2023-2024学年江苏省南京市某中学高二（下）期末数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）已知/（x）=/,则,（1+△"）-f（1）=（）

Ax-*0

A.0B.-3C.2D.3

2.（5分）若关于x的不等式x2-2x-机>0的解集为｛x|xV-2或x>〃｝,则c』（）

VJTl

A.70B.90C.180D.495

3.（5分）已知｛斯｝是单调递增的等比数列，且。4+。5=27,。3%=162,则公比9的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

4.（5分）已知随机变量X服从正态分布N（4,o2）（o>0）,则“小=3”是“P”｛X>m-

4）=1”的（）

A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

5.（5分）已知V^sin（0-=cos0,则tan28=（）

A.AB.2V3C.2D.-A

333

6.（5分）已知点力（4,0）,圆C：（x-a）2+（歹“）2=1,若圆。上存在点尸使得以=3,则实数〃

的最小值是（）

A.-1B.1C.0D.2

7.（5分）已知函数/（x）=sin（u）.\+（p）（<o>0,|（p|<—）的最小正周期为T,/（工）=/（工），若/（x）

263

在区间[0，2]上恰有8个零点，则3的取值范围是（）

A.[22L,4TT）B.[4mC.（4u,D.[22L,^2L）

22222

8.（5分）已知实数x,y满足三131+>^|=1,则x+2y的取值范围是（）

4

A.[0,V6）B.（0,2V2]c.[0,V6]D.（0,V10]

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

（多选）9.（6分）已知动点力，月分别在直线/i：3x-4y+6=0与g3x-4H10=（）上移动.则线段43

的中点尸到坐标原点。的距离可能为（）

A.V2B.1C.V3D.V5

5

（多选）10.（6分）设△48C的内角4B,C的对边分别为。，b,C.已知。=4,c=5,cosC=2,则

16

（）

A.△48。的外接圆半径为直豆

7

B.sinJ=2ZL

4

C.b=6

D.△ABC为锐角三角形

（多选）11.（6分）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中

说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈二盘，每盘中赢棋的概率是pi，

其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是P2,而甲只

嬴一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只嬴两盘

的概率分别是P（A）和P（8）,则（）

A.Z?|>A

2

B.当pi+p2=l时，piP（A）=p\P（B）

C.当尸（A）=P（B）时，p^Pip2+p2>A

3

D.存在pi，对任意的P2，都有尸（/I）>P（4）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（1-2）2（、_1）4口勺展开式中/的系数是.（用数字作答）

X

13.（5分）已知等边△力8c的边长为1,若平面内一点M满足蜃=2语上记，则M与正夹角的余弦值

2产

为.

14.（5分）一个顶点为P,底面中心为。的圆锥的体积为m若正四棱锥O-/18C。内接于该圆锥，平面

48CO与该圆锥底面平行，点力，B,C,。都在圆锥的侧面上，则正四棱锥。-48c。的体积的最大值

是.

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22

15.(13分)己知椭圆C：2y+%=](〃>/>>())的左、右焦点分别为乃，F?,上顶点为4彳

a2b2

=0.

(1)求C的离心率；

(2)若射线力乃交椭圆。于点6,且/出=2，求。的值.

3

16.(15分)如图，在直三棱柱13。-小田。中，AB=AA]=^3,ABLAC,。为/l】Ci的中点.

(1)证明：48i_L平面小8。；

(2)若二面角力-8C-力的余弦值为近，求线段力C的长度.

4

17.(15分)设函数/(x)=2x3-a^+b,a,beR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)是否存在。>0,旅R,使得/(》)在区间[0,1]上的最小值为-2且最大值为2?若存在，求实数

。，方的值；若不存在，请说明理由.

18.(17分)已知数列｛〃〃｝,｛加｝,其中数列｛四｝是等差数列,且满足加-如=(-1)nn2,a\+bi=\,

。2+a=8,/?GN*.

(1)求数列｛斯｝和｛坛｝的通项公式;

(2)若Cn=——，求数列｛5｝的前〃项和S〃；

ananl-l

(3)设数列｛加｝的前〃项和为T”,记集合4=｛〃|〃W100且HW100｝,求集合■中所有元素的和S.

19.(17分)已知函数/(x)=cosx,且a,肥(0,

(1)求/(a)+f(2L-a)的最大值；

(2)判断/(a)+sin(a+p)与/(⑶的大小关系，并说明理由：

(3)判断/(a),/(0),sin(a+p)能否作为△44。三边长？若能，给出证明，并探究△彳8C的外接

圆的半径是否为定值：若不能，请说明理由.

2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（5分）已知/'（x）=/,则f（1+砍）-f⑴二（）

A.0B.-3C.2D.3

【考点】变化率的极限与导数的概念.

【答案】。

【分析】利用导数的定义结合求导公式求解即可.

【解答】解：由己知可得/（x）=3f,则f（"△：）二f⑴=/3）=3・

△x^OAx

故选：D.

2.（5分）若关于x的不等式x2-2x-加>0的解集为｛小<-2或x>〃｝,则Cn=）

JR

A.70B.90C.180D.495

【考点】解一元二次不等式.

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合韦达定理，以及组合数公式，即可求解.

【解答】解：关于x的不等式x2-2x-〃?>0的解集为｛x|x<-2或x>〃｝,

则-2+〃=2,-2〃=-〃?，得〃=4,m=8.

故C：=70.

故选：A.

3.（5分）已知｛“”｝是单调递增的等比数列，且。4+45=27,〃3。6=162,则公比g的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项.

【答案】C

【分析】由已知结合等比数列的性质及数列的单调性即可求解.

【解答】解：由｛。〃｝是单调递增的等比数列且。4+。5=27,。物5=。3。6=162,

得。4=9,45=18,

故q=2.

故选：c.

4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(4,。2)(o>0),则“机=3”是“P(X2/〃2)+尸(%>w-

4)=1”的()

A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【答案】A

【分析】根据正态分布曲线的对称性可得用2+〃L4=8,从而可解.

【解答】解：随机变量X服从正态分布N(4,。2)(。>0),则该正态分布曲线的对称轴为口=4,

P(X>/?r)+P(X>m-4)=1即夕=p4),故〃/+〃？・4=8,解得ni=3或-4,

则“〃?=3”是“P(X2〃/)针(X>〃?-4)=1”的充分不必要条件.

故选：A.

5.(5分)已知J^sin(6-=cos6,则tan2e=()

4

A.AB.2V3c.2D.-A

333

【考点】求二倍角的三角函数值.

【答案】D

【分析】由已知展开两角差的正弦求解tan。，再由二倍先的正切求解.

【解答】解：由&sin(0-—)=cos0,得加(e~sin。--^-cos9)=cos0,

422

sin0-cos0=cosO,故tan0=2»

9

贝ijtan28=_2包—=22£1=A

1-tan291-223

故选：D.

6.(5分)已知点彳(4,0),圆C：(x-q)2+Cy-a)2=1,若圆C上存在点P使得%=3,则实数,

的最小值是()

A.-1B.1C.0D.2

【考点】点与圆的位置关系.

【答案】C

【分析】根据题意，分析尸所在的轨迹为圆，设其轨迹为惘儿分析可得圆。与圆力有公共点，由阿

与圆的位置关系分析可得答案.

【解答】解：根据题意，点力（4,0）,若以=3,则点Q的轨迹是以力为圆心，3为半径的圆，

设该圆为圆人

圆C（工-“）2+（厂〃）2=1,若圆。上存在点尸使得以=3,则圆。与圆4有公共点，

则（&-4）2+a2忘4,解得即〃的取值范围为[0,4],

故。的最小值为0.

故选：C.

7.（5分）已知函数/（X）=sin（a）.v+（p）（a）>0,|（p|<2L）的最小正周期为7,/（工）=/（工），若/（.丫）

263

在区间[0,2]上恰有8个零点，则3的取值范围是（）

AA.[r-7!——，4An）\Bn.r[4in,9—T—C、）Cc.（/44n,_9_T]T-<Dc.[r-7——，—9—）\

22222

【考点】正弦函数的图象.

【答案】A

【分析】由已知结合正弦函数的对称性及周期性与零点个数的关系即可求解.

【解答】解：因为/«）=sir.（（jox+（p）（CO>0»|（p|<An）的最小正周期为7,/（工）=/（工），

263

所以曲线/（X）的一条对称轴为》=工，

4

所以/（0）=0,

设零点依次为XI，X2，…，X8，X9，…，其中XI=0，X8=-X9=47,

2

有工TW2V47,即Z2LW2V12L,

233

所以3的取值范围是[号，4皿）.

故选：A.

8.（5分）已知实数x,y满足工L三1+丁6=1,则x+2y的取值范围是（）

4

A.[0,V6）B.（0,272]C.[（）,V6]D.（0,V10]

【考点】曲线与方程.

【答案】B

【分析】根据题意，分4种情况讨论方程工1工1+）恻=1对应的曲线，作出曲线对应的图形，记x+2y

=t,变形可得y=-L+L分析/的几何意义，结合图形分析可得答案.

22

【解答】解：根据题意，对于方程三1工1+»6=1,

4

22

当x20,»20时，原方程为工_+f=l,为椭圆2_+），2=1在第一象限的部分：

44

22

当x20,pVO时，原方程为"■炉=1,为双曲线工--炉=1在第四象限的部分：

44

22

当xVO,y20时，原方程为『-工_=1,为双曲线右-产=1在第二象限的部分;

44

当xVO,yVO时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象,

记x+2y=/,变形可得》=-工+L,则/的几何意义是直线y=-工+L纵截距的2倍,

2222

由图知，/＞（）,

当直线与四分之一椭圆相切时，/取最大值，

22

（i-.y）2一号力2+犯,，而孙〈宁号2,当且仅当）,一2.丫时等号成立,

22

则有（三十歹）2=工_+产5忘2（三-+/）=2,变形可得2力忘0

2'44'2

则有X+2JW2J5，当且仅当y=2x时等号成立，

即z的取值范围为（0,272].

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

（多选）9.（6分）已知动点力，月分别在直线A：3x-4.v+6=0与/2：3x-4y+10=0上移动.则线段月8

的中点P到坐标原点O的距离可能为（）

A.V2B.1C.V3D.V5

5

【考点】点、线、面间的距离计算.

【答案】CD

【分析】根据题意易得。在宜线/：3.丫-4科8=（）上运动，从而可得。到直线/的距离，即可判断选项.

【解答】解：•・•动点/，8分别在直线八：3x-4尹6=（）与〃：3x-4户■10=0上移动，

又线段48的中点为P,

，。在直线/：3x-4iH-8=0上运动，

：・O到直线/的距离d=,8=3..

5

・•・？到坐标原点O的距离大于等于旦.

5

故选：CD.

（多选）10.（6分）设△48C的内角力，B,C的对边分别为a,b,c.已知”=4,c=5,cosC=』一则

16

（）

A.△/EC的外接圆半径为空叵

7

B.sin.4=^-^-

4

C.h=6

D.△/AC为锐角三角形

【考点】解三角形.

【答案】BCD

【分析】结合正弦定理检验选项4B,结合余弦定理检验选项C,。即可.

【解答】解：因为cosC=且，

16

所以出水?=包旦，2R=—^_=-^-=单，即力错误；

16sinC547万7

16

由正弦定理得，4必=2=近，B正确;

2R4

由余弦定理得，25=16+川-85・且，解得方=6（负值舍去），C正确；

16

因为a2+c2-Z>2=16+25-36>0,

所以8为锐角，且。为锐角，

又a〈c,

所以/VC,即％也为锐角，△/为锐角三角形，。正确.

故选：BCD.

（多选）11.（6分）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中

说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是“，

其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是P2,而甲只

赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只羸两盘

的概率分别是尸（J）和尸（B）,则（）

A.pi吟

乙

B.当+〃2=1时，P2P（.A）=p\P（5）

C.当尸⑷=P（8）时，p2+pip2+p2>-l

D.存在pi，对任意的P2，都有尸（力）>P（8）

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【答案】ABD

【分析】对于儿甲只赢乙一盘的概率为吵1（1W）2,只赢乙两盘的概率为c§p；（l・P）则C扔

2

（1-pi）<C^p2（]_pi）,由此求出，<p[<1；

22

c

对于B,由pi+p2=l，得pi=l3p1-P1）=博（1-P2）P2，PS）=C金2（1"2>

由此求出22尸（J）=piP（8）；

对于。，由尸（4）=尸（8）,得C：p；（l-pi）=C3P02（132>3"2）3-P2）=（PI"2）（p『PiP2+p?，

3

2<-

p

由此求出p；lpip2I2plP22

对于Q,结合C,存在P1，对任意的P2，都有。（4）>P（4）,即D9（P】-I）〃2+D2-piV。，设〃

y2y1

（P2）=p$（pi-1）〃2+p；・21，推导出力（P2）V。（P2W（0，从而存在〃1，对任意的P2，都

有尸(A)>P(8).

【解答】解：对于九甲只赢乙一盘的概率为c/1（1-8）2,只赢乙两盘的概率为cgp,（1-pi）,

222

0<cp

3p1

解得PI>LD,<1，故/正确；

221

对于5,・・・pi+p2=l，・・・pi=l・R,pa)=cWp：i・pi)=c§(i-p2)2p，P(8)=C金，(卜p),

，当pi+〃2=l时，pzP(4)=p\P(B),故4正确；

2

对于C,P(A)=C2p2(1-pi),P(B)=c|p2(l-p2)»

2

・・・P3）=P（B）,=C^p2（l-p2）»

2233

•e-p1-p2=p1-p2»即（P1+P2）（PLP2）=（Pl-pi）（p"iP2+pg），

由题意及力知0Vp2V^Vpi<l,

•*-p^+pip2+p2=pi+p<—I故C错误;

22

对于，结合C,存在pi，对任意的P2，都有尸（/）>P（8）,即（〃|十〃2）~（P,〃IP2+pg）>0,

即p机（Pi-1）P2+p2-pi<0,

设力3）=p"（pi-1）P2+p；-〃l，

有h（0）=-p\=p\（pi-1）<0,h（A）=---L,取pi=2,则h（A）<0,

2y12432

于是h（p2）VO（p2c（0，-i））»

・•・存在Pl，对任意的P2，都有尸（/）>P（B）,故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）（1-2）2J-1）4fl勺展开式中一的系数是逆.（用数字作答）

X

【考点】二项式系数的性质.

【答案】-8.

【分析】分别求得（X-1）4与（i-2）2的二项展开式，再进行计算即可.

X

【解答】解：：（X-1）4=X4-C：x3+c32-

（i-2）2=i-A+A.,

XXx2

:.（1-2）2（x-I）4的展开式中一的系数是-c3-4=-8.

x4

故答案为：-8.

13.（5分）已知等边△力8c的边长为1,若平面内一点〃满足屈=」而•上记，则初记夹角的余弦值

23

为」逗一

~38―

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角.

【答案】囚亘.

38

【分析】计算痴i•豆，|葡卜再由向量的夹角公式得解.

【解答］解:AM-AC=（yAB^AC）-AC-||AB||AC|CDSA4J|AC12=yXIX1义/号《

而|d抨2亭g.正卷正2=需卷卷噜

__7

那，AC>-同次「运-忽.

丁XI

故答案为：I&.

38

14.（5分）一个顶点为P,底面中心为O的圆锥的体积为死若正四棱锥O-46CO内接于该圆锥，平面

"CO与该圆锥底面平行，点4B,C,。都在圆锥的侧面上，则正四棱锥OFBCO的体积的最大值

以8

小一方

【考点】梭锥的体积.

【答案】A.

27

【分析】作出图形，设OQ交平面于。，QA=QC=r,OW=R,PQ=h,由△以0s△尸山。，得

23

埠，从而可得P=」・2/・。0=2,2（里.-/?）=2/（且■③1）=且二・且二，再利用换元

r33r3R2R3R2R3

法及导数，即可求解.

【解答】解：如图，设0P交平面/8C。于。，QA=QC=r,OW=R,PQ=h,

由△RIOs△尸田。，得」L=21,故。夕=胆,

一PORr

由」JTR2.。尸=J4TA2.上区=冗，得

33rR3

又正方形48CO的面积为2,，

正四棱锥O-ABCD的体积为：

尸=_1・2~・。。=22（里-〃）=匕2（且-生）

33r3R2R3R2R3

令尸Xe（o,1）,则P=2p（l-Q,

r=4/-6/2=2/(2-3/),

・•・当比(0,2)时，H>0,夕单调递增；

3

当三(2,1)时，r<o,/单调递减，

3

:.当t=^iv取最大值，vmax=今.

故答案为：A.

27

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

22_________

15.(13分)已知椭圆C：2y+J=1(4>8>0)的左、右焦点分别为Q,尸2,上顶点为4AF\

=0.

(1)求C的离心率；

(2)若射线4Q交椭圆。于点8,且48=名，求Q的值.

3

【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数；求椭圆的离心率.

【答案】(1)亚；

2

(2)1.

【分析】(1)由已知结合椭圆的性质及向量数量积的坐标表示即可求解.：

l22

(2)由(I)可得力=c,a=V2o则椭圆方程为二。三二]联立直线彳B的方程与椭圆方程，进

2c2c2

而可求夕的坐标，结合弦长公式即可求C,进而可求

【解答】解：(1)令c=Va2-b2,依题意可得上顶点4(0,8)，左、右焦点分别为Q(-C,0),Fi

(c,0)>

所以AF]=(-C,-b>AF2=(C,-b>

又可•可=0

所以而•丽二-c2+(-b)2=O即丛=。2,即小台冷

14

所以a2=2c2,

所以离心率巳工近；

a2

22

（2）由（1）可得b=c,a=V2o则椭圆方程为17g7二］

2c2c2

直线AF\的方程为y=^x+b=x+c，

c

y=x+c

2

联立《xy2整理可得3/+45=0,

2+-2=1

20cc

解得x=0或,

XyB3C

贝臃="^，即B(~4C,4C)，

OOo

所以|AB|=V1+1•4-C=~V2C,所以小历cj"，

解得工2,所以a=l.

c2

16.（15分）如图，在直三棱柱718c■力向Ci中，AB=AA\=43^ABVAC,。为小。的中点.

（1）证明：48i_L平面小8D；

（2）若二面角力-4C-O的余弦值为近，求线段4c的长度.

4

【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直.

【答案】（1）证明见解析；

（2）6.

【分析】（1）由题意知44i_L4C,四边形彳小818为正方形，证明4。，平面力出818,得出力C_L48i，

由此证明力仅_1_平面A\BD.

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面,48。、平面8C。的一个法向量，计算二面

角4-8C-。的大小，即可求出线段力。的长.

【解答】（1）证明：由题意知444平面45C,又。5,/Cu平面”C,

所以AA\±AC,

因为四边形力由4出是平行四边形，且/〃=44],

所以四边形力48归为正方形，所以力囱_1_/1由，

因为44i_L4C,ABLAC,AA,C\AB=A,AA\,718u平面44i8i8,

所以/C_L平面44/i8.

又48iu平面44]8i8,所以XC_L/18i，

因为/1Q〃/1C,所以/8id_/iQ,

又因为48G4]£)=小，AiB,4£>u平面由80,

所以48|J_平面力归。.

(2)解：以力为原点，AB,4C,4小所在直线分别为x轴、y轴、n轴，建立空间直角坐标系，如图

所示：

设（〃>0）,则力（0.0,0）,B（V3»0.0），C（0,a.0）,D（0.X/.«）,

2

所以菽=（0,。，0）,BC=（-V3»。，0），CD=（0，-1，如），

2

所以平面48C的一个法向量为ir=(0,0,1),

设平面BCO的一个法向量为口=（A-,y,z）,

则5•上二°，即

取z=L,则x=a,所以n=（。，V3»Xr）,

-,yayWsz=0

n•CD=022

设二面角力・BC■。的大小为e,

——a

n，1

则|COS8|=|COS<7，n>|=jj2l-=---1解得。=6,

向用<>]xk+（V5）2+ga）24

所以线段4C的长为6.

17.（15分）设函数/（x）=2.r3-ax^+b,a,beR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)是否存在。>0,b^R,使得/(x)在区间[0,1]上的最小值为-2且最人值为2?若存在，求实数

。，6的值；若不存在，请说明理由.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值.

【答案】（1）当时，/（x）在区间（・8,A,+8）上单调递增.

（2）a=6,b=2.

【分析】（1）对/（x）=2d-aF+8求导得/（x）,令/（x）=0,解得x,对。分类讨论，即可得

出函数的单调性.

（2）若/（X）在区间［0,1］有最大值2和最小值-2,结合（1）可得：。>0知，/（X）在区间［0,

上单调递减，［母，+8）上单调递增.对。分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.

【解答】解：⑴对/（x）=2x3-ax2+b求导得，（x）=6.「-2ax=6x（x-伊，

令/（x）=0,解得x=0或至.

3

对。分类讨论：

当“V0时，令/（x）>0,解得XV-B或x>0;令/a；<0,解得且VxVO.

33

.V（x）在区间（-8,且）上单调递增，区间（且，0）上单调递减，区间（0,+8）上单调递增；

33

当（1=0时，/（X）在区间（-8,4-00）上单调递增；

同理可得：当a>0时，/（X）在区间（-8,0）上单调递增，（0,旦）上单调递减，（旦，+8）上单

33

调递增.

（2）若/（x）在区间［0,1］有最大值2和最小值・2,

由a>0知，/（x）在区间［0,_1］上单调递减，号，+8）上单调递增.

若则/（x）在区间［0,1］上单调递减，f（x）皿=/（0）,f（x）〃而=/（1）,

.fb=2,

••.

2-a+b=-2.

解得产，

b=2.

若aV3,则/（x）在区间［0,亨上单调递减，号，1］上单调递增.

3

•V（x）的最小值为/（且）=b-Jf3的最大值为/［0）和/（I）中较大的值.

327

当/（I）</（0）,即2-〃+方<。，即2VaV3时

f(0)=2,

।_a3_n

即「矛-'解得。=3弧，b=2,舍去;

b=2,

f住)=-2,

当/(I)GP2-a+h^h,即0V〃<2时,<

f(1)=2,

，3

即吟广2,3

即J-=“+6,无解.

27

2-a+b=2,

综上可得4=6,b=2.

18.(17分)已知数列｛而,｛加｝,其中数列｛即｝是等差数列,且满足为-即=(7)W,0+力=1,

ai+bi—8,〃£N*.

(1)求数列｛斯｝和彷〃｝的通项公式；

(2)若Cn=-----------，求数列｛Cn｝的前n项和S”;

ananl-l

(3)设数列»〃｝的前〃项和为T“，记集合4=｛“|〃W1OO且〃W100｝,求集合4中所有元素的和S.

【考点】数列的求和；由等比数列中若干项求通项公式或其中的项.

【答案】(1)a“=n,bn=n+(-1)Mw2；(2)-J3_；(3)2520.

n+1

【分析】(1)令〃=1,〃=2,解方程求得.，④，再由等差数列的通项公式可得。〃，/)„；

(2)由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；

(3)分别讨论〃为偶数和奇数，由等差数列的求和公式求得解不等式可得所求力的元索，即可得

到所求和.

【解答】解:(1)因为b”=a”+(-1)所以6]■1=・1,历-a2=4,

因为=12+62=8,所以ai=l,6i=0,

。2=2,也=6,

又数列｛〃〃｝是等差数列，所以①〃｝的公差d=〃2-0=1，

故数列｛〃〃｝的通项公式a〃=1+(〃-1)=〃，

所以bn=an+(-1)〃〃2=〃+(-1)nn2t

即｛加｝的通项公式加=〃+(-1)nn2.

(2)由(1)知Cn=-^^~~-=—-

n(n+l)nn+1

则s„=--A+A_A+-+A-_L-=i-_A_=_P_.

1223nn+1n+1n+1

(3)由(1)知瓦=〃+(-1)nrr,

当〃为偶数时，bn.\+b,t=n-1-(〃-1)2+〃+〃2=2〃-1+2〃-1=4〃-2,

故刀尸方|+历+加+力4+…+b〃-|+加=4(2+4+…+〃)-2X-H=4XAxJL/j(2+〃)-n=n2+n=n(〃+1),

222

此时,由〃(〃+1)<100,解得“W9,即2,4,6,8GJ.

2