元）...............................7分

答:若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机9月份售价

为1280元.................................................8分

18.解：（1）①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法,依据的数学公

式是完全平方公式”.答案为:配方法;完全平方公式；.........2分

②第二步开始出现错误,错误的原因是等式的右边没有加上（*[；

・•・答案为:二,等式的右边没有加上......................4分

Q

⑵移项，得3f+8%=3,二次项系数化为1，得一+±=1,...................5分

45

由此可得％+'=±二，'町=，卢2=-3・....................................................8分

19.解：（1）根据题意得：（300-2%）（200-2x2欠）=44800,.........................1分

整理得:炉_200欠+1900:0,

解得:町=10,%2=190（不符合题意，舍去）,.....................3分

答:道路宽度为10米；......................................4分

（2）设每平方米草莓平均利润下调y元，

（100-7）（5000+500x^-）-20000=552000,...........................................5分

整理得：/_60产576=0.解得:九:12,%二48,

又•.・从客户的角度考虑，要让利于顾客,.•.夕=48.................................7分

答:每平方米草莓平均利润下调48元...........................8分

2

20.解：（1）=Q=1,6=-2（m-l）,c=/n-3,

2

/.d=6-4ac=[-2（m-1）]2-4（TZ?2-3）=16-8m,..........................1分

要使方程有两个实数根，则△NO,

即16-87nNO,.............................................................................................2分

解得mW2,即m42时,方程有两个实数根；....................3分

2

(2)Vx}+x2=--=2(zn-1)•x2==m-3.........................................4分

根据对角线的长都为正实数，可得2（6-1）＞0,/_3＞0,即欣＞",

根据（1）中可得有＜mW2,........................................................................5分

•.・巧卢2为菱形的对角线长”菱形的对角线互相垂直且平分，

根据勾股定理，得&）+（对2=悸）,...不君啜，.......6分

5?S2

222

/.(x1+x2)-2xl-%2=—[2(m-l)]-2(m-3)=—,

99

m2-47n+--=0,....................................................................................7分

J

9119

解得人二三,m2=〒=叫=7不合题意,舍去,「.m的值为

JJJJ

.............................................................................................................8分

2L解:⑴设广版+6（丘0,6为常数），

（604+6=140,

将点（60,140）,（70,120）代入得：

1704+6=120,

（k=—2

解得:]'学与人的函数关系式为:y=-2%+260,.........................2分

16=260.，

4N50,

解不等式组％-50W50X70%,解得：50W式W85且欠为整数，.......3分

-2x+260N0.

••・y=-2%+260（50W%W85且比为整数）;........................4分

（2）由题意得：（4-50）（-2%+260）=3000,............................................5分

整理得:--180/8000=0,

解得叫=80卢2=100（不符合题意，舍去）,......................7分

答:销售单价应定为80元.....................................8分

22.解•四边形48CD是矩形，N3=2C=90°,BC=AD=6cm,…1分

由题意得，PB=(16-3/)cm,QC=2tcm,

根据梯形的面积公式得万（16-%+2）X6=33,解得，=5,....................2分

答：当£=5时，四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）如图1,作QE_L/18,垂足为E3.乙PEQ=乙BEQ=90。，；.人BEQ=LB

=ZC=90°,.\四边形8CQE是矩形，则QE=8C=40=6cm,................3分

PA=3t,CQ=BE=2t9.\PE=AB-AP-BE=16-5t,..................................4分

（若尸在点E下方，则PE=5L16）

22

在Rt△PQE中，LPEQ=90。,PQ=10cm,PQ2=PE+QE,

则（16-5£）2+62=102,.....................................................................................5分

解得ti=4.8,^=1,6......................................................................................7分

答:当点P和点Q的距离是10cm时j=4.8或t=1.6；

（3）如图2,过点P作PMLCD于M,QN工AB于N,

贝I]DM=AP=3£cm.CQ=BN=Item.

①当OP=PQ时，贝I」DM=MQ=3tcm..\3什3，+2k16./.f=2；................8分

②当DQ=PQ时，在RtZ\PNQ中，由勾股定理得：。。2=2％2+0%2=62+（16-

3L2»）2,OQ=163,・•.（16-2，尸=62+（16-3,-21）2,整理，得7及-32什」2:

八初，曰16+2/4316-2753,八八

0,解得/=---也=---;...........................10分

③当OP=Z)Q时，在RtADAP中，由勾股定理得：。产二从产+人^=6+

(3，尸，(16-2£尸=62+(3£)2,解得0=淳^^-32-6舟