高一数学期末复习讲义：三角函数性质及图象变换（学生版）

第九讲三角函数性质及窗象变换

【知识梳理】

一、正弦函数ksinx,余弦函数）=3七正切函数y=tanx的图象与性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

y»

，道汽vu

图象rA

-而7~1：/

7T

定义域RR►

12

值域[-'.>][-1.1]R

当1=2反+](2€Z)时，当冗=2k兀(AwZ)时，

)nux=1；yamx—*

最值既无最大值，也无最小值

当x=2Z兀-5(k£Z)时，当x=2Z兀+7i(keZ)时，

Nmin1%in=T.

周期性最小正周期为2兀最小正周期为27r最小正周期为兀

奇偶性奇函数偶函数奇函数

在［2Z兀一二，2左兀+二］情eZ）上在［2攵兀一兀,2攵可（攵GZ）

22'

7T兀

是增函数；上是增函数；在(kn——，&兀+—)(k£Z)上

单调性22

在［24兀+工，2%兀+型］伏

EZ）在［22兀,2%兀+可（攵GZ）是增函数.

22

上是减函数.上是减函数.

对称中心

kn

对称中心（％五,0）（%eZ）；yr对称中心（二~,0）伏eZ）；

（kn+—90）（keZ）；2

7T62

对称轴x=攵兀+5（攵z）,无对称轴，

对称性

对称轴工=攵%（ZEZ）,

既是中心对称图形又是轴对称图是中心对称图形但不是轴对称

既是中心对称图形乂是轴对

形.图形.

称图形.

二、图象变换

1.0对函数〉=5E*+。）/£尺的图象的影响（左加右减）

(P>0时,图象向左］

y=sinx-，.平移网个单位长度->y=sin（戈十°）

(P<0时,图象向右j

2.。。>0）对函数），=sin（（yx+⑼图象的影响

之为缩黑卜原来的如

y=sin(x+°)f<纵坐标不变fy=sin（公Y+0）

3.A(A>0)对y=AsinQx+°)的图象的影响

A〉1时，伸长到

y=sin(5+*)—>‘,-原来的4倍ty=Asin(dn+e)

OvAcl时,缩短到

4.以下为y=sinx的图象经变换得到y=Asin（ar+。）（A>0,3>0）的图象

（P

注意：由y=sins:到y=sin（阪卜。）（口>0,夕>0）的变换：向左平移①个单位长度而非3个单位长度.

题型01解三角不等式及定义域问题

【蟀题思路】用三角函数图象解三角不等式的步骤：

①作出相应的正弦函数或余弦函数在［0,2组上的图象（也可以是［一4，乃］上的图象）；②在［0,2泪上或

（［-心力上）写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集.

（ftI］在［0,2可内函数/（x）=Jl—2cosA+ln（siii”4］的定义域是（）

7T3九

C［房)D.

3*T

【例2】已知集合加={x|sinx>0},N={x|cosx>0},则McN=()

A.•x\2kn<x<2kn+—,keZ

2

B.<xI2〃n<x<2kit+—,ZrGZ

2

,、

C.\x\k7i<x<kTC+—,keZ>

2

D.{x12kn<x<2ATI:+n,A:GZ}

【变式1・1】已知函数/（x）的定义域是一；岑，则函数y=〃sinx）+lncosx的定义域是（）

A.hv--+2lat<x<—+2kn,keZ>B.x--+2kn<x<—+2/ai,

3663

C.x2kn<x<—+2lai,keZD,“工一2+2〃兀WxW2E,keZ>

33

【变式1-2］不等式sin（2x+g）W的解集为

【变式1-3】函数y=Jl-tanx-；+的定义域为.

题型02三角函数的周期问题和奇偶性

2刀

【解题思路】三角函数的周期：①对形如》=4《!1（如+9）或7=485（3+9）的周期为r=S，对形

㈤

71

如），=Atan（0x+。）的周期为7=㈤’

②对形如y=4卜in（〃）x+0＞或片4|8s（〃zr+0）|的周期为丁二高，对形如y=4g。（〃次+0）|的周期

乃

为r二—；

124

［ft3］下列函数中是奇函数，且最小正周期是冗的函数是（）

A.y=8s|2HB.y=|sin2M

C.^=sin(1+2x

D.y=cos

【例4】判断下列函数的奇偶性:

(l)/(x)=sin

22)

⑵f(x)=1g(1-sinx)-lg(l+sinx)；

r\\1+sinx-cos2x

⑶”上小i-

【变式2-1］下列函数中，最小正周期是兀且是奇函数的是（）

A.y=|sinB.>'=1-cos2x

C.y=-3sin2xD.y=1+2tanx

【变式2-2］若/（〃）=lang,(〃wN*),则/⑴+〃2)+…+/(2019)=

J

【变式2-3］判断下列函数的奇偶性:

(l)y=3.rtan2x-2x1

兀I

(2)V=cos3-xj+tanx

题型03求三角函数的单调区间和对称性

【解题思路】在求形如），=4sin（0x+8）（A>0,口>0）的单调区间或对称中心（轴）时，应采用“换元法”

整体代换，将“ox+。”看作一个整体“z”，即通过求），=Asinz的单调区间和对称中心（轴）而求出原

函数的单调区间和对称中心（轴）.

注意点：①①<0时，一般用诱导公式转化为-①〉0后求解;②若A<0,则单调性相反.

【例5】函数/。）=/由卜+^的单调递增区间为（）

A.2E--,2E+-(壮z)B.2女兀---，2女兀+—(A£Z)

L36J66J

C.2kn+—,2kTi+-(女")D.2An+-,2A：7t+—(KeZ)

6366

【例6】（多选）函数，（%）=2sin（2x+m）的图象为M,则下列结论正确的是（）

0

A.图象“关于直线户弓对称B.图象M关于点卜去0）对称

C./（“）在区间（后,/）单增D.图象M关于点,含。）对称

【变式3-1］求函数y=tan（-4+引的单调区间.

I44）

【变式3.2】（多选）下列函数中，最小正周期为兀，且在区间咛。）上单调递减的是（）

A.y=cos|2x|B.y=|tan（7i-x）|

—-3几、

C.y=cos(z2x+—)D.),=sin(2x-])

【变式3-3］（多选）关于函数〃x）=cos（2x-g,下列选项正确的有（）

A./（"的图象关于点（乎,。］对称B.“X）的图象关于宜线工=-?对称

C.函数/（"在-三,等］上单调递增D.函数f（x）在［0,兀］上有三个零点

OO

题型04求三角函数的值域（最值）

【解题思路】（1）形如＞=Asin（4¥十*）+伙或y=Hcos（5+e）+〃）型,可先由定义域求得公t+0的范

围，然后求得sin（s+8）（或cos（勿x+夕））的范围，最后求得最值.

（2）形如y=asin2x+bsinx+c（aw0）型，可利用换元思想，设t=sinx，转化为二次函数y=ar+bt+c

求最值」的范围需要根据定义域来确定.

（3）分式型的三角函数：分离常数法

[»7](1)函数小)=&85m+：｝代[£，0的值域为

(2)函数/(x)=sii/x+Gcosx-[xe0卷])的最大值是.

【例8】求下列函数的值域：

C.工冗)「冗7T

(l)y=2sin2x+-,xe；

13ylL62J

(2)y=|cosx|+cosx.

【变式4-1】己知/（“ucosL+dsinx+l.

⑴若"，求/。）在日当上的值域；

263

3

（2）若。=5,求/*）的最大值.

【变式4-2】己知A为钝角，则+3的最大值为.

tanA

【变式4-3】求下列函数的最大值、最小值以及达到最大（小）值时x的值的集合:

3(4兀)

(|)y=-COS^27L¥+yj；

2

(2)y=-6sin2.5%+—.

k2，

题型05三角函数图象的识别

【解题思路】识别图象的具体步骤：①判断函数的奇偶性；②根据图象的区别代点，看纵坐标的正负情况；

③根据区别求单调性

【例9】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离•分

家万事休在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象

YCOSV

特任,函数/(')=五版的部分图象大致为()

【变式5-1】函数/(x)=|4'T・2r-sing+x的大致图象为()

IN/

【变式5-2】函数/(x)=(eT—e')cos.r的部分图象大致是()

【变式5-3】图象为如图的函数可能是()

C.y=x|cosx|D.y=x-2x

题型06根据奇偶性和对称性求参数

【解题思路】形如），=Asin（0x+e）+6型，

①若题意给出对称轴x=。，则将其代入x可得sin（〃刈+9）=±1,即。a+°=+eZ,

②若题意给出对称中心则将其代入x可得sin（〃妆+0=0,即Q%/+e=E/£Z

【例11］若=亍，*卜osx为奇函数，则实数〃=（）

A.2B.0C.1D.-1

【例12】函数/"）=2sin（2x+0）0<e<g的图象关于直线工=白■对称，则/（处在小兀上的最小值为（）

A.-2B.-x/3C.-1D.-V2

【变式6-1】己知函数〃x）=2cos［2x-t-eJ是偶函数，则tan。的值为（）

A.-1B.1C.1或一1D.—

2

【变式6-2］若存在实数*€（0费，使得函数丁=5由0x+/J（0>O）的图象关于直线x对称，则出的取

值范围为（）

A.［*81C.(*8

B.-,+oo

6

【变式6-3】已知函数，（幻=28北冰+。）3>0）的图象关于直线上*对称，且/用=0,则。的最小值

为（）

A.2B.4C.6D.8

题型07根据单调性求参数

【解题思路】对于已知函数单调区间的某一部分确定参数①的范围问题，首先，明确已知的理调区间应为

函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是

选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

【例13］已知函数f（x）=Jicos酎,其中〃）>（）.若“X）在区间箱《卜单调递增.则。的取值范闱

是（）

1

A.[^0,-1B.（0,4]

C.[\4"|D.|-1，7

l_2」L2j

【例14]若函数），=2cosar在区诃0,y单调递减，且最小值为负值，则出的值可以是（）

A.IB.jC.2D.1

【变式7-1]若函数f（x）=sin（8+W）在区间[（）,外上单调递增，则①的取值范围是（）

3Lo

A.（0,1）B.停1C.（0,1]D.[l,+oo）

【变式7-2】已知函数/（x）=cos3+。）（3>0,。<。<兀）为奇函数，且在-会宁上单调递减，则”的

取值范围是（）

♦I]B.dC.（0,|]D.副

【变式7-3】己知函数/（人）=35有十必）W>0）在区间单调递增，那么实数切的取值范围是—.

题型08根据值域（最值）求参数

【解题思路】对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三

【例15]己知函数仆）=COS（X+Q）（0>O）在区间[。⑼上的值域为[-1用

,则8=

-▲l）x（+、a（x）v1）,有最大值’则实数"的取值范围为（）

【例16]已知函数〃x）=

A.B.rC.

?2°5J/_63)

【变式8-1】已知函数〃x）=sin"沙>0）在区间g"内不存在最值，且在区间若上，满足

/（力2李恒成立，则。的取值范围是（）

7T

【变式8-2]若函数/3=2sina-§),xw[〃?,川的值域为[—1,2]则〃一机的最小值为（)

A.他B.兀C.@_5花

D.一

333

/变式&3/（多选）若小卜sin,x+N（o>0）在佟哥上仅有一个最值，且为最大值，则”的值可能

为（）

3339

A.log。B.1C.-D.—

题型09由图象确定正（余）弦函数的解析式

【解题思路】（1）如果从图象可直接确定A和。,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“霞+夕=0”

注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。或选取最值点代入公式3八十3=十JZ,求

（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A,④。.这里需要注意的是，要认清所

选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.

【例17】已知函数/（x）=Asin（3+Q）+〃的一部分图象如图所示，其中人>0,0>0,网<],则

中=.

【例18]（多选）函数/（x）=A>0,@>0,网部分图象如下图所示，则（）

D.f(a+b)=O

【变式9-1］已知函数/（x）=Asin（5+。）（A＞0,。＞0,0＜。＜5）的部分图象如图所示，其中/（©的图

⑵求函数/*）在区间上的最大值和最小值.

【变式9-2］（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移V（单位：cm）与时间/（单位：s）之间

的函数关系式是)，=Asin(d“+0)(A>0,<y>0,°£(0,兀))，则()

A.该简谐运动的初相为1B.该简谐运动的周期为3

0

-57"

C.第4秒该质点的位移为-2cmD.当3时，位移y随着时间/的增大而减小

【变式9-3】已知函数/(幻=/^1川&式+8),月>。的部分图象如图，则/")在--^,U上的零点个数为()

C.3D.4

题型10求图象变换前(后)的解析式

/\

【例19】将函数〃x)=cos2%+?的图象向右平移?个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=()

15)3

A.sin2xB.—sin2.r

C.cost2x--1D.cos!I

【例20］已知函数“i)=sins(①>0),函数f(x)图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为微，将

/（力图象上所有的点向左平移£个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的;（纵坐标不

4-

变)，得到的图象所表示的函数为(

/\

(\7t}

A./?(x)=sin2x+—B.g)=sin—x+—

k4，(24；

/\

C./?(x)=sinlx--D./?(x)=cos2x

【变式10-1］（多选）将函数）=sin2x的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的!，纵坐标不变，再将所得

图象向右平移微个单位长度，得到丁=/（力的图象，则（）

IO

A./（”的图象关于直线对称B.7（x）的图象关于点传对称

C./'（X）的图象关于直线工=噎对称D.“X）的图象关于点（一“））对称

【变式10-2】已知函数/"）=2COS®X+°）（3>0,悯<］）的部分图象如图所示.将函数.f（x）图象上所

有的点向左平移:个单位长度得到函数g（x）的图象，则《"的值为.

【变式10-3］把函数y=sin（2x-g）的图象向右平移:个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原

来的g，所得图象对应的解析式为

题型11描述图象的变换过程

【例21］为了得到函数y=2sin（3x-1）的图象，只要把函数），=2sin3x图象上所有的点（）

A.向右平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度

C.向右平移看个单位长度D.向左平移1个单位长度

【例22】要得到函数〃＜）=sin（2x-弓）的图象，可以将函数g（x）=cos12x-^J的图象（）

A.向右平移£个单位长度B.向左平移个单位长度

00

C.向右平移5个单位长度D.向左平移个单位长度

JJ

【变式11-1］已知函数+

⑴求了（力在区间卜费上的最大值和最小值；

⑵指出/（力图象可由ksi"的图象经怎样的变换得到？并求“X）在区间口2可上的单调递减区间.

【变式11-21要得到函数V=sin（2x-展）的图象，只需将函数）=sinx的图象经过两次变换，则下列变换

方法正确的是（）

A.先将函数），=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的g（纵坐标不变），再将所得图象向右平移已

个单位长度

B.先将函数），=sinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移

4个单位长度

C.先将函数＞=$由工的图象向右平移方个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍

（纵坐标不变）

D.先将函数），=sinx的图象向右平移力个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的g（纵

坐标不变）

【变式11-3】已知函数），=3sin2x的图象G，问G需要经过怎样的变换得到函数），=3cos（2x-,）的图象C?,

并且平移路程最短？

题型12图象变换及函数性质的综合

【例23】将函数/（x）=8sx的图像先向右平移T个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变

为原来的“。>0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，若函数g（x）在（-兀,0）上单调递增，则。的取

co

值范围是（）

A.B.呜C.°-1D.(0,1]

【例24］（多选）已知函数/（力=小足（"；+8）b>0,0>。,—5<8<^的部分图象如图所示，则（

)

B.当xw一:5时，/（X）的值域为--热」

C.将函数〃力的图象向右平移1个单位长度可得函数g（x）=-sin2x的图象

D.将函数/（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原米的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点（詈,。

对称

【变式12-1］（多选）将函数/（x）=sinxcosx的图象向右平移已个单位长度后所得图象对应的函数为g（“,

则美于g（x）的图象叙述正确的是（）

A.在（0,兀）有且只有一个零点B.关于点卜1，0卜寸称

C.在区间（泉年）上单调递减D.关于直线工=看对称

【变式122］（多选）己知函数〃x）=sin（3x+0）3>0,网<5的最小正周期是冗，把它图象何右平移9个

单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）

A.函数””的图象关于直线工=若对称

C.函数/（力在区间g三上单调递减

D.函数/（“在上有3个零点

【变式12-3］（多选）已知/（x）=sin（〃v+tj,3>0,给出下列结论：其中正确结论是（）

A.若=〃W）=T，且>-则。=2

B.存在/£（0,2）,使得/（"的图象向左平移T个单位长度后得到的图象关于），轴对称

j।4方、

C.若/（力在［0,2可上恰有7个零点，则①的取值范围为

141乙/

D.若/（工）在上单调递增，则①的取值范围为0，；

课后作业

一、单选题

1.为了得到函数y=sin（2x-R）的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）

A.向右平移白个单位长度B.向左平移三个单位长度

2o2o

C.向右平移已个单位长度D.向右平移3个单位长度

2.函数人%）二坐2的图象大致是（）

e+e

3.函数〃力=5访2工+68$工-1在入£0,y的值域为（）

3

A.[0,x/3-1]B.[0,-1c・回TD.(-co,-]

4

4.已知函数/（x）=Asin（3+0）（其中A>0,3>0,悯<兀）的部分图象如图所示，则下列结论止确的是（）

B.若/（［一。=7»则sin4a-cos4a的值为。

J55

C.函数f（x）在区间一弓3上单调递减

_30_

D.函数/（<）的图象关于点［-［o］对称

XI//

5.把函数,二八幻的图象上各点向右平移聿个单位'再把横坐标伸长到原来的2倍•，再把纵坐标缩短到原

来的白倍，所得图象的解析式是)=2sinj；K+g],则/⑴的解析式是()

A.f(x)=3cosxB.f(x)=3sinx

C./(A)=3COSX+3D./(x)=sinx

6.关于函数/（x）=sin®x+w）,有下列四个命题.甲：口=2；乙：°号丙：/（力在胃可上单调递

增；丁：对任意xtR,总有=其中恰有一个是假命题，则该命题是（）

〈6116J

A.甲B.乙C.丙D.T

二、多选题

71

2coxT—|,----<X<0

7.已知函数/（x）=・，（G>0）恰有5个零点，则①的值可能为（）