函数的周期性与对称性-高考数学重难点题型专练（新高考地区专用）解析版

专题2.8函数的周期性与对称性.重难点题型精练

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2022春•北京期中）函数f（x）=£a舄是（）

A.周期为7T的奇函数B.周期为271的奇函数

C.周期为n的偶函数D.周期为211的偶函数

【解题思路】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶性的定义可得结论.

【解答过程】解•：函数/⑶=也吟的最小正周期为T=与=2K,

2

定义域为（小W2E+n,AEZ},关于原点对称，

1、x

f（-x）=tan（―2^）=-tan-=—f（x）,

则/（x）为奇函数.

故选：B.

2.（5分）（2022•合肥二模）函数/.（■=/+4_/x（e是自然对数的底数）的图象关于（）

A.直线x=-e对称B.点（-e,0）对称

C.宜线x=-2对称D.点（-2,0）对称

【解题思路】计算/（x-4）,/（-工）可得/（3-4）“（7）=0,可得/（工）的图象的对称性.

【解答过程】解:由“解可得/（x-4）=­・晨/4,

f（-X）=/户4・山,

所以/（x-4）+fC-x）=0,

则/'（X）的图象关于点（-2,0）对称.

故选：D.

3.（5分）（2022♦道里区校级四模）已知/（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当居（0,1）时，f

（x）=/*+%若/（等）一/（22）=263,则屋）=（）

A.e'+eB.-J+eC.J-eD.--e

【解题思路】由周期性和奇偶性求得/⑵=0,结合/（韵-f（22）=2e3,可求得进而得到所

求答案.

【解答过程】解：・・・/（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，

(-2)=-f(2),又/(-2)=f(2),即/(2)=0,

又/g)-f(22)=2e3,

，/(4+1)-/(20+2)=/(1)-/(2)=2e3,即?+«=2?,

・,.〃=/，

.,•祷=娉-4)=/(-1)=-/(1)=-(e4-e3),

故选：D.

4.(5分)(2021秋•安徽月考)已知定义在R上的函数/(「满足：/(x-1)关于(1,0)中心对称，/

(x+l)是偶函数，且/■(一电=1.则下列选项中说法正确的有()

A./(x)为偶函数B.7(x)周期为2

C

D./-(x-2)是奇函数

【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得/G)的周

期，可判断&由周期性和奇偶性的定义，计算可判断G由周期性和奇偶性的定义，可判断D.

【解答过程】解：由f(x-1)关于(1,0)中心对称，可得/(x-1)4/(2-x-1)=0,

即为fCx-1)■»/(1・x)=0,即有/(-%)=-f(x),即f(均为奇函数，故A错误;

由/(x+l)是偶函数，可得/(7+1)=f(x+l),

即为/(7)=/Cr+2),

所以/(x+2)=・/(x),

则/(x+4)=-/(x+2)=/(工),

所以/(x)的周期为4,故8错误；

9913a

由/(-)=/(--4)=/(-)=/(-)=-/(-p=・1，故C错误；

2222/

由/(x-2)=/(x+2)=-f(-x-2),可得f(x-2)为奇函数，故。正确.

故选：D.

5.(5分)(2022春•日照期末)已知)，=/(户2)是定义域为R的奇函数，y=g(x-1)是定义域为R的

偶函数，且y=/(x)与y=g(x)的图像关于)，轴对称，则()

A.y=f(x)是奇函数

B.y=g(x)是偶函数

C.2是y=/(x)一个周期

D.y=g(x)关于直线x=2对称

【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.

【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=/(x+2)是定义域为R的奇函数，则)，=/(*关于点(2,0)中心对称，y=g(x-1)是定

义域为R的偶函数，则y=g(x)关于x=-1对称，

y=f(A)与y=g(x)的图像关于卫轴对称，贝1J3，=/(不)关于x=l对称，

又由y=/(x)关于点(2,0)中心对称，则y=/(x)关于原点中心对称，故y=/(x)是奇函数，故A

正确.

对于4,y=f(A-)是奇函数，且)，=/(工)与尸g(x)的图像关于y轴对称，故尸g(x)也是奇函数,

故8错误.

对于C,y=f(x+2)是定义域为R的奇函数，则/(2+x)=-/(2-x),

y=f(x)关于力=1对称，故/(-x+l)=/(A-+1),可得/(x+2)=/(-x),

我立可得：f(-x)=-/(-x+2),变形可得/(%)=-/(-2),则有/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

函数/(x)是周期为4的周期函数，故C错误.

对于。，因为4是函数f(x)的周期，y=f(x)关于点(2,())中心对称，所以(-2,0)-是＞=/«)

的中心对称，(-2,())关于y轴对称为(2,0),为尸g(x)的对称中心，故O错误.

故选:A.

6.(5分)(2022春•南通期末)已知/(x)是定义域在R上的奇函数，且满足/(-x+2)=/(x+2),

则下列结论不正确的是()

A./(4)=0

B.y=f(x)的图象关于直线工=1对称

C.f(A+8)=f(x)

D.若/(-3)=-1,则/(2021)=-1

【解题思路】由已知结合函数的奇偶性，对称性及周期性分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：由/(2-X)=/(2+x)可得/(4-x)=/(x).函数图象关于x=2对称，8错误；

月为/(x)为奇函数，即/(-#=-/(X),

所以/(4+x)=/(-x)=-/(x),

所以/(8+x)=f(x),C正确；

因为/(4)=/(0)=0,A正确；

若/(-3)=-1,则/(2021)=/(5)=/(-3)=-1,D正确.

故选：B.

7.(5分)(2021秋•番禺区校级期末)若对Vx,.v£R.有f(x+)，)=/(x)4/(y)-4,则函数g(x)=岛

(x)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和为()

A.4B.8C.6D.12

【解题思路】求出g(x)=(p(A-)+力(X)+4,根据函数的奇偶性得到)，=(p(x)+h(X)为奇函数，求

出答案即可.

【解答过程】解：Vx,yER.有/(x+y)=f3+f(y)-4,

取x=y=0,则/(0)=/(0)+f(0)-4,故/(O)=4,

取了=-x,则/(0)=f(x)■*/(-x)-4,故/(x)+f(-x)=8,

令h(x)=f(x)-4,则h(x)+h(-x)=0,

故力(x)为奇函数，

「g(X)'设中(X)

则g(x)=(p(x)+h(x)+4,

V(p(-x)==一年。)，故叩Cv)为奇函数，

故y=(p(x)+h(x)为奇函数，

故函数g(x)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故选:B.

8.(5分)(2022春•海淀区校级期中)设函数/(x)=sinn.v,g(x)=/-x+l,有以下四个命题：

①函数y=/(x)+g(x)是周期函数；

②函数y=/(x)-g(x)的图象是轴对称图形；

③函数y=/(x)g(x)的图象关于坐标原点对称；

④函数丫=照存在最大值.

其中，真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】对于①，利用反证法可得①不正确：

对于②，通过证明/(I・X)+.?(1・X)=f(x)+g(X)恒成立可得②正确；

对于③，根据/(一2)g(一#-/(;)g(二)，可得③不正确：

乙乙22

114

对于④，根据/(x)=sinnxWl,—=-——-<;以及不等式的性质可得④正确.

g(x)x2-x+l3

【解答过程】解：对于①，假设函数)，=/(%)+g(x)是周期函数，周期为7(X0),则f(x)+g(x)

=f(%+n+g(x+n恒成立，

即sinitr+f-x+l=sinm(x+T)]+(x+T)2-(x+T)+1恒成立,

即sinitr-sin[n(x+7)]=27A*+72-T恒成立，

当x=0时，得・sinHr=好・T,

当x=1时，得-sin(TT+TTD=「+7,即sinTT7=F+7；

所以产-7=-卜-。即7=0,不合题意，

所以所以y=/(x)+g(x)不是周期函数，故①不正确；

对于②，因为/(1-x)+g(I-x)=sin[n(1-x)]+(I-x)2-(1-x)+1=sinnx+x2~x+\=f(x)

+g(X)，

所以函数y=/(x)-g(x)的图象关于直线x=2对称，故②正确；

对于③,因为/(4)g(-1)=sin(-y)[(-1)2-(-i)+I]=-L

1、17rli13

f(-)g(-)=sin-[(-)2-4+1]=T»

J22222J4

i111

所以/(一分g#-/9)g(1)，

JJLL

所以函数y=/(x)g(x)不是奇函数，所以函数)，=/(x)g(x)的图象不关于坐标原点对称，故③

不正确：

对于④，因为f(x)=siniTxWl,当且仅当x=2Z+3(蛇Z)时，等号成立，

g(x)—JC-x+1=(x—x)~+v>j,当且仅当•时，等号成立,

“・114

所以-77=1----7工

g(x)x2-x+l3

f4

所

以(X

--<X-t当且仅当时，等号成立,

gCX3

所以函数y=存在最大值，最大值为：;，故④正确.

故选：B.

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)(2022春•海安市校级期中)若函数/(x+l)(AGR)是奇函数，g(x)=A-/(X)是奇函数，

则下列选项一定正确的是()

A.函数/(工)图象关于点(1,0)对称

B.函数f(x)的周期为1

C./(2021)=0

D.f(2022)=0

【解题思路】由g(A)=X-/(X)是奇函数可得，/(X)为偶函数，再结合/(X+1)是奇函数，得出/(X)

是周期函数，最小正周期为4.

【解答过程】解：因为g(x)=x*f(X)是奇函数，

所以g(-X)=-g(x),即-x・/(-x)=-x・/(x),

所以/(-x)=/(x),/(X)是偶函数，

因为十I〉是奇函数，所以函数/(Al)图像关于点(0,0)对称，所以函数/(X)图像关于点(I,

0)对称，因此选项A正确，

f(x+4)=fl(x+3)+1]=-fl-(x+3)+1]=-/<-x-2)=~f(x+2)=-[-/«)1=/(x),

所以，/(x)是周期函数，最小正周期为4,故选项8错误

因此/(2021)=/(1)=0,故选项C正确，/(2022)=/(2)不一定为0,故选项。错误，

故选：AC.

10.(5分)(2022春•辽宁期中)已知函数/(工)=||cosx|-|sin.v||,则下列结论中，正确的有()

A.函数/(工)的图像关于)，轴对称

B./(X)的最小正周期为TT

C./G)在4,刍上单调递增

D.f(x)的值域为[0,1]

【解题思路】利用三角函数的性质及绝对值的定义对四个选项依次判断即可.

【解答过程】解：n(~x)=||cos(-x)|-|sin(-x)||

=||cosx|-|sin.v||=/(x),

・•・函数/J)的图像关于)，轴对称，

故选项A正确；

*//（1+为）=l|cos（%+*）I■|sin（x+N)

2)

=||siar|-|cos.v||=/(x)，

・・・3是函数/(X)的周期，

故选项s错误；

当xE©'.时，

f(x)=||co&.v|-|sinx||=|cosx-sirLv|=sin.v-cosx=x/2sin(x-于)，

故/(x)在%刍上单调递增，

故选项。正确；

•・・OW|cosx|Wl,OW|siMWl,

-1W|cosx|・|sinx|W1,

/.O^HCOSAI-|sirL\||<1,即OWf(x)W1,

it

又•・,/([)=0,/(0)=1,

：.f(x)的值域为[0,1],

故选项。正确；

故选：ACD.

11.(5分)(2022•青岛二模)已知函数/(工)的定义域为R,g(x)=/(2-x)-fC2+x),h(x)=f

(27),则下述正确的是()

A.g(x)为奇函数

B.g(x)为偶函数

C.h(x)的图象关于直线x=l对称

D./?(x)的图象关于点(1,。)对称

【解题思路】由已知结合函数的奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：因为g(x)=fC2-x)-/(2+x),

所以g(-x)=f(2+x)-f(2-x)=-g(x),即g(x)为奇函数，A正确，B错误；

因为/?(x)=/(2-x)+f(x),

所以。(2-x)=f(x)+f(2-x)=h(x),即〃(x)的图象关于x=l对称，C正确，。错误.

故选：AC.

12.(5分)(2021秋•荆州期末)已知定义在R上的函数/G),对任意实数x有/(x+4)=-/(x),

函数/a+1)的图象关于直线x=-1对称，若当在(0,1]时，/(%)=4,则()

A./(x)偶函数B./(x)为周期函数

C.f(2023)=-1D.当xe[3,4；时，/(x)=-V4^x

【解题思路】根据条件分别判断函数的奇偶性，周期性，利用奇偶性和周期性进行转化求解即可.

【解答过程】解：・・va+4)=・/(%),

-V(x+8)=-f(x+4)=/(幻，则函数/(x)是周期为8的周期函数，故8正确，

•・•函数/(x+1)的图象关于直线X=-1对称，

・••将/(x+1)的图象向右平移一个单位得到/(x),即/(X)关于x=0对称，即关于)，轴芯称，则/(冷

是偶函数，故人正确，

/(2023)=/(253X8-1)=J(-1)=/(1)=V1=1,故C错误，

当x日-1,0)时，-xe(0,1],则/(-x)=V=x,V/(.r)是偶函数，.•・/'(-x)=V-x=/(%),

即当人e[-1,0)时，f(A)=7:=7,

当.1日3,4)时，当x-46[-1,0),

则由/(x+4)--f(x),得/(x)=-/(x-4)=-yj-(x-4)=-V4-x,故。正确，

故选：ABD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)(2021秋•河北区期末)函数y=/Cr)是定义在R上周期为2的奇函数，若/(-0.5)=-1,

则/(2.5)=1.

【解题思路】由奇函数和周期函数的定义可得所求值.

【解答过程】解：函数)，=/G)是定义在R上周期为2的奇函数，若/(-0.5)=-1,

则/(2.5)=/(2+0.5)=/(0.5)=・f(-0.5)=1,

故答案为：I.

14.(5分)(2022春♦白塔区校级期末)已知函数/(3x+l)是定义在R上的奇函数，函数/CO的图像

与函数g(x)的图像关于宜线)，=x对称，则g(x)+g(-X)=2.

【解题思路】利用奇函数的定义可把已知转化为了(/)=0,从而可得函数/(x)关于([，0)

对称，函数/(x)的图像与函数g(x)的图像关于直线y=/对称，则gQ)关于(0,1)对称，代入

可求.

【解答过程】解：•・•函数y=/(3x+l)是定义在R上的奇函数，

.*./(-3x+l)=-/(3x+l),

令f=l-3x代入可得f(z)4/(2-/)=0,

函数/(x)关于(1,0)对称，

由函数/(x)的图像与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，

函数g(x)关于(0,1)对称，从而有g(x)+g(-x)=2,

故答案为：2.

15.(5分)(2020春•临澧县校级期末)已知定义在R上的奇函数/Cr)的图象关于直线x=l对称，/(-

I)=1,则/(1)4/(2)4/(3)+…4/(2015)=0.

【解题思路】根据/(x)的图象关于直线工=1对称，以及/㈠)是奇函数，可推得/(工)是以4周期的

周期函数，分别求出

/(I)=-1,/(2)=-/(0)=0,/(3)=・/(1)=1,/(4)=/(0)=0,由于(1)V(2)+/*

(3)+-4/(2015)=/(2013)4/(2014)4/(2015)=/(1)4/(2)4/(3)=0,即可求解.

【解答过程】解：•・/(x)的图象关于直线％=1对称，

-V(2-x)=/(x),

,：f(x)是奇函数，

(-X)=­f(x)

.V(2+x)=-/(%),可得/(1+4)=/(x),

.V(x)是以4周期的周期函数，

・"⑴=-1,/(2)=-/(0)=0,/(3)=-/<1)=］，/<4)=/(0)=0,

/./(1)4/⑵+f<3)+/<4)=0,

/./(1)+/(2)tf(3)+-V(2015)=/(2013)tf(2014)4/(2015)=/(1)+/(2)+f(3)=0.

故答案为：0.

16.(5分)(2021春•和平区校级期中)已知函数f(x)=|siiLv|+cosx,现有如下几个命题：

①函数/(x)为偶函数；

②函数/(x)最小正周期为2E

③函数/(x)值域为［一夜，V2］；

3

④若定义区间(小h)的长度为〃-小则函数/(X)单调递增区间长度的最大值为-T其中正确命题为

4

①②④.

【解题思路】根据题意，将/(幻的解析式写成分段函数的形式，作出函数的草图，据此分析4个命题，

综合即可得答案.

sinx+cosx,2kn<x<2kn+n“皿4，皿

【解答过程】解：根据题意,函数/(%)=|sinx|+cosx=,其图象如图:

.cosx-sinx,2kn-n<x<2kn

依次分析选项：

对于①，/(x)=|sin(-x)l+cos(-x)=|sinx|+cosx=/(x)，即函数/(x)为偶函数,正确;

对于②，f(A)=|sinx|+cosx,其最小正周期为2m正确；

对于③，函数/J)值域为［7,V2J,错误：

3

对于④，函数f(幻单调递增区间长度的最大值为:兀，正确；

则其中正确的为①②④；

故答案为：①②

四.解答题(共6小题，满分70分)

17.(10分)(2021春•西吉县校级月考)判断下列函数的奇偶性及周期.

(1)f(x)=sinx+(anx；(奇偶性)

(2)y=siiu*cosA+V3cos2x—摩.

【解题思路】(1)先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义判断即可.

(2)先化简，再求定义域，根据周期公式求周期，根据奇偶性的定义判断奇偶性.

【解答过程】解.：(1)由题干可知，入6{.水¥?+71%kEZ},关于原点对称.

则/'(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx="(siav+taiiv)=-f(x).

所以为奇函数.

(2)y=siiWcosA+\/3COS2A—孚

=1sin2x+^cos2A-

7T7T

=sin2rcos-4-cos2Asin-

33

=sin(2丫+手).

27r

FT=7T.

定义域为R,关于原点对称.

则/(・x)=sin(-2丫+1)=-sin(2r-.

很显然不具有奇偶性.

18.(12分)(2021春•大武口区校级期末)已知定义在R上的奇函数/(x)有最小正周期2,且当(0,

1)时,f(x)

(1)求/(I)和/(-1)的值；

(2)求/(x)在［-1,I］上的解析式.

【解题思路】(1)由已知中在R上的奇函数/(工)有最小正周期2,可得/(1)=/(1-2)=/(-1)

=-/(1),进而求出/(I)和/(-1)的值；

(2)当.隹(・1,0)时，-.v6(0,1).由/(x)是奇函数，可得/(X)=-/(・x)=一■W=一看亍

结合已如及(1)中结论，可得答案.

【解答过程】解：(1)V/(x)是周期为2的奇函数，

(1)=/(1-2)=/(-1)=-/⑴，

：.f(1)=0,/(-1)=0.…(4分)

(2)由题意知，/(0)=0.

当入W(-1,0)时，-AG(0,1).

由f(x)是奇函数，

2T7X

：.f(x)=-/(-x)==-7T-7*

JJ4X+14X+1

段,xe(o,i)

综上,/(X"一段，XE(—1,0广(12分)

:4“+l')

(0,XG{-1,0,1}

19.(12分)(2021•浦东新区校级三模)已知函数/(x)=/+妙"，其中蛇R,且aWl,b>0且b

#1.

(1)若必=1,试判断/(工)的奇偶性；

(2)若。=2,1)=等攵=16,证明f(x)的图象是轴对称图形，并求出对称轴.

【解题思路】(1)由曲=1得出从而得出J'(x)="+-「，容易得出攵=1时，/(x)为偶函

数，A=-1时，/(x)为奇函数，从而得出f(x)的奇偶性;

(2)先得出/(x)=2戈+16・2汽若f(x)的图象是轴对称图形，并设对称轴为％=加，从而得出/(x+m)

为偶函数，从而得出/(〃LX)=f(m+x),即得到2〃厂'+16・21”=2鹏+16・2*"',化简即得到(2V-

2'x)(2W-16-2',n)=0,从而得出2'〃・16・2一加=0,求出加即可.

【解答过程】解：(1)ab=\,«>0,Z?>0；

-,-b=w

：.f(x)=aK+k*a'\则八r)=aF"；

①若/Cr)是偶函数,则f(-x)=f(x)，即：/工+公/=〃+A・，x；

・•・(Jt-I)(ar-a'x)=0对任意实数x恒成立；

・"=1；

②若/(x)是奇函数,则,f(・x)=-/(x),即:ax+k*aK=-ax-k*axx

・•・(Hl)(〃+/x)=0；

:・k=-1：

综上，k=-1ff'hf(x)是奇函数，左=1时，f(x)是偶函数，AW±1时，J'(x)是非奇非偶函数；

(2)证明：/(x)=2'+16・2%

若/(外的图象是轴对称图形，对称轴设为x=〃?，则函数/(x+m)为偶函数；

/./(m-x)=/(〃？+x)；

即2〃厂工+16・2>>"=2"工+16・2・，切；

化简得，(2"-2")(2M,-16*2W)=0；

•・•上式对任意的.隹R都成立：

：,2,n-16*2-/,,=0；

**•〃?=2；

・・・/(x)的图象是轴对称图形，对称轴为x=2.

20.(12分)(2021秋•长沙县校级月考)设/(x)是定义域为R的周期函数，且/(x)最小正周期为2,

且/(1+x)=/(1-x),当-IWXWO时，/(x)=-x.

(1)判定/(外的奇偶性；

(2)试求出函数/(x)在［-1,2］上的表达式.

【解题思路】⑴由/(x)是最小正周期为2的函数，且/(1+x)=f(1・x),知/(1+x)=/(-(1+x)),

得/(x)是偶函数：

(2)由-1&%<0时，/(%)=--得OWxWl时，f(x)；由/(%)是最小正周期为2的函数，得1

WxW2时，f(x)；

【解答过程】解:(1)V/(x)是/T上的周期函数，最小正周期为2,且/(1+x)=/(1-x),

・••对于任意xER,都有/(1+x)=/(1-x)=/(1-x-2)=/(-I-x)=/(-(1+x)),

即/(7)=/(x)；所以，/(x)是R上的偶函数；

(2)•・•当-1WxW。时，f(A--=-x,

・••当OWxWI时，有-IW-xWO,

,V(-%)=-(-x)=x,又/(x)是偶函数，,V<-=/(x),，/(公=x；

当1WXW2时，有-1WX-2W0,且/(x)是最小正周期为2的函数，

：.f(x)=/(x-2)=-(x-2)=-x+2；

[-x(-l<x<0)

:・f(x)在[-1,2]上的表达式为：f(A-)=]x(O<x<1)；

(-X+2(1<x<2)

21.(12分)(2021秋•武昌区校级期中)定义在(-8,o)U(0,十8)上的函数/(力)满足：①对任

意x,(-8,o)U(0,+8)恒有/(孙)=f(x)+fCy)；②当x>l时，f(x)<0,且/(2)=

-1.

(1)判断了(X)的奇偶性和单调性，并加以证明；

(2)求关于x的不等式f(3x-2)+f(x)+420的解集.

【解题思路】(1)先求/(-1)的值，令尸-I,推出/(-%)=/(x)4/(-1),/(-%)=/(x).结

合函数奇偶性的定义，判断函数/(X)的奇偶性.

(2)根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系将

不等式进行转化求解即可.

【解答过程】解：(1)令x=y=l,则/(1X1)=f(1)+/(1),得/(I)=0；

再令x=y=-1,则"(-1)X(-1)1=/(-1)+/<-1)»得/